Calcul de norme d application linéaire

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1 [ édité le 1 juillet 214 Enoncés 1 Calcul de norme d application linéaire Exercice 1 [ 491 ] [correction] On note E = l ( l espace vectoriel normé des suites réelles bornées muni de la norme N Pour u = (u n l ( on pose T (u et (u les suites définies par T (u n = u n+1 et (u n = u n+1 u n a Montrer que les applications T et sont des endomorphismes continus de E b Calculer leur norme Exercice 5 [ 495 ] [correction] Soit E = C ([, 1], muni de 1 définie par f 1 = Etudier la continuité de la forme linéaire ϕ : f et calculer sa norme f(t dt tf(t dt Exercice 2 [ 492 ] [correction] Soient E = C ([, 1], et F = C 1 ([, 1], On définit N 1 et N 2 par N 1 (f = f et N 2 (f = f + f a On définit T : E F par : pour tout f : [, 1], T (f : [, 1] est définie par T (f(x = x f(t dt Montrer que T est une application linéaire continue b Calculer la norme de T Exercice 3 [ 493 ] [correction] Soit E = C ([, 1], muni de définie par f = sup f [,1] Etudier la continuité de la forme linéaire ϕ : f f(1 f( et calculer sa norme Exercice 4 [ 494 ] [correction] On munit l espace E = C([, 1], de la norme 2 Pour f et ϕ éléments de E on pose T ϕ (f = f(tϕ(t dt Montrer que T ϕ est une forme linéaire continue et calculer sa norme Exercice 6 [ 496 ] [correction] Soient E = C([, 1], et u l endomorphisme de E qui envoie f E sur la fonction u(f : x f(x f( a Montrer que pour E muni de l endomorphisme u est continu b Montrer que pour E muni de 1 l endomorphisme u n est pas continu Exercice 7 [ 497 ] [correction] Sur [X] on définit N 1 et N 2 par : N 1 (P = k= P (k ( et N 2 (P = sup P (t a Montrer que N 1 et N 2 sont deux normes sur [X] b Montrer que la dérivation est continue pour N 1 et calculer sa norme c Montrer que la dérivation n est pas continue pour N 2 d N 1 et N 2 sont-elles équivalentes? Exercice 8 [ 498 ] [correction] On munit l espace E = C([, 1], de la norme Pour f et ϕ éléments de E on pose T ϕ (f = f(tϕ(t dt Montrer que T ϕ est une forme linéaire continue et calculer sa norme On pourra pour cela introduire les fonctions f ε : t ϕ(t ϕ(t + ε

2 [ édité le 1 juillet 214 Enoncés 2 Exercice 9 [ 499 ] [correction] Soit E = C([, 1], muni de Montrons que l application u : f u(f où u(f(x = f( + x(f(1 f( est un endomorphisme continue de E et calculer sa norme Exercice 1 [ 5 ] [correction] Soit E = C([, 1], muni de a Montrer que pour toute fonction f E, il existe une unique primitive F de f vérifiant F (t dt = b Etablir que l application u : f F est un endomorphisme continu c Justifier ( x F (x = f(u du dt d Calculer u Exercice 11 [ 112 ] [correction] Pour a = (a n l ( et u = (u n l 1 (, on pose a, u = t n= a n u n a Justifier l existence de a, u b Montrer que l application linéaire ϕ u : a a, u est continue et calculer sa norme c Même question avec ψ a : u a, u définit un endomorphisme continue de E b Soient x fixé dans et f n la fonction continue valant 1 en x, affine sur [x 1/n, x ] et [x, x + 1/n] et nulle ailleurs Montrer que pour une fonction g définie continue sur, lim n + f ng 2 f n 2 = g(x c Calculer la norme de l endomorphisme u défini à la première question Exercice 13 [ 33 ] [correction] On note E l espace des fonctions réelles définies et continues sur [, 1] On note E cet espace muni de la norme et E 1 cet espace muni de la norme : f sup f(t t [,1] 1 : f Soit u l endomorphisme de E défini par u(f(x = x f(t dt tf(t dt a Montrer que l application v de E vers E 1 qui à f associe u(f est continue et déterminer sa norme b Montrer que l application w de E 1 vers E qui à f associe u(f est continue et déterminer sa norme Exercice 12 [ 3266 ] [correction] Soit E l espace des fonctions continues de carré intégrable sur normé par N 2 (f = ( + f 2 1/2 a Soit φ une fonction continue bornée Montrer que l application u : f φf

3 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 3 Corrections Exercice 1 : [énoncé] a Pour tout u l (, on a T (u n N (u et (u n 2N (u T (u, (u l ( Les applications T et sont bien à valeurs dans l (, de plus elles sont clairement linéaires et N (T (u N (u et N ( (u 2N (u Exercice 4 : [énoncé] T ϕ : E est bien définie et est clairement linéaire Par l inégalité de Cauchy-Schwarz, T ϕ (f ϕ 2 f 2 T ϕ est continue et T ϕ ϕ 2 De plus pour f = ϕ, T ϕ (f = ϕ 2 f 2 T ϕ = ϕ 2 elles sont aussi continues b Par l étude qui précède on a déjà T 1 et 2 Pour u = (1, on a N (u = 1 et N (T (u = 1 T = 1 Pour u = (( 1 n, on a N (u = 1 et N ( (u = 2 = 2 Exercice 5 : [énoncé] Pour tout f E, ϕ est continue et ϕ(f = tf(t dt f 1 ϕ = sup ϕ(f 1 Exercice 2 : [énoncé] a L application T est bien définie et est clairement linéaire Pour tout x [, 1], T (f(x xn 1 (f N 2 (T (f = T (f + f 2N 1 (f Ainsi T est continue b Par l étude ci-dessus, on a déjà T 2 Pour f(t = 1, on a N 1 (f = 1, T (f(x = x et N 2 (T (f = 2 Ainsi T = 2 Pour f : t t n, f 1 = 1 n+1 et ϕ(f = tn+1 dt = 1 n+2 d où ϕ(f = n + 1 f n ϕ = sup ϕ(f = 1 Exercice 3 : [énoncé] Pour tout f E, ϕ est continue et ϕ(f f(1 + f( 2 f ϕ 2 Pour f : x 2x 1, f E, f = 1 et u(f = 2 ϕ = sup ϕ(f = max ϕ(f = 2 Exercice 6 : [énoncé] a On a u(f f + f( 2 f l endomorphisme u est continu pour la norme b Pour f : x (n + 1(1 x n, f 1 = 1 et u(f 1 = (n + 1 (n + 1(1 x n dx = n + L endomorphisme u n est pas continu pour la norme 1

4 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 4 Exercice 7 : [énoncé] a L application N 1 : [X] + est bien définie car la somme se limite à un nombre fini de termes non nuls Si N 1 (P = alors k Z, P (k ( = or P = Soient P, Q [X] N 1 (P + Q = N 1 (P + Q k= Soient P [X] et λ N 1 (λp = P = k= P (k ( X k k! P (k ( + Q (k ( k= k= P (k ( + k= λp (k ( = λ k= P (k ( + Q (k ( Q (k ( = N 1 (P + N 1 (Q k= P (k ( = λ N 1 (P Finalement N 1 est une norme L application N 2 : [X] + est bien définie car une fonction continue sur un segment y est bornée Si N 2 (P = alors t [ 1, 1], P (t = Par infinité de racines P = Soient P, Q [X] N 2 (P + Q = N 2 (P + Q Soient P [X] et λ N 2 (λp = sup λp (t = sup P (t + Q(t sup P (t + Q(t sup P (t + sup Q(t = N 2 (P + N 2 (Q sup λ P (t = λ sup P (t = λ N 2 (P Finalement N 2 est aussi norme b Notons D : [X] [X] l opération de dérivation P [X], N 1 (D(P = k= D(P (k ( = k= P (k+1 ( k= P k ( = N1 (P l endomorphisme D est continu pour la norme N 1 et D 1 Pour P = X, on a N 1 (P = 1 et N 1 (D(P = 1 D = 1 c Soit P n = X n On a D(P n = nx n 1 N 2 (P n = 1 et N 2 (D(P n = n + Par suite l endomorphisme D n est pas continu pour N 2 d Par ce qui précède, les normes ne sont pas équivalentes Néanmoins P = + P (k ( k! X k k= P (t k= P (k ( k! N 2 (P N 1 (P N 1 (P C est là la seule (et la meilleure comparaison possible Exercice 8 : [énoncé] L application T ϕ : E est bien définie et est clairement linéaire Par l inégalité on obtient T ϕ est continue et Pour tout ε >, posons f ε = T ϕ(f ε T ϕ (f T ϕ f ϕ ϕ +ε On observe f ε 1 et T ϕ (f ε = ϕ 2 (t ϕ(t + ε dt ε ϕ(t dt ε ϕ(t + ε

5 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 5 puis T ϕ (f ε ε Or T ϕ (f ε T ϕ f ε on en déduit que T ϕ et finalement T ϕ = Exercice 9 : [énoncé] u est clairement un endomorphisme de E u(f(x = (1 xf( + xf(1 u(f(x (1 x f( + x f(1 (1 x f + x f = f Ainsi u(f f L endomorphisme u est continu et u 1 Pour f : x 1, on a f = 1 et u(f = 1 u 1 puis u = 1 Exercice 1 : [énoncé] a Les primitives de f sont de la forme ϕ + C te avec ϕ : x x f(t dt Parmi celles-ci une seule est d intégrale nulle c est F = ϕ ϕ(t dt b L application u est bien définie de E vers E car une primitive est une fonction continue Pour λ, µ et f, g E, (λu(f + µu(g = λf + µg et λu(f + µu(g = u(λf + µg = λu(f + µu(g Ainsi u est un endomorphisme x ( t F (x = f(t dt f(u du dt aisément F (x 2 f puis F 2 f Ainsi u est continue c x ( t F (x = f(t dt f(u du dt et par intégration d une constante x f(t dt = ( x On conclut par la linéarité et la relation de Chasles d On a F (x et en découpant l intégrale en x, on obtient f(t dt du x t f dt x t dt = x 2 x F (x 1 2 f puis F 1 2 f car sup (x 2 x + 1/2 = 1 2 Ainsi u 1/2 x [,1] Enfin pour f : x 1, f = 1, F : x x 1/2 et F = 1/2 u = 1/2 Exercice 11 : [énoncé] a On a a n u n a u n et u n converge par comparaison de séries à termes positifs, a n u n est absolument convergente et convergente b a, u + a n u n + a u n = a u 1 n= n= On en déduit que ϕ u est continue et ϕ u u 1 Soit a la suite bornée déterminée par a n = 1 si u n et a n = 1 sinon On a a = 1 et pour tout n N, a n u n = u n de sorte que ϕ u (a = + u n = u 1 n= On en déduit que ϕ u = u 1 c Par l inégalité a, u a u 1, on obtient que ψ a est continue et ψ a a Pour la suite u k = (δ n,k n N, on a u k 1 = 1 et ψ a (u k = a k a k ψ a pour tout k N Par suite a ψ a puis finalement ψ a = a Exercice 12 : [énoncé] a Si f E alors φf E car φ(tf(t 2 φ f(t 2

6 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 6 De plus, l application u est évidemment linéaire et c est un endomorphisme de E Aussi φf 2 ( + l endomorphisme u est continue et φ f(t 2 dt 1/2 φ f 2 u φ b Soit ε > Puisque la fonction g est continue, il existe α > vérifiant x x α g(x g(x ε Pour n N suffisamment grand, on a 1/n α et alors fn(xg(x 2 dx g(x fn(x 2 dx g(x g(x fn(x 2 dx Puisque f n est nulle en dehors de [x 1/n, x + 1/n], on obtient fn(xg(x 2 dx g(x fn(x 2 dx ε fn(x 2 dx et f n(xg(x 2 dx f n(x 2 dx g(x ε c On sait déjà u φ En appliquant le résultat qui précède à la fonction g = φ 2, on obtient f n φ 2 f n 2 φ(x On en déduit u φ(x pour tout x On peut alors affirmer u φ puis l égalité v(f x2 f dx = 1 6 f On en déduit que l application linéaire v est continue et En prenant f = 1, on obtient On en déduit v = 1/6 b Pour f E, v 1/6 f = 1, u(f : x 1 2 x2 et v(f 1 = 1/6 u(f(x = x w(f = t f(t dt x f(t dt f 1 sup u(f(x f 1 x [,1] On en déduit que l application linéaire w est continue et w 1 Pour f n (t = t n, on a Puisque f n 1 = 1/(n + 1, u(f n (x = 1 n + 2 xn+2 et w(f n = 1 n + 2 on obtient w = 1 w(f n f n 1 = n + 1 n Exercice 13 : [énoncé] a Pour f E, u(f(x x t f dt = 1 2 x2 f