R I 3 I 2 I 1. charge. A26-2- Filtre actif du second ordre. V e. V s R 2. 1) Établir la fonction de transfert de ce filtre. On posera : k = 1+ R 2

Transcription

1 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/ A6-- Générateur de courant bipolaire, charge à la masse. L'A. Op. est supposé parfait et en fonctionnement linéaire. I est le courant de sortie du générateur de courant. ) Montrer que I = I 3. ) Établir la relation I = f(e,). I I 3 I I E charge A6-- Filtre actif du second ordre V e A C B V s C ) Établir la fonction de transfert de ce filtre. On posera : k = + K ) Montrer que cette fonction peut se mettre sous la forme : ( jω) = + mj ω + j ω ω ω Préciser les expressions de K, m, ω en fonction des éléments passifs du circuit :, C,,. 3) A.N. : On veut : F = ω = 4 Hz ; m = π,7. On donne : C =,µf ; = kω. Calculer et. 4) v e est une tension sinusoïdale pure. racer les courbes de gain et de phase dans le plan de Bode pour f Hz. 5) v e est un échelon de tension d'amplitude V. racer le graphe de la réponse indicielle. 6) Préciser la condition de stabilité de ce filtre.

2 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/ A6-3- Comparateur de phase Ce comparateur délivre une tension continue (v 6 ) proportionnelle à la différence de phase ϕ entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, respectivement : v (t) = V sin(πf t) et v' (t) = V' sin(πf t ϕ). Schéma de principe : comparateurs détecteurs de front bascule amplificateur différentiel filtre passe-bas v v v 3 θ S Q v 4 v 5 a d v 6 v' v' θ v' 3 Q v' 4 Schéma général : v & v C v C = fonction NON S Q Q v' 4 v v 5 v 6 3 v' & v' C v' 3 Les A. Op, alimentés en ± V, sont supposés parfaits. Les circuits logiques (CMOS) sont alimentés en V. Leur seuil de basculement est V b = 5V. On donne : V = V' = 5V, F = 5Hz ( = ms) et ϕ = π/3. ous les graphes seront tracés par rapport à une origine des temps commune. ) Comparateurs O. On donne : diodes zener de tension de référence égale à V. racer v, v, v', v'. ) Détecteurs de fronts montant (voir A3-D exercice 3). On donne : = 33kΩ ; C = 47nF. Expliquer le fonctionnement du montage. racer v 3 et v' 3. Calculer la durée θ des impulsions générées par ce circuit lors d'un front montant des tensions d'entrée v et v'. 3) Bascule S. racer v 4 et v' 4. Déterminer l'expression littérale du rapport cyclique α de v 4 en fonction de ϕ. A.N. 4) Amplificateur différentiel. Exprimer v 5 en fonction de v 4 et v' 4. racer v 5. Que peut-on dire de son

3 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/3 rapport cyclique? 5) Filtre passe-bas. On donne : 4 = 5 = 68kΩ ; C = 4,7µF. Déterminer l'expression littérale de la fonction de transfert de ce filtre. Calculer sa fréquence de coupure F c. racer la courbe de gain dans le plan de Bode pour, f Hz. Noter sur ce graphe les points d'abscisses F c et F. 6) Le spectre d'un signal rectangulaire bipolaire de rapport cyclique α a pour expression : +E τ v(t) = V + 4E π ( ) sin πnα cos( nωt) avec α = τ n n= E Exprimer la valeur moyenne de v 5, notée V 5, en fonction de α. Calculer l'amplitude du fondamental et des harmoniques de rang de v 5. A.N. : α = /3 ; tracer le graphe du spectre d'amplitude de v 5. 7) Calculer la valeur moyenne, l'amplitude du fondamental et des harmoniques de rang de v 6. A.N. : α = /3 ; tracer le graphe du spectre d'amplitude de v 6. 8) Déterminer l'expression de la valeur moyenne de v 6, notée V 6, en fonction de ϕ. racer v 6. 9) Par rapport à un comparateur de phase à OU Exclusif, dont le schéma synoptique est précisé cidessous, quel est l'avantage de ce schéma? comparateurs OU filtre exclusif passe-bas v v v 5 v 6 v' v'

4 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/4 A6-4- Alimentation stabilisée edressement pont, schéma en "H" autre schéma possible : D v e D' D D' Soit v e (t) =V m sin ωt avec V m = V eff et ω = π5 rad/s. On suppose les diodes parfaites (V d = ). Soit i d (t) le courant dans la diode D. ) racer (t) et i(t). Indiquer le planning de conduction des diodes. ) Exprimer (t). Quelle est la fonction mathématique réalisée par le pont de diodes? 3) Exprimer la valeur moyenne de (t), notée V s 4) Exprimer la valeur efficace de (t), notée Vs eff (rappel : cos + cosx x = ) 5) Exprimer la valeur de la tension inverse maximum supportée par une diode. 6) A.N. : V eff = V. Que deviennent ces valeurs numériques si on tient compte de la tension directe de la diode :V d =,7 V? Filtrage V s t v c V smax V smin V s I d c ôle du condensateur de filtrage : d'une demi-période à l'autre, la tension de sortie diminue de V s. Cela correspond à une variation de charge Q = C V s = I t, où : t / (avec = /f et f = 5Hz) si le condensateur est de valeur suffisante I = V s / c courant moyen passant dans la charge ) On suppose les diodes parfaites (V d = ). racer i d (t). ) Pour une valeur donnée de l'ondulation de tension V s, et pour un courant moyen I donné, quelle doit être la capacité du condensateur? A.N. : V s = V ; c = Ω. 3) Que se passe-t-il si l'on choisit un condensateur de valeur trop élevée?

5 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/5 Stabilisation de tension à diode Zener Dans le schéma ci-dessous la résistance est une résistance de polarisation de la diode Zener, calculée pour que celle-ci soit traversée par son courant inverse nominal I z lorsque l'alimentation est à vide (pas de charge). Soit I z = ma. ) Calculer. ) Calculer la puissance dissipée dans la diode Zéner. i c i s v e v c o 5V, W i z A6-5- Expliquer le rôle et le principe de fonctionnement du circuit suivant. Énoncer le rôle de chacun des étages, et 3. racer les graphes des tensions V (t), V (t) et V 3 (t). Justifier par un calcul numérique les valeurs caractéristiques de ces tensions. On suppose les AOP parfaits. ension d'alimentation : ± V cc = ± V. C,µF 4 5 5kΩ kω 3 kω 8kΩ 3 V V V 3 4kΩ

6 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/6 EPONSES A6-- Générateur de courant bipolaire, charge à la masse. ) Soient V +, V et V s les tensions mesurées aux bornes de l'aop, respectivement sur l'entrée +, l'entrée et la sortie par rapport à la masse. En appliquant la loi des mailles puis la loi d'ohm, on constate que I = V s V et I 3 = V s V +. Or V + = V, car l'a. Op. est en fonctionnement linéaire. Donc I = I 3. ) D'après la loi des nœuds, on note que I = I + I 3, donc que I = I + I. L'équation de la maille d'entrée s'écrit : E.I (V + V ).I =, soit E =.I +.I =.I. emarque : le fonctionnement linéaire de ce montage n'est pas évident à priori, puisque l'aop est soumis à deux boucles aux effets antagonistes : boucle de réaction sur l'entrée + et boucle de contreréaction sur l'entrée. On peut analyser ce montage comme suit : a) Du point de vue électrique, E est la variable d'entrée et V s la variable de sortie : E c u d a d a d : gain de l'aop réel u d = V + V V s = a d.u d V s b) L'ensemble {E,, c (charge)} est équivalent à un générateur de hévenin : h E h u d a d V s c E h = E. c + h =. c + c c) L'ensemble {AOP, ',, avec entrée V + et sortie V s } a pour schéma fonctionnel (cf chap A page du cours) :

7 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/7 u d V s = a d.u d V + a d V s u d = V + B.V s avec A = A.V s + A V s a = d V + + B.a d d) La tension V + se calcule en appliquant le théorème de Millman : V + = V s. h +.E h + h Ce qui correspond, en posant B = h, au schéma fonctionnel suivant : + h E h + h B V s V + V + = V s h + E + h h + h e) Le schéma fonctionnel global est donc : B E h + h V + u d a d A V s = a d.u d = a d E h AV + s + BV s h V s E h = + h a d + (A B)a d f) Pour que ce système soit stable, il faut : A B >, soit A > B (autrement dit, le taux de contreréaction sur l'entrée doit être supérieur au taux de réaction sur l'entrée +). Les résistances étant toutes positives, il vient : + > h + h + > < > h + h h On vérifie bien que cette dernière condition est toujours satisfaite, puisque h, résultat de l'association parallèle de et de c, est nécessairement inférieure à.

8 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/8 A6-- Filtre actif du second ordre ) Définition des tensions et des courants présents dans ce circuit : I 3 U 3 I I A U U C B V e V A V B V s C - Amplificateur non inverseur : () V s = +.V B = k.v B jcω - Diviseur de tension en B : () V B = V A = + jcω V A + jcω - Loi des nœuds en A : (3) I + I + I 3 = - Loi des mailles (x 3) : (4) U = V e V A ; U = V B V A ; U 3 = V s V A - Loi d'ohm : (3) et (4) (5) V e V A D'où : (5) V e + V B + jcωk.v B = V A + + jcω () V e + V B + jcωk.v B = V B ( + jcω) + jcω () V e = V s k + ( 3 k ) jcω + ( jcω) = V s k = V e + ( 3 k) jcω + ( jcω) ( ) + V B V A + V s V A jcω = K ) Par identification avec la forme + mj ω + j ω ω ω - gain statique : K = k - pulsation propre : ω = C - amortissement : m = 3 K, on trouve :

9 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/9 3) m =,7 = 3 K 4) G = log f + m f F F G = log f 33 K =,6 =+ = 66 kω ; F = + f 33 3dB = 33 48,kΩ. πc F (Hz) m f F ϕ = arctan f F f arctan 33 f si f > ϕ = f arctan 33 f π si f < F (Hz) 5) (voir formulaire dans cours, chap A4) = e mπf t m cosπf t + sin πf m t avec F = F m = F ( ) t (s) = e π33t cos π33t + sin π33t 6) Pour que le filtre soit stable, il faut m >, soit K < 3.

10 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/ A6-3- Comparateur de phase Graphe général des signaux : +5V v v' ϕ ms 4ms t 5V / +V v v' t / t +V v 3 v' 3 S / +V v 4 Q +V v' 4 Q +V v 5 v 6 V ) v > sortie de l'a.op saturée à +V v = +V (tension zéner) v < sortie de l'a.op saturée à V v = (diode zéner en direct) v' > sortie de l'a.op saturée à V (comparateur inverseur) v' = v' < sortie de l'a.op saturée à +V v' = +V ) Appelons v (lire "NON-v ") la tension de sortie de la porte NON et v c la tension aux bornes du condensateur. En reprenant l'exercice A3-3, il vient :

11 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/ v V t v V t v c V V b v 3 V "" charge de C : v c = ( e t /τ ) θ t /τ décharge : v c =.e tension de basculement V b =,5 V "" logique "" logique 5 = v c =.e θ/τ θ = τ ln "" t t On calcule : θ = C ln = ln ms 3) Les tensions v 4 et v' 4 sont tracées en fonction de la table de vérité d'une bascule S : = V'3 S = V3 Q(n) = V4 Q(n-) Ø On en déduit le calcul du rapport cyclique α de v 4 (voir graphe) : a) décalage horaire de v' : b) rapport cyclique de v 4 : α = π c) A.N. : α = 3 π + = 3 v = V sin( πf t ϕ) = t + = ϕ π + V sin π t ϕ t = ϕ π π α = ϕ π + 4) Montage soustracteur, A.Op en fonctionnement linéaire (boucle de contre-réaction sur l entrée inverseuse). Ici les quatre résistances sont égales. On calcule :

12 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/ V = v v 4 3 (th de Milman) V + = 3 v (diviseur de tension) v 5 = v 4 v 4 3 V = V + ( AOP en fonc t linéaire) v 5 varie entre V et +V. Son rapport cyclique est identique à celui de v 4. 5) Z 5 / /C = = 5 + jc ω 4 (+ j 5 C ω) = + j ω (car 4 = 5 ) 5 ω On calcule : F c = π 4 C =,5 Hz et on trace : G = log = log f + F c 3dB F c F Hz 6) On calcule la valeur moyenne de v 5 par la méthode des surfaces : E.τ E.( τ) V 5 = = E τ V 5 =(α ) [V] On calcule le spectre par le tableau de valeurs : V n = 4. π sin( πnα) n pour n n V5n [V] val. moyenne 3,333 fondamental,7 harmoniques 5,53 3, 4,757 5,5 6, 7,575 8,378 9,,3 [V],, 8, 6, 4,,, Fondamental V 5 harmoniques de rang n n

13 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/3 7) Par définition, = V 6 V V 6 =.V 5. Pour une fréquence donnée, l'amplitude de v 6 est égale à 5 l'amplitude de v 5 multipliée par le module de la fonction de transfert du filtre à cette fréquence. Sachant que = =, avec F = 5 Hz, on construit pour chacune des f + + n.f F c F c composantes du signal (valeur moyenne + fondamental + harmoniques) le tableau suivant. Pour mémoire, on rappelle également l'atténuation du filtre en db. Le spectre de v 6 s'en déduit. On peut remarquer l'efficacité du filtrage, qui ne laisse pratiquement passer que la composante continue du signal. n V5n [V] G [db] V6n [V] 3,333 3,333,7,e- -4, 5,53 5,e-3-46,8 3, 3,33e-3-5, 4,757,5e-3-5,7 5,5,e-3-54,4 6,,67e-3-56, 7,575,43e-3-57, 8,378,5e-3-58, 9,,e-3-59,,3,e-3-6, 8) V 6 = V 5 = (α ) α = ϕ π + V 6 = ϕ π, [V], 8, 6, 4,,, V A.N. : V 6 = 3,33V 9) Le fonctionnement du comparateur de phase à OU Exclusif est le suivant : On calcule facilement : v v' ϕ α = t =. π +5V = ϕ ms π ϕ n V 6 = α =. ϕ π formule apparemment identique au résultat précédent, mais qui en diffère car ici V 6 est toujours positif. En ne tenant pas compte du signe de ϕ, il est alors impossible de faire la distinction entre un retard et une avance de phase. 5V +V v v' +V v 5 v 6 t / / /

14 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/4 A6-4- Alimentation stabilisée edressement pont, schéma en "H" autre schéma possible : D v e D' D D' v e (t) = V eff (t) = V m sin ωt sin ωt un montage PD réalise la fonction "valeur absolue" V s = V m π NB : si l'on tient compte des tensions de seuil des diodes : V m V eff V d Filtrage c Calcul du condensateur de filtrage : d'une demi-période à l'autre, la tension de sortie diminue de V s. Cela correspond à une variation de charge Q = C V s = I t, où : t / (avec = /f et f = 5Hz) si le condensateur est de valeur suffisante I = V s / c courant moyen passant dans la charge Pour une valeur donnée de l'ondulation de tension V s, et pour un courant moyen I donné, il faut un condensateur dont la capacité vaut : C = I.. V s

15 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/5 NB : la tension est d'autant mieux "lissée" que la capacité est grande. Mais si l'on choisit un condensateur de valeur trop élevée, la charge de celui-ci s'effectue en un temps très bref, ce qui entraîne un courant de crête important dans les diodes, avec risque de destruction de celles-ci. Stabilisation de tension Diode Zener V z I z Diode jonction spéciale dont la tension d'avalanche ou "tension Zener", notée V z, ne dépasse pas quelques volts. En fonctionnement Zener, la diode est parcourue par un courant inverse I z. NB : Diode "ransil" : diode zener bidirectionnelle utilisée en protection des circuits Application : stabilisation de tension à diode Zener Exemple : alimentation stabilisée 5 V. Dans le schéma ci-dessous la résistance est une résistance de polarisation de la diode Zener, calculée pour que celle-ci soit traversée par son courant inverse nominal lorsque l'alimentation est à vide. Inconvénient : les diodes Zener étant des diodes de faible puissance, ce genre d'alimentation est réservée aux courants au plus égaux à qq ma. v e /6V µf v c o i c 5V, W i z i s Meilleure solution : stabilisation de tension avec régulateur v e i s /6V µf v c Outre qu'un tel circuit est capable de délivrer un courant > A, il possède une caractéristique de sortie avec protection contre les court-circuits (caractéristique en "Z") : V s protection totale (caractéristique "en Z") protection partielle (ex. : circuit 785) Inconvénient : ce système de régulation par abaissement de la tension a un mauvais rendement, puisque l'excédent de tension se solde par des pertes Joule évacuées au niveau du régulateur. Une meilleure solution est assurée par un hacheur abaisseur de tension avec régulation (cf C3). I s

16 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/6 A6-5- Ce circuit est un générateur de tension carrée (V 3 et V ) et triangulaire (V ) : Circuit : intégrateur inverseur : V = τ V dt = V τ t + cte avec τ = C = 5. 7 =,s. Circuit : comparateur à hystérésis inverseur : V 3 = ±V cc = ± V +V cc V 3 kv cc = + V cc = 4 V kv cc V +kv cc V cc Circuit 3 : amplificateur inverseur de gain : V = 4 V 3 = V 3 3 (NB : cet "amplificateur" est en fait atténuateur) Fonctionnement : a) Soit V 3 = + V V = 6V V est une tension en rampe croissante V 3 = + V. b) Cela est vrai tant que V < + 4 V. Lorsque V atteint cette valeur, le comparateur bascule et V 3 = V. c) Soit V 3 = V V = + 6V V est une tension en rampe décroissante V 3 = V. d) Cela est vrai tant que V > 4 V. Lorsque V atteint cette valeur, le comparateur bascule et V 3 = + V. e) etc... Calcul de la fréquence à partir de la première demi-période (voir ci-dessous) : V = V τ t 4 = 6 τ t 4 V = 6 τ 4 4 = 4 V 4 = 8 τ 6 = 3 6,s F = 6 =8,75Hz 3

17 G. Pinson : Physique Appliquée raitement analogique du signal A6-D/7 +V V 3 t V +6V V t 6V +4V V t 4V