INTRODUCTION AUX SYSTEMES LINEAIRES

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1 Cour 8. Stilité de ytème liéire L otio de tilité et fodmetle d le développemet de ytème de commde et prticulièremet pour le rchitecture de commde à cotre-réctio. L ece de cette propriété qulittive red le ytème iutilile e prtique. Il exite pluieur otio de tilité. Pr exemple, l otio de tilité pour l étude d u ytème utoome qui et p idetique d le c géérl à celle utiliée pour l etude d u ytème oumi à de etrée (d mplitude orée ou d éergie orée...) de commde. L tilité etrée-ortie implique p éceiremet l tilité itere. De même, l otio de tilité itérete à étudier peut être glole, locle ou emi-glole uivt le ytème (o liéire) coidéré Nou ou itéreero d ce chpitre à l otio de tilité utilié pour certie cle de ytème dymique (LTI pr exemple), et l utilitio de l decriptio etrée-ortie, ce qui coduit à l otio de tilité etrée-ortie orée, plu commuémet déommée tilité BIBO (Bouded Iput Bouded Output).

2 STABILITE BIBO. Défiitio : U ytème et tle u e BIBO i répoe ue etrée oré et orée. Défiitio : U ytème et tle i l répoe lire (tritoire) décroit, c'et-à-dire celle-ci dimiue fur et à meure que temp ugmete. VC VC VC Stle t t Limite de Stilité Itle t Pour qu u ytème puie tifire cette coditio il et éceire que le coefficiet de t d le expoetiel de l répoe du ytème, oiet de uméro égtif. Pour que cel e produie il et doc éceire que le rcie de l équtio crctéritique oiet égtive ou vec prtie réelle égtive. O peu coclure de l coditio térieure que l tilité BIBO et ue crctéritique propre du ytème cr elle déped du ytème et e ucu c de l etrée. Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

3 Exemple : Pour u ytème liéire moovrile du premier ordre, l équtio crctéritique et : τ Qui ue eule rcie : /τ L olutio tritoire et de l form: y Ce t/τ O oerve ie que le tritoire dimiuet vec t pour tout τ poitif, doc le ytème er tle pour toute vleur de τ poitive. Pour u ytème liéire moovrile du deuxième ordre, l équtio crctéritique et : ξω ω Qutre type de rcie, doc qutre poile olutio tritoire : Si ξ > : Si ξ : y y T T ξω ω ξ t Ce ξωt ξωt C e Cte C e ξω ω ξ t Stle Stle ( ( ) ( ) ) < ξ : ξωt Si < yt e C i ω ξ t C co ω ξ t Stle Si ξ : y C i ω t C coω t Limite de tilité Si T ( ) ( ) ξωt ξ < : y e C i ω ξ t C co ω ξ T ( ) t Itle Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

4 Limite de tilité C et l frotière etre l tilité et l itilité et elle e préete qud le rcie de l équtio crctéritique o leur prtie réelle égle zéro. D ce c l répoe deviet ue ocilltio permete dot l mplitude rete cotte. C et le c pr exemple que ξ pour u ytème de ecod ordre. Cocluio U ytème et tle (u e BIBO) i toute le rcie de l équtio crctéritique o égtive ou vec leur prtie réelle égtive. U ytème et itle, i u moi ue de rcie de l équtio crctéritique et poitive ou vec prtie réelle poitive. U ytème et l limite de l tilité i u moi ue pire de rcie de l équtio crctéritique ot de imgiire cojugue pur (prtie réelle égle zéro). Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

5 5 Exemple : ( )( D )( D ) D Stle, toute le rcie égtive. ( )( )( )( ) Itle, ue rcie poitive. ( )( ) Itle, ue rcie poitive. ( )( ) Limite de tilité, deux pire de rcie imgiire pure. ( )( ) Limite de tilité, ue pire de rcie imgiire pure. ( 8)( )( ) Égl : ( )( )( )( ) Itle, ue rcie poitive. Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

6 ANALYSE DE STABILITE EN ESPACE D ETAT Pour u ytème LTI ou l forme : x Ax Bu y Cx L tilité peu e détermier e clcult le vleur propre de l mtrice A. Cr c et cette mtrice que repréete le ytème et cotiet l iformtio de l équtio crctéritique. De fit le vleur propre d ue mtrice ot le rcie de l équtio crctéritique. Le critère qui pplique et doc : Si toute le vleur propre de l mtrice A ot égtive lor le ytème et tle. S il exite ue pire de vleur propre imgiire pure le ytème et à l limite de l tilité. S il exite ue vleur propre poitive ou vec l prtie réelle poitive lor le ytème et itle. Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

7 7 Otetio de vleur propre d ue mtrice Le vleur propre d ue mtrice ot le rcie de l équtio crctéritique quelle repréete, il fut doc e premier p cotruire l équtio crctéritique, ce qui e fit vec : I A Euite o détermie le rcie de cette équtio, qui erot le vleur propre de l mtrice. Exemple : Pour le ytème LTI repréeté pr l mtrice : A λ λ L équtio crctéritique et : I A λ λ λ λ ( λ )( λ )( λ ) Le vleur propre de l mtrice A ot : λ ; λ ; λ Le ytème et tle. Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

8 Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l. 8 CRITERE DE ROUTH Le critère de Routh et u lgorithme permettt de détermier i u polyôme d ordre quelcoque de rcie à prtie réelle poitive, voir eoi de clculer l vleur excte de ce rcie. Il pplique à ue équtio crctéritique de l forme : Pr l cotructio du Tleu de Routh : Avec : 5 c c c,,, : ; 5 ; 7 c ; 5 c ; Le tleu e cotiue horizotl et verticlemet juqu à oteir file.

9 9 Le critère de Routh : Toute le rcie de l équtio crctéritique ot égtive ou leur prtie réelle et égtive i tout le coefficiet de l première coloe du tleu de Routh ot le même ige. Doc le ytème er tle. D le c cotrire, le omre de rcie du polyôme dot l prtie réelle et poitive et égl u omre de chgemet de ige de coefficiet de l première coloe du tleu de Routh. Doc le ytème er itle. Si u élémet de l première coloe et ul, pour cotiuer l cotructio du tleu o le remplce lor pr ε > et o cotiue l cotructio du tleu. Si l élémet u deou de ε et poitif, il exite ue rcie à prtie réelle ulle. Si l élémet u deou de ε et égtif, il y chgemet de ige et doc il exite ue rcie à prtie réelle poitive. Oervtio u critère de Routh Si u de coefficiet de l équtio crctéritique et ul ou égtif, le ytème et itle et le tleu de Routh et p éceire. Tou le élémet d ue file du tleu de Routh peuvet e multiplier pr u coefficiet poitif modifier le propriété du tleu. Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

10 Exemple. Détermier l tilité de ytème repréete pr le équtio uivte :. 8 Le tleu de Routh et : 8 Le ytème et tle Le tleu de Routh et : 7/ /5 5 5 Le ytème et itle. Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

11 Le tleu de Routh et : Le tleu de Routh et : 5 5 ε 7/ 7/ Le ytème et tle. Le ytème et itle. Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l.

12 Dulhote Je-Frçoi.- Uiveridd de Lo Ade. Ec. Ig. Mecáic. Dpto. Cieci Térmic - Greole INP. ENSE.Gip-l. Exercie :. Détermier l vleur ou l plge de vleur de pour que le ytème uivt oiet tle :.. c. ( ) 8 d. e. 5 f. A, B, [ ] C g. A, B, [ ] C h. ( ) ( ) A 8, B, [ ] C Devoir : lire chpitre de [9]