RESISTANCE DES MATERIAUX FLEXION PLANE SIMPLE

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1 iière P, PSI, PT Résisance des aériau eion RESISTNCE DES TERIUX LEXION PLNE SIPLE 1. DEINITION 1.1. eion pure Le ssème de forces eérieures appiquées à a poure doi pouvoir se mere sous forme COPLNIRE dans un pan confondu avec un pan de smérie de a poure. Le orseur de coésion de a secion doi pouvoir se réduire à un momen de feion suivan un des aes de smérie de a secion droie ( ci-conre) f Soi { T } co = 1.2. eion pane Le ssème de forces eérieures appiquées à a poure doi pouvoir se mere sous forme COPLNIRE dans un pan confondu avec un pan de smérie de a poure. Si e pan des forces es (,, ), e orseur de coésion de a secion en feion pane doi pouvoir se mere sous a forme T N f Soi { T } co = T 1.3. eion pane simpe La igne moenne de a poure es droie. Le ssème de forces eérieures appiquées à a poure doi pouvoir se mere sous forme COPLNIRE dans un pan confondu avec un pan de smérie de a poure. Toues es forces son perpendicuaires à a igne moenne de a poure T f Page 1 Emmanue RES EduKub S.. Erai graui de documen, e documen origina compore 18 pages.

2 iière P, PSI, PT Résisance des aériau eion Si es forces son suivan e a igne moenne suivan e orseur de coésion de a secion en feion pane doi pouvoir se mere sous a forme Soi { T } co = T 1.4. eion déviée (pour informaion car Hors Programme) La igne moenne de a poure es droie. Le ssème de forces eérieures appiquées à a poure doi pouvoir se mere sous forme COPLNIRE dans un pan qui n es pus confondu avec un pan de smérie de a poure. Toues es forces son perpendicuaires à a igne moenne de a poure f Le orseur de coésion de a secion droie de normae, soiciée en feion déviée es de a forme T Soi { } Tco = T f T 2. ODELISTION ET SYBOLE DES CTIONS ECNIQUES Les poures son bien sûr en iaison avec d aures soides e on adope pour es différens pes de iaison des smboes propres à a Rd ainsi que a pupar du emps une modéisaion pane des acions mécaniques. Les smboes usues ainsi que eur modéisaion son regroupés dans e abeau cidessous Tpe Eempes de iaison ppui simpe Liaisons spère cindre ou spère pan Scémaisaion usuee cion mécanique de iaison Torseur associé ricuaion Liaison pivo ou spérique Encasremen Liaison encasremen Page 2 Emmanue RES EduKub S.. Erai graui de documen, e documen origina compore 18 pages.

3 iière P, PSI, PT Résisance des aériau eion Eempe Cas des arbres guidés en roaion par des rouemens Pour es rouemens monés serrés e arrêés aiaemen, a modéisaion es aors une roue, c es à dire une spérique. Le fai que oues es forces soien dans e pan (, ), ce qui devien dans e pan (, ) soi a même forme qu une pivo d ae ( ) dans a pan ( ) = revien à adoper a modéisaion =,,,,, ( ) ( ), Soi Spérique = Pivo = ricuaion en Rd Pour es rouemens monés gissans e non arrêés aiaemen, a modéisaion es aors une inéaire annuaire, c es à dire une spère - cindre. Le fai que oues es forces soien dans e pan (, ) Spère cindre de direcion ( ) revien à adoper a modéisaion, ce qui devien dans e pan (, ) =, soi a même forme qu une poncuee (spère pan) de,, normae (, ) dans a pan (, ) Soi Spère - Cindre = Spère - pan = ppui simpe en Rd 3. ETUDE EXPERIENTLE 3.1. Essai On soicie une poure en feion pane simpe voir e proocoe ci-dessous. On mesure es déformaions reaives = ε sur e coé d une secion droie à aide de σ = Eε perme ensuie de reier es déformaions jauges de conraines e a oi de HOOKE ( ) mesurée au conraines s eerçan dans a poure. Page 3 Emmanue RES EduKub S.. Erai graui de documen, e documen origina compore 18 pages.

4 iière P, PSI, PT Résisance des aériau eion On pace en pus un comparaeur en D afin de mesurer a fèce de a poure b C D B 3.2. Résuas epérimenau Consaaions sur a fèce (dépacemen verica) en D La fèce en D es proporionnee à inensié de a force eercée. Ee augmene orsque on éoigne C (poin d appicaion de cee force) des appuis e B de a poure e es maimae orsque C es au miieu de B. La èce en D diminue si on rempace a force concenrée en C par une acion mécanique réparie modéisabe par e même orseur d acion mécanique que a force concenrée C La fèce en D es inversemen proporionnee au momen quadraique I. I fau pour cea procéder à pusieurs essais avec des poures où seue a quanié b es 3 b cangée. (En effe, pour une poure à secion recanguaire, I = ) 12 Eude des déformaions ongiudinaes = ε données par es jauges de déformaions ( S ) ( S ) ϕ Raccourcissemen reaif Pan des fibres neures (non déformées) ongemen reaif Tou se passe comme si a secion droie avai pivoée d un ange ϕ Page 4 Emmanue RES EduKub S.. Erai graui de documen, e documen origina compore 18 pages.

5 iière P, PSI, PT Résisance des aériau eion Les fibres au dessus de a igne moenne son ici comprimées Les fibres en dessous de a igne moenne son ici éirées Les fibres s aongen ou se raccourcissen proporionneemen à eur disance par rappor à a igne moenne. La igne moenne es a fibre neure Cenre de courbure ibre comprimée ibre neure ibre éirée On en concu donc que = ε = k 4. REPRTITION DES CONTRINTES 4.1. Conraines normaes On vien de voir que = ε = k, or d après a oi de HOOKE reian déformaions e conraine, on sai que σ = Eε, e camp des conraines es donc inéaire en σ = ke Les conraines normaes son donc proporionnees à eur disance par rappor au pan conenan es fibres moennes, qui dans e cas de a feion pane son aussi es fibres neures σ =, pas de conraines normaes pour =, pan des fibres moennes Reaion enre σ e ds σ ds σ τ ds (, ) = ( + ) Page 5 Emmanue RES EduKub S.. Erai graui de documen, e documen origina compore 18 pages.

6 iière P, PSI, PT Résisance des aériau eion La poure éan en feion pane simpe B = C = c = C B B ± { T co } Cacu des réacions au appuis L équiibre de a poure en s écri + B + = B c = ( c) Ce qui se résou en = c B = Cacu du orseur de coésion Tronçon C Si on conserve a parie gauce, équiibre de cee parie droie s écri ( c) T f + = T ( ) c Soi ( c) T f =, ce qui es bien de a forme T ( c) T donc un cas de feion pane simpe. Tronçon CB Si on conserve a parie droie, équiibre de cee parie droie s écri Page 6 Emmanue RES EduKub S.. Erai graui de documen, e documen origina compore 18 pages.

7 iière P, PSI, PT Résisance des aériau eion c T f + = T c ( ) c Soi T f =, ce qui es bien de a forme T c ( ) T donc bien un cas de feion pane simpe. Le orseur de coésion es donc bien de a forme { T } Rco = T e co = co R co = = T, soi co Or e orseur de coésion n éan ni pus ni moins que inégrae sur oue a secion droie des df = σ, ds = σ + τ ds effors surfacique de coésion, ( ) ( ) Ce qui donne pour a résuane du orseur de coésion R = T = σ, ds = σ + τ ds. Ean donné que on a coisi ds = b d, on ( ) ( ) co obien En projecion sur En projecion sur T S = σ b d = bke d = bke = 2. On consae donc bien 2 2 que e camp de conraine normae observé sur essai (proporionne à ) es conforme à a forme du orseur de coésion!!! = τ ds. E pour e momen du orseur de coésion co = = σ (, ) ds = ( + ( σ + τ ) ds b S dd 2 2 obien = ( σ τ + σ ) b vec ici ds = d d, on Page 7 Emmanue RES EduKub S.. Erai graui de documen, e documen origina compore 18 pages.