Communication graphique

Transcription

1 Introduction générale Partie I. La projection parallèle 1. Le dessin multivue 2. La méthode de Monge (applications) 3. L axonométrie 4. Les courbes de Bézier 1

2 Polyèdres Application des constructions vues au cours dernier De nombreux volumes (en architecture ou en mécanique) ont des géométries sous forme de polyèdres ou d'assemblage de polyèdres Éléments constitutifs Faces: surfaces polygonales planes, avec bords droits. Arêtes: intersections de deux faces. Sommets: points de concours des arêtes 2

3 Polyèdres Polyèdres réguliers Toutes les faces, les angles aux sommets des faces et les angles des dièdres sont égaux. Ce sont des polyèdres convexes : situés entièrement d'un coté d'une face quelconque. Polyèdres usuels: prismes: pyramides: arêtes latérales, parallèles entre elles; bases polygonales, parallèles entre elles; faces latérales = parallélogrammes. 1 sommet, 1 base polygonale; faces issues du sommet triangulaires. Formule d'euler : S A + F = k avec k = 2 (caractéristique d'euler) est valide pour les polyèdres simplement connexes; c'est-à-dire qui par déformation continue peuvent être transformés en une sphère. On les appelle ainsi, polyèdres simples. (voir Mortenson, Geometric modeling, pp ). 3

4 5 solides réguliers de Platon Cube ou Hexaèdre 6 faces Tétraèdre 4 faces Icosaèdre 20 faces Wikipedia Octaèdre 8 faces Dodécaèdre 12 faces 4

5 Wikipedia Prismes Prismes formés de polygones réguliers5

6 Les 3 seules pyramides formées de polygones réguliers... Wikipedia Pyramides 6

7 Formule d'euler Nombre d arêtes A Nombre de sommets S tétraèdre Forme des faces Nombre de faces F triangle hexaèdre carré octaèdre triangle dodécaèdre pentagone icosaèdre triangle S A+F=2? 7

8 Formule d'euler Démonstration de la formule d'euler (par Cauchy, en 1809) Exemple : Cube S A+F= k Cube ouvert «aplati» S A+F= k-1 Etape 0 : on enlève une face et on aplatit le polyèdre pour obtenir un graphe plan 8

9 Formule d'euler S A+F= k-1 +5A, +5F +1A, +1F S A+F= k-1 S A+F= k-1 Etape 1 : On répéte l'opération suivante : Pour chaque face non triangulaire, on ajoute une arête reliant deux sommets non appariés. A chaque fois, on augmente le nombre d'arêtes de 1 et le nombre de faces de 1. Ceci est répété tant qu'il reste des faces non triangulaires. 9

10 Formule d'euler S A+F= k-1 2A, 1F, 1S 1A, 1F S A+F= k-1 S A+F= k-1 Etape 2 : On alterne les deux opérations suivantes, - De préférence, on supprime les triangles dont deux arêtes sont frontière. A chaque fois, on diminue A de 2 et F et S de 1. - On supprime les triangles dont une seul arête est frontière A chaque fois, on diminue A et F de 1. Ceci jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un seul triangle. 10

11 Formule d'euler S A+F=k-1 11

12 Formule d'euler Tout polygone peut être décomposé en triangles Par conséquent, en appliquant les trois opérations décrites, on peut transformer, sans changer la caractéristique d'euler, le graphe plan en un triangle, pour lequel la formule S A+F= k-1 est vérifiée, avec k-1 = 1 Le graphe de départ vérifie donc cette formule. Donc le polyèdre de départ vérifie : S A+F= k = 2 12

13 Formule d'euler Application de la formule d'euler au ballon de foot On a : k = 2 (analogue à une sphère) On P faces pentagonales et H faces hexagonales, soit F=P+H faces. Chaque sommet est partagé par 3 faces pentagonales ou hexagonales : S=(5P+6H)/3 Chaque arête est partagée par 2 faces : A=(5P+6H)/2 Formule d'euler : S-A+F=k : (5P+6H)/3 (5P+6H)/2+P+H=2 P=12 Il faut donc 12 pentagones, autant d'hexagones que l'on veut... 13

14 Formule d'euler Icosaèdre tronqué... Wikipedia 14

15 Caractéristique d'euler La caractéristique d'euler est liée à la topologie. Pour un surface délimitant un volume avec n trous ( donc de genre topologique n ) : k =2 2n S-A+F=2 2n n=2 n=3 Wikipedia n=0 n=1 15

16 Polyèdres Représentation en géométrie de Monge des Polyèdres usuels 16

17 Les prismes a' b' d' c' A' B' D' C' Le prisme droit : arêtes latérales perpendiculaires aux bases B C A D 17

18 Prisme droit frontal a' d' b' c' LT b? a c d 18

19 Prisme droit frontal a' d' b' c' LT b La base n'est pas vue en vraie grandeur a c d 19

20 Prisme droit frontal a' d' b' c' a' LT b a c Rotation ou rabattement d r a 20

21 Prisme droit frontal a' d' b' L1 T1 c' a' A1 B1 LT D1 Changement de plan Br C1 Rotation ou rabattement b Ar Cr a c d r a Dr 21

22 Arêtes parallèles à LT pp' A'' a' B'' b' D'' d' c' C'' LT d a c b 22

23 Prisme oblique Détection des lignes cachées Examen des arêtes DC et BF Examen des polygones CDHG et CBFG 23

24 Prisme dont la base est dans un plan projetant V Changement de plan pour : H un point de la base une arête latérale V1 H 24

25 Pyramides Pyramide régulière Pyramide oblique Détection des lignes cachées BC et AS ACS et BS 25

26 Pyramides Pyramide régulière Pyramide oblique Détection des lignes cachées BC et AS ACS et BS 26

27 Pyramides a' Pyramide dont la base est dans un plan projetant. La base est vue en vraie grandeur par changement de plan 27

28 Pyramides Vraie grandeur obtenue par rotation ou rabattement 28

29 Pyramides Pyramide droite dont la base est dans un plan de profil E' F' A' D' B' C' 29

30 Pyramides Pyramide droite dont la base est dans un plan de profil E' F' A' D' B' C' 30

31 Pyramides Pyramide droite dont la base est dans un plan de profil 31

32 Pyramides Le tétraèdre et un développement possible (par rabattement) 32

33 Pyramides Octaèdre vu dans 2 positions différentes, par changement de plan de projection 33

34 Sections planes de polyèdres * Problèmes relatifs aux polyèdres: - sections planes; - intersections réciproques * Mettent en œuvre les principes vus précédemment - intersection de deux plans; - rencontre d'une droite et d'un plan. On utilisera des surfaces auxiliaires qui seront tout naturellement des plans. 34

35 Section d'un prisme droit par un plan projetant On peut faire soit - Un changement de plan - Un rabattement 35

36 Section d'un prisme droit par un plan qc Notons la manière d effectuer le changement de plan H-V vers H-V1 à l aide du point auxiliaire (N) 36

37 Section d'un prisme droit par un plan qc 37

38 Section droite d'un prisme oblique La première opération consiste à tracer un plan perpendiculaire aux arêtes latérales du prisme Notons le calcul direct du point de percée de (c) dans le plan (a) au moyen du plan auxillaire de bout (b). Le point de percée est situé sur l'intersection entre le plan (a) et (b) Il est situé aussi sur (c) 38

39 Section droite d'un prisme oblique On peut aussi prendre un nouveau plan de projection parallèle aux arêtes du prisme. Une fois déterminée, la section permet de remonter vers les points de percée 39

40 Section d'une pyramide par un plan projetant Rabattement ou changement de plan S 40

41 Section d'une pyramide par un plan qcq Méthode 1 : chercher les points de percée des arêtes candidates dans (a) Méthode 2 : chercher des intersections de plans Méthode 3 : modifier le problème en effectuant un changement de plan 41

42 Section d'une pyramide par un plan qcq Méthode 1 : chercher les points de percée des arêtes candidates dans (a) On utilise un plan auxiliaire vertical dont l'intersection avec (a) donne une droite (i,i') contenant l'intersection recherchée i' i SA dans a 1 SB dans a 2 42

43 Section d'une pyramide par un plan qcq Méthode 1 : chercher les points de percée des arêtes candidates dans (a) On utilise un plan de bout dont l'intersection avec (a) donne une droite (j,j') contenant l'intersection recherchée SA dans a 1 SB dans a 2 j' j 43

44 Section d'une pyramide par un plan qcq Méthode 1 : chercher les points de percée des arêtes candidates dans (a) On utilise un plan de bout dont l'intersection avec (a) donne une droite (j,j') contenant l'intersection recherchée SA dans a 1 SB dans a 2 44

45 Méthode 2 : chercher des intersections de plans 45

46 Section d'une pyramide par un plan qcq Méthode 3 : changer le problème en effectuant des changement de plans et / ou des rabattements/rotations 46

47 Théorème de Desargues Girard Desargues ( ) John Stillwell, Mathematics and its history, Springer-Verlag, 1989 C'est encore vrai si le centre de perspective est rejeté à l'infini. Si deux triangles, (...) ont leurs sommets placés deux à deux sur 3 droites concourantes en un même point, alors leurs cotés se rencontreront deux à deux en trois points situés sur une même droite, et 47 réciproquement.

48 Théorème de Desargues Centre de perspective S La détermination d'un seul point de coupe est suffisante pour construire de proche en proche tous les autres points. Z D' A' α D C' X B' C Y A B T Axe de perspective π i 48

49 Centre de perspective Axe de perspective 49

50 1- Calculer le point de percée d'un des segments 50

51 1- Calculer le point de percée d'un des segments 51

52 2- Utiliser Desargues pour calculer les autres points de percée 52

53 2- Utiliser Desargues pour calculer les autres points de percée 53

54 2- Utiliser Desargues pour calculer les autres points de percée 54

55 On connait la forme de l'intersection 55

56 4 On peut effectuer un rabattement pour avoir l'intersection en vraie grandeur 56

57 Possibilité d'erreur significative? 57

58 Utiliser Desargues dans l'autre vue 58

59 Utiliser une vue de profil 59

60 Théorème de Desargues La détermination d'un seul point de coupe est suffisante pour construire de proche en proche tous les autres points. (valable même si le point de perspective est rejeté à l'infini) Z D' A' α D X C' C Y B' B T Axe de perspective A π 60

61 Points de percée d'une droite dans un cône O m B A P1 P2 a 61

62 Points de percée d'une droite dans un cône O m B A 2 1 a 62

63 Points de percée d'une droite dans un cône Ne correspondent pas aux 2 projections d une même droite. Ce sont des limites de surfaces courbes 63

64 Points de percée d'une droite dans un cône P1 ' P2 ' 1.Trace du plan SAB 2. Intersection de SAB et du cône P1 P2 64

65 Points de percée dans une pyramide 65

66 Points de percée dans une pyramide 66