Problème 1 : nombres irrationnels

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1 SESSION 3 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Problème : ombres irrtioels Prtie A : quelques exemples de ombres irrtioels. et sot etiers. Soit u etier supérieur ou égl à. Supposos que soit rtioel. Il existe deux etiers turels o uls et b tels que ou ecore tels que b b. Si b, lors est u etier. Si b, tout fcteur premier de ou de b pprît à u expost pir ds l décompositio primire de ou de b. Il e est de même pour tout fcteur premier de ce qui sigifie que est u crré prfit ou ecore que b est u etier. O motré que si est rtioel, lors est etier. Pr cotrpositio, si est ps etier, lors est irrtioel.. Soit p u ombre premier. p est e prticulier u etier supérieur ou égl à. Motros que p est ps etier. Ds le cs cotrire, il existe u etier turel tel que p ou ecore tel que p. Cette églité est impossible pr uicité de l décompositio e fcteurs premier cr le ombre premier p pprît à u expost ds le premier membre de cette églité et à u expost impir ds le secod. Doc p est ps etier puis p est irrtioel d près l questio précédete. 3. l l3 est u réel strictemet positif. Supposos que l l3 soit u rtioel strictemet positif. Il existe deux etiers turels o uls et b tels que l l3 b ou ecore tels que b l l3 ou ecore eb l e l3 ou efi tels que b 3. Cette églité est impossible pr uicité de l décompositio e fcteurs premiers cr et 3 sot des ombres premiers et cr > et b >. Doc l est irrtioel. l Pour tout etier turel o ul, u + u +! >. Doc l suite u N est strictemet croisste. Pour tout etier turel o ul, v + v +! + + +!! ! + +! <. Doc l suite v N est strictemet décroisste. Efi, lim v u lim + +!. Doc les suites u N et v N sot djcetes. L suite u N ted vers e e croisst strictemet et doc pour tout etier turel o ul, u < e. L suite v N même limite que l suite u N et doc l suite v N ted vers e e décroisst strictemet. O e déduit que pour tout etier turel o ul, v > e. O motré que E prticulier, u q < e < v q. N, u < e < v. 4. Soit q N. D près l questio précédete, q! q u q < q! q e < q! q v q, ce qui s écrit ecore http :// c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

2 q q q! q k! < p q! < +q q! k!. Pour tout etier k,q, q! q k! est u etier et doc q q! est u etier. Aisi, l etier p q! est strictemet compris k! etre deux etiers cosécutifs. Ceci est ue cotrdictio et il étit doc bsurde de supposer e rtioel. O doc motré que e est irrtioel... Soit N. Pour tout réel x, Prtie B : ue preuve de l irrtiolité de π P x! bx x bx bx x bx! bxp x.. Soit N. L foctio x P x est cotiue sur le segmet [,π] et dmet doc u mximum sur [,π]. Le triôme du secod degré x x bx est positif sur [,π] et s ule e et e b π. Doc l foctio x x bx x bx tteit so mximum e π b b b b 4b. et ce mximum est égl à Mis lors, pr croissce de l foctio t t sur R +, l foctio x P x tteit so mximum e b mximum est égl à et ce.3 Soiet N et x R. P b x!!. 4b b x b b x bx! b bx x bx P x.!.4 Soit N. Pour tout x [,b], bx. Doc I est l itégrle d ue foctio cotiue, positive et o ulle. O e déduit que I >. π.5 L série de terme géérl, N, coverge et pour somme πe /4b. E prticulier, so terme géérl! 4b π ted vers qud ted vers +.! 4b Soit N. D près l questio., I P xsix dx! 4b dx π!. 4b Puisque π ted vers qud ted vers +, le théorème des gedrmes permet d ffirmer que l suite I N! 4b coverge et que lim I. +. Soit k N. E dérivt k fois les églités de l questio.3, o obtiet N, x R, k P k b x P k x. Pour x, o obtiet e prticulier P k b k P k.. et. Soit N. D près l formule du biôme de Newto, http :// c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

3 P x x! p p p p b p x p p p p p b p x p.! p p p b p x +p! p D près l formule de Tylor, o sit lors que pour tout k,, P k puis, pour k,, P k k! k k b k.! k Pour k,, k! est u etier et doc Pk est u etier. E résumé, pour k,, P k est u etier reltif.! Puisque P k b k P k, P k est ussi u etier reltif. b.3 Soiet N puis k u etier turel supérieur ou égl à +. P est u polyôme de degré et doc P k. E prticulier, P k P k. Ds ce cs, P b k et P k sot des etiers reltifs. b O motré que k N, P k et P k sot des etiers reltifs. b Ue double itégrtio pr prties fourit I P xsix dx [ P xcosx] π + P xcosx dx P +P + b P +P +[P b xsix] π P xsix dx. Plus géérlemet, près itégrtio pr prties, o obtiet P xcosx dx I ε k P k b +ε k Pk +ε P xsix dx où les ombres ε k et ε k où k, et ε sot élémets de {,}. De plus, P étt u polyôme de degré, P est l costte K!domP b! et doc! Filemet,!! k+ I P xsix dx K ε k P k k est u etier reltif et les ombres P k l questio. O e déduit que I est u etier reltif. +ε b kp k six dx b!.! et P k +ε b!.! b, k,, sot des etiers reltifs d près 3. D près les questios 3. et.4, l suite I N est ue suite d etiers strictemet positifs. Pr suite, pour tout N, I. Ceci est e cotrdictio vec le résultt de l questio.5 à svoir lim I. Il étit doc bsurde de + supposer que π étit rtioel et o doc motré que π est irrtioel. http :// 3 c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

4 Prtie C : développemet e série de Egel et pplictios. Pour tout etier turel,. Doc l série de terme géérl,, c est-à-dire l suite S N, coverge si et seulemet si l suite S N est mjorée. Pour tout N, S... k... cr l suite est croisste et strictemet positive + k+ Aisi, l suite S N est mjorée pr k+... Pour tout réel α >, α < +E + α α. ],[ et doc k+ coverge et doc l suite S N coverge vers u réel iférieur ou égl à Motros pr récurrece que N, x et existet et x >. x x existe et est strictemet positif. Puis +E existe. x Soit N. Supposos que x existe et soit strictemet positif. Alors, existe puis x + existe et Mis lors + +E existe. x + x + x > x x.. O motré pr récurrece que les suites x N et N sot bie défiies et que l suite x N est strictemet positive.. Soit N. x et et doc x + x cr x >. x + x x + x x, O motré que pour tout N, x + x et doc que l suite x N est décroisste..3 Soit N. O sit que l foctio prtie etière est croisste sur R et doc < x + x E E +. x x + Aisi, l suite N est ue suite croisste d etiers. D utre prt, x ],] x E. x.4 Motros pr récurrece que N, x S + x x x + x x + x S + x. L églité à démotrer est doc vrie qud. Soit. Supposos que x S + x +. Alors... http :// 4 c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

5 x S + Le résultt est démotré pr récurrece. + + x S x S + + x D près les questios et.3, l suite S N est covergete. E prticulier, le terme géérl de cette série à svoir... ted vers qud ted vers +. D utre prt, d près l questio., l suite x est décroisste et doc pour tout N, x + x x + D près le théorème des gedrmes, ted vers qud ted vers +. Filemet, x lim... S et doc x + dmet u développemet e série de Egel Le résultt est clir si. Supposos. Pr défiitio de, si k < lors k b k. Pr suite, + [,...,,...] k k k... k... [,...,,...]... k b...b [b,...,b,...] b...b k k [b,...,b,...] + k 3. Supposos que x [α,...,α,...] où l suite α N est ue suite croisste d etiers turels telle que α. D près l questio, x α puis α x cr α > et doc α x x. O e déduit que α +. D utre prt, x + x + + >, α...α k α α...α k α k et doc x < α ou ecore + x < α +. E résumé, α + x < α + et doc α E + +E. x x 3.3 D près l questio précédete, +E b. Ceci cotredit l défiitio de. Il étit doc bsurde de x supposer que les deux suites N et b N étiet distictes. O doc motré que N b N ou ecore o motré l uicité du développemet e série de Egel d u réel x ],] Soit c u etier supérieur ou égl à. Pour N, posos c. L suite N est ue suite croisste d etiers telles que. [,...,,...] + c k+ c c c. 4. Pour N, posos +. L suite N est ue suite croisste d etiers telles que. [,...,,...] k+ + k+! k k! e. 4.3 Pour N, posos ++. L suite N est ue suite croisste d etiers telles que. http :// 5 c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

6 5. + [,...,,...] k+k+ + k+! k k! ch. + ch k k! k+ + k+4! + + k + k! k k! 3 4 k... k+3k k+3k k+3k+. Pour N, posos +3+. Tous les, N, sot etiers. 6. Efi, pour tout N, , et doc l suite N est croisste. O doc trouvé le développemet de Egel de ch : ch [,...,...] où N, Supposos que l suite N costte à prtir d u certi rg. Il exite u etier c et u etier tel que, c. Si, l questio 4. motre que x c Q. Supposos. x... k c k k... k +... c c Q. Supposos que le réel x ],] soit u rtioel. Posos x où et b sot deux etiers turels o uls premiers b etre eux tels que b. L divisio euclidiee de b pr fourit u etier turel q et u etier turel r, tels que b q+r. O b q E E puis +q. O obtiet lors x x x q+ b q+ b b r b. Si r, o obtiet x b x x puis pr ue récurrece immédite, pour tout N, x x. Ds ce cs, l suite x N est costte à prtir du rg et il e de même de l suite N. Sio, r, puis r <. x s écrit doc b où est u etier turel o ul tel que <. O recommece ce procédé tt que le reste obteu est ps ul. Vérifios qu il existe u premier reste ul. Ds le cs cotrire, o peut écrire chque x, N, sous l forme α b où α N est ue suite strictemet décroisste d etiers turels o uls. Ue telle suite existe ps et doc il existe u premier reste ul ou ecore il existe u etier turel b α N. D près l étude du cs r, o lors x + x puis pr tel que x s écrive α b vec α N et récurrece,, x x. L suite x N est doc costte à prtir du rg et il e est de même de l suite N.. Miimistio de G. Posos M Problème : sttistiques et probbilités Prtie A : deux idicteurs de dispersio x i. Soit x R. i http :// 6 c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

7 Gx x x i x+x i x Mx+ x i x M M + i M + x i i i i vec églité si et seulemet si x M. Aisi, l foctio G dmet u miimum sur R tteit e u réel et u seul.. Le réel M x i est l moyee des x i, i. i. Miimistio de L. Ds cette questio, pour tout x R, Lx x+ + x 3 + x 4. x i Ds cette questio, pour tout x R, Lx x+ + x 3 + x 4 + x 7. http :// 7 c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

8 O suppose ss perte de géérlité que l umérottio des x i, i, été effectuée de sorte que x < x <... < x. er cs. Supposos impir. Posos p+ où p N. Si p, l foctio L : x [x x tteit so miimum e x. O suppose dorévt p. Vérifios que pour tout réel x, Lx Lx p+ vec églité si et seulemet si x x p+. Tout d bord http :// 8 c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

9 Lx p+ p x p+ x i + i p+ ip+ Pour tout x ],x ], Lx p + x + strictemet décroisste. Soit k,p puis x [x k,x k+ ]. Lx k x x i + i p+ ik+ x p+ x i p+ i p x p+ x i + i x i x xk p+ k p+ ip+ x i x p+ p x i i p+ ip+ x i. Sur l itervlle ],x ], l foctio L est ue foctio ffie k x i + i p+ ik+ x i k p x k x i + Puisque k p <, l foctio L est ue foctio ffie strictemet décroisste sur [x k,x k+ ]. Puisque L est cotiue sur ],x p+ ], strictemet décroisste sur ],x ] et sur chque [x k,x k+ ], k,p, l foctio L est strictemet décroisste sur ],x p+ ]. De même, l foctio L est strictemet croisste sur [x p+,+ [ et filemet l foctio L dmet u miimum globl strict e x p+. ème cs. Supposos pir. Posos p où p N. Comme précédemmet l foctio L est strictemet décroisste sur ],x p ] et strictemet croisste sur [x p+,+ [. Efi, pour x [x p,x p+ ], Lx p x x i + i p ip+ x i x p x i + L foctio L est doc costte sur [x p,x p+ ]. Pr suite, l foctio L dmet u miimum tteit e importe quel réel de l itervlle [x p,x p+ ] et uiquemet e u tel réel..4 Si est impir, L tteit so miimum e l médie de l série x,...x. Si est pir, L tteit so miimum e importe quel poit de l itervlle médi [ x /,x +/ ].. Deux exemples i p+ ip+ Prtie B : théorie de l iformtio, le cs discret x i. i x i. p+ ik+ x i.. Ici, p p p 3 p 4 4 et doc HA 4 4 l l. 4. HA 8 l l l l 7 l < l. 4. Cs. Ici, l etropie est défiie pr HA p lp pl p où p ],[. Pour p ],[, posos fp p lp pl p. f est dérivble sur ],[ puis pour p ],[, f p lp++l p l p lp. Pour p ],[, f p > l p > lp p > p p < et de même l p lp p ]. L foctio f est doc strictemet croisste sur, ] [ [ et strictemet décroisste sur,. O e déduit que l foctio f dmet u mximum globl strict e ou ecore, l etropie est mximle si et seulemet si les évéemets A et A sot équiprobbles. 3. Cs géérl Soit f ue foctio covexe sur I 3. Motros pr récurrece que, x,...x I, λ,...,λ R +, λ k k λ k x k I et f λ k x k k k λ k fx k. k http :// 9 c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

10 Pour, o ote P l propriété ci-dessus. Le cs est l défiitio d ue foctio covexe. Soit. Supposos P. Soiet x,...,x,x + I + et λ,...,λ,λ + R + + tel que Puisque les λ k, k + sot positifs, pour tout k,+, λ k [,]. - Si λ +, puisque les λ k, k sot positifs et que λ k λ +, pour tout k,, λ k. Ds ce cs, l iéglité à démotrer est immédite. - Supposos mitet que λ + [,[. Les ombres k f + k λ k x k f λ k λ + sot positifs et vérifiet λ k λ + x k I et Le cs permet lors d écrire f + k Le résultt est démotré pr récurrece. k λ + x + + λ + k f λ k x k k k λ k λ + x k + λ k λ + λ + λ +. Pr hypothèse de récurrece, λ k fx k. k λ k x k λ + fx + + λ + f λ + fx + + λ + k k λ k λ + x k + λ k fx k λ k fx k. λ + k k λ k. 3. Pour x ],[, posos fx x lx. f est deux fois dérivble sur ],[ et pour x ],[, f x lx + puis f x >. Doc l foctio f est covexe sur ],[. x 3.3 Pr suite, p k lp k fp k k k f p k f k p k f k l l, puis HA l. Comme l est l etropie ds le cs où les A k, k, sot équiprobbles et doc de probbilité, o motré que l etropie est mximle lorsqu ucue hypothèse e peut être privilégiée.. Deux exemples Prtie B : théorie de l iformtio, le cs cotiu. Pour tout réel t, gt e t. g est cotiue sur R et pire. De plus, pour tout réel t, gt > puis π gtlgt e t t π + lπ. http :// c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

11 L foctio t gtlgt est cotiue sur R et pire. Soit A >. Les deux foctios t e t et t t π sot de clsse C sur le segmet [,A]. O peut doc effectuer ue itégrtio pr prties et o obtiet A t e t A t dt π te t dt π e A A π + A ] A [ e t t + A e t dt π π e t π dt. Mitet, il est dmis ds l éocé que l foctio g est itégrble sur R et que Qud A ted vers +, e A A π vers +, o obtiet l covergece et l vleur de gt dt gt dt. ted vers d près u théorème de croissces comprées et doc qud A ted t e t π dt : Mis lors t e t dt e t dt π π 4. Hg e t dt+ lπ e t dt +lπ. π π. Erreur d éocé : o supposer que l défiitio de l etropie de h est Hh Soit λ >. Pour tout réel x [,+ [, hx λe λx > puis hxlhx λe λx l λe λx lλ λe λx +λ xe λx. hx lhx dx. L foctio x hxlhx est cotiue et itégrble sur [,+ [. Soit lors A >. Les deux foctios x e λx et x x sot de clsse C sur le segmet [,A]. O peut doc effectuer ue itégrtio pr prties et o obtiet A λ xe λx dx λ A [ xe x λe λx λx dt λ ] A A + λae λa e λa + e λx dx Qud A ted vers +, o obtiet. Deux résultts prélimiires Hh lλ λ xe λx dx. Pr suite, λe λx dx+ λ xe λx dx lλ.. Soit x >. Pour y >, o pose fy x lx+y x x ly. f est dérivble sur ],+ [ et pour y >, f y x y y x y. f est strictemet égtive sur ],x[ et strictemet positive sur ]x,+ [ puis f est ctritemet décroisste sur ],x] et strictemet croisste sur [x,+ [. Pr suite, f dmet u miimum globl strict e x égl à fx x lx+x x x lx. http :// c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

12 O motré que pour tous réels strictemet positifs x et y, x ly x lx+y x vec églité si et seulemet si y x.. Puisque f est positive sur [,b], o b fx dx. Supposos f. Il existe x [,b] tel que fx >. Pr cotiuité, il existe u itervlle I de logueur strictemet positive et de cetre x tel que pour tout x I [,b], fx fx >. I [,b] est u itervlle de logueur strictemet positive l et puisque f est positive, b Aisi, si f est ps l foctio ulle, lors ulle. fx dx b I [,b] fx dx lfx >. fx dx >. Pr cotrpositio, si 3. Ue mximistio d etropie sous cotrite de moyee et de vrice b fx dx lors f est l foctio 3. L foctio t tgt est cotiue sur R, égligeble e + ou devt t. Pr suite, l foctio t tgt est itégrble sur R. Puisque l foctio t tgt est impire, o tgt dt. L foctio t t gt est cotiue sur R, égligeble e + ou devt t. Pr suite, l foctio t t gt est itégrble sur R. D près le clcul de l questio., O motré que g N. 3. Soit f N. Hg+ Doc, Hg 3.3 Soit f N. fxlgx dx fx lgx dx. t t gt dt 4 gx fxlgx dx lπ gx dx e t π dt 4 4. lπ. gx fx fx dx x lπ dx x gx dx x fx dx De plus, Hg Hf+ fx lgx dx fx lfx + gx fx dx d près l questio. Hg Hf Hg Hf gx dx fx dx Hf+ Hf. fxlfx fxlgx+gx fx dx. D près l questio., l foctio x fxlfx fxlgx+gx fx est cotiue et positive sur R. Soit [,b] u segmet de R. b fxlfx fxlgx+gx fx dx fxlfx fxlgx+gx fx dx. http :// c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

13 Doc, b fxlfx fxlgx+gx fx dx puis, d près l questio., pour tout x [,b], fxlfx fx lgx + gx fx. Mis lors d près l questio., pour tout x de [, b], fx gx. Ceci étt vri pour tout segmet [,b] de R, o motré que si Hf Hg, lors f g. Réciproquemet, si f g lors Hf Hg et o motré que f N, Hf Hg f g. http :// 3 c Je-Louis Rouget,. Tous droits réservés.