Etude de la 3 ème loi de Kepler avec un tableur (LibreOffice Calc)

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1 Etude de la 3 ème loi de Kepler avec un tableur (LibreOffice Calc) Document 1 : loi de Kepler Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, près de Stuttgart (Allemagne), mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne, a étudié et confirmé l'hypothèse héliocentrique (la Terre tourne autour du Soleil) de Nicolas Copernic. Il a également découvert que les trajectoires des planètes n étaient pas des cercles parfaits centrés sur le Soleil mais des ellipses. En outre, il a énoncé les lois (dites lois de Kepler) qui régissent les mouvements des planètes sur leurs orbites, dont est donné un énoncé de la 3 ème ci-dessous 3 ème loi de Képler : Le carré de la période T des objets en orbite est proportionnel au cube du rayon R de leur trajectoire. Ceci se traduit mathématiquement par : T 2 est proportionnel à R 3. Remarque : la période T d un objet en orbite est la durée d 1 tour. Document 2 : Les satellites de Jupiter (liste exhaustive) voir fichier LibreOffice Calc Document 3 : Quelques dizaine d années après les observations de Képler, Newton établit en utilisant la loi de gravitation que la relation entre T 2 et R s exprimait de façon suivante : T R GM où M est la masse de l astre autour duquel gravitent les satellites et G la constante de gravitation universelle dont la valeur est : G = 6, I. Problème et hypothèse Problèmes à résoudre : Les satellites de Jupiter vérifient-ils la 3 ème loi de Kepler? Quelle est la masse de Jupiter? Stratégie et hypothèse : Quel graphe faut-il tracer? Qu espère-t-on obtenir? II. Résultats Modéliser la courbe obtenue en utilisant les fonctionnalités du logiciel. Mettre le graphe en forme (titre, titres des axes, ) Copier 2 fois le graphe sur une page de LibreOffice Writer Imprimer la page après vérification par le prof III. Exploitation du graphique : confirmation de l hypothèse (à rédiger) Quelle est l allure de la courbe obtenue? Que peut-on en conclure quant à la relation entre T 2 et R 3? La 3 ème loi de Képler est-elle vérifiée? Donner l équation qui modèlise la courbe obtenue (attention : dans l équation à recopier remplacer «x» par la grandeur physique représentée sur l axe des x et remplacer «f(x)» par la grandeur physique représentée sur l axe Y ; on limite le nombre de chiffres significatifs) IV. Détermination de la masse de Jupiter (à rédiger) Rappeler le modèle de la loi de Képler obtenu à partir du graphe Rappeler le modèle de la loi de képler établie par Newton En déduire une relation qui permet de calculer la masse de Jupiter M J. Comparer avec la valeur de la masse officielle, annoncée par les encyclopédies.

2 Etude de la 3 ème loi de Kepler avec un tableur (LibreOffice Calc) Document 1 : loi de Kepler Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, près de Stuttgart (Allemagne), mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne, a étudié et confirmé l'hypothèse héliocentrique (la Terre tourne autour du Soleil) de Nicolas Copernic. Il a également découvert que les trajectoires des planètes n étaient pas des cercles parfaits centrés sur le Soleil mais des ellipses. En outre, il a énoncé les lois (dites lois de Kepler) qui régissent les mouvements des planètes sur leurs orbites, dont est donné un énoncé de la 3 ème ci-dessous 3 ème loi de Képler : Le carré de la période T des objets en orbite est proportionnel au cube du rayon R de leur trajectoire. Ceci se traduit mathématiquement par : T 2 est proportionnel à R 3. Remarque : la période T d un objet en orbite est la durée d 1 tour. Document 2 : Les satellites de Jupiter (liste exhaustive) voir fichier LibreOffice Calc Document 3 : Quelques dizaine d années après les observations de Képler, Newton établit en utilisant la loi de gravitation que la relation entre T 2 et R s exprimait de façon suivante : T R GM où M est la masse de l astre autour duquel gravitent les satellites et G la constante de gravitation universelle dont la valeur est : G = 6, I. Problème et hypothèse Problèmes à résoudre : Les satellites de Jupiter vérifient-ils la 3 ème loi de Kepler? Quelle est la masse de Jupiter? Stratégie et hypothèse : Quel graphe faut-il tracer? Qu espère-t-on obtenir? II. Résultats Modéliser la courbe obtenue en utilisant les fonctionnalités du logiciel. Mettre le graphe en forme (titre, titres des axes, ) Copier 2 fois le graphe sur une page de LibreOffice Writer Imprimer la page après vérification par le prof III. Exploitation du graphique : confirmation de l hypothèse (à rédiger) Quelle est l allure de la courbe obtenue? Que peut-on en conclure quant à la relation entre T 2 et R 3? La 3 ème loi de Képler est-elle vérifiée? Donner l équation qui modèlise la courbe obtenue (attention : dans l équation à recopier remplacer «x» par la grandeur physique représentée sur l axe des x et remplacer «f(x)» par la grandeur physique représentée sur l axe Y ; on limite le nombre de chiffres significatifs) IV. Détermination de la masse de Jupiter (à rédiger) Rappeler le modèle de la loi de Képler obtenu à partir du graphe Rappeler le modèle de la loi de képler établie par Newton En déduire une relation qui permet de calculer la masse de Jupiter M J. Comparer avec la valeur de la masse officielle, annoncée par les encyclopédies.

3 AIDE : Tracé du graphique avec tableur comme LibreOffice Calc 1. Copie du tableau sur une page LIBRECALC : Ouvrir le logiciel LibreOffice Calc Copier le tableau ci-dessus (sélectionner avec la souris ; clic droit ; dans le menu qui s afficher, sélectionner «copier») Dans la page LibreOffice Calc, sélectionner la cellule A1 ; clic droit : dans le menu qui s affiche, sélectionner «coller» 2. Création des colonnes R en mètre et T en seconde : Dans la cellule F1, écrire le titre de la colonne : «R (m)» Dans la cellule F3, entrer la formule qui permet de convertir des kilomètres en mètres On veut calculer : R 10 3 Outil : - Toute formule dans LibreOffice Calc commence par «=» - Pour utiliser une valeur déjà présente dans une cellule, on utilise l adresse de sa cellule : la valeur est dans la cellule dont l adresse est D3 ; on peut aussi directement cliquer sur la cellule qui contient la valeur à utiliser - s écrit «*» dans un calcul - La valeur 103 s écrit «1e3» - On tape «Entrée» pour valider le calcul Copie de la formule : - Placer la souris sur le coin bas droit de la cellule ; le pointeur de la souris se transforme en croix noire. - Cliquer gauche et glisser le long de la colonne tout en maintenant le clic. On peut simplement double cliquer sur le coin bas droit ; la formule se copie automatiquement Rq : Au cours de la copie, la formule se transforme à chaque ligne ; ainsi la formule «=D3*1e3» à la ligne 3 devient «=D4*1e3» à la ligne 4, etc D3 est une référence de cellule relative. Si la position de la cellule qui contient la formule change, la référence est modifiée. Si vous copiez la formule dans des lignes ou dans des colonnes, la référence est automatiquement adaptée en conséquence. Références absolues ex : $D$3, fait toujours référence à une cellule se trouvant à un endroit spécifique. Lors de la copie de la formule dans des lignes ou dans des colonnes, la référence absolue n'est pas adaptée en conséquence.

4 De la même façon créer les colonnes : - Dans la colonne G : «T (s)» en calculant T(jours) (Quelle formule dans LIBRECALC?) - Dans la colonne H : «R cube» en calculant R(m)^3 (Quelle formule dans LIBRECALC?) - Dans la colonne I : «T carré» en calculant T(s)^2 (Quelle formule dans LIBRECALC?) Mise en forme des résultats en notation scientifique : - Sélectionner les colonnes F,G,H et I en utilisant la souris - Faire un clic droit sur la zone sélectionnée - Dans le menu qui s affiche, choisir «Formater les cellules» - Dans la fenêtre qui s affiche, dans l onglet «Nombre» choisir «Scientifique». 3. Création du graphique : Sélectionner les deux colonnes Remarques : - Si les colonnes ne sont pas adjacentes, sélectionner la première colonne, appuyer sur la touche «ctrl» et tout en la maintenant, sélectionner la seconde colonne - Les colonnes doivent obligatoirement contenir le même nombre de cellules - Je recommande de ne pas sélectionner le «titre» de la colonne Cliquer sir l icône assistant graphique (ou menu «Insertion», choisir «Diagramme») Dans la fenêtre qui s ouvre : Choisir «Dispersion XY» pour le type de graphique (ce qui correspond à un graphique où les points sont définis par des coordonnées cartésiennes) Choisir d afficher des points dans le sous-type de graphique (démarche habituelle, on ne relie évidemment pas les points les uns aux autres ) Cliquer sur «Terminer» ; le graphique s affiche. 4. Mise en forme du graphe : Pour modifier le graphique, il faut l activer : double-cliquer sur le graphique pour que 6 petits carrés noirs apparaissent sur la bordure du graphique ; le menu affiché en haut de la page permet d agir sur le graphe (sinon le menu est celui de la feuille de calcul (tableau)) Supprimer la légende : cliquer sur la légende et supprimer avec la touche «suppr» Insérer des titres : Le graphique étant

5 activé, dans le menu «Insertion» choisir l option «titres» Une fenêtre s ouvre ; remplir les rubriques correspondantes et cliquer sur OK. Pour choisir l orientation des titres : faire un clic droit sur la bordure du titre à formater (axe des ordonnées) Dans l onglet «alignement» choisir l orientation horizontale (0 Degrés) Pour choisir la police et le style de titre : dans l onglet «police» du menu qui s est précédemment ouvert, choisir les formats Pour afficher une partie du titre en exposant (ou indice) (m 3 ) Sélectionner la partie du titre à modifier, Faire un clic droit et dans le menu qui s affiche, choisir «Format du titre» Dans le la fenêtre précédemment utilisée choisir l attribut «exposant» Ajuster les positions des titres en glissant ces titres sur le graphe avec la souris (par la bordure du titre à déplacer) Choisir l échelle et le format des axes - Double-cliquer sur l axe - Dans le menu qui s affiche, choisir l onglet «Echelle» - Choisir les valeurs appropriées et désactiver les cases «Automatique» - Ce même menu permet aussi de : - Choisir le format de nombres affichés sur l axe (avec le nombre de décimal ) - Choisir la police de ces nombres - Choisir le motif de l axe : épaisseur de la ligne, couleur Choisir le quadrillage - Activer le graphique

6 - Dans le menu «Insertion», choisir «Grille» - Sélectionner ou désélectionner le quadrillage approprié - Pour changer le format du quadrillage (couleur, épaisseur ) double-cliquer sur le quadrillage et utiliser le menu qui s affiche 5. Modélisation de la courbe : - Activer le graphique - Cliquer sur un des points du graphe pour que tous s affichent en vert - Dans le menu «Insertion», choisir «Courbe de tendance - Dans la fenêtre qui s affiche, dans l onglet «Type» choisir le modèle qui convient et cocher la case «Afficher l équation» - Cliquer sur OK Lecture de l équation : Double cliquer sur l équation affichée. Dans le menu qui s affiche, sélectionner l onglet «Nombre» ; choisir la catégorie «Scientifique». Sélectionner le graphique (points verts sur la bordure du graphique) et le copier 2 fois sur une seule page de LibreOffice Writer Appeler le professeur pour vérification et imprimer.