Intégration et Probabilités. É. Pardoux

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1 Itégratio et Probabilités É. Pardoux 3 ovembre 2009

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3 Table des matières Mesure 5. Rappels sur les limites de réels Opératios sur les esembles Espace mesurable Mesure Mesure de Lebesgue Mesures sur (IR d, B d ) Applicatios mesurables Itégratio Propriété vérifiée presque partout Itégrale des foctios o égatives Itégrale des foctios de sige quelcoque Mesure produit et Théorème de Fubii Espaces L p Défiitio des espaces L p Propriétés des espaces L p (µ) Théorème de Rado Nikodym et dualité des espaces L p Complémets sur la théorie de l itégratio Théorème de représetatios de Riesz Itégrale de Stieltjes Lebesgue Théorème de différetiatio de Lebesgue Probabilité-Idépedace-Variable aléatoire Probabilité Probabilités coditioelles Evéemets idépedats

4 4 TABLE DES MATIÈRES 4.4 Variable aléatoire Exemples de lois de probabilité Lois dicrètes Lois à desité Variables aléatoires idépedates Momets des variables aléatoires Foctio caractéristique et loi de Gauss 8 5. Foctio caractéristique d ue loi de probabilité sur IR Foctio caractéristique d ue loi de probabilité sur IR d Vecteurs aléatoires gaussies Covergece des variables aléatoires et loi des grads ombres Théorème d extesio de Kolmogorov Covergece des variables aléatoires La loi faible des grads ombres Loi 0 de Kolmogorov Covergece des séries Loi forte des grads ombres La covergece e loi Défiitio et premières propriétés Relatio avec les autres types de covergece, et propriétés supplémetaires Covergece e loi et foctios caractéristiques Le Théorème Cetral Limite Uiforme itégrabilité Espérace et Probabilité Coditioelle Itroductio Espérace coditioelle par rapport à ue σ algèbre Défiitio de l espérace coditioelle Propriétés de l espérace coditioelle Espérace coditioelle par rapport à ue variable aléatoire Probabilité coditioelle

5 Chapitre Mesure U espace mesuré est u triplé (Ω, F, µ) costitué de : u espace (ou esemble) Ω ue σ algèbre (ou tribu) F de parties de Ω ue mesure µ sur l espace mesurable (Ω, F). Le but de ce chapitre est de défiir et d étudier cette otio.. Rappels sur les limites de réels Etat doé {x, IN} ue suite quelcoque de ombres réels, les quatités suivates sot toujours défiies das IR : lim sup lim if x = lim sup x = lim x = lim if [sup x p ] p x = lim [if p x p] Avec les otatios a b = sup(a, b) et a b = if(a, b) o peut ecore écrire : lim sup x = x p IN p lim if x = x p IN p 5

6 6 CHAPITRE. MESURE Propositio... Ue suite {x, IN} de ombres réels coverge das IR = IR {+ } { } si et seulemet si lim x = lim x. Das ce cas, lim x = lim x = lim x. Notos que l o a toujours lim x lim x. Preuve a) Supposos que x coverge das IR. er cas : x + i.e. M IR, M tel que d où x M, M. if x p M, M. p doc lim x M, M IR i.e. lim x lim x = +. 2ème cas : x raisoemet aalogue. 3ème cas : {x } est ue suite de Cauchy, i.e. ε > 0, ε IN t.q., p ε, x x p ε. Fixos tout d abord p ε. O a, ε : doc aussi d où doc x [x p ε, x p + ε]. sup x q [x p ε, x p + ε] q lim x [x p ε, x p + ε] x p [lim x ε, lim x ε], p ε, d où l o déduit comme ci dessus : lim x [lim x ε, lim x + ε]. soit lim x lim x p ε. Cette derière iégalité état vraie ε > 0, o a lim x = lim x. b) Supposos que lim x = lim x.

7 .. RAPPELS SUR LES LIMITES DE RÉELS 7 er cas : lim x = lim x = + Alors M, M tel que M i.e. if x p M p x M, M. Cela suffit à démotrer que x + 2ème cas : lim x = lim x = Raisoemet aalogue. 3ème cas : lim x = lim x = x IR Alors ε > 0, ε tel que ε, sup x p x ε et if x p x ε p p d où sup x p [x ε, x + ε], et if x p [x ε, x + ε], doc x p p p [x ε, x + ε] p, et e particulier p ε. Doc x x. Remarque..2.. Etat doé ue suite {x } de ombres réels, o a pas le droit d écrire lim x tat que l o e sait pas si cette limite existe, i.e. si lim sup x = lim if x. La limite existe toujours lorsque la suite {x } est soit croissate, soit décroissate. 2. O dit qu ue suite de réels {x } coverge (das IR) si o a à la fois : a- lim if x = lim sup x = lim x et b- lim x IR. O dit qu ue suite de réels {x } diverge (das IR) si elle e coverge pas, i.e. si : soit lim sup x lim if x soit lim sup x = lim if x = + ou

8 8 CHAPITRE. MESURE.2 Opératios sur les esembles O ote A, B, C,... les parties de Ω. O défiit A c = {ω Ω; ω / A} A B = {ω Ω; ω A ou ω B} A B = {ω Ω; ω A et ω B} A B = (A B c ) (A c B) = A B\A B. La otatio A\B est utilisée que lorsque A B, et elle désige alors A B c. Si A (i.e. A A + ), lim A = A Si A (i.e. A A + ), lim A = A. Etat doée {A, IN} ue suite de parties de Ω, o défiit : lim sup A = lim [ A p ] p = A p p { } = ω Ω; A (ω) = + lim if A = lim = { = [ p p A p ω Ω; A p ] } A c (ω) < + lim sup A est l esemble des ω qui appartieet à ue ifiité de A. lim if A est l esemble des ω qui appartieet à tous les A sauf au plus u ombre fii.

9 .3. ESPACE MESURABLE 9.3 Espace mesurable Défiitio.3.. Ue classe F 0 de parties de Ω est appelée ue algèbre si : A, B F 0 A c, A B F 0 [doc aussi A B F 0 ]. Défiitio.3.2. Ue algèbre F est appelée ue σ algèbre (ou tribu) si de plus : A F; =, 2,... A F. O vérifie aisémet qu ue itersectio quelcoque d algèbres [resp. de σ algèbres] est ue algèbre [resp. ue σ algèbre]. Propositio.3.3. Soit G ue algèbre. Les propriétés suivates sot équivaletes : (i) G est ue σ algèbre (ii) G est stable par itersectio déombrable (iii) G est stable par limite croissate (iv) G est stable par limite décroissate. Preuve Par passage au complémetaire, (i) (ii) et (iii) (iv). (i) (iii) est évidet [cf. défiitio de la limite croissate]. (iii) (i) résulte de A = lim ( A p ). p Propositio.3.4. Soit C ue classe de parties de Ω. Alors il existe ue plus petite algèbre coteat C, et ue plus petite σ algèbre coteat C, otée σ(c). Preuve Il existe au mois ue σ algèbre coteat C, à savoir P(Ω) [=classe de toutes les parties de Ω]. Or l itersectio de toutes les algèbres [resp. les σ algèbres] coteat C est ue algèbre [resp. ue σ algèbre].

10 0 CHAPITRE. MESURE Défiitio.3.5. Soit Ω u espace topologique (i.e. u espace mui d ue famille d ouverts, par exemple u espace métrique). O appelle σ algèbre (ou tribu) boréliee sur Ω la plus petite σ algèbre coteat tous les ouverts de Ω. Espace mesurable produit Etat doés (Ω, F ) et (Ω 2, F 2 ) deux espaces mesurables, o ote (Ω Ω 2, F F 2 ) l espace mesurable produit défii par : Ω Ω 2 = esemble des couples (ω, ω 2 ), où ω Ω et ω 2 Ω 2 F F 2 = σ(f F 2 ), où : F F 2 = {A A 2 ; A F et A 2 F 2 } Défiitio.3.6. Ue classe P de parties de Ω est appelée u π système si elle est stable par itersectio fiie. Défiitio.3.7. Ue classe des parties de Ω est appelée u λ système si elle vérifie : (λ ) Ω L (λ 2 ) A, B L et B A A\B L (λ 3 ) {A, IN} L et A A A L Exercice.3.8. (i) Ue σ algèbre est à la fois u π et u λ système. (ii) Ue classe qui est à la fois u π et u λ système est ue σ algèbre. Théorème.3.9. (π λ) Soit P u π système, et L u λ système, tels que P L. Alors σ(p) L. Preuve Soit λ(p) le plus petit λ système coteat P. Bie sûr, λ(p) L. Si λ(p) est aussi u π système, alors c est ue σ algèbre (cf..3.8 (ii)), et das ce cas σ(p) λ(p) L. Motros doc que λ(p) est u π système. A Ω, posos G A = {B; A B λ(p)}. A λ(p) G A est u λ système (exercice), A P P G A, et a fortiori G A est u λ système. Doc A P λ(p) G A, ce qui veut dire que si A P,B λ(p), alors A B λ(p). Doc si B λ(p), G B est u λ système qui cotiet P, doc λ(p), c est à dire : B, C λ(p) B C λ(p).

11 .4. MESURE Corollaire.3.0. (π λ) Soit P u π système. Alors λ(p) = σ(p). Preuve O a motré que σ(p) λ(p). Mais σ(p) est u λ système. Doc λ(p) σ(p) Autre éocé du corollaire λ π : Soit P ue classe stable par itersectio. La plus petite classe coteat P et Ω, stable par différece et limite croissate, est σ(p)..4 Mesure O suppose doé u espace mesuré (Ω, F). Défiitio.4.. Ue applicatio µ : F IR + est appelée ue mesure si : (i) µ( ) = 0 ; (ii)etat doé {A, IN} F, avec A k A l =, dès que k l, alors µ ( A ) = µ(a ). La propriété (ii) est appelée la σ additivité. O défiit de la même faço ue mesure sur ue algèbre F 0 de parties de Ω, e rajoutat das (ii) la coditio si A F 0. Ue mesure µ est dite fiie ou ifiie, suivat que µ(ω) < ou µ(ω) = +. Défiitio.4.2. Ue mesure µ, défiie sur u espace mesurable (Ω, F), sera dite σ fiie si {A, IN} F telle que : (i) A = Ω 0 (ii) µ(a ) <, IN. Soit C F. O dira que µ est σ fiie le log de C, si (i) et (ii) sot satisfaites avec ue suite {A, IN} C.

12 2 CHAPITRE. MESURE Exemple.4.3. Supposos que Ω est u esemble fii ou déombrable. O défiit la mesure de comptage ν sur P(Ω) : A Ω, ν(a) = Card(A). ν est fiie si Ω est fii, σ fiie si Ω est déombrable. Das toute la suite, ous ous limiteros à l étude des mesures σ fiies. Propositio.4.4. Soit µ ue mesure défiie sur u espace mesurable (Ω, F). (i) Si {A, IN} F, A A, alors µ(a ) µ(a) (ii) Si {A, N} F, A A, µ(a ) <, alors µ(a ) µ(a) ( ) (iii) Si {A, IN} F, µ A µ(a ) (iv) Si µ est σ fiie, alors F e peut pas coteir ue collectio o déombrable d esembles disjoits de mesure o ulle. Preuve (i) Posos B = A ; B = A \A, 2. Les B dot deux à deux disjoits, A = B k, A = B k. Doc (i) résulte de la σ additivité. (ii) O a A A A A. Il résulte de (i) : µ(a ) µ(a ) = µ(a A ) µ(a A) = µ(a ) µ(a) ( ) ( ) (iii), µ A k µ(a k ) [exercice] doc µ A k µ(a k ), et o applique (i) au membre de gauche. (iv) Soit {B θ, θ Θ} F ue collectio d esembles disjoits, avec µ(b θ ) > 0, θ Θ. Etat doé {A, IN} F, avec A = Ω, et µ(a ) <,. O pose Θ = {θ Θ; µ(a B θ ) > 0}. Θ = Θ p, avec Θ p = {θ Θ; µ(a B θ ) > }. Or p card(θp ) p= p µ(a ) <. Doc Θ est au plus déombrable, aisi que Θ = Θ.

13 .4. MESURE 3 Remarque.4.5. a) (ii) est pas vrai sas l hypothèse µ(a ) <. [ou du mois tel que µ(a ) < ]. Exemple : µ = λ =mesure de Lebesgue sur (IR 2, B 2 ).A = {x = (x, x 2 ); 0 x 2 }. λ(a ) = +,. Or λ(a) = 0. [cf.ci dessous]. b) La propositio.4.4 est ecore vraie si F est remplacée par ue algèbre F 0, à coditio de supposer A F 0 [(i), (ii)], A F 0 [(iii)], et µ est σ fiie le log de F 0, [(iv)]. Théorème.4.6. Soit µ 0 ue mesure défiie sur ue algèbre F 0 de parties de Ω. Il existe ue mesure µ sur F = σ(f 0 ), telle que µ F0 = µ 0. L extesio µ de µ 0 à F est uique si µ 0 est σ fiie le log de F 0. Preuve Existece : O défiit ue mesure extérieure sur P(Ω) par : A Ω, µ (A) = if µ 0 (A ), où l if est pris sur toutes les suites déom- brables {A } telles que A F 0 et A A. O démotre que la restrictio de µ à F 0 est µ 0, et que la restrictio de µ à F est ue mesure. Nous admettros ces poits. Uicité : Elle résulte du Théorème suivat : Théorème.4.7. Soit deux mesures µ et µ 2 défiies sur ue σ algèbre F = σ(p), où P est u π système. O suppose : (i) µ et µ 2 sot σ fiies le log de P (ii) µ (P ) = µ 2 (P ), P P. Alors µ = µ 2. Preuve a) Soit A P, t.q. µ (A) = µ 2 (A) <. Posos L = {B σ(p); µ (A B) = µ 2 (A B)}. L est u λ système (exercice), et L P. Doc -Théorème.3.9- L σ(p), d où L = σ(p). [puisque, par défiitio de L, L σ(p)]. Doc µ (A B) = µ 2 (A B), B F, et A P t.q. µ (A) = µ 2 (A) <.

14 4 CHAPITRE. MESURE b) Soit {A, } P t.q. A = Ω, et µ α (A ) <,, α =, 2. Soit B F. Or pour α =, 2, et, o a l égalité suivate (exercice) ( ) ( ) µ α (B A i ) = µ α (B A i ) i<j µ α (B A i A j ) + + ( ) µ α (B A A ) Comme P est u π système qui cotiet les A i, il cotiet les A i A j,.... Il résulte alors de la formule (*) et de la partie a) que ( ) ( ) µ (B A i ) = µ 2 (B A i ) E faisat tedre, o obtiet : µ (B) = µ 2 (B) O a le résultat d approximatio : Propositio.4.8. Soit (Ω, F, µ) u espace mesuré, et F 0 ue algèbre, t.q. σ(f 0 ) = F. A F tel que µ(a) < et ε > 0, A 0 F 0 t.q. µ(a A 0 ) ε. Preuve D après l idicatio doée pour la démostratio du théorème.4.6, µ(a) = if µ(a ) ; A F 0 et A A, Doc ue suite {Ā} F 0 telle que : ( ) d où µ Ā A ε 2, et µ(ā) ε 2 >N µ(ā) µ(a) + ε 2, A Ā. µ(ā) <. Alors N t.q. µ ( >N Ā )

15 .4. MESURE 5 Or ( ) ( ) ( ) Ā A Ā \A Ā N et A 0 = N Ā F 0 O e peut pas e gééral étedre µ à la σ algèbre de toutes les parties de Ω, comme le motre l exemple suivat : Exemple.4.9. (Esemble o mesurable) Cosidéros Ω = [0, [, mui de sa tribu boréliee B = B([0, [). O défiit sur (Ω, B) la mesure de Lebesgue λ (cf.ci dessous sectio 5) t.q. λ([a, b[) = b a, 0 a < b. >N Pour x, y [0, [, o défiit { x + y, si x + y [0, [ x y = x + y, si x + y si A [0, [, x [0, [ o pose A x = {a x, a A}. Motros que A B, (*) A x B et λ(a x) = λ(a). Pour cela, posos L = {A B qui vérifiet( )}. L est u λ système qui cotiet les itervalles, d où d après le Théorème π λ, L = B. O dira que x et y sot équivalets (x y) si r ratioel [0, [ t.q. x r = y. Grâce à l axiome du choix, ue partie H de [0, [ qui cotiet exactemet u représetat de chaque classe d équivalece. Cosidéros les esembles H r, r parcourat l esemble des ratioels de [0, [. Il s agit d ue collectio déombrable d esembles disjoits, dot la réuio est [0, [. Doc si H B, = λ(h r). r ]0,] r ratioel Mais λ(h r) = λ(h). Soit λ(h) = 0 et = 0, soit λ(h) > 0, et = +!. Doc H / B. Défiitio.4.0. O dira que la mesure µ est portée par A F si µ(a c ) = 0.

16 6 CHAPITRE. MESURE.5 Mesure de Lebesgue Nous allos maiteat défiir la mesure de Lebesgue λ sur (IR d, B d ). Cosidéros tout d abord le cas d =. Soit S la classe des itervalles de la forme [a, b[ ( < a b + ) { ou ], b[ < b + }. Soit F 0 la plus petite algèbre coteat S. Alors B = σ(f 0 ). F 0 est la classe des réuios fiies d itervalles disjoits de la forme ci dessus. Soit A F 0. A possède ue décompositio caoique A = I k où {I k, k } S et k / l, I k I l λ : S IR + par : / S. O défiit ue applicatio O éted λ à F 0 e posat : λ([a, b[) = b a [ et (λ(], b[) = + ] λ(a) = λ(i k ); A F 0 où {I k, k } est la décompositio caoique de A. Propositio.5.. λ est ue mesure sur F 0. Preuve Il est clair que λ( ) = 0. Soit {A, } F 0 t.q. A k A l = si p k l, et A = A F 0. Soit A = I k la décompositio caoique de A. Alors I k = (A I k ), et il suffit de motrer que λ(i k ) = λ(a I k ). Or chaque A I k est ue réuio fiie d élémets de S, et il suffit e fait de motrer que λ est σ additive sur S, i.e. si {I p, p } S, I p I q = si p q et I = I p S, alors λ(i) = λ(i p ). Cette propriété résulte des deux lemmes qui suivet.

17 .5. MESURE DE LEBESGUE 7 Lemme.5.2. Si {[a k, b k [, k IN} est ue suite d itervalles disjoits t.q. [a k, b k [ [a, b[, alors k (b k a k ) b a k Preuve Plaços ous tout d abord das le cas d ue suite fiie de itervalles. Le résultat est vrai pour =. Supposos le vrai pour ue suite de logueur, et supposos que la umérotatio des (a k, b k ) est telle que a > a k, k Alors : Par l hypothèse de récurrece, Doc [a k, b k [ [a, a [ (b k a k ) a a (b k a k ) b a b a Das le cas d ue suite ifiie, o a, par la première partie de la preuve, (b k a k ) b a,, ce qui suffit à établir le résultat. Lemme.5.3. Si [a, b[ k [a k, b k [, alors b a k (b k a k ) Preuve Plaços ous tout d abord das le cas d ue suite fiie de itervalles. Le résultat est vrai pour =. Supposos le vrai pour ue suite de logueur. Etat doé [a, b[ [a k, b k [, o suppose, pour fixer les idées, que la umérotatio des (a k, b k ) est telle que a < b b. Si a a, le résultat est immédiat. Das le cas cotraire, k= [a a [ [a k, b k [

18 8 CHAPITRE. MESURE d où par l hypothèse de récurrece, b a b a (b k a k ) Le résultat est démotré das le cas d ue suite fiie. Das le cas d ue suite déombrable avec [a, b[ [a k, b k [, soit ε ]0, b a[. Les itervalles ]a k ε2 k, b k [ formet u recouvremet ouvert du compact [ā, b ε], où { a si a IR ā = M si a = { b si b IR b = M si b = + et M est choisi tel que b ā + ε. Doc tel que : [ā, b ε] ]a k ε2 k, b k [ et a fortiori : [ā, b ε[ [a k ε2 k, b k [ D après le résultat das le cas d ue suite fiie, b ε ā (b k a k ) + ε, ε > 0, M D où b a (b k a k ) Il résulte de la propositio.5., grâce à.4.6, que λ s éted e ue uique mesure sur B = σ(s). Pour traiter le cas d >, o peut soit refaire le raisoemet ci dessus e remplaçat les itervalles par des pavés, soit utiliser la théorie des mesures produit - cf. Chapitre II ci dessous. Nous

19 .6. MESURES SUR (IR D, B D ) 9 admettros doc provisoiremet l existece de la mesure de Lebesgue λ sur (IR d, B d ), caractérisée par le fait que si A = {x; x i [a i, b i [, i = d} avec a i, b i IR, a i b i, i d λ(a) = (b i a i ) (avec la covetio 0. = 0) Théorème.5.4. Si A B d, alors A + x = {x + a; a A} B d, et i= λ(a) = λ(a + x), x IR d Preuve Soit G = {A IR d ; A + x B d, x IR d }. G est ue σ algèbre qui cotiet les pavés, doc G B d, mais G B d, d où l égalité. Soit x IR d fixé. Posos µ(a) = λ(a + x), A B d. µ et λ coïcidet sur le π système des pavés, doc µ = λ. Il résulte de ce théorème et de.4.4 (iv) que la mesure de Lebesgue de tout sous espace vectoriel de IR d de dimesio d est 0. Soit e effet V u tel sous espace x IR d V, t.q. V + αx IR d, et les V + αx sot disjoits et tous de même mesure de Lebesgue. Il résulte de.4.4 (iv) que cette mesure commue est 0..6 Mesures sur (IR d, B d ) O a le : Théorème.6.. Soit µ ue mesure sur (IR d, B d ) t.q. µ(a) <, A B d, A boré. α IR (i) A B d et ε > 0, u fermé F et u ouvert O tels que (ii) Si A B d, et µ(a) <, alors : F A O et µ(o F ) < ε. µ(a) = sup K A K compact µ(k).

20 20 CHAPITRE. MESURE Remarque.6.2. O e pourrait e gééral pas trouver O et F tels que O A F, et µ(f O) < ε. Exemple : µ = δ x, défiie par Preuve δ x (B) = { si x B ; 0 si x / B ; A = {x}. a) Motros que (i) (ii). Si µ(a) <, A 0 B d, A 0 boré, tel que A 0 A et µ(a A 0 ) < ε/2. Or (i) K A 0, K fermé (doc compact puisque boré) t.q. µ(a 0 K) < ε/2 ; doc µ(a K) < ε. b) Motros (i). Il suffit de motrer que O ouvert A t.q. µ(o A) < ε. La 2ème partie du résultat s e déduit par passage au complémetaire. Supposos tout d abord que A est u pavé boré de la forme : A = {x; a i x i < b i :, i =,... d}. Soit O = {x; a i < x i < b i }. µ(o ) <, O A, doc (cf..4.4 (ii)) t.q. µ(o A) < ε. Les réuios fiies de pavés (évetuellemet o borés ; a i, b i ) formet ue algèbre F 0 et σ(f 0 ) = B d. Or tout pavé est ue réuio déombrable de pavés borés.il résulte doc de la preuve du théorème d extesio.4.6 que A B d, ue suite {A, IN } de pavés borés t.q. A µ ( A A A ) < ε/2. et, u ouvert O A t.q. µ(o A ) < ε/2. Or Doc µ ( O A (O A ) ( ) A A O A ) < ε, et O est u ouvert A.

21 .7. APPLICATIONS MESURABLES 2.7 Applicatios mesurables Soit (Ω, F) et (E, E) deux espaces mesurables, f ue applicatio de Ω das E. Défiitio.7.. L applicatio f : Ω E est dite F/E mesurable (ou tout simplemet mesurable) si A E, f (A) F. Exercice.7.2. Soit ϕ : Ω E. Si C est ue classe de parties de E, o ote ϕ (C) = {ϕ (C); C C}. Si A est ue classe des parties de Ω, o ote ϕ(a) = {B E; ϕ (B) A} Motrer : (i) C est ue σ algèbre ϕ (C) est ue σ algèbre. (ii) A est ue σ algèbre ϕ(a) est ue σ algèbre. (iii) σ(ϕ (C)) = ϕ (σ(c)). (iv) ϕ : Ω IR est mesurable ssi {ϕ < x} F, x IR. Même éocé avec {ϕ < x} F remplacé par {ϕ x} F (G, G) désigera u troisième espace mesurable. Théorème.7.3. (i) Soit C ue classe de parties de E, t.q. σ(c) = E, et f : Ω E. Si f (C) F, C C, alors f est F/E mesurable. (ii) Si f : Ω E est F/E mesurable, et g : E G est E/G mesurable, alors g f : Ω G est F/G mesurable. Preuve (i) D après l exercice ci dessus {A E; f (A) F} est ue σ algèbre de parties de E, qui cotiet C, doc σ(c) = E. (ii) est évidet. Cosidéros maiteat le cas (E, E) = (IR d, B d ). Propositio.7.4. f : Ω IR d est F/B d mesurable si et seulemet si i {,..., d}, f i : Ω IR est F/B mesurable f (ω) (où f(ω) =. ) f d (ω)

22 22 CHAPITRE. MESURE Preuve O remarque que : {ω; f (ω) < x,..., f d (ω) < x d } = d {ω; f i (ω) < x}. O applique.7.3 (i). i= Propositio.7.5. Si f : IR k IR d est cotiue, alors elle est B k /B d mesurable. Preuve Appliquer.7.3 (i) avec C=classe des ouverts de IR d. O va maiteat cosidérer des applicatios mesurables f : (Ω, F) ( IR, B), où IR = IR {+ } { }, B = σ(b, {+ }, { }). Das la suite, pour sigifier que f : Ω IR est F/ B mesurable, o dira que f est F mesurable. Remarquos que si f et g sot des applicatios F mesurables de Ω das IR, f + g, f g (si elles sot défiies!), sup(f, g) et if(f, g) sot mesurables (appliquer.7.5 et.7.3 (ii)). Théorème.7.6. Soit {f, IN} des applicatios F mesurables, de Ω à valeurs das IR. (i) sup f, if f, lim sup f, lim if f sot F mesurables. (ii) Si f(ω) = lim f (ω), ω, alors f est F mesurable. (iii) {ω; f (ω) coverge} F. (iv) si f : Ω IR est F mesurable, alors {ω; f (ω) f(ω)} F. Preuve (i) x IR, {sup f x} = {f x} if lim sup lim if f = sup( f ) f = if sup k f k f = lim sup( f ) (ii) L hypothèse faite etraîe que f(ω) = lim sup f (ω); ω.

23 .7. APPLICATIONS MESURABLES 23 (iii){f coverge } = {lim sup f lim if f = 0} (iv) {f f} = {lim sup f lim if f = 0} {f lim sup f = 0}. O appelle foctio (F mesurable) étagée ue foctio de la forme :. f = α k Ak, IN, α k IR, A k F i= Propositio.7.7. La classe des applicatios F mesurables de Ω das IR est la plus petite classe de foctios de Ω das IR qui cotiet les foctios F mesurables étagées, et est fermée pour la covergece poctuelle. Preuve Le fait qu ue foctio F mesurable étagée est F mesurable est évidet (exercice!). De plus, la classe des foctios F mesurables est fermée pour la covergece poctuelle. cf..7.6 (ii). Il reste à motrer que si f est F mesurable, alors f étagées t.q. f (ω) f(ω), ω. O pose : ([ k A k = f, k + [), IN, k Z 2 k f (ω) = A (ω) k f ([, [)(ω) k= 2 + f ([+,+ ])(ω) Théorème.7.8. (des classes mootoes) Soit H u π système de parties de Ω. σ(h) = F et L ue classe d applicatios F mesurables à valeurs das IR, qui vérifie : (i) L ; A L, A H. (ii) f, g L et α, β IR αf + βg L (iii) f L et f f f L.

24 24 CHAPITRE. MESURE [resp.(iii) à coditio que f(ω) IR, ω Ω] [resp.(iii) à coditio que c IR + t.q. f(ω) c, ω Ω] Alors : (c) L cotiet toutes les applicatios F mesurables à valeurs IR. [resp.(c) L cotiet toutes les applicatios F mesurables à valeurs IR]. [resp.(c) L cotiet toutes les applicatios F mesurables et borées à valeurs IR]. Preuve a) J = {A; A L}. J est u λ système qui cotiet H, doc d après le théorème π λ, F J b) Soit f ue applicatio F mesurable à valeurs IR +. f état défiie comme à la Propositio.7.7, f 2 f, et f 2 L. Doc f L. c) Si f est ue applicatio F mesurable à valeurs das IR, alors f = f + f, et ous veos de voir que f + et f L. Doc f L, d après (ii). Les deux autres cas se traitet de faço similaire. La démostratio ci dessus cotiet celle du : Corollaire.7.9. Mêmes hypothèses qu au théorème.7.8, e remplaçat (i) et (ii) par : (ī) A L, A F (īi) f, g L et α, β 0 αf + βg L O a alors les mêmes coclusios, e remplaçat IR par IR + et IR par IR +. Défiitio.7.0. Soit (Ω, F, µ) u espace mesuré, f : Ω E ue applicatio F/E mesurable. O défiit alors la mesure sur (E, E), image de µ par f : µf par µf (A) = µ [ f (A) ], A E.

25 Chapitre 2 Itégratio Das ce chapitre, o suppose doé u espace mesuré (Ω, F, µ). 2. Propriété vérifiée presque partout O dira qu ue propriété P (ω) est vérifiée presque partout si N F avec µ(n) = 0, t.q. ω / N, P (ω) est vérifiée. Par exemple, si {f, IN}, f et g sot des applicatios de Ω à valeurs das IR ou IR d, o pose ; Défiitio 2... f et g sot dites égales presque partout (e abrégé p.p.) si N F, avec µ(n) = 0, t.q. ω / N, f(ω) = g(ω). O écrira f(ω) = g(ω) p.p. ou plus simplemet f = g p.p. f = g p.p est ue relatio d équivalece. (cf. chapitre III). Défiitio O dit que f coverge vers f p.p. si N F avec µ(n) = 0 t.q. ω / N, f (ω) f(ω) O écrira f (ω) f(ω) p.p. ou plus simplemet f f p.p. 25

26 26 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Théorème Soit G F ue tribu, et {f, IN} ue suite d applicatios G mesurables, et f ue applicatio de Ω das IR t.q. f f p.p. Alors il existe ue applicatio G mesurable f t.q. f = f p.p. Preuve Γ = {ω; f (ω) coverge } G, d après le Théorème.7.6 (iii). { Posos f(ω) lim f (ω) si ω Γ = 0 si ω / Γ Alors ( f) = f p.p., et f est G mesurable, puisque x > 0, { f < x} = Γ c (Γ {limf < x}) G x 0, { f < x} = Γ {limf < x} G Remarque Presque partout veut dire e dehors d u esemble N F, t.q. µ(n) = 0. Etat doé N u tel esemble mesurable de mesure ulle, et N N, N / F, peut o dire que N est de mesure ulle? Autremet dit, avec la otatio F G = σ(f G), et état doée F = F σ(n Ω; A F, N A et µ(a) = 0) peut o étedre µ à F? La répose est oui : il existe ue uique extesio de µ à F, que l o ote ecore µ. L espace mesurable (Ω, F, µ) est dit complet. Noter que la tribu complétée F déped de µ. 2.2 Itégrale des foctios o égatives Das cette sectio, f, g désiget des applicatios F mesurables à valeurs das IR +.

27 2.2. INTÉGRALE DES FONCTIONS NON NÉGATIVES 27 O va defiir : fdµ = f(ω)dµ(ω) = f(ω)µ(dω) Ω Ω O appelle partitio fiie de Ω ue collectio fiie {A i ; i } F telle que : o défiit : où : A i = Ω A i A j =, dès que i j. [ ( ) ] fdµ = sup if f(ω) µ(a i ) ω A i (i) La somme est évaluée avec la covetio : 0 = 0 = 0 i= (ii) Le sup est pris sur toutes les partitios fiies {A i, i } de Ω. Théorème (i) Etat doée {A i ; i } ue partitio fiie de Ω, {x i, i } IR +, si f = x i Ai, Alors (ii) Si 0 f(ω) g(ω), ω, alors fdµ = x i µ(a i ) i= fdµ (iii) Si 0 f (ω) f(ω), ω, alors f dµ fdµ. gdµ. (iv) Si α, β 0, f et g sot o égatives, (αf + βg)dµ = α fdµ + β gdµ. Preuve

28 28 CHAPITRE 2. INTÉGRATION (i) Soit {B j ; j m} ue partitio fiie de Ω, y j = if f(ω). Si ω B j A i B j, alors y j x i. Doc j y j µ(b j ) = j,i y j µ(a i B j ) j,i x i µ(a i B j ) = i x i µ(a i ) Doc le sup est atteit avec la partitio {A i ; i } (ii) Trivial d après la défiitio. (iii) D après (ii), f dµ, f dµ fdµ. Il suffit doc de motrer que fdµ lim f dµ, ou ecore, {A i, i k} partitio de Ω, k ( ) v i µ(a i ) lim f dµ, où v i = if f(ω). ω A i Pour établir ( ), il suffit de cosidérer les partitios telles que et de motrer que : k v i µ(a i ) > 0, x < k v i µ(a i ) x < lim f dµ. Soit doc x < k v iµ(a i ). Alors il existe {u i ; i k} tels que soit 0 = u i = v i, soit 0 < u i < v i ; et x < k u i µ(a i ) Si ω A i, soit f (ω) f(ω) v i = u i = 0 soit f (ω) f(ω) v i > u i > 0

29 2.2. INTÉGRALE DES FONCTIONS NON NÉGATIVES 29 Doc si A i = {ω A i ; f (ω) u i }, A i A i, d où µ(a i ) µ(a i ). lim f dµ f dµ k ( ) if f (ω) µ(a i ) + 0 ω A i k u i µ(a i ), doc : k u i µ(a i ) > x. (iv) Il suffit de motrer l égalité avec f et g étagées. O passe esuite à la limite avec les suites costruites das la preuve du Théorème.7.8, e utilisat (iii). Soit f = x i Ai, g = y j Bj. Sas restreidre la gééralité, o peut supposer que {A i ; i } et {B j ; j m} formet des partitios de Ω. αf + βg = i,j (αx i + βy j ) Ai B j {A i B j ; i, j m} est ecore ue partitio de Ω, et m µ(a i B j ) = µ(a i ), j= µ(a i B j ) = µ(b j ), d où : i= (αf + βg)dµ = i,j (αx i + βy j )µ(a i B j ) = α x i µ(a i ) + β i j = α fdµ + β gdµ. β j µ(b j ) Théorème (i) Si f = 0 µ p.p., alors fdµ = 0.

30 30 CHAPITRE 2. INTÉGRATION (ii) Si µ({ω; f(ω) > 0}) > 0, alors fdµ > 0. (iii) Si fdµ <, alors f < µ p.p. (iv) Si f = g µ p.p., alors fdµ = gdµ (v) Si f g µ p.p., alors fdµ gdµ. Preuve (i) résulte de ce que A i F, soit A i {f = 0}, et alors if f(ω) = 0 ω A i soit A i {f = 0} =, et alors µ(a i ) = 0. (ii) Posos A = {f > }, A {f > 0}. Puisque µ({f > 0}) > 0, t.q. µ(a c ) > 0, (iii) + > (iv) Soit fdµ µ(a ) + 0µ(A c ) > 0. fdµ +. µ({f = + }) µ(f = + ) = 0. h(ω) = { 0, si f(ω) = g(ω) ; +, sio. ω Ω, f(ω) g(ω) + h(ω). D après (ii) et (iv), (i) ci dessus, fdµ (g + h)dµ = gdµ + hdµ = gdµ. O motre de même gdµ fdµ. (v) O pose h(ω) = { 0 si f(ω) = g(ω) + sio ω Ω, f(ω) g(ω) + h(ω). O a esuite les mêmes iégalités qu e (iv).

31 2.3. INTÉGRALE DES FONCTIONS DE SIGNE QUELCONQUE Itégrale des foctios de sige quelcoque. Etat doée f ue applicatio mesurable à valeurs das IR, o utilise la décompositio : f = f + f. O défiit f + dµ et f dµ. Trois cas se présetet : a) f + dµ = f dµ = +, et alors l itégrale de f e peut pas être défiie. b) L ue au mois des deux quatités f + dµ et alors dite quasi itégrable, et o pose fdµ = f + dµ f dµ f dµ est fiie. f est ( IR) c) Les deux quatités f + dµ et f dµ sot fiies. f est alors dite itégrable, et o défiit f dµ comme das le cas quasi itégrable. Alors fdµ IR. Remarquos que f = f + + f, doc d après le Théorème 2.2. (iv), f est itégrable si et seulemet si f dµ <. Défiitio Ue applicatio mesurable f à valeurs das IR est dite µ itégrable si : f dµ <. O peut remarquer que si f est quasi itégrable, et si alors f est itégrable. Mais o a pas le droit d écrire fdµ <, fdµ avat d avoir vérifié que f est itégrable (ou au mois quasi itégrable). Théorème (i) Mootoie Si f et g sot quasi itégrables, et f g p.p., alors fdµ gdµ.

32 32 CHAPITRE 2. INTÉGRATION (ii) Liéarité Si f et g sot itégrables, α, β IR, alors αf + βg est itégrable, et (αf + βg)dµ = α fdµ + β gdµ. Preuve (i) résulte du Théorème (v), car f g p.p. f + g + p.p. et f g p.p. (ii) Il résulte du Théorème 2.2. αf + βg dµ ( α f + β g ) dµ = α f dµ + β g dµ <. Doc αf + βg est itégrable. De plus, α fdµ = αfdµ. Il reste à établir l égalité avec α = β =. (f + g) + (f + g) = f + g = f + f + g + g (f + g) + + f + g = f + + g + + (f + g) (f + g) + dµ + f dµ + g dµ = f + dµ + g + dµ + (f + g) dµ, d après le Théorème 2.2. (iv). Le résultat s obtiet e regroupat coveablemet les termes. Corollaire Si f est quasi itégrable, g itégrable, α, β IR, alors αf + βg est quasi itégrable, et (αf + βg)dµ = α fdµ + β gdµ. Preuve Si f dµ <, alors f est itégrable, et le résultat découle du Théorème Supposos doc que fdµ = +. Pour fixer les

33 2.3. INTÉGRALE DES FONCTIONS DE SIGNE QUELCONQUE. 33 idées, supposos que fdµ = + et α > 0. (les autres cas se traitet de faço aalogue). Le secod membre de l égalité à établir vaut +. Or αf + βg est pas itégrable, sio f = α (αf + βg) β g le serait, et α (αf + βg) αf + β g, qui est itégrable. Doc (αf + βg)dµ = +. Corollaire f et g désiget des applicatios mesurables à valeurs das IR. (i) Si f est itégrable, fdµ f dµ. E particulier si f et g sot itégrables, fdµ gdµ f g dµ. (ii) Si f = 0 p.p., alors f est itégrable et fdµ = 0 (iii) Si f est itégrable et g = f p.p., alors g est itégrable et fdµ = gdµ. Preuve (i) résulte du Théorème (i), car f f f. (ii) Il résulte de l hypothèse que f + = 0 et f = 0 p. p. La suite du raisoemet est facile. (iii) d après (ii) g f est itégrable et (g f)dµ = 0. Il reste à appliquer le Théorème (ii). Théorème (de covergece mootoe) Soit f, f des applicatios mesurables à valeurs das IR. (i) si f dµ <, et f f p.p., alors f dµ fdµ. (ii) si f + dµ <, et f f p.p., alors f dµ fdµ.

34 34 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Preuve (ii) résulte de (i) par multiplicatio par. Motros (i). O pose g = f + f, g 0 p.p., g g p.p., avec g = f + f. O pose alors g (ω) = sup k g k (ω), g(ω) = lim g (ω). Il résulte des Théorèmes 2.2. (iii) et (iv) : g dµ gdµ. Mais il est pas difficile de motrer que g = g p. p., g = g p. p. Il résulte alors du Corollaire que gdµ. Le résultat découle alors du Corollaire g dµ Remarque (i) s applique e particulier lorsque f 0, f f. (ii) s applique e particulier lorsque f 0, f f. Théorème ( Lemme de Fatou ) Soit {f, IN} ue suite d applicatios mesurables à valeurs das IR. (i) Si f itégrable t.q. f f p.p.,, alors : (lim if f )dµ lim if (ii) Si f itégrable t.q. f f p.p.,, alors (lim sup f )dµ lim sup f dµ. f dµ. Tous les itégrads qui apparaisset das les itégrales ci dessus sot quasi itégrables. Preuve (ii) résulte de (i) par multiplicatio par. Motros (i). Posos g (ω) = if f m(ω). f g f p.p., g m lim if f. Doc g f, g est itégrable, et d après le Théorème (i), (lim g )dµ = lim g dµ (lim if f )dµ = lim g dµ lim if f dµ. La derière iégalité s obtiet e preat la lim if das l iégalité g dµ f dµ.

35 2.3. INTÉGRALE DES FONCTIONS DE SIGNE QUELCONQUE. 35 Remarque (i) est vrai e particulier dès que f 0 p.p.,, et (ii) est vrai e particulier dès que f 0 p.p.,. Théorème (de covergece domiée de Lebesgue) Soit {f, IN} et f des applicatios mesurables de Ω à valeurs das IR, t.q. (i) f f p.p. (ii) g itégrable t.q. f (ω) g(ω) p.p., IN. Alors f et f sot itégrables, et f dµ fdµ Preuve Posos N = { f > g}, N = {f f}. Alors M = N ( N ) vérifie µ(m) = 0, et ω / M, f(ω) g(ω). D après le Théorème (v), f et f sot itégrables. Posos g = f f ; g 2g p.p. Grâce au théorème (ii) Doc 0 lim if g dµ 0. Or g dµ lim sup g dµ fdµ f dµ (lim sup g )dµ = 0. g dµ.! Attetio! g doit être idépedate de! O déduit des théorèmes de covergece ci dessus les propositios : Propositio Soit {f, IN} des applicatios mesurables à valeurs das IR. ( ) (i) si f 0 p.p., alors f dµ = f dµ (ii) Si f coverge p.p., et f k g p.p.,, où g est itégrable, alors f est itégrable, et f dµ = f dµ

36 36 CHAPITRE 2. INTÉGRATION (iii) Si f dµ <, alors f coverge p.p., la somme de la série est itégrable et f dµ = f dµ Preuve N N (i) ( f )dµ = f dµ, et grâce au Théorème de covergece mootoe, o peut faire tedre N. (ii) résulte immédiatemet du Théorème de covergece domiée. (iii) l hypothèse etraîe que f < p.p., doc f coverge p.p., et f k f qui est itégrable. O applique alors (ii) Propositio Soit f : Ω ]a, b[ IR t.q. t ]a, b[, ω f(ω, t) soit mesurable. (i) Supposos que ω p.p., t f(ω, t) est cotiue au oit t 0 ]a, b[ et que g itégrable t.q. f(ω, t) g(ω) p.p., t ]a, b[, alors t f(t, ω)dµ(ω) est cotiue au poit t 0. (ii) Supposos que p.p., t f(ω, t) est dérivable e tout t ]a, b[, que g itégrable t.q. f (ω, t) g(ω)p.p. O suppose e outre que f(t) est itégrable, t ]a, b[. Alors t f(ω, t)dµ(ω) est dérivable e tout t ]a, b[, et d f(ω, t)dµ(ω) = f (ω, t)dµ(ω). dt Preuve (i) résulte directemet du Théorème de covergece domiée. (ii) [ h ] f(ω, t + h)dµ(ω) f(ω, t)dµ(ω) f(ω, t + h) f(ω, t) = dµ(ω) h

37 2.3. INTÉGRALE DES FONCTIONS DE SIGNE QUELCONQUE. 37 f(ω, t + h) f(ω, t) Or f (ω, t) p.p., quad h 0, h et f(ω, t + h) f(ω, t) h = f (ω, t + θh) g(ω) p.p par le théorème des accroissemets fiis. Etat doés f mesurable et itégrable et A F o défiit : fdµ := A fdµ. A Remarque (lie avec l itégrale de Riema) Soit a, b IR, a < b, et f C(IR). Alors f est mesurable et [a,b[ f sup f(x) [a,b[, qui est itégrable, doc la costructio ci dessus permet x [a,b] de défiir f(x)dx, itégrale de [a,b[ f par rapport à la mesure de Lebesgue [a,b[ λ sur (IR, B). Par ailleurs, o sait das ce cas défiir l itégrale de Riema b f(x)dx = lim f(x i )(x i+ x i ),où a = x 0 < x < < x = b a i=0 vérifie sup(x i+ x i ) 0 quad. i O vérifie aisémet que les deux itégrales coïcidet. Remarquos que les foctios [a,b[ f, ]a,b] f, ]a,b[ f et [a,b] f sot λ p.p. égales. Doc o peut adopter, pour la valeur commue de leurs itégrales, la otatio uique b a f(x)dx. Il e serait pas de même si l o itégrait par rapport à ue mesure µ sur (IR, B) qui e vérifie pas µ({x}) = 0, x IR. Alors la otatio b aurait aucu ses, et serait à proscrire : il faudrait absolumet préciser a s il s agit de,,... ]a,b] [a,b[ Si f 0, ν(a) = (exercice). A fdµ, A F, défiit ue mesure ν sur (Ω, F)

38 38 CHAPITRE 2. INTÉGRATION O dit alors que ν admet la desité f par rapport à µ, et o a la propriété ( ) A F, µ(a) = 0 ν(a) = 0. Si deux mesures ν et µ vérifiet la propriété ( ), o dit que ν est absolumet cotiue par rapport à µ -oté ν µ. Propositio Soit f 0, ν la mesure sur (Ω, F) défiie par ν(a) = fdµ. Si g est ue applicatio mesurable de Ω das IR, t.q. f g est µ quasi A itégrable, alors g est ν quasi itégrable, et : g dν = g f dµ. Preuve Il suffit de démotrer l égalité ci dessus lorsque g 0. Soit L la classe des applicatios mesurables à valeurs das IR + qui vérifiet l égalité de l éocé. L cotiet A, A F par défiitio de ν. Le résultat découle aisémet du Théorème des classes mootoes (Corollaire.7.9) Soit (Ω, F ) u deuxième espace mesurable, T : Ω Ω ue applicatio F/F mesurable. Théorème Soit f ue applicatio mesurable de Ω das IR. f est µt quasi itégrable si et seulemet si f T est µ quasi itégrable, et alors : f T (ω)µ(dω) = f(ω )µt (d ω ). Ω Preuve Idetique à celle de Ω Corollaire Soit T ue bijectio d u ouvert V IR d sur u ouvert T V de IR d. O suppose que T est cotiue et( admet ) des dérivées partielles T du er ordre cotiues et o ote J(x) = det i x j (x). Alors f T V est λ quasi itégrable si et seulemet si f T V J est λ quasi itégrable. Preuve O va se limiter au cas d =, V =]a, b[. L égalité sur l éocé peut alors se réécrire : b T b ( T a ) f(t (x)) T (x) dx = f(y)dy si T a T b, sio a T a T b qu il suffit d établir pour f 0. O défiit sur B(]a, b[) la mesure : ν(a) = T (x) dx. A

39 2.4. MESURE PRODUIT ET THÉORÈME DE FUBINI 39 Si B est u sous itervalle de ]a, b[, o a νt (B) = T (x) dx T B (traiter séparémet les cas T 0 et T 0 ; T a u sige costat, puisque T est ijective). Doc νt = λ, mesure de Lebesgue. Il résulte alors du Théorème : f T (x)ν(dx) = f(y)dy. T B B B dy Il suffit de choisir B =]T a, T b[. 2.4 Mesure produit et Théorème de Fubii Das cette sectio, o se doe deux espaces mesurés (X, X, µ) et (Y, Y, ν), où µ et ν sot des mesures σ fiies (cette hypothèse est cruciale!). O otera x le poit géérique de X, y le poit géérique de Y. O défiit l espace mesurable produit de (X Y, X Y) comme au Chapitre, sectio 3. Propositio (i) Si E X Y, x X, {y; (x, y) E} Y et y Y, {x; (x, y) E} X. (ii) Si f : X Y IR est X Y mesurable, alors x X, y f(x, y) est Y mesurable et y Y,x f(x, y) est X mesurable. Preuve (i) x X, o défiit T x : X X Y par T x (y) = (x, y) A X, B Y, T x (A B) = { B si x A si x / A Doc Tx (A B) Y. Il résulte du Théorème.7.3 (i) que T x est X /X Y mesurable. Ceci démotre la première partie de (i). La deuxième partie se démotre de faço aalogue. (ii) O remarque que l applicatio y f(x, y) coïcide avec f T x, et o applique le Théorème.7.3 (ii).

40 40 CHAPITRE 2. INTÉGRATION Propositio Soit E X Y. (i) x ν({y; (x, y) E}) est X mesurable. (ii) y µ({x; (x, y) E}) est Y mesurable. Preuve Les deux propriétés se démotret de la même faço, motros (i). Soit C la classe des E X Y qui sot tels que x ν({y; (x, y) E}) est X mesurable. C est u λ système qui cotiet le π système des rectagles A B, A X, B Y, puisque ν({y; (x, y) A B}) = A (x)ν(b) est X mesurable, à valeurs das IR +. Doc, d après le Théorème π λ,.3.9, E σ(x Y) = X Y. Théorème Il existe ue uique mesure σ fiie π = µ ν sur (X Y, X Y) t. q. : π(a B) = µ(a)ν(b) De plus, E X Y, π(e) = ν({y; (x, y) E})µ(dx) = Preuve Les deux formules : π (E) = π (E) = X X Y ν({y; (x, y) E})µ(dx) µ({x; (x, y) E})ν(dy) Y µ({x; (x, y) E}ν(dy) défiisset deux mesures sur (X Y, X Y) qui coïcidet sur X Y = {A B; A X, B Y}. E effet π (A B) = π (A B) = µ(a)ν(b). Or X Y est u π système, et σ(x Y) = X Y. Et il résulte aisémet de ce que µ et ν sot σ fiies, que π et π sot σ fiies le log de X Y. Doc π et π coïcidet. L uicité se démotre de la même faço. Théorème (Fubii) Soit f : X Y IR ue applicatio X Y mesurable.

41 2.4. MESURE PRODUIT ET THÉORÈME DE FUBINI 4 a) Si f 0 π p.p., alors : (i) f(x, y)ν(dy) est X mesurable, (ii) Y X Y f(x, y)π(dx, dy) = = X Y X ( ( f(x, y)µ(dx) est Y mesurable. Y X ) f(x, y)ν(dy) µ(dx) ) f(x, y)µ(dx) ν(dy). b) Si f est π itégrable, alors : (i) Pour µ presque tout x, y f(x, y) est ν itégrable Pour ν presque tout y, x f(x, y) est µ itégrable (ii) f(x, y)ν(dy) est p.p. égale à ue foctio X mesurable et µ itégrable. f(x, y)µ(dx) est p.p. égale à ue foctio Y Y mesurable X et ν itégrable. (iii) Les égalités (ii) sot satisfaites. Remarque (i)le théorème de Fubii permet d itervertir les ordres d itégratio par rapport à µ et ν, lorsque f est 0, ou π = µ ν itégrable. E fait, le résultat est ecore vrai si f est π quasi itégrable. Mais lorsque ( cette hypothèse ) est pas satisfaite,il ( se peut ) que les quatités f(x, y)ν(dy) µ(dx) et f(x, y)µ(dx) ν(dy) soiet X Y toutes deux défiies, mais soiet différetes. Voici u exemple d ue telle situatio : X = Y = [0, ], X = Y = B([0, ]), µ = ν = λ, mesure de Lebesgue. Soit 0 = α < α 2 < α, α, quad., o suppose doée ue foctio g C([0, ]), telle que g (t) = 0, si t / ]α, α + [, et 0 g (t)dt =. O pose : f(x, y) = Y X [g (x) g + (x)]g (y) = (x, y) [0, ] 2, u terme au plus de la somme ci dessus est o ul, doc la série coverge. x [0, ], f(x, y)dy = [g (x) g + (x)] = g (x) 0 =

42 42 CHAPITRE 2. INTÉGRATION doc dx 0 0 f(x, y)dy = y [0, ] f(x, y)dx = 0; dy f(x, y)dx = 0 Et ous avos bie itégré que des foctios itégrables. (ii) E pratique si f 0, o peut itervertir l ordre des itégratios. Si f est de sige quelcoque, il faut s assurer que f dπ <, ce que X Y l o fait e calculat soit dµ f dν, soit dν f dµ. Preuve X a) Si f = E, E X Y, le résultat découle de et Le fait que (i) et (ii) sot satisfaites par toutes les applicatios X Y mesurables à valeurs das IR + résulte du Théorème des classes mootoes (Corollaire.7.9). b) D après a) et la π itégrabilité de f, X ( Y ) ( ) f(x, y) ν(dy) µ(dx) = f(x, y) µ(dx) ν(dy) <. Y X Il e résulte, d après le Théorème (iii), que f(x, y) ν(dy) < µ p.p. et f(x, y) µ(dx) < ν p.p. Y O a motré { (i). Motros la première } partie de (ii). Si A = x; f(x, y) ν(dy) = +, µ(a) = 0, et o pose : Y g(x) = X { 0 si x A f(x, y)dν(y), si x Ac X Il résulte aisémet de a) (i) que g est Xmesurable. g est µ itégrable, puisque g(x) f(x, y) ν(dy). Bie que f(x, y)ν(dy) e soit évetuellemet X Y X

43 2.4. MESURE PRODUIT ET THÉORÈME DE FUBINI 43 pas défii pour x A, puisque x / A(µ(A) = 0), pose par covetio ( X Y ) f(x, y)ν(dy) µ(dx) = g(x)µ(dx). X Y f(x, y)ν(dy) = g(x),o (iii) résulte de (ii) e utilisat la décompositio f = f + f. Exercice Déduire (i) et (iii) de la Propositio comme corollaire du Théorème de Fubii. [O choisit (X, X, µ) = (Ω, F, µ), (Y, Y, ν) = (IN, P(IN), δ )].

44 44 CHAPITRE 2. INTÉGRATION

45 Chapitre 3 Espaces L p O suppose à ouveau doé u espace mesuré (Ω, F, µ), avec µ mesure σ fiie. 3. Défiitio des espaces L p. Deux exposats p, q [, + ] serot dits cojugués si p + q = (d où soit p, q ], + [, soit l u vaut et l autre + ). Propositio 3... Soit p, q ], + [ deux exposats cojugués, f et g deux applicatios mesurables à valeurs das IR +. (i) (Iégalité de Hölder) (ii) (Iégalité de Mikowski) Preuve Ω ( ) /p ( fgdµ f p dµ g q dµ Ω Ω ) /q ( /p ( /p ( (f + g)dµ) f dµ) p + g p dµ Ω Ω Ω ) /p (i) Si l u des deux facteurs du secod membre de l iégalité est ul, le membre de gauche est ul, et l iégalité est satisfaite. De même, l iégalité est satisfaite lorsque l u des deux facteurs du secod membre est égal à +, l autre état o ul. Doc si l o pose 45

46 46 CHAPITRE 3. ESPACES L P A = ( f p dµ) /p, B = ( g q dµ) /q, il suffit de faire la démostratio das le cas A, B ]0, + [. Posos F = f/a, G = g/b. Soit ω Ω tel que F (ω), G(ω) ]0, + [. Alors s, t IR t.q. F (ω) = e s/p et G(ω) = e t/q, et la covexité de l applicatio expoetielle etraîe : e s p + t q p es + q et, d où F (ω)g(ω) F p (ω)p + q G(ω)q iégalité qui est e fait vraie ω Ω. Doc e itégrat. F Gdµ p + =, d où le résultat. q (ii) A ouveau, il suffit de faire la preuve das le cas où le secod membre de l iégalité est strictemet positif et fii, et f + g est pas p.p. égal à 0. (f + g) p = f(f + g) p + g(f + g) p, et d après (i), ( f(f + g) p dµ ( g(f + g) p dµ ) /p ( f p dµ ) /p ( g p dµ ) /q (f + g) (p )q dµ ) /q (f + g) (p )q dµ Par additio [ ( /p ( (f + g) p dµ f dµ) p + ] /p ( ) g dµ) p (f + g) p p dµ D après la covexité de t t p de IR + das IR +, p >, 2 p (f + g) p 2 (f p + g p ). Il résulte alors des restrictios faites ci dessus que (f + g) p dµ ]0, + [, et o peut multiplier la derière iégalité ( ) par (f + g) p p dµ

47 3.. DÉFINITION DES ESPACES L P. 47 Remarque Das le cas p = q = 2, l iégalité (i) est aussi appelée iégalité de Cauchy Schwarz. O peut la redémotrer de la faço suivate : (f + λ) 2 dµ = f 2 dµ + 2λ fgdµ + λ 2 g 2 dµ 0, λ IR, doc le discrimiat du triome est 0. Le discrimiat est ul (i.e. o a l égalité das l iégalité de Cauchy Schwarz) si et seulemet si λ IR tel que f + λg = 0 µ p.p. Défiitio Soit f ue applicatio mesurable à valeurs das IR. ( ) /p Si p [, + [, o pose f p = f p dµ Ω O pose { + si µ( f > α) > 0, α 0 f = if{α 0; µ( f > α) = 0} sio Pour p [, + ], o désige par L p (Ω, F, µ) - ou plus simplemet L p (µ)- l espace vectoriel des f t.q. f p <. Le fait que L p (µ) est u espace vectoriel est immédiat pour p = ou +, et résulte de l iégalité de Mikowski, pour p ], + [. Exercice Motrer que si f, µ({ω; f(ω) > f }) = 0. p est ue semi orme sur L p (µ) : f p 0 ( f p = 0 f = 0 p.p.) λf p = λ f p f + g p f p + g p. Cosidéros sur L p (µ) la relatio d équivalece f f f = f µ p.p.. Cette relatio d équivalece est compatible avec la structure vectorielle d espace semi ormé de L p (µ), puisque : f f f p = f p f f, g g f + g f + g f f λf λf

48 48 CHAPITRE 3. ESPACES L P L esemble des classes d équivaleces d élémets de L p (µ) forme u espace vectoriel, oté L p (Ω, F, µ) - ou L p (µ), et p est ue orme sur L p (Ω, F, µ). Remarque E sus des propriétés ci dessus, o aque si f f, f est (quasi) itégrable si et seulemet si f l est, et alors fdµ = f dµ. De plus, si f f, IN, alors sup f sup f, if f if f, il e IN IN IN IN est de même avec les lim sup et les lim if, et les limites lorsqu elles existet. Ces propriétés e seraiet plus vraies pour des familles o déombrables d applicatios mesurables. Etat doée ue applicatio mesurable f, désigos par f sa classe d équivalece, i.e. f = {f mesurable ; f f}. Les propriétés ci dessus permettet d opérer sur les classes d équivaleces d applicatios mesurables comme sur les applicatios mesurables elles mêmes, à coditio de e cosidérer qu ue quatité déombrable d applicatios mesurables à la fois. Das la suite o cofodra par abus de lagage ue classe d équivalece avec l u quelcoque de ses représetats. Par exemple, o écrira f L p (µ). Cet abus de lagage est sas dager tat que l o e cosidère qu ue quatité déombrable d applicatios mesurables à la fois!. Exercice a) Motrer que si µ est ue mesure fiie, p < r, alors L r (µ) L p (µ) [appliquer Hölder à f p ], et que das le cas où µ est ue probabilité, p f p est croissate. b) Si Ω = IN, µ = δ, o ote l p l espace L p (µ). Motrer que si p < r, l p l r. c) Motrer que si Ω = IR, F = B, µ = λ, mesure de Lebesgue, p < r, f L p (λ) t.q. f / L r (λ) et g L r (λ) tel que g / L p (λ). 3.2 Propriétés des espaces L p (µ) Théorème p [, + ], l espace L p (µ), mui de la orme p, est u espace de Baach. Mui du produit scalaire (f, g) = fgdµ

49 3.2. PROPRIÉTÉS DES ESPACES L P (µ) 49 l espace L 2 (µ) est u espace de Hilbert. Preuve Il suffit de motrer que L p (µ) est complet, i.e. que toute suite de Cauchy coverge. a) Cas p < Soit {f, IN} L p (µ) t.q. ε > 0, N ε tel que, m N ε f f m p ε. Défiissos ue sous suite F k e choisissat : 0 = 0 ; k, k vérifie : k > k, m k, f f m p 2 k. Alors k, f k+ f k p 2 k. O pose : g k = k f i+ f i, g = f i+ f i Il résulte de l iégalité de Mikowski que g k p, doc par covergece mootoe, g p, et e particulier si A = {ω; g(ω) < }, µ(a c ) = 0. Mais ω A, la série f (ω) + (f i+ (ω) f i (ω)) coverge absolumet. O défiit : { f (ω) + f(ω) = (f i+ (ω) f i (ω)) si ω A 0 sio Il est clair que f k f p.p.. Il reste à motrer que f L p (µ), et f f das L p (µ), i.e. f f p 0. Soit ε > 0, et N ε t.q. f f m p N ε,, m N. Alors si m N ε, par le lemme de Fatou, f f m p lim if k f k f m p ε. b) Cas p = + Posos A k = {ω; f k (ω) ( > f k }, B,m = {ω; f (ω) ) ( ) f m (ω) > f f m }. et E = A k B,m. Alors k=,m=

50 50 CHAPITRE 3. ESPACES L P µ(e) = 0. Sur E c, f coverge uiformémet vers ue limite borée f. O défiit f sur Ω e posat f(ω) = 0 si ω E. Alors f L (µ), et f f 0 O otera f L p (µ) f pour f f das L p (µ), i.e. f, f L p (µ) et f f p 0. O viet de démotrer au passage le : Théorème Si p [, + ] et si f L p (µ) f, alors ue sous suite {f k } t.q. f k fp.p. Théorème Soit S la classe des foctios de la forme f = α i Ai ( ) avec IN ; A i IR, A i F,i =,..., et µ A i p <, S L p (µ) et S est dese das L p (µ). <. Alors Remarque S est e gééral pas dese das L (µ)(ex : Ω = IR +, F = B(IR + ), µ = λ, f [2,2+[ e peut pas être approchée e orme 0 _ par ue suite de S. ( ) Preuve S L p (µ) résulte de µ A <. Soit f L p (µ), f 0. Alors, ue suite {f } de foctios étagées t.q. 0 f f. Alors f S, et f f p 0, d après le théorème de covergece mootoe. Pour f de sige quelcoque, o décompose f = f + f. Théorème Soit µ ue mesure sur (IR d, B d ) t.q. µ(a) <, A B d, A boré. Alors C K (IR d ), espace des foctios cotiues à support compact de IR d à valeurs das IR, est dese das L p (µ), p [, + [. Exercice Doer u cotre exemple das le cas p = +.

51 3.2. PROPRIÉTÉS DES ESPACES L P (µ) 5 O va d abord établir le : Lemme Soit K u compact et O u ouvert de IR d, avec K O. Alors il existe g C K (IR d ) avec 0 g(x), x, g(x) =, x K ; g(x) = 0, x O c. d(x, O c ) Preuve Il suffit de traiter le cas O boré. Alors g(x) = d(x, K) + d(x, O c ) répod à la questio. Preuve du Théorème : Il est clair que C K (IR d ) L p (µ). Pour motrer la desité, il suffit de motrer que f S et η > 0, g C K (IR d ) t.q. f g p η Il suffit doc e fait de motrer que A F, avec µ(a) <, ε > 0, g C K (IR d ) t.q. A g p ε D après le théorème.6. (i) O ouvert tel que A O et µ(o A) ε/2, et d après.6. (ii), K compact t.q. K A et µ(a K) ε/2. Doc : K A O, µ(o K) ε, et si g désige la foctio costruite au lemme 3.2.7, A g p ε /p Théorème Soit µ ue mesure sur (IR d, B d ) t.q. µ(a) <, A B d, A boré. Alors, si p [, + [, L p (µ) est séparable. Preuve Soit F 0 la classe des réuios fiies de pavés de la forme d [a i, b i [ de IR d, dot les sommets ot leurs coordoées das Q {+ } { }. (Q= esemble des ratioels). Alors F 0 est déombrable, car le produit de deux esembles déombrables est déombrable et l esemble des parties fiies d u esemble déombrable est déombrable. F 0 est ue algèbre, et σ(f 0 ) = B d. Soit { } L = α i Ai ; IN, α i Q, A i F 0, µ(a i ) <. i