Cours de Terminale S /Produit scalaire et orthogonalité. E. Dostal

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Cours de Terminale S /Produit scalaire et orthogonalité. E. Dostal"

Transcription

1 Cours de Terminale S /Produit scalaire et orthogonalité E. Dostal Mars 2015

2 Table des matières 10 Produit scalaire et orthogonalité Produit scalaire Orthogonalité et vecteur normal Distance d un point à un plan Solides Section plane d un solide Volumes de solides

3 Chapitre 10 Produit scalaire et orthogonalité 10.1 Produit scalaire Définition 1 On considère que l espace est muni d une distance. La norme d un vecteur est la longueur de ses représentants : AB = AB. Le produit scalaire des vecteurs u et v est le réel : u v = 1 ( 2 u+ v 2 u 2 v 2) Deux droites sécantes sont perpendiculaires si elles forment un angle droit. Deux droites sont orthogonales si l une admet une parallèle perpendiculaire à l autre. Deux vecteurs ( u et v de directions orthogonales sont orthogonaux : u v. Un repère O, ı, j, ) k est orthogonal si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Théorème 1 u v u v = 0 Proposition 2 ( Autres écritures du produit scalaire. Dans un repère orthonormé O, ı, j, ) k, 1. si u(x;y;z) et v(x ;y ;z ) alors u v = xx +yy +zz. 2. si u, v 0, u v = u v cos( u; v). Exemple 1 Dans un cube, les diagonales sont-elles orthogonales? Dans le cas contraire, quel est la mesure de l angle formé par ces deux droites? Théorème 3 Pour tous vecteurs u, v et w et tout réel λ, on a les propriétés de Symétrie : u v = v u Homogénéité : u, v, (λ u) v = λ( u v) = u (λ v) Bilinéarité : ( u+ w) v = u v + w v et u ( v + w) = u v + u w Positivité : u 2 = u u 0 et u u = 0 u = 0. Exemple 2 1. Soient u et v deux vecteurs. Démontrer l égalité : ( u+ v) 2 +( u v) 2 = 2 u 2 +2 v En déduire que dans un parallélogramme la somme des carrés des 4 cotés est égale à la somme des carrés des 2 diagonales. 3. En déduire le théorème de la médiane : AB 2 +AC 2 = 2AA BC2, où A est le milieu de [BC]. 2

4 E. Dostal - Mars 2015 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ Proposition ( 4 [Distance et sphère] Soit O, ı, j, ) k un repère orthonormé de l espace. Si A(x A ;y A ;z A ) et B(x B ;y B ;z B ) sont deux points de l espace alors : 1. AB = (x A x B ) 2 +(y A y B ) 2 +(z A z B ) 2 2. La sphère de centre Ω(x 0 ;y 0 ;z 0 ) et de rayon R a pour équation : (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. Exemple 3 1. Déterminer le centre et le rayon de la sphère S d équation : x 2 +y 2 +z 2 +2x z = Déterminer une équation de la sphère S de diamètre [AB] avec A(2;2;0) et B( 1;5;1). Proposition 5 Soient A et C deux points distincts de l espace et H est le projeté orthogonal de B sur (AC). Alors AB AC = AH AC. Si u est un vecteur directeur unitaire (de norme 1) de (AC), AB u = ±AH (le signe permet de placer H par rapport à A sur (AC)). B A H Exemple 4 Dans le cube ABCDEFGH quelles sont les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur (BH)? 10.2 Orthogonalité et vecteur normal Définition 2 Un vecteur normal n 0 d un plan P est un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Par bilinéarité du produit scalaire, n est orthogonal à tous les vecteurs du plans. n Théorème 6 Ξ Si une droite D est orthogonale à deux droites sécantes d un plan P, alors D est orthogonale à toute droite du plan P. On dit alors que la droite D est orthogonale au plan P. Théorème 7 Ξ Si P un plan d équation ax+by +cz +d = 0 où a,b,c sont non tous nuls. Alors, le vecteur n(a;b;c) est un vecteur normal de P. 3

5 E. Dostal - Mars 2015 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ Théorème 8 Ξ Si P est un plan de vecteur normal n(a;b;c) et A un point de P, Alors, dans tout repère orthonormé de l espace, le plan P admet une équation cartésienne de la forme ax+by +cz +d = 0. Exemple 5 1. Donner un vecteur normal à P : y +z = 0 2. Donner une équation du plan P de vecteur normal n(2; 1;0) passant par K(1;1;1) 3. Donner une équation cartésienne de P passant par A( 2; 1; 3) orthogonal à la droite (BC) où B(1; 2;2) et C(4;1; 1). Remarque 1 Critères d orthogonalité et de parallélisme Deux plans sont perpendiculaires si et seulement s ils ont des vecteurs normaux orthogonaux. Deux plans sont parallèles si et seulement s ils ont des vecteurs normaux colinéaires. Deux droites sont orthogonales si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs orthogonaux. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Une droite et un plan sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan sont colinéaires. (Attention!) Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan (non confondues). (Attention!) Une droite et un plan sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan sont orthogonaux. (Attention!) Exemple 6 1. Eq. paramétriques de la perpendiculaire à P : y +z = 0 contenant K(1;1;1)? 2. Equation cartésienne du plan P parallèle à P : x 2y +z = 0 passant par A(1;0;0)? 3. Equation cartésienne du plan perpendiculaire à P et P passant par A(1;0;0)? 4. On a P : x+y +z +3 = 0 Q : 2x+2y +2z +7 = 0 R : 3x y = 2. (a) Déterminer un vecteur normal de chaque plan. (b) Etudier l intersection de P et de Q. (c) Montrer que P R est une droite dont on donnera un système d équations paramétriques. (d) Vérifier que A( 1 : 1; 3 2 ) Q R. En déduire un système d équations paramétriques de Q R. Définition 3 Le plan médiateur d un segment [AB] est le plan orthogonal à [AB] passant par son milieu. C est l ensemble des points équidistants de A et B. Exemple 7 Equation cartésienne du plan médiateur de [AB] : A(1;2;3) et B( 1;0; 1)? Remarque 2 Trois plans sont dans l une des situations suivantes : Si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, ils sont soit strictement parallèles deux à deux (d intersection vide), soit confondus pour deux d entre eux et strictement parallèles au troisième, soit tous les trois confondus. Si leurs vecteurs normaux sont coplanaires et non colinéaires, ils sont soit confondus pour deux d entre eux et sécants aux troisième, soit parallèles pour deux d entre eux et le troisième sécant aux deux autres suivants des droites parallèles, soit tous trois sécants suivants une même droite, soit deux à deux sécants suivant des droites parallèles. Si leurs vecteurs normaux sont non coplanaires, l intersection est réduite à un point. Exemple 8 Dans chacun des cas, déterminer l intersection des trois plans d équations : 1. P : x+y 2z 5 = 0 Q : 2x+3y +z = 0 R : x y +z +1 = 0 2. P : 2x+3y 2z 2 = 0 Q : 4x 3y +z 4 = 0 R : 2x+12y 7z 2 = 0 3. P : x+y +3z = 1 Q : 2x 3y +z = 0 R : 7x+10y 2 = 0 4

6 E. Dostal - Mars 2015 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ Distance d un point à un plan Exemple 9 Dans un repère orthornormé ( O, ı, j, k passant par le point A, et M(x;y;z) un point de l espace. ), soit P est un plan de vecteur normal n(a;b;c) 1. Démontrer qu il existe une unique droite orthogonale à P passant par M. Cette droite coupe le plan P en un unique point noté H appelé le projeté orthogonal de M sur le plan P. On appelle distance du point M au plan P, que l on note d(m;p), la distance MH. 2. Montrer que d(m;p) = AM n. n 3. Soit A(1;1;2) et P : 2x 2y +z 3 = 0. (a) Déterminer la distance du point A au plan P à l aide de la formule précédente (b) Déterminer les coordonnées de H, le projeté orthogonal de A sur P, puis calculer AH Solides Section plane d un solide Méthode : Pour déterminer l intersection d un polyèdre (solide composé de plusieurs faces) et d un plan. On procède face par face en 1. cherchant deux points communs entre le plan de coupe et le plan contenant la face étudiée. Pour cela, on prolongera parfois les arêtes de la face étudiée et les droites d intersection des faces étudiées auparavant. (exemples 10 et 11). 2. cherchant un point commun entre la face étudiée et le plan de coupe, et en utilisant le théorème du plan sécant avec deux plans parallèles, si on connaît déjà l intersection du plan de coupe avec une face parallèle à la face étudiée. (voir l exemple 10). 3. cherchant un point commun entre la face étudiée et le plan de coupe, et en utilisant le théorème du toit, si l on sait que l intersection du plan de coupe et d une face est parallèle à une droite de la face étudiée. (voir l exemple 11). Exemple 10 Représenter la section du parallélépipède suivant par le plan (MNP), sachant que M (AED), N [GF] et P [CG]. On justifiera soigneusement l intersection de (MNP) avec la face AEDH. D H P C G N M E F A B Exemple 11 Représenter l intersection du tétraèdre avec le plan (IJK), en justifiant soigneusement l intersection de (IJK) avec la face (BCD). Le point I est le milieu de [AC] et J est le milieu de [AB], enfin K (BCD) : 5

7 E. Dostal - Mars 2015 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ C K I D A J B Volumes de solides h h r Prisme, cylindre : V = B h Pyramide, càne : V = 1 3 B h Sphère : V = 4 3 πr3 6

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On

Plus en détail

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition:

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition: Produit scalaire dans l espace : Définition: Soit A, B et C trois points, le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le réel défini par : AB AC = si AB = 0 ou AC = 0 AB AC = si AB 0 et AC 0 Conséquence

Plus en détail

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE On se place dans un repère orthonormal du plan ( O ; i, j, k ) I Équation de plan Exercice 1 : On considère le point A ( 0;1;4) et le vecteur n ( ;3; ) Déterminer une équation du

Plus en détail

Classe de Terminale S

Classe de Terminale S Pˆr o dˆuˆiˆt Œs c a l aˆiˆr e d e l e sœp a c e Classe de Terminale S I. GÉNÉRALISATION DU PRODUIT SCALAIRE À L ESPACE. Exercice 1 ABCDEFGH est un cube d arête 1, O est le centre de la face EFGH. 1. a)

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Produit scalaire dans l'espace Il y a de la géométrie dans l'espace au bac tous les ans. Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O, ı, j, k ) orthonormal de l'espace. Introduction L'espace,

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace

Produit scalaire dans l espace Chapitre G Produit scalaire dans l espace Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. Vecteur normal à un plan.

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l espace ; ; ;. Partie A : Repère et vecteurs coplanaires

Plus en détail

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 I) Produit scalaire Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé

Plus en détail

Chapitre XII : Géométrie dans l espace

Chapitre XII : Géométrie dans l espace I - Positions relatives dans l espace 1) Positions relatives de droites et de plans Chapitre XII : Géométrie dans l espace Définition 1 : On dit que deux droites et de l espace sont coplanaires lorsqu

Plus en détail

Droites et plans dans l espace

Droites et plans dans l espace Droites et plans dans l espace Positions relatives de deux plans Définition Deux plans de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives de deux plans Plans Deux plans

Plus en détail

AB, AC. k.u = I) Généralités: Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple. 1) Définition: On retiendra:

AB, AC. k.u = I) Généralités: Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple. 1) Définition: On retiendra: PRODUIT SCALAIRE DANS E YOUSSEFBOULILA I) Généralités: Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple 1) Définition: On appelle produit scalaire des deux vecteurs AB le réel noté:

Plus en détail

Livre : Chapitre 12 p. 319

Livre : Chapitre 12 p. 319 TABLE DES MATIÈRES Produit scalaire dans l espace D. Péron 14 Livre : Chapitre 12 p. 319 Table des matières 1 Diérentes expressions du produit scalaire.................................. 2 2 Orthogonalité

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Prérequis Vecteurs système d équations Plan du cours 1. Équations cartésiennes 2. Caractérisations vectorielles et représentations paramétriques 3. Intersections et parallélisme 4. Orthogonalité 1. Équations

Plus en détail

( ) ( BIG ) est : Produit scalaire et espace La droite ( OA ) avec A( 2; 4; et le plan P. Exercice 1 - qcm

( ) ( BIG ) est : Produit scalaire et espace La droite ( OA ) avec A( 2; 4; et le plan P. Exercice 1 - qcm ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 Exercice - qcm Produit scalaire et espace ABCDEFGH est un cube d arête de longueur et on EF considère les milieux I et J des arêtes [ EH ] et [ ] La longueur BI 5 5 vaut BG

Plus en détail

Droites et plans dans l espace

Droites et plans dans l espace Droites et plans dans l espace Positions relatives de deux plans Deux plans de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives de deux plans Plans Deux plans peuvent être

Plus en détail

l espace II) Addition des vecteurs de l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. AB DC ABCD est un parallélogramme.

l espace II) Addition des vecteurs de l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. AB DC ABCD est un parallélogramme. Prof : Boufares Amor Cours de géométrie dans l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. I) d un vecteur de l espace Soit A et B deux points distincts de l espace. On appelle vecteur de représentant (A,

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace Géométrie dans l'espace 1. Rappels de géométrie dans l'espace 1.1. Positions relatives de droites et plans 1.1.1. Position relative de deux plans Définition : On dit que deux plans sont strictement parallèles

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace Notes : dans cette synthèse de cours, on suppose connues les notions du programme de 1 ère S relatives au produit scalaire dans

Plus en détail

Droites et plans de l espace - Vecteurs

Droites et plans de l espace - Vecteurs Chapitre 8 Droites et plans de l espace - Vecteurs Objectifs du chapitre : item références auto évaluation étude de la position relative de droite(s) et de plan(s) vecteurs de l espace formules dans un

Plus en détail

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux

Plus en détail

Produit scalaire de l'espace. Applications.

Produit scalaire de l'espace. Applications. 1.... p2 2. Équations cartésienne d'un plan... p4 3. Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires... p9 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Produit scalaire de l'espace 1.1.

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. I- Droites et plans de l espace : Rappels des règles de base Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un

Plus en détail

Chapitre 4: Géométrie analytique dans l'espace

Chapitre 4: Géométrie analytique dans l'espace GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 35 Chapitre 4: Géométrie analytique dans l'espace Prérequis: Géom. vectorielle dans V 3, géom. analytique dans le plan Requis pour: Algèbre linéaire, examen de maturité.

Plus en détail

Geométrie dans l espace

Geométrie dans l espace Geométrie dans l espace Quelques règles Montrer qu une droite est perpendiculaire à un plan il faut montrer qu elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Une droite perpendiculaire à un plan

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace L-P-Bourguiba detunis Chapitre 6 Fiche6 Résumé du cours Produit scalaire Définition : l espace E est orienté dans le sens direct Prof :Ben jedidia chokri Classe :4 Math Géométrie dans l espace * Soit A,

Plus en détail

Exercice 1: Une unité de longueur étant choisie dans l espace, ABCDEFGH est un parallélépipède. L espace est munie du repère ( A, i, j,

Exercice 1: Une unité de longueur étant choisie dans l espace, ABCDEFGH est un parallélépipède. L espace est munie du repère ( A, i, j, Exercice 1: Une unité de longueur étant choisie dans l espace, ABCDEFGH est un parallélépipède droit tel que AB=3, AD=1 et AE=4 I est le milieu de [CH] L espace est munie du repère ( A, i, j, k ) tel que

Plus en détail

Extension du produit scalaire à l espace

Extension du produit scalaire à l espace Extension du produit scalaire à l espace Table des matières 1 Rappel du produit scalaire dans le plan 2 1.1 Définitions.................................................. 2 1.2 Orthogonalité................................................

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Chapitre 11 Géométrie dans l espace Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 1ère partie Droites et plans Positions relatives de droites et de plans : intersection

Plus en détail

Ex 8 : Angles orientés de vecteurs. Ex 9 : Vrai ou faux. Ex 10 : Entre deux droites. Ex 11 : Entre une droite et un plan

Ex 8 : Angles orientés de vecteurs. Ex 9 : Vrai ou faux. Ex 10 : Entre deux droites. Ex 11 : Entre une droite et un plan Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace : exercices page Produit scalaire dans l'espace Pour les exercices à 4, on considère le cube ci contre de côté a. M, N, P et I sont les milieux respectifs

Plus en détail

Terminale S Géométrie dans l espace

Terminale S Géométrie dans l espace Terminale S Géométrie dans l espace 1 Positions relatives de droites et de plans 1.1 Positions relatives de deux droites Deux droites de l espace sont : soit..................... elles sont alors soit...............

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. : la perspective cavalière Pour représenter un objet de l espace par une figure plane, on adopte un mode de représentation appelé «perspective cavalière» qui est

Plus en détail

Cours de Terminale S /Droites, plans et vecteurs de l espace. E. Dostal

Cours de Terminale S /Droites, plans et vecteurs de l espace. E. Dostal Cours e Terminale S /Droites, plans et vecteurs e l espace E. Dostal aout 2013 Table es matières 5 Droites, plans et vecteurs e l espace 2 5.1 Vecteurs et points........................................

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, terminale S

Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, terminale S Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, terminale S F.Gaudon 27 avril 2017 Table des matières 1 Distance dans un repère orthonormé de l'espace 2 2 Produit scalaire dans l'espace 2 3 Orthogonalité

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE Cours Terminale S 1 Produit scalaire de deux vecteurs 1) Définition Définition 1 : Le produit scalaire dans l espace se définit de la même façon que dans le plan Les trois

Plus en détail

Résumé du cours. Droites et plans de l espace. Positions relatives P P P P

Résumé du cours. Droites et plans de l espace. Positions relatives P P P P Résumé du cours roites et plans de l espace ans l espace un plan est caractérisé par la donnée de trois points non alignés, deux droites sécantes ou strictement parallèles. Un plan passant par trois points

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2010

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2010 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 010 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 01 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Repère, vecteurs et coordonnées dans l espace. L espace est rapporté au repère orthonormal O; i; j; x. ' On considère deux vecteurs u y

Repère, vecteurs et coordonnées dans l espace. L espace est rapporté au repère orthonormal O; i; j; x. ' On considère deux vecteurs u y Repère, vecteurs et coordonnées dans l espace L espace est rapporté au repère orthonormal O; i; j; k. x x ' On considère deux vecteurs u y et v y'. z z ' ela signifie que u xi y j zk et v x' i y ' j z

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace Types Bac

Produit scalaire dans l espace Types Bac Lycée Paul Doumer 2013/2014 TS 1 Exercices Produit scalaire dans l espace Types Bac Exercice 1 Pondichery avril 2012 Dans le repère orthonormé les plans P et P d équations : de l espace, on considère :

Plus en détail

Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace

Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Droites et plans de l espace Exercice SABC est un tétraèdre, la droite (SA) est orthogonale au plan (ABC), le triangle ABC est rectangle en

Plus en détail

Géométrie analytique dans l espace

Géométrie analytique dans l espace Généralités Points coplanaires Quatre points de l espace sont dits coplanaires s ils appartiennent à un même plan (rappel : 3 points d un plan sont dits alignés s ils appartiennent à une même droite) Vecteurs

Plus en détail

1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points

1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points Plans, cercles, droites et sphères Ce chapitre aborde les objets fondamentaux utilisés en géométrie : droites et cercles dans le plan, plans, droites et sphères dans l espace. Les objectifs du chapitre

Plus en détail

Chapitre 14. Produit scalaire dans l espace. Orthogonalité

Chapitre 14. Produit scalaire dans l espace. Orthogonalité Chapitre 14. Produit scalaire dans l espace. Orthogonalité I. Produit scalaire dans le plan. Rappels de 1ère S 1) Les différentes expressions du produit scalaire dans le plan On rappelle ici sans démonstrations

Plus en détail

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE CHPITRE 6 : PRODUIT SCLIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan 1. Généralités Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan non nuls, et, B, C trois points du plan tels que Le produit scalaire

Plus en détail

Position relative de droites et plans

Position relative de droites et plans TS Position relative de droites et plans Cours Rappels : Un plan est défini par : - Trois points non alignés ou - Deux droites sécantes ou - Deux droites strictement parallèles Si un plan contient deux

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7 PRODUIT SCALAIRE Première S - Chapitre 7 Table des matières I Expressions du produit scalaire I 1 Exercice de motivation....................................... I Norme d un vecteur........................................

Plus en détail

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE DROITES ET PLANS DE L'ESPACE I. Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires.

Plus en détail

Équations cartésiennes de plans et de droites

Équations cartésiennes de plans et de droites Chapitre 4 Équations cartésiennes de plans et de droites Sommaire 4.1 Équation cartésienne d un plan........................................... 25 4.1.1 Équation cartésienne d un plan........................................

Plus en détail

Positions relatives de droites et de plans

Positions relatives de droites et de plans TS éométrie dans l espace 2012-2013 I Positions relatives de droites et de plans I.1 Positions relatives de deux droites Propriété : eux droites d 1 et d 2 sont soit coplanaires (appartiennent à un même

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition

PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition PRODUIT SCALAIRE I)Produit scalaire de deux vecteurs 1. Définition Définition : Si u et v sont deux vecteurs non nuls, on appelle produit scalaire de u par v, le réel noté u. v = u v cos( u, v) u. v défini

Plus en détail

Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace

Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace I. Produit scalaire Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace 1) Produit scalaire dans l'espace Définition : Soient u et v deux vecteurs de l'espace et A, B, C trois points tels que u= AB et v= AC. Les

Plus en détail

Géométrie dans l espace. Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace»

Géométrie dans l espace. Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace» Chapitre 9 truc Géométrie dans l espace Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace» Prérequis On suppose ici connue toute la géométrie de collège et de lycée, en particulier les

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace I Modes de repérage dans l espace 1 I.A Coordonnées cartésiennes...................... 1 I.B Coordonnées cylindriques...................... 2 I.C Coordonnées sphériques.......................

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace Terminale S Ch.8 PARTIE Géométrie dans l'espace Ú La perspective cavalière C'est un ensemble de règles permettant de représenter un volume dans un plan; ce n'est pas ce que nous voyons dans la réalité.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Géométrie analytique (affine ou euclidienne) Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très

Plus en détail

Géométrie de l espace

Géométrie de l espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Géométrie de l espace Notions communes Exercice [ 087 ] [Correction] À quelle(s) condition(s) simple(s) l intersection de trois plans de l

Plus en détail

Fiche 1 Calcul vectoriel dans R 2 et R 3

Fiche 1 Calcul vectoriel dans R 2 et R 3 Université Paris, IUT de Saint-Denis Année universitaire 0-0 Licence Pro MDQ Géométrie Fiche Calcul vectoriel dans R et R Dans les exercices suivants, on suppose le plan muni d un repère orthonormal (O,,

Plus en détail

DES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE

DES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE DES EXERCICES DE GÉOMÉTRIE A.LES ÉNONCÉS Exercice I On considère deux réels a et b ainsi que les parties de l espace donnés par leurs équations dans un repère cartésien : { { x z a = 0 D : et D x + 2y

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace M- SE - ST Géométrie dans l'espace Exercice Dans l'espace muni du repère orthonormé O, i, j, k, on considère les points : A; ; -, B; ; C; -; 0. - Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC AB AC. Les

Plus en détail

Annales sur la géométrie dans l espace

Annales sur la géométrie dans l espace Annales sur la géométrie dans l espace Exercice I : France juin 200 Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, OA = OB = OC

Plus en détail

Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun.

Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun. Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs I Positions relatives de droites et de plans Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales.

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales. PRODUIT SCALAIRE I Produit scalaire Définition ( voir animation ) Soient et deux vecteurs du plan. On considère trois points O, A et tels que : OA = u et O =. On appelle produit scalaire du vecteur par

Plus en détail

Chapitre 9 Produit scalaire. Table des matières. Chapitre 9 Produit scalaire TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 9 Produit scalaire. Table des matières. Chapitre 9 Produit scalaire TABLE DES MATIÈRES page -1 hapitre 9 Produit scalaire TLE DES MTIÈRES page -1 hapitre 9 Produit scalaire Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

Mathématiques Terminale C Calcul Vectoriel Résumé de cours

Mathématiques Terminale C Calcul Vectoriel Résumé de cours . arycentre I- arycentre de deux points pondérés I. 1. Définition 1: Soit (, ) et (, ) deux points pondérés tels que + 0, Il existe un point unique G tel que G G 0 ; le point G est appelé barycentre des

Plus en détail

Produit scalaire. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2014/2015

Produit scalaire. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2014/2015 Produit scalaire Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Différentes expressions du produit scalaire 1.1 Norme d un vecteur........................................... 1. Définition

Plus en détail

Baccalauréat S Géométrie Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Géométrie Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Géométrie Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application 1 Asie juin 2012 2 Centres étrangers

Plus en détail

i, j, k ) un repère orthonormal direct de l'espace.

i, j, k ) un repère orthonormal direct de l'espace. EXERCICES DE CLCUL VECTORIEL DNS LE PLN ET L'ESPCE EUCLIDIEN Exercice 1 On considère, dans l'espace, les points (0 ; 1 ; 1), B(6 ; 1 ; 9) et C(1 ; 0 ; 0) 1. Déterminer une équation cartésienne du plan

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme Géométrie métrique plane 1 Chapitre 1 Produit scalaire 1.1 Définitions produit scalaire et norme Le produit scalaire est une notion importante en géométrie pour traiter des questions de longueurs, angles

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire Pour les sept figures suivantes, calculer AB AC. Exercice : Sur les expressions du produit scalaire Sur la figure

Plus en détail

Feuille de TD n o 13. Géométrie

Feuille de TD n o 13. Géométrie Mathématiques BCPST1 Lycée Roland Garros 2016-2017 πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Feuille de TD n o 13. Géométrie πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. , noté u.

PRODUIT SCALAIRE. , noté u. 1 PRODUIT SCLIRE I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur u et deux points et B tels que u B. La norme du vecteur u, notée u, est la distance B. ) Définition du produit

Plus en détail

Commun à tous les candidats. Première partie

Commun à tous les candidats. Première partie EXERCICE 4 (6 points ) Commun à tous les candidats Première partie L espace est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j, k ) On considère : les points A(0; 0; 3), B(2; 0; 4), C( 1; 1; 2) et D(1; 4; 0)

Plus en détail

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v )

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v ) 1 Norme d un vecteur Définition 1. Soit #» u un vecteur, A et B deux points du plan tels que #» AB = #» u. On appelle norme du vecteur #» u, que l on note #» u, la longueur du segment [AB] : #» u = AB

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Produit scalaire dans l'espace Terminale S Olivier Lécluse Mai 2014 1.0 Table des matières Introduction 3 I - Notion de produit scalaire dans l'espace 4 1. Définition et propriétés... 4 2. Exercice : Calcul

Plus en détail

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan ème année Maths Produit scalaire dans le plan Octobre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = ; un triangle ABF équilatéral et un triangle

Plus en détail

Seconde 1 Géométrie dans l espace. page n

Seconde 1 Géométrie dans l espace. page n Seconde 1 Géométrie dans l espace. page n 1 Dans le plan, il existe autant de polygones réguliers distincts qu'il y a d'entiers supérieurs ou égaux à trois. Mais, dans l'espace, Euclide a démontré qu'il

Plus en détail

Méthodes de géométrie dans l espace

Méthodes de géométrie dans l espace Déterminer une équation cartésienne de plan L équation cartésienne d un plan est du type ax + by + cz + d 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d un vecteur normal du plan. On procède en deux étapes : D abord

Plus en détail

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC). Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles Exercice 1 : Distance d'un point à une droite. On se donne une droite ( ) dont l'équation cartésienne est de la

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation )

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) PRODUIT SCLIRE I Produit scalaire : définition Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Soient et v deux vecteurs du plan. On considère trois points O, et tels que : O = u

Plus en détail

Géométrie de l'espace

Géométrie de l'espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 07 Enoncés Géométrie de l'espace Notions communes Exercice 7 [ 0878 ] [Correction] Soient D et D deux droites distinctes sécantes de l'espace. Montrer

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion. LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION. Première année - Semestre 2 MATHÉMATIQUES

UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion. LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION. Première année - Semestre 2 MATHÉMATIQUES Année 011-01 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Économie & Gestion LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre MATHÉMATIQUES MATH10 : Fonctions de plusieurs variables Enseignant responsable : C. Andrianasitera

Plus en détail

Orthogonalité de droites et de plans

Orthogonalité de droites et de plans Orthogonalité de droites et de plans Par Mathtous Ce mini cours s'adresse en priorité aux élèves de première. Il a pour objectif de rappeler les propriétés essentielles des droites orthogonales et des

Plus en détail

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE DROITES ET PLANS DANS L ESPACE Cours Terminale S 1. Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Propriété 1 : Deux droites de l espace sont soit coplanaires (dans

Plus en détail

TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours. Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace

TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours. Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours I. Vecteurs de l espace 1. Notion de vecteur dans l espace Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace Deux vecteurs

Plus en détail

2. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par A et dirigées par v avec :

2. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par A et dirigées par v avec : Exo7 Droites du plan ; droites et plans de l espace Fiche corrigée par Arnaud Bodin 1 Droites dans le plan Exercice 1 Soit P un plan muni d un repère R(O, i, j), les points et les vecteurs sont exprimés

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace xercices 29 mai 2016 éométrie dans l espace roites et plans xercice 1 Soit un cube et un plan (JK) tel que : = 2, 3 J = 2 3 et K = 1 4 éterminer l intersection du plan (JK) avec le cube. K J xercice 2

Plus en détail

Vecteurs de l espace

Vecteurs de l espace Vecteurs de l espace Définitions règles de calcul On étend à l espace la notion de vecteur définie dans le plan, ainsi que les opérations associées : somme de vecteurs multiplication par un réel Définition-

Plus en détail

Chapitre 10 : Le Produit Scalaire

Chapitre 10 : Le Produit Scalaire Chapitre 10 : Le Produit Scalaire A) Définitions et cas particuliers 1) Rappels a) Norme d'un vecteur La norme d'un vecteur est sa longueur. Par exemple, la norme du vecteur AB la longueur AB, ou encore

Plus en détail

Les vecteurs du plan

Les vecteurs du plan Les vecteurs du plan Colinéarité Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 1 / 13 1 Vecteurs colinéaires Définition et première

Plus en détail

Géométrie dans l'espace en terminale S

Géométrie dans l'espace en terminale S Géométrie dans l'espace en terminale S Sommaire Sujets ÉduSCOL 15. Distance de deux droites dans l'espace 33. Section plane d'un tétraèdre et optimisation d'une distance 11. Plans perpendiculaires (2004)

Plus en détail

Géométrie dans l' espace

Géométrie dans l' espace Exercice 1 Le repère ( A, AB, AD,AF ) formé sur le cube ABCDEFGH est orthonormé direct Calculer les produits vectoriels suivants AB AD, AB AC, AC BD et AC FH Dans tous les exercices qui suivent, l espace

Plus en détail

Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension 3. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications.

Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension 3. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications. Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension 3. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications. Chantal Menini 18 mai 2009 Avant de vous lancer dans cet exposé assurez-vous

Plus en détail

On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] en écrivant que M (d) si AM = BM ou bien AM 2 = BM 2

On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] en écrivant que M (d) si AM = BM ou bien AM 2 = BM 2 1S Corrigé DS n o 9 Durée :h Exercice 1 ( 5,5 points ) Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(3; 1), B(; ) et C( ; 1). 1. Déterminer une équation de la droite (d 1 ), médiatrice de

Plus en détail

GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN WORKBOOK PCD -GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN 016 GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN 1 Déterminer l'équation du cercle centré en C et de rayon r si : a) C (0; 0) et r = 1; b) C = (1; ) et r c) C (3; -4) et

Plus en détail

Chapitre 2 : Distance point-droite et bissectrices

Chapitre 2 : Distance point-droite et bissectrices DISTANCE POINT-DROITE ET BISSECTRICES 17 Chapitre 2 : Distance point-droite et bissectrices 2.1 L équation normale d une droite Introduction : L équation normale d une droite nous permettra de calculer

Plus en détail

Droites et plans de l Espace

Droites et plans de l Espace Droites et plans de l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Quelques rappels 2 2 Positions relatives 2 2.1 Positions relatives de deux droites...................................

Plus en détail

I Rappels sur les symétries :

I Rappels sur les symétries : I Rappels sur les symétries : I. 1 Symétrie axiale : On note I le milieu de [ AB ]. On appelle médiatrice du segment [ AB ] la droite perpendiculaire en I à ( AB ). Propriétés : La médiatrice de [ AB ]

Plus en détail