PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7

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1 PRODUIT SCALAIRE Première S - Chapitre 7 Table des matières I Expressions du produit scalaire I 1 Exercice de motivation I Norme d un vecteur I 3 Produit scalaire de deux vecteurs : une première expression I 3 a Activité d approche I 3 b I 4 Une deuxième expression : avec les normes et un angle I 5 Une troisième expression : pour des vecteurs colinéaires I 6 Une quatrième expression : l expression analytique I 7 Une cinquième expression : à l aide du projeté orthogonal II s du produit scalaire 4 II 1 Produit scalaire et orthogonalité II 1 a Vecteurs orthogonaux II 1 b Lien avec le produit scalaire II Produit scalaire et opérations II 3 Démonstration de la cinquième expression (projeté orthogonal) III Applications du produit scalaire en géométrie analytique 6 III 1 Équation d une droite III 1 a d un vecteur normal à une droite III 1 b Équation d une droite de vecteur normal III Équation d un cercle IV Applications du produit scalaire pour le calcul de longueurs et de mesures d angles 7 IV 1 Théorème de la médiane IV Relations métriques dans un triangle IV a Théorème d Al-Kashi IV b Formules des aires IV c Formules des sinus V Applications du produit scalaire en trigonométrie 9 V 1 Formules d addition V Formules de duplication V 3 Formules de linéarisation N. Peyrat Lycée Saint-Charles 1/ 10

2 I Expressions du produit scalaire I 1 Exercice de motivation Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et BAC = 70. Calculer BC. Problème : on ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I Norme d un vecteur Soit u un vecteur du plan, et A et B deux points du plan tels que u = AB. La norme du vecteur u, notée u, est la longueur du segment [AB]. On a : u = AB = AB. Remarque : Dans un repère orthonormé, si u a pour coordonnées (x ; y), alors u = x + y. s (admises) Pour tout réel k, on a : k u = k u. On a notamment u = u. u + v u + v (inégalité triangulaire) u = 0 u = 0. I 3 Produit scalaire de deux vecteurs : une première expression I 3 a Activité d approche Faire l activité 1 page 15 du livre. I 3 b On appelle produit scalaire de u et de v, le nombre réel noté u. v («u scalaire v») et défini par : u. v = 1 ( u + v u v ) Conséquences immédiates : 1. u. v = v. u.. u. u = u. On le note parfois u mais c est moche et ambigu Si u = 0 ou v = 0, alors u. v = 0. Attention, la réciproque est fausse! N. Peyrat Lycée Saint-Charles / 10

3 Remarque (limite programme) On a aussi : u. v = 1 ( u + v u v ) I 4 Une deuxième expression : avec les normes et un angle Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. Alors on a : u. v = u v cos( u, v) La démonstration a été faite dans l activité 1 page 15 du livre en début de chapitre. I 5 Une troisième expression : pour des vecteurs colinéaires Si u et v sont colinéaires et de même sens, alors on appelle produit scalaire et on note u. v le réel positif u v. Si u et v sont colinéaires et de sens contraire, alors on appelle produit scalaire et on note u. v le réel négatif u v. (Faire une figure) La démonstration se fait à partir de la deuxième expression du produit scalaire : Si u et v sont colinéaires et de même sens, alors ( u, v) = 0, donc cos( u, v) = 1. Ainsi u. v = u v cos( u, v) = u v 1 = u v. Si u et v sont colinéaires et sens contraire, alors ( u, v) = π, donc cos( u, v) = 1. Ainsi u. v = u v cos( u, v) = u v ( 1) = u v. I 6 Une quatrième expression : l expression analytique Soient u et v deux vecteurs du plan muni d un repère orthonormé (O ; i, j). Si u(x ; y) et v(x ; y ), alors u. v = xx + yy N. Peyrat Lycée Saint-Charles 3/ 10

4 u = x + y et v = x + y. u + v a pour coordonnées (x + x ; y + y ), donc u + v = (x + x ) + (y + y ). Ainsi, u. v = 1 ( (x + x ) + (y + y ) x y x y ) =... = xx + yy. Remarque : Attention, l expression analytique n est valable que dans un repère orthonormé! I 7 Une cinquième expression : à l aide du projeté orthogonal Soit M un point du plan et d une droite du plan. On appelle projeté orthogonal du point M sur la droite d le point M tel que les droites (MM ) et d soient perpendiculaires. En particulier, si M d, alors son projeté orthogonal sur d est lui-même. (Faire une figure) On note A, B et C les points tels que u = AB et v = AC. Alors u. v = AB. AC, où C est le projeté orthogonal de C sur (AB). La démonstration sera faite dans le II. Remarques : 1) On a aussi u. v = AB. AC, où B est le projeté orthogonal de B sur (AC). ) Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, et C et D les projetés orthogonaux respectifs de C et D sur la droite (AB). Alors AB. CD = AB. C D. On dit que C D est le projeté orthogonal de CD sur (AB). II s du produit scalaire II 1 II 1 a Produit scalaire et orthogonalité Vecteurs orthogonaux Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan, et soient A, B, C et D quatre points tels que u = AB et v = CD. Les vecteurs u et v sont dits orthogonaux si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. N. Peyrat Lycée Saint-Charles 4/ 10

5 II 1 b Lien avec le produit scalaire Théorème fondamental Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u v u. v = 0 Remarque : Le vecteur nul est considéré comme orthogonal à tout vecteur du plan. Posons A, B et C trois points du plan tels que u = BA et v = AC. u. v = 0 1 ( u + v u v ) = 0 u + v = u + v. Or u = BA, v = AC et u + v = BA + AC = BC = BC. Ainsi, u. v = 0 AB + AC = BC ABC est rectangle en A. Conclusion : u v u. v = 0. Conséquence du théorème : Le plan est muni d un repère orthonormé. Les vecteurs u(x ; y) et v(x ; y ) sont orthogonaux si et seulement si xx + yy = 0. II Produit scalaire et opérations Pour tous vecteurs u, v et w, et tout nombre réel k, on a : 1. u.( v + w) = u. v + u. w. ( u + v). w = u. w + v. w 3. (k u). v = k( u. v) = u.(k v) Les démonstrations se font rapidement à l aide de la forme analytique. Identités remarquables 1. ( u + v) = u + u. v + v. ( u v) = u u. v + v 3. ( u + v)( u v) = u v Les démonstrations se font rapidement à l aide de la propriété précédente. (Le faire) N. Peyrat Lycée Saint-Charles 5/ 10

6 II 3 Démonstration de la cinquième expression (projeté orthogonal) AB. AC = AB.( AC + C C) = AB. AC + AB. C C. Or les vecteurs AB et C C sont orthogonaux donc AB. C C = 0. Donc AB. AC = AB. AC. III Applications du produit scalaire en géométrie analytique III 1 III 1 a Équation d une droite d un vecteur normal à une droite Soit d une droite de vecteur directeur u. Un vecteur normal à la droite d est un vecteur non nul orthogonal au vecteur u. Soit d une droite passant par un point A du plan et de vecteur normal n. Alors la droite d est l ensemble des points M tels que AM. n = 0. III 1 b Équation d une droite de vecteur normal Théorème Soit a et b deux nombres réels non nuls tous les deux (c est-à-dire tels que (a, b) (0, 0). La droite d admet le vecteur n(a ; b) pour vecteur normal si et seulement si elle admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 avec c un réel. Soit A(x A ; y A ) un point de d et n un vecteur normal de d de coordonnées (a ; b). Alors M(x ; y) d AM. n = 0 (x x A ) a + (y y A ) b = 0 ax + by + c = 0 avec c = ax A + by A. III Équation d un cercle Soit C le cercle de centre A(x A ; y A ) et de rayon R. Une équation cartésienne de C est : (x x A ) + (y y A ) = R N. Peyrat Lycée Saint-Charles 6/ 10

7 M(x ; y) C AM = R AM = R (x x A ) + (y y A ) = R. Le cercle C de diamètre [AB] est l ensemble des points M tels que MA. MB = 0. Dire que M appartient au cercle C signifie que M est confondu avec A ou B, ou que ÂMB = π, c est-à-dire MA. MB = 0. IV Applications du produit scalaire pour le calcul de longueurs et de mesures d angles IV 1 Théorème de la médiane Soient A et B deux points du plan et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan, on a : MA + MB = MI + 1 AB MA MB = IM. AB MA. MB = MI AB 4 MA + MB = ( MI + IA) + ( MI + IB) = MI + MI.( IA + IB) + IA + IB = MI + 1 AB. MA MB = ( MI + IA) ( MI + IB) = MI.( IA IB) = MI. BA. MA. MB = ( MI + IA).( MI + IB) = ( MI + IA).( MI IA) = MI IA = MI 1 4 AB. N. Peyrat Lycée Saint-Charles 7/ 10

8 IV IV a Relations métriques dans un triangle Théorème d Al-Kashi Théorème Soit ABC un triangle quelconque. Alors on a : AB = AC + BC AC BC cos ÂCB AC = AB + BC AB BC cos ÂBC BC = AB + AC AB AC cos ĈAB AB = ( AC+ CB) = ( CA+ CB) = AC +BC CA. CB = AC +BC AC BC cos ÂCB. IV b Formules des aires Théorème Soit ABC un triangle quelconque. On note S l aire du triangle ABC. Alors on a : S = 1 AB AC sin ĈAB = 1 AC BC sin ÂCB = 1 AB BC sin ÂBC Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors S = 1 AB CH. Si l angle BAC est droit, alors A et H sont confondus et sin( BAC) = 1, d où le résultat. Si l angle BAC est aigu (figure 1), alors CH = AC sin BAC. Si l angle BAC est obtus (figure ), alors CH = AC sin(π BAC) = AC sin( BAC). Donc dans les deux cas, S = 1 AB AC sin( BAC). IV c Formules des sinus Soit ABC un triangle. Alors on a : AB sin ÂCB = AC sin ÂBC = BC sin BAC N. Peyrat Lycée Saint-Charles 8/ 10

9 On part de la formule des aires et on multiplie chaque membre par AB AC BC. Remarque : Ces formules sont très utiles en physique et en astronomie car elles permettent de calculer la distance entre deux corps lointains. (cf. exercices) V Applications du produit scalaire en trigonométrie V 1 Formules d addition Pour tous réels x et y, on a : 1. cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y 3. sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x 4. sin(x y) = sin x cos y sin y cos y. Démonstration de. : Dans un repère (O ; i, j), soient u et v deux vecteurs unitaires tels que ( i, u) = a et ( i, v) = b. Une première expression du produit scalaire est donc : u. v = 1 1 cos( u, v) = cos( u, v). De plus, d après la relation de Chasles, on a aussi ( u, v) = ( u, i)+( i, v) = b a. Donc u. v = cos(b a) = cos(a b). D autre part, dans le repère (O ; i, j), u a pour coordonnées (cos a ; sin a) et v a pour coordonnées (cos b ; sin b). Ainsi, à l aide de l expression analytique, on a u. v = cos a cos b + sin a sin b. Conclusion : cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b. Démonstration de 1. : On remplace b par b dans l égalité précédente. Démonstration de 3. : ( π ) (( π ) ) ( π ) ( π ) sin(a b) = cos (a b) = cos a + b = cos a cos b sin a sin b. sin(a b) = sin a cos b cos a sin b. Démonstration de 4. : On remplace b par b dans l égalité précédente. N. Peyrat Lycée Saint-Charles 9/ 10

10 V Formules de duplication Pour tout réel x 1. cos x = cos x sin x = cos x 1 = 1 sin x.. sin x = sin x cos x. 1. cos x = cos(x + x) = cos x cos x sin x sin x = cos x sin x. Or cos x + sin x = 1, donc cos x = cos x 1 = 1 sin x.. sin x = sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x = sin x cos x. A partir des formules de duplication, on en déduit directement les formules de linéarisation : V 3 Formules de linéarisation Pour tout réel x, on a : cos x = 1 + cos x et sin x = 1 cos x N. Peyrat Lycée Saint-Charles 10/ 10

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