Table des matières. Table des matières 537

Transcription

1 Table des matières Présentation de la collection Comment utiliser ce livre? Quelques conseils pour bien apprendre SAVOIRS Thème 1 - Logique Thème 2 - Ensembles - Applications Thème 3 - Nombres complexes Thème 4 - Polynômes Thème 5 - Développements limités et équivalents Thème 6 - Limites Thème 7 - Étude générale - Fonctions usuelles Thème 8 - Continuité : (in)égalité, bijection, (in)équation Thème 9 - Dérivations Thème 10 - Prolongement par continuité Thème 11 - Calculs de primitives - Intégration Thème 12 - Suites Thème 13 - Séries Thème 14 - Équations différentielles Thème 15 - Matrices Thème 16 - Systèmes linéaires Thème 17 - Espaces vectoriels Thème 18 - Espaces vectoriels de dimension finie Thème 19 - Géométrie du plan Thème 20 - Géométrie de l espace Thème 21 - Probabilités Thème 22 - Variables aléatoires Thème 23 - Module PSI Table des matières 537

2 SAVOIR-FAIRE Thème 1 - Logique Comment écrire la négation d une assertion? Procéder de gauche à droite en respectant l ordre des quantificateurs Comment mettre en œuvre un raisonnement par l absurde? Mettre en avant l hypothèse H et l absurdité qui en découle Comment rédiger un raisonnement par récurrence? Soigner la preuve d hérédité et ne pas oublier l initialisation Comment mettre en œuvre un raisonnement par disjonction de cas? Préciser les différents cas Comment mettre en œuvre un raisonnement par contraposition? Commencer par préciser la contraposition Comment mettre en œuvre un raisonnement par analyse-synthèse? Préciser les différentes phases, en commençant par l analyse Comment montrer qu une assertion est fausse? Utiliser un contre-exemple Utiliser un raisonnement par l absurde Comment montrer qu un élément est unique? Raisonner par l absurde : supposer qu il en existe deux Utiliser un théorème d unicité Comment montrer qu un élément existe? Construire cet élément Utiliser un théorème d existence À vous de jouer! Thème 2 - Ensembles - Applications Comment montrer une égalité ensembliste A = B? Utiliser une succession d équivalences Montrer la double inclusion : A B et B A Établir les tables de vérité (ou d appartenance) Comment montrer qu une application f est injective, surjective, bijective? Utiliser le contexte Revenir aux définitions Déterminer l application réciproque d une application bijective Comment montrer qu une application f n est pas injective, surjective, bijective? 146 Utiliser les définitions À vous de jouer! Thème 3 - Nombres complexes Comment écrire un complexe sous la forme module-argument? Mettre le module en facteur Utiliser l astuce «de l arc (ou de l angle) moitié» Comment linéariser une expression du type cos n (x) ou sin n (x)? Utiliser les formules d Euler et le binôme de Newton Comment écrire cos(nx) ou sin(nx) comme polynôme des fonctions cos et sin?. 152 Utiliser la formule de Moivre et le binôme de Newton Comment résoudre une équation dans C? Déterminer les racines complexes d un nombre complexe Se ramener à une équation polynomiale de degré Utiliser les racines n ièmes (de l unité) Utiliser une décomposition algébrique (parties réelle-imaginaire) Utiliser une décomposition exponentielle (module-argument) Se ramener à une description géométrique À vous de jouer! Thème 4 - Polynômes Comment effectuer une division euclidienne? Poser la division euclidienne Trouver les coefficients par identification Table des matières

3 Comment décomposer un polynôme en facteurs irréductibles dans C[X]? Calculer les racines complexes d un polynôme de degré Trouver une racine évidente Utiliser un polynôme connu Comment décomposer un polynôme en facteurs irréductibles dans R[X]?... Utiliser la décomposition en facteurs irréductibles dans C[X] Utiliser les identités remarquables Comment montrer qu un polynôme divise un autre polynôme? Utiliser la décomposition en facteurs irréductibles Montrer que le reste de la division euclidienne des deux polynômes est nul Comment montrer qu un polynôme est nul (deux polynômes égaux)? Raisonner par l absurde et trouver un nombre de racines supérieur au degré. 172 Comment résoudre une équation polynomiale? Utiliser la décomposition en facteurs irréductibles Utiliser (aussi) un changement de variables Comment résoudre une équation fonctionnelle où l inconnue est un polynôme?. Raisonner par analyse-synthèse Comment étudier les termes dominants d une suite de polynômes? Montrer (une conjecture) par récurrence À vous de jouer! Thème 5 - Développements limités et équivalents Comment calculer un développement limité en 0? Utiliser les développements limités usuels (connus) Utiliser la formule de Taylor-Young Comment calculer un développement limité en a (avec a réel)? Se ramener aux développements limités usuels en Utiliser la formule de Taylor-Young Comment calculer un développement limité en + ou? Se ramener aux développements limités usuels en Comment déterminer un équivalent? Utiliser un développement limité Calculer des produits ou quotients d équivalents Revenir à la définition : calcul de limite À vous de jouer! Thème 6 - Limites Comment calculer la limite d une fonction? Mettre le terme dominant en facteur Utiliser les croissances comparées Reconnaître un nombre dérivé Utiliser un équivalent Utiliser un développement limité ou asymptotique Utiliser le théorème des gendarmes (majoration, minoration) Comment montrer qu une suite ou une fonction n admet pas de limite?.... Utiliser deux suites extraites de limites différentes Utiliser deux suites de même limite mais d images de limites différentes Comment calculer la limite d une suite? Utiliser les suites de référence Exprimer u n en fonction de n Résoudre l équation f(l) =l où u n+1 = f (u n) Comment calculer la limite des sommes partielles d une série? Reconnaître la somme des termes d une suite connue Reconnaître une somme de Riemann À vous de jouer! Thème 7 - Étude générale - Fonctions usuelles Comment déterminer un domaine de définition? Utiliser les domaines de définition des fonctions usuelles Comment réduire un domaine d étude? Étudier la périodicité de f Étudier la parité de f Table des matières 539

4 Comment déterminer un domaine de dérivabilité? Utiliser les domaines de dérivabilité des fonctions usuelles Comment montrer qu une fonction est définie, continue, dérivable, de classe C n, de classe C sur un intervalle? Vérifier que les fonctions usuelles qui la composent le sont Comment calculer une dérivée? Connaître les dérivées usuelles et les opérations Comment construire un tableau de variations? Étudier le signe de la dérivée Comment déterminer l équation d une tangente? Déterminer l abscisse a dontdépendlaformule Comment montrer qu un graphe admet une demi-tangente? Revenir à la définition du nombre dérivé à droite ou à gauche Comment montrer qu un graphe admet une tangente verticale? Utiliser le théorème de la limite de la dérivée Revenir à la définition du nombre dérivé Comment déterminer une asymptote horizontale ou verticale? Calculer la limite correspondante Comment déterminer une asymptote oblique? Utiliser un développement limité en + ou Calculer m = lim x ± f(x)/x, puisp = lim x ± f(x) mx Comment montrer que deux courbes sont asymptotes? Calculer la limite correspondante Comment étudier la position relative de deux courbes? Étudier le signe de la différence Utiliser un développement limité (ou asymptotique) Comment représenter graphiquement une fonction (sans calculatrice)? Utiliser les graphes des fonctions usuelles Utiliser tableaux, points, tangentes, asymptotes À vous de jouer! Thème 8 - Continuité : (in)égalité, bijection, (in)équation Comment montrer qu une égalité est vraie (sur un intervalle)? Procéder par égalités successives Procéder par équivalences successives Montrer que leurs dérivées sont égales puis qu elles sont égales en un point Comment montrer qu une inégalité est vraie sur un intervalle? Utiliser des majorations (minorations) successives Étudier le signe de la fonction correspondante Étudier les variations de la fonction correspondante Utiliser les inégalités du cours Comment déterminer l image d un intervalle par une fonction continue?.... Dresser le tableau de variations de la fonction sur cet ensemble Comment montrer qu une fonction continue est bijective? Montrer qu elle est strictement monotone Déterminer sa fonction réciproque Comment déterminer la fonction réciproque d une bijection? Exprimer x en fonction de y àpartirdelarelationy = f(x) Comment montrer qu une équation admet une solution? Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires Comment montrer qu une équation admet une unique solution? Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et la notion de bijection Comment montrer qu une équation du type f(x) =x admet une solution? Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires avec h(x) =0et h(x) =f(x) x Comment déterminer r et φ tels que a cos(x)+bsin(x) =r cos(x + φ)?.... Mettrelemoduledea +ib en facteur Comment résoudre une équation trigonométrique? Reconnaître les valeurs trigonométriques remarquables Se ramener à une équation trigonométrique usuelle Table des matières

5 Comment résoudre une équation polynomiale? Revoir les pages 172 à À vous de jouer! Thème 9 - Dérivations Comment calculer des dérivées successives ou une dérivée n ième? Utiliser des dérivées successives connues Montrer une conjecture par récurrence Utiliser la formule de Leibniz Comment calculer des dérivées successives en un point? Utiliser un développement limité Comment calculer une dérivée partielle? Supposer que seule la variable de dérivation n est pas constante À vous de jouer! Thème 10 - Prolongement par continuité Comment montrer qu une fonction est prolongeable par continuité? Utiliser un développement limité d ordre Revenir à la définition : calcul de limite Comment montrer qu une fonction n est pas prolongeable par continuité?... Revenir à la définition : calcul de limite Comment montrer qu un prolongement par continuité est dérivable au point de prolongement? Utiliser un développement limité d ordre Utiliser le théorème de limite de la dérivée Revenir à la définition du nombre dérivé : calcul de limite Comment montrer qu un prolongement par continuité n est pas dérivable au point de prolongement? Revenir à la définition du nombre dérivé : calcul de limite Comment montrer qu un prolongement par continuité est de classe C 1 au voisinage du point de prolongement? Utiliser le théorème de limite de la dérivée À vous de jouer! Thème 11 - Calculs de primitives - Intégration Comment montrer qu une fonction admet une primitive sur un intervalle?... Vérifier que la fonction est continue sur cet intervalle Comment reconnaître puis intégrer une dérivée composée? Identifier u et calculer u Reconnaître les formes particulières u /u et u u Comment effectuer une intégration par parties? Choisir pertinemment, dans le produit, la fonction à dériver Comment effectuer un changement de variables? Appliquer correctement la formule Comment calculer une primitive de x e ax cos(bx), dex e ax sin(bx)? Chercher une primitive de la forme x (α cos(bx)+βsin(bx)) e ax Utiliser une écriture complexe Comment calculer une primitive de x 1/(ax 2 + bx + c)? Se ramener à une primitive connue, avec la forme canonique Comment établir une relation de récurrence pour une suite d intégrales? Utiliser une intégration par parties Comment étudier les variations d une suite d intégrale (I n) n N? Déterminer le signe de I n+1 I n Comment déterminer la nature d une suite d intégrale? Voir les pages 282 à À vous de jouer! Thème 12 - Suites Comment montrer qu une suite est bien définie par récurrence? Chercher un ensemble stable par f et procéder par récurrence Table des matières 541

6 Comment étudier le sens de variation d une suite (réelle)? Étudier les variations de la fonction f telle que u n = f(n) Étudier le signe de u n+1 u n Comparer u n+1/u n à 1, pouru n réel strictement positif Utiliser un raisonnement par récurrence Étudier les variations de la fonction f telle que u n+1 = f (u n) Comment montrer que deux suites sont adjacentes? Revenir à la définition Comment déterminer la nature d une suite? Utiliser le théorème de limite monotone Utiliser le théorème des suites adjacentes Utiliser une inégalité du type u n+1 l k u n l Déterminer la limite, si elle existe Comment déterminer un équivalent d une suite? Utiliser un développement asymptotique Comment exprimer u n en fonction de n? Reconnaître une suite arithmético-géométrique u n+1 = qu n + r Reconnaître une suite linéaire d ordre 2 : u n+2 = bu n+1 + cu n Reconnaître la somme des termes d une suite connue Comment calculer la limite d une suite? Revoir les pages 198 à À vous de jouer! Thème 13 - Series Comment montrer la convergence d une série? Déterminer un équivalent de son terme général, s il est de signe constant Majorer, s il est positif, le terme général par le terme d une série convergente. 291 Revenir à la définition : la suite des sommes partielles Comment montrer la divergence d une série? Montrer que la limite du terme général est non nulle Déterminer un équivalent du terme général (positif) Minorer par le terme général positif d une série divergente Revenir à la définition : la suite des sommes partielles Comment déterminer la nature d une série? Étudier le terme général Comment calculer la limite d une série? Revoir page À vous de jouer! Thème 14 - Équations différentielles Comment montrer qu une équation différentielle admet une solution? Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz Comment trouver une solution particulière? Tester une solution évidente Utiliser la forme du second membre Utiliser la méthode de variation de la constante (pour une équation d ordre 1) 304 Utiliser le principe de superposition Comment résoudre une équation différentielle linéaire? Utiliser la décomposition «solution générale de l équation homogène associée + solution particulière» Comment résoudre une équation différentielle avec condition(s) initiale(s)? Résoudre une équation ou un système d équations À vous de jouer! Thème 15 - Matrices Comment effectuer le produit A B de deux matrices? Disposer les matrices au brouillon Utiliser les combinaisons linéaires de colonnes Comment montrer (ou vérifier) qu une matrice B est l inverse d une matrice A? Revenir à la définition : calculer A B ou B A Table des matières

7 Comment échelonner et réduire une matrice? Utiliser l algorithme de Gauss-Jordan Comment calculer l inverse d une matrice A? Utiliser l algorithme de Gauss sur la matrice augmentée A I Résoudre le système associé AX = Y Utiliser une relation du type P (A) =0,oùP est un polynôme Comment déterminer le rang d une matrice? Utiliser l algorithme de Gauss-Jordan Comment déterminer qu une matrice est inversible, sans en calculer l inverse?. 320 Calculer son rang Comment calculer les puissances d une matrice? Conclure rapidement, dans le cas où la matrice est diagonale Utiliser une preuve par récurrence, si A = PDP Utiliser le binôme de Newton À vous de jouer! Thème 16 - Systèmes linéaires Comment résoudre un système? Utiliser l algorithme de Gauss-Jordan sur la matrice augmentée Utiliser l algorithme de Gauss-Jordan sur le système Comment déterminer si un système admet (au moins) une solution? Déterminer les équations de compatibilité Comment déterminer le nombre de solutions d un système? Étudier équation(s) de compatibilité et paramètre(s) Comment décrire les solutions d un système? Utiliser une notation ensembliste Utiliser une décomposition «solution particulière + solutions homogènes» À vous de jouer! Thème 17 - Espaces vectoriels Comment montrer qu un ensemble est un sous-espace vectoriel? Revenir à la définition : vecteur nul + stabilité Comment montrer que deux sous-espaces vectoriels sont en somme directe?.. Revenir à la définition : intersection réduite au vecteur nul Comment montrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires?... Revenir à la définition : E E = E Comment montrer qu une famille est libre? k=n Revenir à la définition : montrer que λ k. u k = 0 tous les λ k sont nuls k=1 Comment montrer qu une fonction φ est une application linéaire? Revenir à la définition : montrer que φ ( u + λ. v) =φ ( u)+λ.φ ( v) Comment déterminer le noyau d une application linéaire φ? Revenir à la définition : résoudre φ( u) = Comment déterminer l image d une application linéaire φ? Revenir à la définition : déterminer les éléments qui ont un antécédent par φ. 340 Comment déterminer si une application linéaire φ est injective, surjective, bijective? 341 Déterminer ker(φ) et Im (φ) Revenir aux définitions À vous de jouer! Thème 18 - Espaces vectoriels de dimension finie Comment montrer qu une famille est libre? k=n Revenir à la définition : montrer que λ k. u k = 0 tous les λ k sont nuls k=1 Comment montrer qu une famille est liée? Revenir à la définition : montrer qu elle n est pas libre Comment extraire d une famille F une base de Vect (F)? Chercher des relations entre les vecteurs de F Table des matières 543

8 Comment déterminer une base d un sous-espace vectoriel E? Utiliser la dimension de E Revenir à la définition : trouver une famille libre génératrice Comment déterminer la dimension d un sous-espace vectoriel? Revenir à la définition : déterminer une base Utiliser des espaces isomorphes Comment montrer que deux sous-espaces vectoriels E et E sont supplémentaires? 350 Déterminer E E, dim(e ) et dim(e ) Comment montrer qu une famille est une base de E? Montrer que la matrice correspondante est inversible Comment déterminer la matrice d une application linéaire φ dans les bases B et C? 353 Revenir à la définition : exprimer les vecteurs de φ(b) dans C Utiliser la formule de changement de bases M = Q 1 MP Comment déterminer le noyau d une application linéaire φ? Résoudre AX =0où A =Mat(φ) dans les bases canoniques Comment déterminer l image d une application linéaire φ? Établir les équations de compatibilité de AX = B avec A =Mat(φ) et B une 359 colonne de constantes Comment déterminer le rang d une application linéaire φ? Déterminer le rang de A =Mat(φ) B C Utiliser le théorème du rang Revenir à la définition : déterminer la dimension de Im (φ) Comment déterminer si une application linéaire φ est injective, surjective, bijective? 363 Déterminer ker(φ) et/ou rg (φ) À vous de jouer! Thème 19 - Géométrie du plan Comment déterminer l orthogonalité? Utiliser le produit scalaire Utiliser l écriture complexe Comment déterminer la colinéarité (ou le parallélisme)? Trouver un coefficient de proportionnalité Utiliser le produit mixte Utiliser l écriture complexe Comment déterminer si des points sont alignés? Utiliser la colinéarité des vecteurs associés Comment déterminer une équation de droite? Utiliser deux points distincts et le produit mixte Utiliser un point, un vecteur normal et le produit scalaire Comment déterminer une droite à partir de son équation? Utiliser deux points distincts ou un point et un vecteur normal Comment déterminer le centre et le rayon d un cercle à partir de son équation? 371 Utiliser la forme canonique Comment déterminer la nature de l intersection d un cercle avec une droite ou un autre cercle? Commencer par calculer la distance du centre du cercle à la droite Calculer la distance séparant les deux centres Comment déterminer l intersection de deux droites ou cercles? Étudier le parallélisme des droites, résoudre le système associé Utiliser les équations de cercle et de droite Comment déterminer une transformation d écriture complexe du type z = az + b? 377 Déterminer le point fixe et écrire a sous forme exponentielle À vous de jouer! Thème 20 - Géométrie de l espace Comment déterminer l orthogonalité? Utiliser le produit scalaire Comment déterminer la colinéarité (ou le parallélisme)? Trouver un coefficient de proportionnalité Utiliser le produit vectoriel Table des matières

9 Comment déterminer la coplanarité? Utiliser le produit mixte Comment déterminer si des points sont alignés ou coplanaires? Montrer la colinéarité ou la coplanarité des vecteurs associés Comment déterminer des équations de plan? Utiliser un point, un vecteur normal et le produit scalaire Utiliser le produit vectoriel pour obtenir un vecteur normal Comment déterminer des équations de droites? Utiliser un point et un vecteur directeur Comment obtenir des équations cartésiennes à partir d équations paramétriques? Déterminer des vecteurs normaux Comment obtenir des équations paramétriques à partir d équations cartésiennes? 388 Prendre une variable pour paramètre Comment déterminer un plan à partir de ses équations? Utiliser un point et deux vecteurs non colinéaires du plan Utiliser un point et un vecteur normal Utiliser trois points non alignés Comment déterminer une droite à partir de ses équations? Utiliser un point et un vecteur directeur Utiliser deux plans sécants Utiliser deux points distincts Comment déterminer l intersection de deux plans? Commencer par comparer les vecteurs normaux Comment déterminer le projeté orthogonal d un point A surunplan? Etudier l intersection du plan avec la droite orthogonale passant par A Comment déterminer la distance d un point à un plan? Déterminer le projeté orthogonal du point sur le plan Utiliser le produit scalaire avec un vecteur normal (unitaire) Comment déterminer le projeté orthogonal d un point A sur une droite? Chercher le point H de la droite tel que AH orthogonal à la droite Comment déterminer la distance d un point à une droite? Déterminer le projeté orthogonal du point sur la droite Utiliser la norme du produit vectoriel avec un vecteur directeur (unitaire) Comment déterminer le centre et le rayon d une sphère à partir de son équation? 397 Utiliser la forme canonique Comment déterminer la nature de l intersection d un plan et d une sphère?.. Comparer le rayon de la sphère à la distance de son centre au plan Comment déterminer la nature de l intersection de deux sphères? Commencer par calculer la distance entre les deux centres Comment déterminer la matrice d une rotation? Utiliser une bonne base et les matrices de passage associées Comment déterminer une rotation à partir de sa matrice? Déterminer les vecteurs fixes pour construire une bonne base À vous de jouer! Thème 21 - Probabilités Comment calculer une probabilité dans un cas d équiprobabilité? Déterminer le nombre de cas possibles et de cas favorables Comment reconnaître un cas de non-équiprobabilité? Relever les mots-clés de l énoncé Comment calculer une probabilité dans un cas de non-équiprobabilité?.... Sommer les probabilités de toutes les éventualités associées Comment construire un arbre en probabilité? Traiter tous les cas à chaque nœud Comment construire un tableau à double entrée? Choisir deux critères à partitionner Comment se servir d un arbre ou d un tableau à double entrée? Utiliser la formule des probabilités totales Utiliser les probabilités conditionnelles Table des matières 545