DISTANCE DE DEUX POINTS. dans un repere orthonormal

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1 THEME : DISTNCE DE DEUX POINTS dans un repere orthonormal Dans tout ce chapitre, nous travaillerons dans un repère orthonormal ( O, I, J ) Un repère ( O, I, J ) est dit orthonormal ( ou orthonormé ) lorsque les axes sont perpendiculaires et lorsque OI = OJ ( = 1 ). Recherche : Considérons deux points et de coordonnées respectives (x ; y ) et (x ; y ). Nous supposerons de plus que x x et y y. Soit C le point d intersection de la parallèle à l axe des abscisses passant par et de la parallèle à l axe des ordonnées passant par. Comme les axes sont perpendiculaires ( repère orthonormal ), le triangle C est rectangle en C. Nous pouvons donc, dans ce triangle, appliquer le théorème de Pythagore. ² = C² + C² Donc ( voir ci-contre ) ² = (x x )² + (y y )² Et par suite = (x - x )² + (y - y )² Nous savons que ( -3)² = 3² ( un carré est toujours positif ) Lien entre x x et x x : Ces deux valeurs ont la même partie numérique, mais différent par leurs signes. Si l une des valeurs est positive, l autre est négative. Elles ne sont pas égales, mais vérifient l égalité suivante : x x = - ( x x ) Mais, si maintenant, nous élevons au carré ces deux valeurs, nous obtenons (x x )² = [ - ( x x ) ]² = ( x x )² Il y a donc égalité (x x )² = ( x x )²

2 Il est vrai que nous pouvions également écrire = (x - x )² + (y - y )² ou encore = (x - x )² + (y - y )² ou encore... Il n y a pas d ordre dans les différences, mais il est préférable ( non obligatoire ) de commencer par le dernier point de l écriture, c est à dire par le point. Propriété : Dans le plan muni d un repère, soient et deux points de coordonnées respectives ( x ; y ) et ( x ; y ). ² = (x x )² + (y y )² ou = (x - x )² + (y - y )² Cette propriété donne en plus de la distance des deux points, le carré de cette distance. Il est peut-être préférable d utiliser, dans les exercices, cette formule. SVOIR CLCULER UNE DISTNCE Soient, dans un repère orthonormal ( O, I, J ), les points, et C de coordonnées respectives ( - 1, 1 ), ( 3, 4 ) et (2 ; 1 ). Calculer et C. Si l unité commune sur les deux axes était, par exemple, le centimètre, la longueur du segment [] serait de 5 cm Calcul de C C² = [ 2 ( - 1 ) ]² + ( )² C² = ( )² + ( - 2 )² = 3² + ( - 2 )² = = C = Calcul de : Il est inutile de refaire la démonstration. Il suffit d appliquer la formule. fin d éviter d écrire plusieurs fois le radical, et pour faciliter certaines écritures, nous allons calculer le carré de cette distance. ² = [ 3 ( - 1 ) ]² + ( 4 1 )² ² = ( )² + ( 4 1 )² ² = 4² + 3² = = 25 = 25 = 5 = 5 C =

3 stuce : Il «faut» toujours commencer par les coordonnées du dernier point. vec ce principe, qui sera exploité un peu plus tard, dans une nouvelle leçon, nous pouvons «vérifier»,sur le dessin, nos calculs. Reprenons l exemple précédent où il est demandé de calculer C. Les sens positifs sont donnés par les deux axes. Pour «aller» de à C, il suffit de se «déplacer» selon l axe des abscisses de + 3, puis, selon l axe des ordonnées, de 2. Nous retrouvons, dans le calcul de la distance ces deux déplacements. C² = ( )² + ( - 2 )² = 3² + ( - 2 )² = = Vous pouvez le vérifier sur le calcul de ( cf. ci-dessus ) et sur les calculs suivants. SVOIR DEMONTRER QU UN TRINGLE EST RECTNGLE Soient, dans un repère orthonormal ( O, I, J ), les points, et C de coordonnées respectives ( - 3 ; 1 ), ( 3 ; - 2 ) et ( 5 ; 2 ). Montrer que le triangle C est rectangle. Calcul de C ( ou de C² ) : C² = [ 5 ( - 3 ) ]² + ( 2 1 )² C² = ( )² + ( 2 1 )² C² = 8² + 1² = = 65 C = 65 Calcul de ( ou de ² ) : ² = [ 3 ( - 3 ) ]² + ( )² ² = ( )² + ( - 3 )² ² = 6² + ( - 3 )² ² = = 45 = 45 Calcul de C ( ou de C² ) : C² = ( 5 3 )² + [ 2 ( - 2 ) ]² C² = ( 5-3 )² + ( )² C² = 2² + 4² = = 20 C = 20 Pour «aller» de à, il faut se déplacer de + 6 selon l axe des abscisses et de 3 selon l axe des ordonnées. Le triangle C est-il rectangle? C² = 65 Et ² + C² = = 65 Donc ² + C² = C² D après la réciproque de Pythagore, le triangle C est rectangle en. Dans la question, il n est pas demandé de calculer les distances, C et C. Seule la nature du triangle est recherchée. C est pourquoi, il était inutile d écrire = 45, C = 20 et C = 65.

4 La recherche de ², C² et C² suffisait. Par contre, s il avait été demandé de déterminer, C et C, cette recherche aurait été poussée jusqu à la simplification des écritures. = 45 = 9 5 = 9 5 = 3 5, C = 20 = 4 5 = 4 5 = 2 5 et C = 65 SVOIR DEMONTRER QU UN QUDRILTERE EST UN RECTNGLE, UN LOSNGE OU UN CRRE Soient, dans un repère orthonormal ( O, I, J ), les points,, C et D de coordonnées respectives ( - 1 ; 2 ), ( 3 ; 3 ), ( 4 ; - 1 ) et ( 0 ; - 2 ). Quelle est la nature du quadrilatère CD? Conjecture : Il semble que CD soit un carré! Montrons que CD est un parallélogramme : Si les diagonales de CD ont même milieu, CD est un parallélogramme. Coordonnées du milieu de [C] : ( -1 ) 3 1 ( ; ) soit ( ; ) Coordonnées du milieu de [D] : ( - 2 ) 3 1 ( ; ) soit ( ; ) Nous constatons que les diagonales du quadrilatère CD ont même milieu, donc CD est un parallélogramme. Montrons que CD est un rectangle : Si le parallélogramme CD a un angle droit, CD est un rectangle. Pour démontrer que l angle  est droit, il suffit de démontrer que le triangle D est rectangle en. Calcul de : ² = [ 3 ( - 1 ) ]² + ( 3 2 )² = ( )² + ( 3 2 )² = 4² + 1² = = 17 Donc = 17 Calcul de D : D² = [ 0 ( - 1 ) ]² + ( )² = ( )² + ( )² = 1² + ( -4 )² = = 17 Donc D = 17 Calcul de D : D² = ( 0 3 )² + ( )² = ( - 3 )² + ( - 5 )² = = 34 Donc D = 34 D² = 34 et ² + D² = = 34 Donc D² = ² + D² D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle D est rectangle en Le parallélogramme CD a un angle droit en, donc CD est un rectangle. Il était également possible de montrer, en les calculant, que les diagonales [C] et [D] de ce parallélogramme étaient de même longueur. Ce procédé était certainement plus simple. Mais la méthode proposée va permettre de terminer le problème plus rapidement ) Montrons que CD est un losange : Si le parallélogramme CD a deux côtés consécutifs de même longueur, CD est un losange. Toujours vérifier sur le dessin les coordonnées déterminées par le calcul.

5 D après les calculs précédents, nous avons : = D = 17 Le parallélogramme CD a deux côtés consécutifs [] et [D] de même longueur, donc CD est un losange. CD est à la fois un rectangle et un losange, donc CD est un carré SVOIR DEMONTRER QUE DES POINTS SONT COCYCLIQUES* Soient, dans un repère orthonormal ( O, I, J ), les points,, C et M de coordonnées respectives ( 3 ; 4 ), ( - 2 ; 3 ), ( 3 ; - 2 ) et ( 1 ; 1 ). Montrer que, et C sont sur un même cercle de centre M. Cocycliques Des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle. Deux points sont toujours cocycliques. Trois points non alignés sont cocycliques ( le centre du cercle étant le centre du cercle circonscrit au triangle formé par ces trois points ) Calcul de M : M² = ( 3-1 )² + ( 4-1 )² = 2² + 3² = = M = Calcul de M : M² = ( )² + ( 3-1 )² = ( - 3 )² + 2² = = M = Calcul de MC : MC² = ( 3-1 )² + ( )² = 2² + ( - 3 )² = = MC = ( on continue s il y a d autres points ) Nous avons M = M = MC = Les points, et C sont donc sur le cercle de centre M et de rayon.