Traitement du Signal

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1 Traitement du Signal James L. Crowley Deuxième Année ENSIMAG Troisième Bimestre 1999/ Séance 4 : 1 mars 2 Analyse de Fourier des Signaux Formule du Jour...2 La Fonction de Transfert d'un Système Continu...3 La Transformée de Fourier...4 Sortes de Transformées de Fourier...4 La Transformée de Fourier d'un signal continu...5 Transformée de Fourier en 2-D :...5 Propriétés de la Transformation de Fourier d'un signal réel :...6 Transformée de Fourier d'un signal réel :...7 Propriétés Principaux de la transformée de Fourier...8

2 Formule du Jour ejωt = Cos(ωt) + j Sin(ω t) e = Lim n {(1 + 1 n )n } = e x = Lim n {(1 + x n )n } = ( ) x j = 1... e jx = Lim n {(1 + jx n )n } = 1 + jx + (jx) 2 2! = 1 + (jx) 2 2! + (jx) 4 4! + (jx) 6 6! + (jx) 3 3! jx + (jx) 3 3! + (jx) 4 4! + (jx) 5 5! + (jx) 5 5! (jx) 6 6! + = Cos(x) + j Sin (x) On note que : ejωt + e-jωt = Cos(ωt) + j Sin (ωt) + Cos(ωt) j Sin (ωt) = 2 Cos(ωt) ejωt e-jωt = Cos(ωt) + j Sin (ωt) Cos(ωt) + j Sin (ωt) = 2j Sin(ωt) 4-2

3 La Fonction de Transfert d'un Système Continu Un système linéaire est modélisé par sa réponse impulsionnelle : h(t) = H[δ(t)] δ(t) * h(t) h(t) La fonction de transfert est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. Intérêt : Convolution en temps est équivalent d'un produit en domaine Fourier. y(t) = h(t) * x(t) Y(ω) = H(ω) X(ω) Les signaux e jωt sont les fonctions caractéristiques pour le convolution. Ils sont également une base orthogonale pour x(t). La fonction de transfert d'un système h(t) est une fonction complexe H(ω) qui donne le changement d'amplitude et phase unique à chaque e jωt. Donc, pour un entré e jωt : h(t) * e jωt = H(ω) e jωt = h(τ) e jω(t τ) dτ H(ω) e jωt = e jωt = h(τ) e jωτ dτ h(τ) e jωt e jωτ dτ) H(ω) = h(τ) e jωτ dτ Le convolution d'un signal x(t) avec h(t) peut être décrit par un produit de la fonction de transfert H(ω) avec une décomposition spectrale X(ω) de x(t). La décomposition spectrale est fournie par une transformée de Fourier. 4-3

4 La Transformée de Fourier L'analyse harmonique d'un signal déterministe est l'instrument de base de la théorie et du traitement du signal. Cette analyse harmonique, obtenue par la transformation de Fourier, est une représentation spectrale des signaux. Elle exprime la répartition en fréquence de l'amplitude et de la phase de l'énergie ou de la puissance d'un signal. Il existe plusieurs formulations de cette transformation : Sortes de Transformées de Fourier Transformée temps fréquence TF Transformée de Fourier classique continu infini continue infinie TFD Transformée de Fourier Discrète TFTD Transformée de Fourier en Temps Discrète discret périodique discret fini discrète périodique continue, périodique La Transformée de Fourier classique s'applique aux expressions analytiques. Elle s'agit d'un outil d'analyse "symbolique". Elle est presque toujours calculée "à la main". La Transformée de Fourier Discrète s'applique aux séquences numériques. Elle est numérique et presque toujours calculer "par logiciel". Elle transforme une séquence x(n) de N échantillons, à une séquence X(k) de N échantillons La Transformée de Fourier en Temps Discrète s'applique aux séquences numériques. Elle permet d'exprimer la "fonction de transfert" d'une convolution. Elle décrit un filtre comme une suite des exponentiels. Elle peut être fait à la main pour les petites séquences, et par logiciel pour les grandes séquences 4-4

5 La Transformée de Fourier d'un signal continu Soit x(t) un signal complexe déterministe. La transformée de Fourier est une fonction complexe de la variable réelle ω = 2π f définie par : {x(t)} = X(ω) = x(t) e-jωt dt La transformée inverse est donnée par : x(t) = -1{ X(ω) } = X(ω) ejωt dω La symétrie de ces formulations montre l'existence d'une dualité temps-fréquence Condition d'existence : Pour qu'une fonction x(t) possède une transformée de Fourier il faut et il suffit que: la fonction x(t) soit bornée. l'intégrale de x(t) entre et ait une valeur bornée. les discontinuités de x(t) soient en nombre fini. Transformée de Fourier en 2-D : {g(x, y)} = G(u, v) = g(x, y) = -1{ G(u, v) } = g(x, y) e-j(ux+vy) dx dy G(u, v) ej(ux+vy) du dv 4-5

6 Propriétés de la Transformation de Fourier d'un signal réel : X(ω) = {x(t)} est une fonction COMPLEXE. Rappel : pour un complexe z = R{z} + j I {z} = z r + j z i = r e jϕ = z e jϕ j I {z} r = z ϕ = arg{z} R{z} r = z r 2 + z i 2 ϕ = Arg {z}= Tan 1 { z i z r } Pour X(ω) : X(ω) = R{X(ω)} + j I {X(ω)} = X(ω) ejϕ(ω) Le module X(ω) = R{X(ω)} 2 + j I{X(ω)} 2 est le spectre d amplitude. L argument ϕ(ω) = arg (X(ω) = Arc Tan( I{X(ω)} R{X(ω)} ) est le spectre de phase. 4-6

7 Transformée de Fourier d'un signal réel : Pour x(t) réel : X(ω) : Le spectre d amplitude est une fonction paire ϑ(ω) : Le spectre de phase est une fonction impaire. Démonstration : Soit x(t) = x p (t) +x i (t) respectivement partie paire et partie impaire dont les TF sont respectivement X p (ω) et X i (ω) on a : X(ω) = x(t) e-jωt dt = x p (t)cos(ωt)dt + x i (t)cos(ωt)dt j x p (t) sin(ωt)dt j x i (t) sin(ωt)dt mais x i (t) cos(ωt) dt = x i (t) cos(ωt) dt + x i (t) cos(ωt) dt = et x p (t) sin(ωt) dt = x p (t) sin(ωt) dt + x p (t) sin(ωt) dt = donc X(ω) = x p (t) cos(ωt) dt j x i (t) sin(ωt) dt = X p (ω) + j X i (ω) La partie Réel du X(ω) est la transformée de la partie paire x p (t). R{X(ω)} = {x p (t)} = X p (ω) La partie Imaginaire est la transformé de la partie impaire x i (t). I {X(ω)} = {x i (t)} = X i (ω) 4-7

8 Propriétés Principaux de la transformée de Fourier L importance de la transformation de Fourier en théorie du signal est largement due à certaines de ses propriétés remarquables. Propriétés de symétrie : (Parité) si x(t) est réel : Temps pair impaire Fréquence réel imaginaire si X(ω) est réel : Temps réel imaginaire Linéarité Fréquence pair impaire a x(t) + b y(t) a X(ω) + b Y(ω) Conjuguée complexe : x*(t) X*( ω) Dualité avec convolution : x(t) * y(t) X(ω) Y(ω) x(t) y(t) X(ω) * Y(ω) Dualité avec inter-corrélation : x(t) y(t) X * (ω) Y(ω) x * (t) y(t) X(ω) Y(ω) Translation (théorème du retarde) : x(t t ) X(ω) e +jωt x(t) e jω t X(ω+ω ) 4-8

9 Échelle x(at) = a 1 X( ω a ) Première dérivée : Im{ H(ω) } { (f(t)) t } = j ω {f(t)} ω Deuxième dérivée : { 2(f(t)) t2 } = ω 2 F(ω) ω En général : { n f(t) tn } = (jω) n F(jω) Énergie d'un signal : (Théorème de Parseval) Énergie d'un signal = Énergie de sa Transformée f(t) 2 dt = 1 2π F(ω) 2 dω f(t) g*(t) dt = 1 2π F(ω) G*(ω) dω 4-9