Jeux: premiers pas. Olivier Serre LIAFA, Université Paris 7 & CNRS. p. 1/23
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- Thierry Truchon
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1 . Jeux: premiers pas Olivier Serre LIAFA, Université Paris 7 & CNRS. serre@liafa.jussieu.fr p. 1/23
2 Plan Mise en bouche. Jeux : définitions de base. Jeux sur des graphes finis : condition d accessibilité. Jeux sur des graphes finis : condition de Büchi. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 2/23
3 . MISE EN BOUCHE Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 3/23
4 Jeux et chocolat : Chomp On dispose d une tablette de chocolat dont le carré supérieur gauche est empoisonné. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 4/23
5 Jeux et chocolat : Chomp On dispose d une tablette de chocolat dont le carré supérieur gauche est empoisonné. Les joueurs (Eve et Adam) jouent à tour de rôle et Eve commence. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 4/23
6 Jeux et chocolat : Chomp On dispose d une tablette de chocolat dont le carré supérieur gauche est empoisonné. Les joueurs (Eve et Adam) jouent à tour de rôle et Eve commence. Un coup consiste à choisir un carré de chocolat et à le manger ainsi que tous les carrés qui sont à sa droite et en dessous de lui. Le joueur qui mange le carré empoisonné perd Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 4/23
7 Jeux et chocolat : Chomp On dispose d une tablette de chocolat dont le carré supérieur gauche est empoisonné. Les joueurs (Eve et Adam) jouent à tour de rôle et Eve commence. Un coup consiste à choisir un carré de chocolat et à le manger ainsi que tous les carrés qui sont à sa droite et en dessous de lui. Le joueur qui mange le carré empoisonné perd (et meurt dans d atroces souffrances). Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 4/23
8 Jeux et chocolat : Chomp On dispose d une tablette de chocolat dont le carré supérieur gauche est empoisonné. Les joueurs (Eve et Adam) jouent à tour de rôle et Eve commence. Un coup consiste à choisir un carré de chocolat et à le manger ainsi que tous les carrés qui sont à sa droite et en dessous de lui. Le joueur qui mange le carré empoisonné perd (et meurt dans d atroces souffrances). Qui gagne??? Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 4/23
9 Modélisation du jeu 3 2 Configurations possibles : Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 5/23
10 Modélisation du jeu 3 2 Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 5/23
11 Modélisation du jeu 3 2 Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 5/23
12 Modélisation du jeu 3 2 Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 5/23
13 Modélisation du jeu 3 2 Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 5/23
14 Modélisation du jeu 3 2 Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 5/23
15 Exercice toto Qui gagne dans le cas général? Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 6/23
16 . JEUX : DÉFINITIONS DE BASE Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 7/23
17 Règles du jeu toto Aujourd hui : Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 8/23
18 Règles du jeu toto Aujourd hui : 2 joueurs : Eve et Adam. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 8/23
19 Règles du jeu toto Aujourd hui : 2 joueurs : Eve et Adam. Information complète : tout le monde voit tout (et non incomplète comme dans les jeux de cartes). Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 8/23
20 Règles du jeu toto Aujourd hui : 2 joueurs : Eve et Adam. Information complète : tout le monde voit tout (et non incomplète comme dans les jeux de cartes). Jeux alternés : les joueurs jouent à tour de rôle (et non simultanément comme dans pierre, papier, ciseaux). Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 8/23
21 Règles du jeu toto Aujourd hui : 2 joueurs : Eve et Adam. Information complète : tout le monde voit tout (et non incomplète comme dans les jeux de cartes). Jeux alternés : les joueurs jouent à tour de rôle (et non simultanément comme dans pierre, papier, ciseaux). Jeux non randomisés : pas de hasard. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 8/23
22 Qu est ce qu un jeu? La recette Ingrédients : Un graphe. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
23 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
24 Ingrédients : Un graphe. Qu est ce qu un jeu? La recette Deux joueurs : Eve ( ) et Adam ( ). Bien mélanger! Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
25 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Déroulement d une partie : déplacement d un jeton. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
26 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Déroulement d une partie : déplacement d un jeton. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
27 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Déroulement d une partie : déplacement d un jeton. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
28 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Déroulement d une partie : déplacement d un jeton. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
29 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Déroulement d une partie : déplacement d un jeton. Une condition de gain. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
30 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Déroulement d une partie : déplacement d un jeton. Une condition de gain. Exemple : accessibilité. Eve gagne ssi un état final est visité. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
31 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Déroulement d une partie : déplacement d un jeton. Une condition de gain. Exemple : Büchi. Eve gagne ssi une infinité d état finaux est visitée. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
32 Ingrédients : Un graphe. Deux joueurs : Eve et Adam. Qu est ce qu un jeu? La recette Déroulement d une partie : déplacement d un jeton. Une condition de gain. Exemple : parité Eve gagne ssi la plus grande couleur infiniment répétée est paire. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 9/23
33 Condition de gain : accessibilité. Déroulement d une partie : exemple Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 10/23
34 Condition de gain : accessibilité. Déroulement d une partie : exemple Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 10/23
35 Condition de gain : accessibilité. Déroulement d une partie : exemple Eve gagne! Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 10/23
36 Condition de gain : accessibilité. Déroulement d une partie : exemple Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 10/23
37 Condition de gain : accessibilité. Déroulement d une partie : exemple Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 10/23
38 Condition de gain : accessibilité. Déroulement d une partie : exemple Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 10/23
39 Condition de gain : accessibilité. Déroulement d une partie : exemple Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 10/23
40 Condition de gain : accessibilité. Déroulement d une partie : exemple Partie infinie gagnée par Adam! Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 10/23
41 Plus formellement tableau Notion de base : Graphe (étiqueté ou non), graphe de jeu. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 11/23
42 Plus formellement tableau Notion de base : Graphe (étiqueté ou non), graphe de jeu. Condition de gain. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 11/23
43 Plus formellement tableau Notion de base : Graphe (étiqueté ou non), graphe de jeu. Condition de gain. Jeu, partie. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 11/23
44 Plus formellement tableau Conditions de gain : Interne/externe. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 12/23
45 Plus formellement tableau Conditions de gain : Interne/externe. Condition duale. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 12/23
46 Plus formellement tableau Conditions de gain : Interne/externe. Condition duale. Quelques exemples. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 12/23
47 Plus formellement tableau Stratégies, positions gagnantes : Stratégie. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 13/23
48 Plus formellement tableau Stratégies, positions gagnantes : Stratégie. Stratégie gagnante. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 13/23
49 Plus formellement tableau Stratégies, positions gagnantes : Stratégie. Stratégie gagnante. Positions gagnantes. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 13/23
50 Déterminisme toto Question centrale : Etant donné un jeu G, quelles sont les positions gagnantes (W E ) pour Eve? pour Adam (W A )? Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 14/23
51 Déterminisme toto Question centrale : Etant donné un jeu G, quelles sont les positions gagnantes (W E ) pour Eve? pour Adam (W A )? Jeu déterminé : W E W A = V. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 14/23
52 Déterminisme toto Question centrale : Etant donné un jeu G, quelles sont les positions gagnantes (W E ) pour Eve? pour Adam (W A )? Jeu déterminé : W E W A = V. Où l on parle de topologie... Th. de Martin (75) : tout jeu borélien est déterminé. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 14/23
53 Déterminisme toto Question centrale : Etant donné un jeu G, quelles sont les positions gagnantes (W E ) pour Eve? pour Adam (W A )? Jeu déterminé : W E W A = V. Où l on parle de topologie... Th. de Martin (75) : tout jeu borélien est déterminé. Corollaire. Tous les jeux que nous considérerons seront déterminés : Accessibilité Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 14/23
54 Déterminisme toto Question centrale : Etant donné un jeu G, quelles sont les positions gagnantes (W E ) pour Eve? pour Adam (W A )? Jeu déterminé : W E W A = V. Où l on parle de topologie... Th. de Martin (75) : tout jeu borélien est déterminé. Corollaire. Tous les jeux que nous considérerons seront déterminés : Accessibilité Büchi Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 14/23
55 Déterminisme toto Question centrale : Etant donné un jeu G, quelles sont les positions gagnantes (W E ) pour Eve? pour Adam (W A )? Jeu déterminé : W E W A = V. Où l on parle de topologie... Th. de Martin (75) : tout jeu borélien est déterminé. Corollaire. Tous les jeux que nous considérerons seront déterminés : Accessibilité Büchi Parité... Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 14/23
56 Positions gagnantes : exemple Condition de gain : Büchi. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 15/23
57 Positions gagnantes : exemple Condition de gain : Büchi. W A W E Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 15/23
58 . JEUX SUR DES GRAPHES FINIS : CONDITION D ACCESSIBILITÉ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 16/23
59 Jeu d accessibilité : résolution toto Cadre : Graphe de jeu G = (V E, V A, E). F : sommets finaux. G : jeu d accessibilité sur G Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 17/23
60 Jeu d accessibilité : résolution toto Cadre : Graphe de jeu G = (V E, V A, E). F : sommets finaux. G : jeu d accessibilité sur G Questions : Etant donné v V, décider si v V E. Plus généralement, calculer W E. Enfin, trouver des stratégies gagnantes. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 17/23
61 Où l on se rappelle du chocolat... Configurations possibles : Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 18/23
62 Où l on se rappelle du chocolat... Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 18/23
63 Où l on se rappelle du chocolat... Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 18/23
64 Où l on se rappelle du chocolat... Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 18/23
65 Où l on se rappelle du chocolat... Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 18/23
66 Où l on se rappelle du chocolat... Graphe de jeu associé : 9 9 7/8 7/ Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 18/23
67 Jeu d accessibilité : résolution Initialisation : les sommets finaux sont gagnants pour Eve. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 19/23
68 Jeu d accessibilité : résolution Initialisation : les sommets finaux sont gagnants pour Eve. Induction : 1. Un sommet d Eve depuis lequel part un arc vers un sommet gagnant est aussi gagnant. Une stratégie pour Eve depuis ce sommet consiste à aller vers le sommet gagnant et à appliquer une stratégie gagnante depuis ce dernier. 2. Un sommet d Adam dont tous les arcs vont vers des sommets gagnants pour Eve est gagnant pour Eve. règle 1 règle 2 Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 19/23
69 Résultat principal toto Theorem 1 On peut calculer l ensemble des positions gagnantes dans un jeu d accessibilité et construire des stratégies sans mémoire pour les deux joueurs. Preuve tableau Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 20/23
70 . JEUX SUR DES GRAPHES FINIS : CONDITION DE BÜCHI Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 21/23
71 Jeux de Büchi toto Pour remporter un jeu de Büchi d états finaux F Eve doit : Atteindre un sommet f 1 de F, Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 22/23
72 Jeux de Büchi toto Pour remporter un jeu de Büchi d états finaux F Eve doit : Atteindre un sommet f 1 de F, depuis lequel elle peut atteindre un sommet f 2 de F Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 22/23
73 Jeux de Büchi toto Pour remporter un jeu de Büchi d états finaux F Eve doit : Atteindre un sommet f 1 de F, depuis lequel elle peut atteindre un sommet f 2 de F depuis lequel elle peut atteindre un sommet f 2 de F... Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 22/23
74 Jeux de Büchi toto Pour remporter un jeu de Büchi d états finaux F Eve doit : Atteindre un sommet f 1 de F, depuis lequel elle peut atteindre un sommet f 2 de F depuis lequel elle peut atteindre un sommet f 2 de F... Il faut donc : Déterminer les sommets de F depuis lesquels Eve peut infiniment souvent visiter F Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 22/23
75 Jeux de Büchi toto Pour remporter un jeu de Büchi d états finaux F Eve doit : Atteindre un sommet f 1 de F, depuis lequel elle peut atteindre un sommet f 2 de F depuis lequel elle peut atteindre un sommet f 2 de F... Il faut donc : Déterminer les sommets de F depuis lesquels Eve peut infiniment souvent visiter F et en prendre l attracteur. Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 22/23
76 Résultat principal toto Theorem 2 On peut calculer l ensemble des positions gagnantes dans un jeu d accessibilité et construire des stratégies sans mémoire pour les deux joueurs. Preuve tableau Olivier Serre. Jeux : premiers pas p. 23/23
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