Equations de droites

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1 Equations de droites Table des matières Ensemble de points et équation de droite. activité à retenir eercices Détermination de l équation. activité à retenir eercices Intersection de droites. activité évaluations 7. devoir maison

2 Ensemble de points et équation de droite. activité Dans le repère ci dessous :. on cherche à déterminer l ensemble d de tous les points dont les coordonnées (;) vérifient l équation : 8 = ( par eemple : M (8;) convient car 8 8 = ) (a) donner au moins trois autres points qui conviennent et placer ces points dans le repère (b) préciser où semblent se trouver tous les points qui conviennent et représenter cet ensemble en couleur. de même pour chacun des ensembles ci dessous (à partir de d, justifier le résultat en utilisant des propriétés connues) d : + = (*)cahier d : = d 7 : + = = = d... d : +8 = d 8 : + = = = d : = d 9 : = = = = d : + = d : ++ = = = = O caractériser l ensemble des points dont les coordonnées (; ) vérifient l équation : = c où c est un nombre quelconque. de même pour l équation : = c. de même pour l équation a+b +c = = a b c où a et b b

3 corrigé activité Dans le repère ci dessous :. on cherche à déterminer l ensemble d de tous les points dont les coordonnées (;) vérifient l équation : 8 = ( par eemple : M (8;) convient car 8 8 = ) (a) (8; 9), (8; 8), (8; ), conviennent (b) les points semblent se trouver sur une droite "verticale" parallèle à l ae des ordonnées (o). de même pour chacun des ensembles ci dessous d : + = ( ;), ( ;9), ( ; ), droite "verticale" parallèle à l ae (o) d : = = + droite "horizontale" parallèle à l ae (o) d : +8 = = 8 droite horizontale d : = = + droite oblique d : + = = + droite oblique - - d 7 : + = = + droite oblique - d 8 : + = = + droite oblique - - d 9 : = = =, oblique d : ++ = = = droite oblique = = = O =, = + = = = = = 8. l ensemble des points dont les coordonnées (;) vérifient l équation : = c où c est un nombre quelconque est une droite parallèle à l ae des ordonnées ("verticale") et qui passe par (c;). pour l équation : = c : droite parallèle à l ae des abscisses ("horizontale") et qui passe par (;c). pour l équation a+b +c = où a et b droite "oblique" d équation = a b c b qui passe par (; c b ) et de "pente" a b

4 . à retenir propriété : (équation et droite oblique) Dans un repère quelconque du plan, Quels que soient les deu nombres réels a R non nul et b R, il eiste une unique droite D non parallèle à l ae des ordonnées (o), non parallèle à l ae des abscisses (o) quel que soit le point M de coordonnées réelles (;), = a+b M est sur la droite (D) (; b) D passe par les points A(;a+b) D a : Oblique (; b) = a+b A(;b+a) Démonstration : cette propriété est admise Remarques : i. on dit que la droite D est "oblique" ii. on dit que l équation = a+b a pour "droite associée" la droite D iii. pour construire la droite dans un repère, il suffit de construire un tableau de valeurs avec trois valeurs distinctes "bien choisies" puis de placer les points correspondants propriété : (équation et droite horizontale) Dans un repère quelconque du plan, Quel que soit le nombre réel b R, il eiste une unique droite D parallèle à l ae des abscisses (o), quel que soit le point M de coordonnées réelles (;), = b M est sur la droite (D) D passe par le point (;b) a = : Horizontale (; b) = b Démonstration : cette propriété est admise Remarques : on dit que la droite D est "horizontale" (a) on dit que l équation = b a pour "droite associée" la droite D propriété : (équation et droite verticale) Dans un repère quelconque du plan, Quel que soit le nombre réel c R, il eiste une unique droite D parallèle à l ae des ordonnées (o), quel que soit le point M de coordonnées réelles (;), = c M est sur la droite (D) D passe par le point C(;c) Démonstration : cette propriété est admise Remarques : on dit que la droite D est "verticale" on dit que l équation = c a pour "droite associée" la droite D verticale = c C(c; )

5 . eercices eercice : préciser dans chaque cas la nature de l ensemble des points du plan repéré dont les coordonnées vérifient les égalités suivantes et préciser les coordonnées de deu de leurs points i. +8 = ii. = iii. + = eercice : (vrai ou fau) à = correspond une droite verticale V F à = correspond une droite horizontale V F à = correspond une droite oblique V F soit l équation = de droite associée D, M(; ) D V F soit l équation = de droite associée D, M(; ) D V F soit l équation = de droite associée D, M(; ) D V F A(; ), (; ) ; (A) est la droite associée à l équation = + V F eercice : Ecrire un algorithme qui sort "oui" ou "non" selon qu un point M(;) est sur la droite associée à l équation = a + b quand on entre a, b, et

6 Détermination de l équation. activité. Dans (O;I,J) un repère du plan On cherche à savoir si les droites (A) et (CD) se coupent dans chacun des cas ci dessous et dans le cas où elles sont sécantes, on cherche les coordonnées du point d intersection I. pour cela et dans chaque cas : (a) faire une figure (b) si nécessaire, déterminer les coefficients directeurs ou les équations respectives des droites (A) et (CD) puis conclure i. A(; ), (;), C(; ) et D(;) ii. A(;), (;), C( ; ) et D(; ) iii. A(;), (7;), C(;) et D(;) iv. A(;), (7;), C(;) et D(9;) v. A( ;9), (;), C( ; ) et D(;). Dans (O;I,J) un repère du plan On cherche à savoir si les points A, et C sont alignés dans chacun des cas ci dessous pour cela et dans chaque cas : (a) faire une figure (b) si nécessaire, déterminer les coefficients directeurs ou les équations respectives des droites (A) et (AC) puis conclure i. A(; ), (;) et C(;) ii. A(;), (;) et C(;) iii. A(;), (8;) et C(;) iv. A(;), (8;) et C(;) v. A( ;), (;) et C(;)

7 corrigé activité. Dans (O;I,J) un repère du plan i. A(; ), (;), C(; ) et D(;) A = = donc (A) est la droite "verticale" d équation = C = D = donc (CD) est la droite "verticale" d équation = donc (A) et (CD) sont parallèles ii. A(;), (;), C( ; ) et D(; ) A = = donc (A) est la droite "horizontale" d équation = C = D = donc (CD) est la droite "horizontale" d équation = donc (A) et (CD) sont parallèles A D C A C D iii. A(;), (7;), C(;) et D(;) C A D coefficient directeur de (A) : a = A = A 7 = =, coefficient directeur de (CD) : a = C D = C D = =, (A) et (CD) ont le même coefficient directeur donc (A) et (CD) sont parallèles

8 iv. A(;), (7;), C(;) et D(9;) C A D coefficient directeur de (A) : a = A = A 7 = =, coefficient directeur de (CD) : a = C D = C D 9 = 8 =,7 (A) et (CD) n ont pas le même coefficient directeur donc (A) et (CD) ne sont pas parallèles donc elles se coupent en un point I(;) pour déterminer les coordonnées de I, on détermine les équations respectives des droites (A) et (CD) puis on résout le sstème d équations obtenu qui a pour couple (;) de solutions, les coordonnées du point I cherché pour (A) : =,+b et A(;) A =, A +b donc =, +b soit b =,8 =, d ou : =,+, pour (CD) : =,7+b et C(;) C =,7 C +b donc =,7 +b soit b =,7 =, d ou : =,7+, { =,+, =,7 +, =,+, =,7+, =,,7 =,, = =,, = 7 = =, 7+, = {, 7+, = vérifions : 7+, = conclusion : I(7; )

9 v. A( ;9), (;), C( ; ) et D(;) A coefficient directeur de (A) : a = A = 9 A ( ) = 8 coefficient directeur de (CD) : a = C D C D = ( ) ( ) = C (A) et (CD) n ont pas le même coefficient directeur donc (A) et (CD) ne sont pas parallèles donc elles se coupent en un point I(;) pour déterminer les coordonnées de I, on détermine les équations respectives des droites (A) et (CD) puis on résout le sstème d équations obtenu qui a pour couple (;) de solutions, les coordonnées du point I cherché D pour (A) : = 8 +b et A( ;9) A = 8 A +b donc 9 = 8 ( )+b soit b = 9 = d ou : pour (CD) : = 8 = +b et D(;) D = D +b donc = +b soit b = = 7 d ou : = 7 = = 7 = 8 + = 7 = 8 = 7 79 = = 9 = = , = = = 9, vérifions : = = 9 conclusion : I( 9 79 ; ) ou I( 7,;,) 9

10 . Dans (O;I,J) un repère du plan i. A(; ), (;) et C(;) A = = c = donc A, et C sont sur la droite "verticale" d équation = donc A, ) et C sont alignés C A ii. A(;), (;) et C(;) A = = C = donc A, et C sont sur la droite "horizontale" d équation = donc A, et C sont alignés A C iii. A(;), (8;) et C(;) A C coefficient directeur de (A) : a = A = A 8 = =, coefficient directeur de (AC) : a = C A = C A = =, (A) et (AC) ont le même coefficient directeur donc A, et C sont alignés

11 iv. A(;), (8;) et C(;) A C coefficient directeur de (A) : a = A = A 8 = =, coefficient directeur de (AC) : a = C A = C A = 8 =,7 (A) et (AC) n ont pas le même coefficient directeur donc A, et C non alignés v. A( ;), (;) et C(;) A C coefficient directeur de (A) : a = A A = ( ) =, coefficient directeur de (AC) : a = C A = C A ( ) = =, (A) et (AC) n ont pas le même coefficient directeur donc A, et C non alignés

12 . à retenir propriété : (équation et droite oblique) Dans un repère du plan quels que soient les deu points distincts A( A ; A ) et ( ; ) Si A Alors (A) est la droite associée de l équation = a+b avec a = A et A = a A +b donc b = A A a A = a+b A( A ; A ) ( ; ) Démonstration : cette propriété est admise Remarques : i. on détermine grâce à cette propriété l équation d une droite non verticale sachant qu elle passe par deu points distincts donnés, a est appelé "coefficient directeur" et b "ordonnée à l origine" ii. si a = alors la droite est horizontale propriété : (équation et droite verticale) Dans un repère du plan quels que soient les deu points distincts A( A ; A ) et ( ; ) Si A = = c Alors la droite (A) est associée à l équation = c = c ( ; ) A( A ; A ) Démonstration : cette propriété est admise Remarques : (a) on détermine grâce à cette propriété l équation d une droite verticale sachant qu elle passe par deu points distincts donnés propriété : (droites parallèles) Quelles que soient les droites du plan repéré D et D, D et D associées respectivement au équations = a+b et = a +b a = a a a D est parallèle à D équivaut à a = a (elles ont même coefficient directeur) = a+b = a +b = a+b = a +b Démonstration : cette propriété est admise Remarques : (a) a a D et D non parallèles (donc sécantes) si les coefficients directeurs sont différents alors les droites ne sont pas parallèles

13 . eercices eercice : déterminer dans chaque une équation dont la droite (A) est la droite associée i. A(; ), (;) ii. A(;8), (7;8) iii. A(;), (7;) eercice : (vrai ou fau) A(; ), (7; ), (A) a pour coefficient directeur V F A(; ), (7; ), (A) a pour ordonnée à l origine - V F A(; ), (; ), (A) a pour ordonnée à l origine V F eercice : Ecrire un algorithme qui sort le coefficient directeur ainsi que l ordonnée à l origine de la droite (A) quand on entre les coordonnées des deu point A et distincts et d abscisses non égales

14 Intersection de droites. activité. Dans un parc d Attraction : quatre adultes et si enfants on paé au total 7 euros si adultes et neuf enfants ont paé au total 8 euros on cherche à trouver les tarifs et d entrée adulte et enfant d après les données précédentes { + = 7 (a) montrer que et vérifient le sstème d équations +9 = 8 = + (b) montrer que ce sstème est équivalent au sstème = + et en déduire où se trouvent les points de coordonnées (;) qui vérifient les deu équations précédentes (c) en déduire d après un argument graphique sur des droites, qu il n eiste pas de tarifs adulte et enfant qui vérifient les données du problème (justifier). Au restaurant : quatre plats du jour et di boissons du jour coûtent euros si plats du jour et quinze boissons du jour coûtent euros on cherche à trouver les tarifs et du plat du jour et de la boisson du jour d après les données précédentes (a) déterminer un sstème d équations vérifié par le couple inconnu (;) (b) en déduire un sstème d équations réduites dont le couple inconnu (; ) est aussi solution (c) conclure d après un argument graphique sur des droites.. Au Magasin : deu voitures de mêmes poids et trois motos de mêmes poids pèsent 8 kg trois voitures de mêmes poids (les mêmes que précédemment) et quatre motos de mêmes poids (les mêmes que précédemment) pèsent kg on cherche à trouver les poids et d une voiture et d une moto d après les données précédentes (a) déterminer un sstème d équations vérifiées par le couple inconnu (;) (b) en déduire un sstème d équations réduites dont le couple inconnu (; ) est aussi solution (c) conclure d après un argument graphique sur des droites.

15 corrigé activité. Dans un parc d Attraction : quatre adultes et si enfants on paé au total 7 euros si adultes et neuf enfants ont paé au total euros on cherche à trouver les tarifs et d entrée adulte et enfant d après les données précédentes (a) quatre adultes et si enfants on paé au total 7 euros donc + = 7 si adultes et neuf enfants ont paé au{ total euros donc +9 = 8 + = 7 donc (;) vérifient les deu équations +9 = 8 (b) { { + = 7 = = 8 9 = +8 = + = + = +7 = +8 9 = = (c) donc, les points de coordonnées (; ) qui vérifient les deu équations précédentes se trouvent en même temps sur deu droites strictement parallèles (car elles ont le même coefficient directeur et pas la même ordonnée à l origine ) par conséquent aucun point ne peut convenir et le sstème n admet aucune solution pour conclure : il n eiste pas de tarifs adulte et enfant qui vérifient les données de ce problème. Au restaurant : quatre plats du jour et di boissons du jour coûtent euros si plats du jour et quinze boissons du jour coûtent euros on cherche à trouver les tarifs et du plat du jour et de la boisson du jour d après les données précédentes (a) quatre plats du jour et di boissons du jour coûtent euros donc + = si plats du jour et quinze boissons du{ jour coûtent euros donc + = + = donc (;) vérifient les deu équations + = = + (b) { { + = = + + = = + =,+ =,+ = + = + = + (c) donc, les points de coordonnées (; ) qui vérifient les deu équations précédentes se trouvent en même temps sur deu droites confondues (car elles ont le même coefficient directeur, et la même ordonnée à l origine ) par conséquent une infinité de points peuvent convenir (ceu de la droite) et le sstème n admet une infinité de couples solution (;), (;,),(;,)... pour conclure : il n eiste une infinité de tarifs possibles pour les données de ce problème

16 . Au Magasin : (a) deu voitures identiques et trois motos identiques pèsent 8 kg donc + = 8 trois voitures identiques (les mêmes que précédemment) et quatre motos identiques (les mêmes que précédemment) pèsent { kg donc + = + = 8 donc (;) vérifient les deu équations (b) { { + = 8 = +8 + = = + = + = + + = = +8 = + = = (c) donc, les points de coordonnées (; ) qui vérifient les deu équations précédentes se trouvent en même temps sur deu droites strictement sécantes (car elles n ont pas le même coefficient directeur ) par conséquent un seul point peut convenir et le sstème n admet un seul couple solution qui est le couple de coordonnées du point d intersection des deu droites Détermination du couple de solutions : + = + = + = ( + ) = ( ) = ( ) = = = = + = pour conclure : une voiture pèse kg et une moto kg

17 évaluations. devoir maison eercice p 9 : (a) placer les points A(; ), (; 7), C( ; 7) et D(9; ) dans un repère et démontrer que les droites (A) et (CD) sont strictement sécantes (b) déterminer les équations respectives des droites (A) et (CD) (c) en déduire les coordonnées du point d intersection I de ces deu droites eercice 7 p 9 : (a) déterminer les équations des droites d et d et justifier qu elles sont strictement sécantes (b) déterminer les coordonnées du point d intersection I de ces deu droites d d

18 corrigé devoir maison eercice p 9 :. placer les points A(; ), (; 7), C( ; 7) et D(9; ) coefficient directeur de (A) : a = A = 7 A = = coefficient directeur de (CD) : a = D C = 7 D C 9 ( ) = = C A I(; ) D donc (A) et (CD) n ont pas le même coefficient directeur donc (A) et (CD) ne sont pas parallèles donc elles se coupent en un point I(;), elles sont sécantes. on détermine les équations respectives des droites (A) et (CD) pour (A) : = +b et A(;) A = A +b donc = +b soit b = d ou : = + pour (CD) : = +b et D(9;) D = D +b donc = 9+b soit b = + 9 = d ou : = +. puis on résout le sstème d équations obtenu qui a pour couple (;) de solutions, les coordonnées du point I cherché = + = + = + = + = + = = = = = = = = = + = conclusion : I(; ) (cohérent avec les graphique)

19 eercice 7 p 9 :. pour trouver les équations des droites d et d on choisit des couples de points A( ; ) et (; ) sur d ; C(; ) et D(; ) sur d coefficient directeur de (A) : a = A = A ( ) = =, coefficient directeur de (CD) : a = D C = D C ) = = d A D d C, donc (A) et (CD) n ont pas le même coefficient directeur donc (A) et (CD) ne sont pas parallèles donc elles se coupent en un point I(;), elles sont sécantes pour (A) : =,+b et A( ;) A =, A +b donc =, ( )+b soit b = d ou : =, pour (CD) : = +b et D(; ) D = D +b donc = +b soit b = +8 = 7 d ou : = +7. on résout le sstème d équations obtenu qui a pour couple (; ) de solutions, les coordonnées du point I cherché =, = +7 =, = +7 =,+ = 7+ =, = = =, = = = +7 = conclusion : I(; )