Quelques épreuves d évaluation

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1 UNIVERSITÉ DE VALENCIENNES MASTER 1 MATHÉMATIQUES Géométrie différentielle pr Aziz El Kcimi Quelques épreuves d évlution 0

2 Année universitire Devoir surveillé Notes de cours et de TD utorisées On note E l espce euclidien R muni de s bse cnonique orthonormée ( i, j, k ). Qund on regrde E comme espce ffine, on prendr pour origine O, le vecteur nul O ; insi E est muni du repère orthonormé (O; i, j, k ). Si M et N sont deux points de E, l distnce de M à N est l norme MN qu on noter ussi MN. On considère l courbe γ donnée pr le prmétrge γ : t [ π, π] (x(t), y(t), z(t)) E où : x(t) = 1 + cos t y(t) = sin t z(t) = sin ( t ). 1 - Montrer que γ est une courbe prmétrée régulière. - Montrer que γ est l intersection d une sphère et d un cylindre qu on déterminer. Exercice On considère l courbe prmétrée γ : R E qui, à t ssocie le point γ(t) tel que : Oγ(t) = 1 - Montrer que γ est de clsse C. t i + e 1 t k si t < 0 O si t = 0 - Montrer que cette représenttion est régulière. t i + e 1 t j si t > 0. - Pour quelles vleurs de t R, γ dmet-elle un vecteur norml unitire? Le déterminer. Exercice Soient et c deux nombres réels tels que 0 < < c. Dns l espce E, on note Γ le cercle défini pr les équtions z = 0 et x + y = c. Soit P un pln pssnt pr l xe Oz ; il coupe le cercle Γ en deux points dimétrlement opposés F et F. On considère tous les points M P qui vérifient l reltion MF MF =. On note S l ensemble des points M construits de cette fçon pour toutes les positions possibles du pln P. 1 - Montrer que l ensemble S est invrint pr toutes les rottions d xe Oz. - Soit Γ l intersection de S vec le pln d éqution y = 0. Montrer, en exhibnt une prmétristion déqute u voisinge de chcun de ses points, que γ est une courbe régulière. - Montrer, en exhibnt une prmétristion déqute u voisinge de chcun de ses points, que S est une surfce régulière. 4 - Clculer l première forme fondmentle de l surfce S. 5 - Soit λ R. Montrer que l intersection de S vec le pln d éqution z = λ est une courbe régulière fermée simple. Clculer s longueur. 1

3 Année universitire Exmen de première session - Jnvier 004 Documents non utorisés Chcun des espces R et R que l on considérer ser muni de son produit sclire usuel i.e. celui pour lequel l bse cnonique est orthonormée. Les repères orthonormés de R et R seront notés respectivement (O, i, j ) et (O, i, j, k ). Soit S l ensemble des points (x, y, z) de l espce R qui vérifient l reltion x y z = Montrer que S est une surfce régulière. (Penser à ppliquer un théorème démontré en cours.) - Montrer qu une représenttion prmétrique Φ : R S régulière de l surfce S est donnée pr : { x = 1 (u + v) y = 1 (u v) z = uv. - Clculer l première forme fondmentle de l surfce S ssociée à l représenttion prmétrique Φ. Exercice Soit Σ une prtie de R. On ppelle rc dns Σ toute ppliction continue σ : [0, 1] Σ. Les points σ(0) et σ(1) sont ppelés respectivement origine et extrémité de σ. On dir que Σ est connexe pr rcs si, pour tous points A et B de Σ, il existe un rc σ dns Σ ynt pour origine A et pour extrémité B. Montrer que l sphère S = {(x, y, z) R : x + y + z = 1} est connexe pr rcs. Exercice Soient r et R deux nombres réels tels que R > r > 0. Dns R, on fit tourner le cercle d équtions x + z = r et y = 0 utour de l droite vectorielle de direction k. L surfce engendrée est lors un tore T. 1 - Montrer que, sur le complémentire V d un cercle méridien et d un cercle prllèlle (qu on préciser), T dmet comme représenttion prmétrique régulière, l ppliction : donnée pr : Ψ : (u, v) ]0, π[ ]0, π[ (x, y, z) V { x = (R + r sin v) cos u y = (R + r sin v) sin u z = r cos v - Clculer l première forme fondmentle du tore T ssociée à l représenttion Ψ. - Clculer l ire du tore T.

4 Année universitire Interrogtion écrite - Séminires Triter 5 exercices u choix Chcun des espces R et R que l on considérer ser muni de son produit sclire usuel i.e. celui pour lequel l bse cnonique est orthonormée.. Soit Γ le cercle dns R d éqution (x ) + (y b) = R où, b et R sont des nombres réels vec R > 0. Cluler l courbure de Γ en chcun de ses points. Exercice. Soient α et β deux nombres réels positifs ou nuls et R le rectngle de R de sommets les qutre points A, B, C et D de coordonnées respectives ( α, β), (α, β), (α, β) et ( α, β). On fit vrier α et β mis de fçon à ce que R grde un périmètre constnt égl à l > 0. Pour quelles vleurs de α et β l ire de R est-elle mximle? Exercice. Soient S une surfce régulière de R et f : R R un difféomorphisme de clsse C. Montrer que l imge S = f(s) de S pr f est une surfce régulière de R. Exercice 4. Sur R on considère l forme différentielle ω = ydx + xdy. Montrer que ω est excte i.e. il existe une fonction h : R R (vue comme forme différentielle de degré 0) telle que dh = ω. Qu en est-il pour l forme η = ydx xdy? Exercice 5. Soient r et R deux nombres réels tels que R > r > 0. On note S l ouvert du pln R constitué des points (x, y) tels que r < x + y < R. Clculer l intégrle ω de l S -forme différentielle ω = dx dy sur l surfce S. Exercice 6. On note C l ensemble des nombres complexes non nuls. Soient C et Φ : Z C C l ction de Z sur C définie pr Φ(k, z) = k z. Donner les conditions nécessires et suffisntes sur le nombre complexe pour que Φ soit libre? Exercice 7. Déterminer l développée de l courbe d éqution crtésienne x pourr utiliser l prmétristion en ch et sh de cette courbe.) Exercice 8 y b = 1. (On ) Donner les crctéristiques de l courbe d éqution crtésienne x y + 6x + 4y + 8 = 0 b) Quel est le type de l qudrique d éqution crtésienne x y z = 1. On préciser ses éléments remrqubles. Exercice 9 Montrer qu un hyperboloïde de révolution à une nppe est une surfce réglée de R. Est-ce une surfce développble? 0 ) Montrer que l surfce d éqution crtésienne x + y z = 1 est une surfce de révolution dont on préciser l xe et l génértrice (ou méridienne). b) Donner un exemple de cyclique de Dupin. On en proposer un vec un dessin et une prmétristion.

5 Année universitire Devoir surveillé - novembre 004 Durée : heures - Documents non utorisés Dns tout ce texte, l espce vectoriel R ser muni de son produit sclire usuel et de s bse cnonique orthonormée (e 1, e, e ). On considère l courbe prmétrée γ : t R (x(t), y(t), z(t)) R définie pr : x(t) = 1 + t y(t) = t z(t) = 1 + t. 1 - Montrer que cette représenttion est régulière. Donner un système d équtions crtésiennes de l droite ffine de R tngente à l courbe γ u point γ(1). - Donner une éqution du pln ffine de R norml à l courbe u point γ(1). Exercice Soit γ : s R (x(s), y(s), z(s)) R l courbe prmétrée donnée pr : x(s) = 1 sin s y(s) = ( sin ( )) s z(s) = s. 1 - Montrer que γ est une courbe régulière prmétrée pr l longueur de l rc. - Pour chque s R, clculer l courbure κ(s) et l torsion τ(s) de l courbe γ. - Pour chque s R, donner explicitement le repère de Frenet (t(s), n(s), b(s)). Exercice Soient et b des nombres réels strictement positifs et Γ l prtie de l espce ffine R définie pr les équtions : { x + y b + z xy = 1 x + y + z = 0. Montrer que Γ est une courbe régulière de R en l représentnt à l ide d une prmétristion régulière (ps forcément pr l longueur de l rc). Exercice 4 Soient, b et c trois nombres réels strictement positifs. On considère l ellipsoïde E d éqution x + y b + z c = Dire pourquoi E est une surfce régulière (énoncer de fçon précise le théorème du cours qui permet de justifier cel). - Soient L le demi-pln fermé de R défini pr y = 0 et x 0, V l ouvert R \ L (i.e. R privé de L) et S = E V. Donner une représenttion régulière Φ : U S (où U est un ouvert de R ). - Montrer que l surfce E est difféomorphe à l sphère unité S de R. 4

6 Corrigé 1 - Dérivons pr rpport à t l ppliction γ. On trouve γ (t) = (1, t, t ). Comme x (t) = 1, ce vecteur γ (t) ne peut ps s nnuler ; l représenttion γ est donc régulière. On γ(1) = (, 1, ) et u = γ (1) = 1. Un point M = (x, y, z) est sur l tngente ( ) à γ u point M 0 = γ(1) si, et seulement si, M 0 M = λ u i.e. : x = λ y + 1 = λ z = λ qui donne le système d équtions crtésiennes : M 0 M = λγ (1) i.e. : { x z = 4 y + z = 1. - Le point M = (x, y, z) est sur le pln ffine pssnt pr M 0 = γ(1) si et seulement si M 0 M u = 0 i.e. : x y = x y + z 11 = 0. z L éqution du pln cherché est donc x y + z = 11. Exercice 1 - On clcule le vecteur tngent à γ : t = γ (s) = 1 (cos s, sin s, ) dont l norme est γ (s) = 1 (cos s) s + (sin s) + = 1. l courbe γ est donc régulière prmétrée pr l longueur. - Clculons l dérivée seconde de γ : γ (s) = 1 ( sin s, cos s, 0) ; n = ( sin s, cos s, 0) est donc le vecteur unitire norml à γ. De fçon évidente, l courbure de γ u point γ(s) est κ(s) = 1. Pour voir l torsion on clcule b = t n. Il est donné pr : b = 1 ( sin s cos s, 0 cos s sin s, 0 cos s sin s sin s ) ( ) cos s = cos s, sin s,. On le dérivnt on obtient b = ( cos s, cos s, 0) = n. D où τ(s) =. - Le repère (t, n, b) est donné pr son origine qui est le point γ(s) et les vecteurs : t = 1 cos s sin s n = sin s cos s 0 b = cos s sin s. 5

7 Exercice L deuxième éqution nous donne z = (x + y) ; en reportnt dns l première, on obtient : On pose α = x + y b 1+ 1+b = 1. et β = b 1+ 1+b. Ainsi les nouvelles équtions qui définissent Γ sont : { x α + y β = 1 z = x y. Elles montrent que γ est une courbe dns l espce dont l projection sur le pln d éqution z = 0 est une ellipse. On pourr donc prendres comme prmétrge : x = α cos t γ(t) = y = β sin t z = α cos t β sin t Le vecteur tngent est donné pr : α sin t γ (t) = β cos t α sin t β cos t qui n est jmis nul cr les deux premières composntes ne s nnulent jmis en même temps. C est donc une représenttion régulière. Exercice Théorème. Soient V un ouvert de R, f : V R une ppliction différentible et S = {(x, y, z) V : f(x, y, z) = c} où c f(v ). On suppose que pour tout p S, l différentielle d p f : R R (qui est une ppliction linéire) est surjective. Alors S est une surfce régulière. L ppliction f : (x, y, z) R x + y b + z c 1 R pour différentielle u point p = (x, y, z) : d p f = ( x, y ) b, z c. Elle est surjective en en tout point (x, y, z) (0, 0, 0) ; comme (0, 0, 0) ne fit ps prtie de E, en vertu du théorème sus-mentionné E est une surfce régulière. On prend U =]0, π[ ]0, π[. Le prmétrge de l ouvert S de l surfce E peut être donné, comme dns le cs de l sphère de centre l origine et de ryon R pr l ppliction x = cos u sin v Φ : (u, v) U (x, y, z) S où y = b sin u sin v z = c cos v. L différentielle de Φ en un point (u, v) U est donnée pr l mtrice : sin u sin v cos u cos v b cos u sin v b sin u cos v 0 c sin v dont il est fcile de voir qu elle est toujours de rng. Cette représenttion est donc régulière. - L isomorphisme linéire (x, y, z) R (x, by, cz) R induit de fçon évidente un difféomorphisme h : S E. 6

8 Année universitire Exmen - jnvier 005 Durée : heures - Documents non utorisés Dns tout ce texte, l espce vectoriel R ser noté E et muni de son produit sclire usuel défini pr (x, y, z) (x, y, z ) = xx + yy + zz. On note S l imge de l ouvert U = R [0, + [ R pr l ppliction Φ : (u, v) U (x, y, z) E définie pr : x(u, v) = e v cos u y(u, v) = e v sin u z(u, v) = v. 1 - Montrer que S est une surfce régulière de E. - Clculer, en chque point p S, l première forme fondmentle I p de S. - Donner, en chque point p, des équtions crtésiennes de l droite normle à S. 4 - Clculer l ire de l surfce S. 5 - Montrer que S est difféomorphe à R \ {(0, 0)}. Exercice On pose S = {(x, y, z) E : x + y z = 1} et Σ = {(x, y, z) E : x + y 4 + z 6 = 1}. On munit ces ensembles de l topologie induite pr celle de R. 1 - Montrer que S et Σ sont des surfces régulières. - Les surfces S et Σ sont-elles compctes? Exercice Soient F le point (0, 0, 1) de E et H le pln d éqution z = 1. On pose : S = {M E : distnce de M à F =distnce de M à H}. 1 - Montrer que l ensemble S est défini pr une éqution de l forme z = f(x, y) qu on expliciter. - Montrer que S est une surfce régulière. En donner une prmétristion régulière globle. - Clculer, en chque point p S, l première forme fondmentle I p de S. 7

9 Année universitire Géométrie différentielle Interrogtion écrite - Séminires Triter 5 exercices u choix Chcun des espces R et R que l on considérer ser muni de son produit sclire usuel i.e. celui pour lequel l bse cnonique est orthonormée. On note S l sphère de R de centre ω = (1, 1, 1) et de ryon 1. Donner une éqution du pln tngent à S en chcun de ses points p = (x 0, y 0, z 0 ). Exercice Dns le pln euclidien R on considère les points A = (1, 0), B = ( 1, 0), C = (0, ) et D = (0, ). On pose S 1 = R \ {A, B} et S = R \ {C, D} ; S 1 et S sont deux surfces régulières. Montrer que S 1 et S sont difféomorphes (exhiber un difféomorphisme ϕ : S 1 S, le plus simple possible). Exercice On note S l surfce R R +. Soient λ ]0, 1[ et Φ : Γ S S l ction différentible de Γ = Z définie pr Φ((k, l), (x, t)) = (x + k, λ l t). Montrer que Φ est libre, séprnte et totlement discontinue. Décrire explicitement l surfce Σ = S/Γ. Exercice 4 Montrer que, sur le pln R, toute -forme différentielle ω = h(x, y)dx dy est excte i.e. il existe une 1-forme différentielle α = (x, y)dx + b(x, y)dy telle que dα = ω. Exercice 5 Soit l ouvert de R défini pr = {(x, y) R : y > 0, x < 1 et x + y > 1} ; est une surfce régulière. Clculer l intégrle 1 ω de l -forme différentielle ω = y dx dy sur. Exercice 6 Montrer que toute hyperbole dmet une éqution crtésienne de l forme XY = k, où k est un nombre réel non nul. Exercice 7 Montrer que l surfce prmétrée suivnte est réglée et non développble : x(u, v) = uv u + v, y(u, v) = u + v, z(u, v) = u + v. On pourr utiliser un chngement de vribles judicieusement choisi. Exercice 8 On considère l surfce d éqution crtésienne x + y b = z c, où, b et c sont trois réels positifs. Préciser l nture de cette surfce et déterminer son contour pprent cylindrique selon l direction de l xe (Oy). 8

10 Année universitire Exmen et Interrogtion écrite - mrs 005 Durée : heure - Documents non utorisés Exmen Dns tout ce texte, l espce vectoriel R muni du produit sclire (x, y, z) (x, y, z ) = xx +yy +zz ser noté E. On considère l ppliction γ : R E qui à s R ssocie le point γ(s) = (x(s), y(s), z(s)) donné pr : ( ) s x(s) = cos ( ) s y(s) = sin z(s) = s. 1 - Montrer que γ est une représenttion régulière d une courbe de E. Est-ce une représenttion pr l longueur de l rc? - Pour tout s R, clculer l courbure κ(s) de γ u point γ(s). - Déterminer le repère de Frenet (t, n, b) ssocié à l courbe γ en chcun de ses points γ(s). 4 - Clculer l torsion de γ en chque point γ(s). Exercice On note S l sphère unité de l espce E i.e. l ensemble des points (x, y, z) E vérifint x + y + z = 1. On note V l ouvert de E complémentire du demi-pln fermé {(x, y, z) E : y = 0 et x 0} et on pose S = S V ; S est un ouvert de S. 1 - Dire, en citnt un théorème du cours, pourquoi S est une surfce régulière. - Donner une représenttion régulière Φ : U S où U est un ouvert de R. - Clculer l première forme fondmentle I p en tout point p S. Interrogtion écrite On note S(R) l sphère de E de centre l origine et de ryon R > 0. Donner une éqution du pln tngent à S(R) en chcun de ses points p = (x 0, y 0, z 0 ). Exercice Dns le pln euclidien R on considère les points A = (1, 0), B = ( 1, 0), C = (0, ) et D = (0, ). On pose S 1 = R \{A, B} et S = R \{C, D} ; S 1 et S sont deux surfces régulières. Montrer que S 1 et S sont difféomorphes (exhiber un difféomorphisme ϕ : S 1 S, le plus simple possible). Exercice Sur R on considère l 1-forme différentielle ω = xdy. Est-elle excte? 9