Béton armé et précontraint - Approfondissement ETUDE D UNE PILE DE GRANDE HAUTEUR

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1 Béton armé et précontraint - Approfondissement ETUDE D UNE PILE DE GRANDE HAUTEUR Jean Marc JAEGER Setec TPI E.N.P.C. module B.A.E.P.3

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3 CALCUL D UNE PILE AU SECOND ORDRE SELON L EC2 1. PRESENTATION DE L EXEMPLE 2. METHODES D ANALYSE 3. RAPPELS RdM 4. SOLLICITATIONS DE CALCUL 5. CRITERES POUR EFFETS DU SECOND ORDRE 6. MOMENT EXTERNE 7. MOMENT INTERNE 8. VERIFICATION DE LA STABILITE 9. METHODES SIMPLIFIEES

4 1. DOCUMENTS DE REFERENCE NF EN Octobre 2005 Règles générales et règles pour les bâtiments NF EN Mai 2006 Ponts en béton Calculs et dispositions constructives NF EN /NA Avril 2007 Ponts en béton Calculs et dispositions constructives Annexe nationale NF EN 1990 Mars 2003 Base de calcul des structures NF EN 1990/A1 Juillet 2006 Annex A2 : Application aux ponts (Normative) NF EN Mars 2003 Actions sur les structures

5 1. PRESENTATION DE L EXEMPLE : Viaduc de la Clidane Piles dédoublées de 70m de hauteur Portée centrale de 132m

6 1/ Présentation du projet Le tracé de l autoroute A89 traverse les départements du Puy de Dôme et de Corrèze entre Tulle et Saint-Julien-Lavèze. Le viaduc de La Clidane franchit une gorge encaissée et est caractérisé par des piles de grande hauteur. Le parti architectural de transparence a rejoint le souhait technique de réaliser un encastrement du tablier en tête de pile et a conduit au choix de piles constituées de deux fûts simples très élancés. Les deux fûts formant la pile sont distants de 4m et sont encastrés à leur base sur une semelle couronnant les puits de fondation. L objet de ce projet est de vérifier, sur la base de données simplifiée, la stabilité de forme de ces fûts en béton armé ainsi que leurs conditions de fondation.

7 1. PRESENTATION DE L EXEMPLE : Viaduc de la Clidane Viaduc de l A89 situé à 60km de Clermont-Ferrand

8 1. PRESENTATION DE L EXEMPLE : Viaduc de la Clidane APOA Planche de Charles Lavigne

9 1. PRESENTATION DE L EXEMPLE : Viaduc de la Clidane APOA Planche SEEE

10 1. CARACTERISTIQUES DU FUT 1,50 m 1,50 m C = 10cm 26 m A A 10,00 m 2 x 50 HA 32 sur chaque face h 0 = 2A c /u = 1 304mm rayon moyen

11 1. BETON Béton : type C60 Relation contrainte-déformation pour l analyse structurale non-linéaire EC2

12 1. BETON Béton C60 (26KN/m 3 ) f ck = 60 MPa γ c = 1.50 E cm = 39 GPa ε c1 = 0,26% ε cu1 = 0,30% Table 3.1 EC2

13 1. BETON : COEFFICIENT DE FLUAGE : méthode graphique t 0 =180 j h 0 =1304mm ϕ fig. 3.1b EC2

14 Coefficient de fluage Un béton soumis à un âge t 0 à une contrainte de compression σ c constante subit immédiatement un raccourcissement instantané ε i puis continue à se raccourcir dans le temps. Cette déformation supplémentaire de fluage, tend vers une valeur finale ε fl = φ (, t 0 )ε i ouφ (, t 0 ) est le coefficient de fluage. En première approche la valeur obtenue à l'aide de la figure ci-dessus peut être considérée comme le coefficient de fluage, sous réserve que le béton ne soit pas soumis à une contrainte de compression supérieure à 0,45 f ck (t 0 ). Sur cette figure : t 0 âge du béton au moment du chargement, en jours, h 0 représente le rayon moyen = 2A c /u, où A c est l'aire de la section transversale du béton et u le périmètre de la partie exposée à la dessiccation, S désigne les ciments de Classe S, CEM 32,5 N N désigne les ciments de Classe N, CEM 32,5 R et CEM 42,5 N R désigne les ciments de Classe R, CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R L annexe B de l EN donne une expression analytique permettant de déterminer avec plus de précision cette valeur. Le fluage du béton dépend de l'humidité ambiante, des dimensions de l'élément et de la composition du béton. Le fluage dépend également de la maturité du béton lors du premier chargement ainsi que de la durée et de l'intensité de la charge.

15 1. BETON : COEFFICIENT DE FLUAGE : Annexe B ϕ coefficient de fluage conventionnel 0 ϕ = ϕ ϕ 0 RH β ( f β ( t 1 0 ) α = [ 1 RH = [1 + 0,1. 3 cm ) RH = 35 f cm cm. β ( f 0,7 0,2 cm 0,20 0 ANNEXE B EC2 ] 16,8 f 1 = (0,1 + t 35 α 2 = [ ] f cm ). β ( t ) 0 0 ) /100. α1]. α 2 h pour f cm > 35MPa t jours RH 80 % Ac 15 m² u 23 m h o f ck f cm 1304 mm α 1 0,628 α 2 0,876 α3 0,717 ϕ RH 0,976 β(f cm ) 2,037 β(t 0 ) 0,342 ϕ 0 0,680 t β H 1076, MPa 68 MPa 365,0 jours β(t,t0) 0,562 ϕ(t,t0) 0,382

16 1. ACIER Acier : HA 500 MPa Classe B (EC2 Annexe C Tableau C.1) Relation contrainte-déformation avec branche horizontale (EC ) EC2 Acier f yk = 500 MPa γ s = 1,15 (k = 1,08 ε uk = 5,0%)

17 1. EXEMPLE - CHARGES APPLIQUEES Charges appliquées en tête de pile Charges permanentes N G = 30 MN M G = 4 MNm Charges routières d exploitation N Q =18MN M Q =2MNm Forces horizontales de freinage H Q =0.18 MN Effet du vent sur la hauteur de la pile Charge de vent p w = 10 KN/ml 1.5 m

18 2. METHODES D ANALYSE AU SECOND ORDRE Méthode générale basée sur une ANALYSE NON-LINEAIRE au SECOND ORDRE Méthode simplifiée (a) : analyse au second ordre basée sur une EVALUATION de la RAIDEUR Méthode simplifiée (b) : méthode basée sur une EVALUATION de la COURBURE EC2

19 2. METHODE GENERALE ANALYSE PRENANT EN COMPTE : - les non-linéarités géométriques : effets du second ordre - les lois de comportement des matériaux adaptées à l analyse structurale non-linéaire : pour le béton f cd et E cd =E cm /1.2 - le fluage du béton sous la forme d une affinité d axe horizontale et de rapport (1 + ϕ ef ) appliquée à (σ, ε) Une approche limitée à l analyse de la SECTION CRITIQUE est autorisée ( (6)) EC2

20 2. METHODE GENERALE : Analyse de la section critique e i δ N En tête de pile e i imperfection géométrique δ excentricité du second ordre Dans la section critique en pied M moment de flexion 1/r courbure M 1/r Loi Moment-Courbure M(1/r) EC2 Variation appropriée de la courbure Loi sinusoïdale ou parabolique

21 2. METHODE GENERALE : équilibre de la section critique L EQUILIBRE DE LA SECTION s exprime avec : [ M ( 1/ r) ] [ ] externe = M (1/ r) int erne [ N ] [ ] externe = N int erne LOI MOMENT-COURBURE EXTERNE (déterminée par la RdM) LOI MOMENT COURBURE INTERNE (déterminée par un calcul béton armé) EC2

22 3. FLAMBEMENT INSTABILITE ELASTIQUE N N δ déplacement horizontal de la ligne moyenne, S δ M = N x δ moment de second ordre créé par la déformation du poteau, Stabilité du poteau : il existe une position d équilibre. N N Position d équilibre

23 Instabilité élastique, flambement : rappels de RdM On considère un poteau bi-articulé soumis, en tête et en pied, à un effort de compression N centré sur son centre de gravité G (cas de compression centrée). Sous l effet d une action transversale (S) le poteau se déforme et chaque section droite subit un déplacement horizontal δ. Chacune de ces sections est alors soumise à un moment M=N δ, lié à l excentricité de l effort appliqué par rapport au centre de gravité de la section déplacée, ce moment engendré par la déformation du poteau est nommé moment de second ordre. Dans le cas de pièces courantes le déplacement δ est faible et on néglige les effets du second ordre, dans le cas de pièces élancées on ne peut plus les négliger. Ces sollicitations de second ordre augmentent la déformation du poteau et donc les valeurs de δ. Si le processus converge vers une position d équilibre le poteau est stable et ne «flambe pas», si le processus diverge on dit que le poteau «flambe». Les imperfections géométriques de construction amorcent le processus, un poteau n est jamais réalisé selon une verticale parfaite.

24 3. RESISTANCE DES MATERIAUX - INSTABILITE ELASTIQUE G y EI F l f F M = Fy M && y = EI lf λ = i π ² EI Fc = lf ² π ² E nce = λ² Fc = 1+ Fc F 1 Fc 1 F moment de second ordre équation d équilibre élancement force critique d Euler contrainte critique d Euler facteur d amplification

25 r rayon de courbure du cercle osculateur 1 r = && y 1+ y& ² avec y& petit devant 1 En élasticité: 1 M = r EI Mv σ = I 1 σ ε = = r Ev v la courbure correspond à de déformation courbure de la section la pente du diagramme 25

26 3. HYPOTHESES DE DEFORMEES F F l f e ) ( ) (1 4 ) ( f f f f l r e l e x y l x l x e x y = = = && ² 1 sin ) ( ) ( sin ) ( π π π π f f f f l r e l x l e x y l x e x y = = = && déformée parabolique déformée sinusoïdale 8 = c ² = π c

27 3. RELATION DEPLACEMENT - COURBURE HYPOTHESES - Flambement plan - Déformée sinusoïdale δ y( x) = δ (1 cos( πx / 2h)) 1/ r && y( h) 1/ r = δ ( π / 2h)² 1/r δ = (1/ r) 4h ( π ) 2 2

28 4. SOLLICITATIONS DE CALCUL Combinaison ELU fondamentale Σ γ Gsup G sup + Σ γ Ginf G inf + γ Q1 Q K1 + Σ γ Qi Ψ 0i Q Ki avec : γ G = 1.0 ou 1.35 γ Q = 1.35 actions défavorables dues au trafic routier γ Q = 1.50 autres actions du trafic et autres actions variables Combinaison ELU utilisée pour la vérification 1.35 G sup Q K1 EN 1990 Sect.6 et Annex A2.4(B)

29 4. COMBINAISONS E.L.U. NF EN 1990/A1 Annexe A2 Table A.2.4 A

30 4. COEFFICIENTS POUR VALEUR DE COMBINAISON NF EN 1990/A1 Annexe A2 Table A.2.1

31 4. SOLLICITATIONS DE CALCUL Combinaison ELU fondamentale Σ γ Gsup G sup + Σ γ Ginf G inf + γ Q1 Q K1 + Σ γ Qi Ψ 0i Q Ki avec : γ G = 1.0 ou 1.35 γ Q = 1.35 actions défavorables dues au trafic routier γ Q = 1.50 autres actions du trafic et autres actions variables Combinaison ELU utilisée pour la vérification 1.35 G sup Q K1 EN 1990 Sect.6 et Annex A2.4(B)

32 4. IMPERFECTIONS GEOMETRIQUES θ i = θ 0. α h avec θ 0 valeur de base θ 0 = 1/200 facteur de réduction lié à la hauteur α h =2 / l ; 2/3 α h 1 α h l hauteur de la pile e i = θ i l θ i = 2/3*1/200=1/300 e i = 0.087m 5.2 (3) EC2 part. 2

33 4. SOLLICITATIONS E.L.U. H e i N M Actions Poids propre de la pile Valeurs (MN) N (MN) 1.35 x 1.35 x = P p CALCUL AU 1er ORDRE bras de levier (m) (=ea/2) Moment (MNm) x = pp Actions exercées en tête de pile 1.35 x 1.35 x 30,00 = N G 40,50 40, (=ea) 1.35 x M G 1.35 x ,5 x = 3,510 5,400 Actions exercées en tête de pile 1.35 x Nq 1.35 Mq 1.35 x Hq 1.35 x 18 = 24,3 1.35*2.0 = * 0.18= , M 0Eqp = 7,039MNm sous G+ψ 2 Q = 78,49 = 20,627

34 4. SOLLICITATIONS E.L.U. AU 1 er ORDRE e i N H M M 0Ed : moment fléchissant de premier ordre pp Σ N Ed : effort normal de premier ordre dans la section critique : N Ed = 78,489 MN M 0Ed = 20,627 MNm

35 5. CRITERES POUR EFFETS DU SECOND ORDRE Les effets du SECOND ORDRE peuvent être IGNORES si : λ élancement A = 1/(1+0.2ϕeff) B = 1+ 2ω C= 1.7 r m (si r m non connu prendre C=0.7) ϕ eff ratio prenant en compte le fluage ω = A sd f yd /(A c f cd ) As aire totale d aciers passifs n = Ν Εd /(A c f cd ) r m = M 01 /M 02 M o1, M o2 moments du premier ordre aux extrémités M o2 M o EC2 λ 20 A.B.C / n

36 5. FLUAGE Coefficient de FLUAGE EFFECTIF ϕ ef = ϕ (h,t0). M 0Eqp / M 0Ed ϕ (h,t0) valeur finale du coefficient de fluage M 0Eqp Moment du premier ordre sous combinaison quasi-permanente de charge (ELS) M 0Ed Moment du premier ordre sous combinaison ELU ϕ ef = 0.68*7,04/20,63 = (2) EC2

37 5. CRITERES POUR EFFETS DU SECOND ORDRE coefficient d élancement de la pile λ = lo/ i = λ = 120 2*26* coefficient d élancement limite 20. A. B. C / n λ lim = λ lim = 20*0.96*1.23*0.7/ 78 /(10*1.5* 40) λlim = 45 => on ne peut pas négliger les effets du second ordre

38 6. METHODE GENERALE : M(1/r) EXTERNE RELATION MOMENT / COURBURE EXTERNE e a δ H u N u M u δ = 1/ r (2h / π )² p pu M = M 0Ed + Nu δ + N pp δ / 3 M = M 0Ed + ( N u + N pp / 3) (2h / π )² 1/ r Σ Loi Moment-Courbure externe M(1/r) EXTERNE linéaire EC2

39 6. METHODE GENERALE : M(1/r) EXTERNE e a H u δ N u M u dans la section critique : M(1/r) EXTERNE = 20, (1/r) M p pu M 0Ed Σ 1/r

40 6. METHODE GENERALE : M(1/r) INTERNE RELATION MOMENT / COURBURE INTERNE εb σb Ac At d σsc Mint N εst σst EC2 1/ r = ( εb M int(1/ r) εst) / d

41 1. BETON Relation contrainte-déformation pour la méthode générale f cm est remplacé par f cd E cm est remplacé par E cd = E cm / γ ce avec γ ce = (3) EC2

42 1. BETON Relation contrainte-déformation pour la méthode générale f cm est remplacé par f cd E cm est remplacé par E cd / γ ce avec γ ce = (3) EC2

43 1. BETON : RESISTANCE DE CALCUL Résistance de calcul du béton : f cd =α cc f ck / γ c Avec : α cc compris en 0.8 et 1.0 : 1.0 recommandé par EC2 part 2 DAN et 0.85 par EC2 part 2 (α cc =1 par la suite) γ = 1.5 c EC2

44 7. METHODE GENERALE : M(1/r) EXTERNE - LOI (σ,ε) BETON 45, , , , , , ϕef parabole rectangle 15,0000 sargin non décalée 10,0000 sargin décalée 5,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0, EC2

45 8. VERIFICATION DE LA STABILITE 40,000 35, FLAMBEMENT - MOMENT / COURBURE - EC2 b = h = d = A inf = c = A sup = c' = 10,00 m 1,50 m 1,40 m 804,00 cm² 0,10 m 804,00 cm² 0,10 m Moment (MNm) 30,000 25,000 20,000 15,000 10,000 5,000 Moment 1er ordre Moment 1er + 2ème ordre M Ed =27,36MNm 1/r = δ = 0.092m Mint Mext f ck = 60,00 MPa f cd = 40,0 MPa ε cu2 = 0,0030 ε c1 = 0,0026 E cm = E cd = MPa φ ef f = 0,232 f yk = 500,00 MPa f y d = 434,8 MPa E s = MPa ε ud = 0,0450 k-1 = 0,08 N ELU = 78,49 MN M 0Ed = 20,627 MNm l O Npp ELU = 52 m 13,69 MN 0,000 0, , , , , ,00050 Courbure M Ed 27,36 MNm 1/r 0, ,092 m e 2

46 8. VERIFICATION E.L.U. A L EQUILIBRE Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - EC2 200,00 b = h = d = 10,00 m 1,50 m 1,40 m 150,00 A inf = c = A sup = c' = 804,00 cm² 0,100 m 804,00 cm² 0,100 m 100,00 50,00 f ck = 60,00 MPa f cd = 40,0 MPa ε cu2 = 0,0035 ε c1 = 0,0020 M (MNm) 0,00-200,00-100,00 0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00 f yk = 500,00 MPa f y d = 434,8 MPa ε ud = 0,0450 k-1 = 0,08-50,00 N ELU = M ELU = 78,49 MN 27,36 MN -100,00-150,00-200,00 N (MN)

47 8. VERIFICATION DE LA STABILITE avec béton tendu «l effet favorable de la participation du béton tendu peut être pris en compte» Mint1 15 Mext 10 Mint (5) EC

48 9. METHODE BASEE SUR L EVALUATION DE LA RAIDEUR 1 - RAIDEUR NOMINALE EI Fissuration, fluage et aciers passifs 2 - FORCE CRITIQUE DE FLAMBEMENT N B A partir de EI 3 - MOMENT TOTAL M ED Par comparaison de N B et N Ed EC2

49 9. EVALUATION DE LA RAIDEUR EI = KcEcd I c + KSEsIS RAIDEUR NOMINALE K k 1 c = = k 1 k f 2 ck /(1 + φef / 20 ) COEFFICIENT POUR FISSURATION FLUAGE ET ACIERS PASSIFS k E I I c K s 2 cd s = = N = 1 Ed E cm EC2 /( Acfcd ) / γ ce λ VALEUR DE CALCUL DU MODULE BETON (γ CE = 1.2) INERTIE BETON INERTIE ACIERS PASSIFS

50 9. MOMENT TOTAL N M β = π ² / c c 0 B ED π ² EI lf ² = FORCE CRITIQUE DE FLAMBEMENT = M 0Ed ( N B / β N Ed ) 1 dépend de la distribution du moment de premier ordre : 8 moment constant 9.6 moment parabolique 12 distribution symétrique triangulaire EC2

51 9.METHODE BASEE SUR L EVALUATION DE LA COURBURE 1/ r = K r K φ 1/ r 0 COURBURE K n u r n = = ( n N u ED = (1 + ω) n) /( n /( Acfcd ) u n bal ) 1 Correction dépendant de l EFFORT NORMAL Effort normal relatif n K bal ω = φ = 0.4 Asfyd /( Acfcd = 1+ βφef ) n correspondant M résistant max Correction dépendant DU FLUAGE 1/ r 0 = ε yd /(0.45d) ε yd = f yd EC2 / E s

52 9. METHODE BASEE SUR L EVALUATION DE LA COURBURE COURBURE MOMENT e EC2 1/ r 0 = εyd /(0.45d) M 2 2 = N Ed e 2 lo² = (1/ r) c Ac At ε yd = f E yd s εb 0.45d c dépend de la distribution de la courbure totale c 2 = π sinusoïde

53 9. METHODE BASEE SUR L EVALUATION DE LA COURBURE εb Ac N (max M ) Kr = N N Nd N (max M ) At εst = f E yd s 0.45d Nd N EC2