Mathématiques Pour les Sciences de la Vie

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1 Mathématiques Pour les Sciences de la Vie Contrôle Continu Final Probabilités et Statistique 13 juin 2013 Durée: 60 minutes Lisez attentivement ces consignes avant de commencer Ceci est une épreuve individuelle. Seuls la calculatrice et un formulaire original au format A4 recto-verso manuscrit sont autorisés pendant l épreuve. L usage des téléphones portables ou de tout autre moyen de communication est strictement interdit, en conséquence les téléphones portables doivent être éteints et dans votre sac. Votre copie devra être rédigée en tenant compte des consignes suivantes : Vous rédigerez vos réponses clairement et en les justifiant. Vous appliquerez avec rigueur les méthodes et les démarches apprises en cours. Vous apporterez le plus grand soin à la présentation de vos réponses. Pour les tests d hypothèses vous indiquerez le test utilisé, les hypothèses testées, les conditions d application, puis vous effectuerez le test et présenterez les conclusions. Première partie : Effet du sexe sur la concentration sanguine d une hormone. On souhaite évaluer l effet du sexe sur la concentration d une hormone chez l homme. On effectue des dosages chez 18 hommes et 22 femmes, âgés de 15 à 65 ans, choisis indépendamment et aléatoirement en France. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous. Les mesures sont exprimées en µg/l : Hommes Femmes xi x 2 i Quelles sont les deux populations (au sens statistique) que l on va comparer? Population 1 : Les hommes de 15 à 65 ans en France Population 2 : Les femmes de 15 à 65 ans en France 2. Donnez l estimation de la moyenne de la concentration de l hormone dans les populations étudiées. On calcule ˆµ = xi n, et on obtient hommes femmes ˆµ H = 5.81 ˆµ F = Donnez l estimation de la variance de la concentration de l hormone dans les populations étudiées.

2 L estimation de la variance dans la population est notée ˆσ 2. On calcule ˆσ 2 = n n 1 s2 avec s 2 = 1 ( ) n x 2 i xi 2, n et on obtient hommes femmes s 2 H = 1.08 ˆσ H 2 = 1.15 s2 H = 1.42 H = Quelle méthode proposeriez-vous pour évaluer l incertitude de l estimation de la moyenne? (répondez brièvement, sans formule ni application numérique). Pour connaître l incertitude de l estimation de la moyenne, on peut calculer un intervalle de confiance de la moyenne théorique µ assorti d un risque α. 5. En suivant les instructions relatives à la mise en œuvre d un test statistique, effectuez le test statistique permettant de détecter s il existe une différence de concentration hormonale moyenne entre les hommes et les femmes âgés de 15 à 65 ans. Vous prendrez α = Concluez. L1 Biologie 2

3 Les échantillons sont de petites tailles et les variances sont inconnues. Pour comparer les concentrations hormonales de ces deux populations, on va donc appliquer un test de Student d homogénéité des moyennes. Les hypothèses de ce test sont : H 0 : µ H = µ F H 1 : µ H µ F Les conditions d application du test sont : La représentativité de l échantillon L indépendance des données de l échantillon Normalité : La variable mesurée (concentration d hormone dans le sang) doit suivre une loi normale. Homoscédasticité : Les variances des distributions de la concentration chez les homme et chez les femmes doivent être égales. Pour calculer la statistique t, on applique la formule suivante : t obs = x H x F ( ) ˆσ 2 1 n H + 1 n F où ˆσ 2 est l estimation de la variance commune calculée de la façon suivante : On obtient ˆσ 2 = 1.33 et t obs = 0.2. ˆσ 2 = n H s 2 H + n F s 2 F n H + n H 2 Il convient de comparer t obs au t seuil pour α = 0.05 et n H + n H 2 = 38 degrés de liberté. La table de t indique t seuil (en fait, il s agit d une convergence vers la loi normale et t seuil = 2.024). On a donc t obs < t seuil, on ne peut donc pas rejeter H 0 (avec un risque de première espèce α = 5%) et on l accepte avec un risque β inconnu. Biologiquement, on ne peut pas rejeter l hypothèse selon laquelle les concentrations sanguine de l hormone sont identiques chez les hommes et les femmes. 6. Au vu de l énoncé, les hypothèses que vous avez faites pour pouvoir répondre à la question précédente vous semblent-elles plausibles? Représentativité : oui car on a effectué un tirage aléatoire. Indépendance : oui (indiqué dans l énoncé). Normalité : on ne sait pas si la concentration sanguine d hormone peut être considérée comme suivant une loi normale. Homoscédasticité : les valeurs de ˆσ 2 sont assez proches (ˆσ 2 H = 1.15 et ˆσ2 H = 1.48), donc il est raisonnable de supposer cette condition d application vérifiée. L1 Biologie 3

4 Deuxième partie : Effet de l âge sur la concentration sanguine de cette hormone. On s intéresse désormais à l effet de l âge sur la concentration de cette même hormone. Pour simplifier, le dosage hormonal conduit cette fois-ci à classer les individus en deux catégories : ceux qui ont une concentration hormonale normale (< 7 µg/l) et ceux qui en ont une élevée. On distingue trois classes d âge pour la population : 0 14 ans (classe 1), ans (classe 2) et plus de 65 ans (classe 3). On souhaite savoir si, dans la population française, l âge affecte la concentration hormonale. On a effectué des tests sur 92 volontaires. On obtient les résultats suivants : Classe 1 Classe 2 Classe 3 Normale Élevée En suivant les instructions relatives à la mise en œuvre d un test statistique, appliquez la méthode appropriée et dites quelle conclusion vous tirez de ces résultats. Vous prendrez α = L1 Biologie 4

5 Pour répondre à la question, on va tester si la répartition dans les classes d âges est indépendante de la catégorie de concentration hormonale à l aide d un test χ 2 d homogénéité de deux distributions (appelé aussi test χ 2 d indépendance). Les hypothèses testées sont : H 0 : La distribution dans les classes d âges est indépendante de la catégorie de concentration hormonale (la distribution est commune aux deux catégorie de concentration hormonale). H 1 : La distribution dans les classes d âges n est pas indépendante de la catégorie de concentration hormonale (les distributions dans les calsses d âges diffèrent selon la catégorie de concentration hormonale). Les conditions d application de ce test sont La représentativité de l échantillon. L indépendance des données. L effectif total doit être supérieur à 50. Les effectifs théoriques pour chaque case doivent être supérieurs à 5. Le tableau de χ 2 est le suivant : On calcule la statistique Classe 1 Classe 2 Classe 3 Effectifs observés Normale Élevée Effectifs théoriques Normale Élevée χ 2 obs = i (n obs,i n th,i ) 2 n th,i on obtient χ 2 obs = qu il convient de comparer à la valeur seuil de χ2 au risque α = 0.05 et à 2 1 = 2 degrés de liberté. La table statistique indique χ 2 seuil = On a donc χ 2 obs > χ2 seuil. On peut donc rejeter l hypothèse H 0 avec un risque de première espèce α = 5% et accepter H 1 selon laquelle il n y a pas indépendance entre les deux distributions. Biologiquement, il n y a donc pas indépendance entre les catégories de concentration hormonale dans le sang et les classes d âge des individus. 8. L expérience a été réalisée sans tenir compte du sexe des individus. Au vu des résultats de la première partie, cette simplification vous semble-t-elle justifiée? Dans la première partie, nous n avons pas trouvé d effet du sexe sur la concentration hormonale. Cette simplification semble donc acceptable. L1 Biologie 5