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1 Série d exercices Polynomes Hichem Khazri e sc Vrai/Faux POLYNOMES Parmi les 5 affirmations suivantes, dites si elles sont vraies ou fausses. Si elles sont vraies, les démontrer, si elles sont fausses, donner un contre-exemple. A. Si une fonction polynôme est de degré, alors son carré est de degré 9. A. Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle. A. La fonction polynôme P définie par P(x) = x 5 + x 4 + 7x + n'a pas de racines positives. A4. Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales. A5. Si α est une racine de deux fonctions polynômes R et S, alors R(x) S(x) est factorisable par x α. Exercice Démontrer que la fonction polynôme P définie par P(x) = x + x possède une racine réelle α [0 ; ]. (Il n'est pas demandé de la calculer) Exercice On considère les fonctions ƒ et g définies sur IR par ƒ(x) = x et g(x) = x + x. On note C ƒ et C g leurs représentations graphiques respectives. Calculer coordonnées des points d'intersections de C ƒ et C g. Exercice On considère la fonction P définie par P(x) = (x +) (4x + ).. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré.. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 On considère la fonction polynôme P définie P(x) = x + 6x 9x + k où k est un nombre réel.. Déterminer la valeur du réel k pour x = 4 soit une racine de P.. Pour la valeur de k obtenue à la question ), résoudre l'inéquation P(x) < 0. Exercice 5 x + x 0 Résoudre l'inéquation > 0. x + 7x 4x + 8 (On pourra, s'il y a lieu, factoriser le numérateur et le dénominateur puis faire un tableau de signes)

2 Exercice 6 On considère la fonction polynôme P définie par : P(x) = x 5x + x +. On note α, β et γ ses racines (elles existent!).. Écrire en fonction de α, β et γ la forme (totalement) factorisée de P(x).. Montrer que α + β + γ = 5, αβ + βγ + αγ = et αβγ =.. Sachant que α = 5 et β =, calculer (simplement) la troisième racine γ. Exercice 7 Le but de cet exercice est de montrer qu'un entier N est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. À l'entier N qui s'écrit a n a n...a a a 0 dans le système décimal, on associe le polynôme P(x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0, ainsi N = P(0) Un exemple : Au nombre N = 987, on associe la fonction polynôme P(x) = 9x + 8x + 7x +, ainsi N = P(0).. Soit S la somme des chiffres de N. Montrer que S = P().. On pose P'(x) = P(x) S. Montrer que est une racine de P'(x).. En déduire que P(x) = (x )Q(x) + S où Q est une fonction polynôme de degré n. 4. Montrer que N = 9Q(0) + S. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9. Exercice 8 On considère l'expression ƒ(x) = x + + x + x + x. Démontrer que (a + b) = a + a b + ab + b et (a b) = a a b + ab b.. Démontrer que ƒ est une fonction polynôme dont on précisera le degré.. Résoudre l'inéquation ƒ(x) > 0. Exercice 9 On considère la fonction polynôme P définie par P(x) = x 4 + x 7x x 6.. Quel est le degré de P?. Montrer que x = est une racine de P.. Déterminer une fonction polynôme Q du troisième degré telle que P(x) = (x + )Q(x). 4. Déterminer les racines de Q. [On pourra s'inspirer des questions précédentes.] 5. Résoudre l'inéquation P(x) > 0.

3 Exercice 0 Résoudre x 4 6 x + 8 = 0 et x 4 x = 0 Exercice Soient ƒ et g les fonctions définies par ƒ(x) = x et g(x) = x 4x + pour tout x réel. On note C ƒ et C g leurs courbes représentatives respectives dans un repère (O ; i r, r j ).. Dresser les tableaux de variations de ƒ et g.. Résoudre l'inéquation g(x) > 0 et interpréter graphiquement.. Tracer C ƒ et C g en précisant les coordonnées des points d'intersection éventuels. Exercice Factoriser (sur IR) : P(x) = x 4 Exercice On donne la fonction rationnelle F définie par : F(x) = x + x 7x 0. x x. Quel est l'ensemble de définition de F?. Factoriser le numérateur et le dénominateur de F, puis simplifier l'expression de F(x).. Résoudre l'inéquation F(x) < 0. Exercice 4 Résoudre les équations : x + x + x + = 0. (On pourra remarquer que x + x = x (x + )) x + x + x + = 0. (On pourra remarquer que x + x = x (x + )) Exercice 5 Déterminer une fonction polynôme P de degré admettant, et 4 pour racines et telle que P() = 90. Exercice 6 On considère la fonction polynôme définie par :. Vérifier que est une racine de Q.. Factoriser Q et résoudre l'équation Q(x) = 0. Exercice 7 Q(x) = x 7x +. On donne la fonction rationnelle F définie par : F(x) =. Quel est l'ensemble de définition de F? x + x. x x + 5. Factoriser le numérateur et le dénominateur de F, puis simplifier l'expression de F(x).. Résoudre l'inéquation F(x) < 0.

4 Exercice 8 On considère la fonction polynôme P définie par :. Vérifier que λ = est une racine de P. P(x) = x x + x + 0. En déduire une factorisation maximale de P.. Résoudre l'inéquation : x(4 x) <( x 0) Exercice 9 On considère la fonction polynôme P définie par : P(x) = x x 9x Calculer P(). En déduire que x = est une racine de P.. Factoriser P.. Résoudre l'inéquation P(x) > 0. Exercice 0 Résoudre l'équation suivante : x (J + M)x + JM = 0 (Par exemple, si la date de naissance est le 4 Mars (J = 4 et M = ), il faut résoudre l'équation Exercice Résoudre l'inéquation suivante : x 7x + = 0) ( ) x 4 + ( M + ) x + ( M + ) > 0 (Avec l'exemple ci-dessus (M = ), l'inéquation devient x 4 7 x + 6 > 0) Indication : on pourra poser X = x, puis factoriser et enfin faire un tableau de signes... Exercice Soit ƒ la fonction définie sur IR par ƒ(x) = x + M x ( M ) x + J (Avec toujours le même exemple (J = 4 et M = ), la fonction ƒ s'écrit : ƒ(x) = x + 9 x 4x + 4). Calculer la dérivée ƒ'de la fonction ƒ et étudier son signe.. Dresser le tableau de variation de la fonction ƒ. (On ne précisera pas les valeurs des éventuels extremums...)

5 Exercice Le but de l'exercice est d'établir l'égalité suivante : =. On pose α = + 5 et β = 5. Démontrer que, pour tous réels A et B, on a :. Calculer α + β et αβ. (A + B ) = (A + B)(A AB + B ) puis que (A + B ) = (A + B)((A + B) AB). En déduire, que le réel α + β est solution de l'équation x + x 4 = Résoudre l'équation x + x 4 = 0 puis conclure. Exercice 4. Factoriser, sur IR, l'expression : x.. Déterminer les réels A, B et C tels que : Exercice 5 Soit A(n) = n( n + ) où n IN *. = A x x + Bx + C. x + x +. Déterminer deux réels a et b tels que : A(n) = a n + b n +.. Exprimer, en fonction de n, la somme suivante : Exercice 6 Résoudre l'équation : x + x + x x = 0 n k = k ( k + ) (Indication : peut-il y avoir une solution strictement positive? Et une solution strictement négative?)