Autour du cryptosystème RSA

Transcription

1 Autour du cryptosystème RSA Lycée Magendie Avril 2014

2 Plan 1 Chiffrements symétrique et asymétrique 2 Les nombres premiers 3 Tests de primalité

3 Chiffrement Alice veut écrire à Bob

4 Chiffrement Alice veut écrire à Bob

5 Chiffrement Alice veut écrire à Bob

6 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

7 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

8 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

9 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

10 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

11 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

12 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

13 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

14 Chiffrement de Jules César Alice QUARTIQUE clé de chiffrement +3 TXDUWLTXH TXDUWLTXH est envoyé clé de déchiffrement -3 à Bob TXDUWLTXH QUARTIQUE

15 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

16 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

17 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

18 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

19 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

20 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

21 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

22 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

23 Chiffrement à clé secrète Alice m=quartique clé secrète de chiffrement K = +3 c = f K (m) c =TXDUWLTXH est envoyé à Bob c =TXDUWLTXH clé secrète de déchiffrement K = K = 3 m = f K ( 1) (c) = f K (c)

24 Chiffrement à clé secrète Trois étapes : création et distribution de clés, chiffrement, déchiffrement Boîte mail, consultation de compte en banque,... Avantages : simple, rapide, bien connu Fragilités : attaques statistiques, gestion de clés

25 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

26 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

27 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

28 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

29 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

30 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

31 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

32 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

33 Chiffrement à clé publique Alice veut envoyer m à Bob. Elle trouve la clé publique de chiffrement K pub Bob Elle calcule c = f K pub(m) Bob dans l annuaire. c est envoyé à Bob c qui utilise sa clé secrète de déchiffrement KBob sec m = f ( 1) K pub (c) = g K sec Bob Bob (c)

34 Chiffrement à clé publique Trois étapes : création et publication de clés, chiffrement, déchiffrement Avantages : gestion de clé simplifiée, solidité mathématique Fragilités : plus lent, plus compliqué à implémenter En pratique on combine les deux chiffrements : clé publique pour échanger une clé de session (secrète) qui servira à chiffrer à la volée.

35 Histoire des nombres premiers Euclide, livre sept des Éléments, vers -300 donne la définition, Il existe une infinité de nombres premiers, Tout nombre entier 2 admet un diviseur premier, théorème fondamental de l arithmétique (preuve par Gauss), p k+1 l k p l + 1, algorithme pour pgcd et ppcm, crible d Eratosthène.

36 Distribution des nombres premiers A π(a) A/π(A) ln A Théorème des nombres premiers (Hadamard) : et π(a) A ln A p n n ln n. Assez nombreux! Dans [1, ] la proportion de nombres premiers est 1/2303.

37 Complexité des opérations arithmétiques La complexité d un calcul est le nombre d opérations élémentaires nécessaires pour le mener à bien. complexité linéaire pour l addition. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. complexité quadratique pour la multiplication. Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. complexité du crible d Eratosthène : T n 1/2. Pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : complexité polynomiale sextique. Pour savoir si n est premier, T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T

38 Complexité des opérations arithmétiques Pour ajouter deux nombres de 120 chiffres il faut 120 opérations élémentaires. Pour multiplier deux nombres de 120 chiffres il faut opérations élémentaires. Crible d Eratosthène : pour savoir si n = est premier on a T Agrawal, Kayal, et Saxena (2002) : T k 6 où k est le nombre de chiffres de n. Si n = alors T factorisation naïve : T n, pas d algorithme polynomial connu pour factoriser.

39 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =

40 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =

41 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =

42 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =

43 Factoriser n est pas facile 15 = 3 5, 8177 = , = n = n = pq avec et p = q =

44 Asymétrie (p, q) N = pq (p, q) N = pq

45 En décembre 2009, Thorsten Kleinjung et une dizaine de collègues ont factorisé un nombre de 232 chiffres. The sieving, which was done on many hundreds of machines, took almost two years. Calculer le produit de deux nombres de 116 chiffres prend 8 millionièmes de secondes sur mon ordinateur portable.

46 Critère de Fermat Théorème Si n est premier alors x n x mod n (1) pour tout entier x, et x n 1 1 mod n si (x, n) = 1. Fermat, Octobre 1640,...de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n appréhendois d être trop long. Démonstration. étape 1 : On montre que (x + y) n = 0 k n ( ) n x k y n k x n + y n mod n (2) k étape 2 : On vérifie (1) pour x = 1 puis on utilise (2) pour montrer que si (1) est vraie pour x, elle est vraie pour x + 1.

47 Critère de Fermat Théorème Si n est premier alors x n x mod n (1) pour tout entier x, et x n 1 1 mod n si (x, n) = 1. Fermat, Octobre 1640,...de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n appréhendois d être trop long. Démonstration. étape 1 : On montre que (x + y) n = 0 k n ( ) n x k y n k x n + y n mod n (2) k étape 2 : On vérifie (1) pour x = 1 puis on utilise (2) pour montrer que si (1) est vraie pour x, elle est vraie pour x + 1.

48 Critère de Fermat Théorème Si n est premier alors x n x mod n (1) pour tout entier x, et x n 1 1 mod n si (x, n) = 1. Fermat, Octobre 1640,...de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n appréhendois d être trop long. Démonstration. étape 1 : On montre que (x + y) n = 0 k n ( ) n x k y n k x n + y n mod n (2) k étape 2 : On vérifie (1) pour x = 1 puis on utilise (2) pour montrer que si (1) est vraie pour x, elle est vraie pour x + 1.

49 Condition nécessaire mais non-suffisante Si n = 5 et x = 3 alors mod 5, mod 5, mod 5, mod 5. Si n = 15 alors mod 15. On dit que 14 est un faux témoin. Si n = 1105 = alors tous les x premiers à n sont des faux témoins. Il existe des raffinements du théorème de Fermat.

50 Condition nécessaire mais non-suffisante Si n = 5 et x = 3 alors mod 5, mod 5, mod 5, mod 5. Si n = 15 alors mod 15. On dit que 14 est un faux témoin. Si n = 1105 = alors tous les x premiers à n sont des faux témoins. Il existe des raffinements du théorème de Fermat.

51 Critère de composition Si l on trouve x tel que x n x mod n alors n n est pas premier. Exemple : calculons 2 15 mod = et = Autre méthode mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15.

52 Critère de composition Si l on trouve x tel que x n x mod n alors n n est pas premier. Exemple : calculons 2 15 mod = et = Autre méthode mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15.

53 Critère de composition Si l on trouve x tel que x n x mod n alors n n est pas premier. Exemple : calculons 2 15 mod = et = Autre méthode mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15, mod 15.

54 Exponentiation rapide, Piṅgala (entre -450 et -250). Soit n = 1031 et x = 5. On veut calculer mod b 0 = 5, b 1 = 5 2 = 25 mod n, b 2 = b 2 1 = 54 = 625 mod n, b 3 = b 2 2 = 523 = = 907 mod n, b 4 = b 2 3 = 524 = 942 mod n, b 5 = b 2 4 = 525 = 704 mod n, b 6 = b 2 5 = 526 = 736 mod n, b 7 = b 2 6 = 527 = 421 mod n, b 8 = b 2 7 = 528 = 940 mod n, b 9 = b 2 8 = 529 = 33 mod n, b 10 = b 2 9 = 5210 = = 58 mod n. Or 1031 = = s écrit en base 2. Donc = = = b 10 b 2 b 1 b 0 = = = 5 mod n. 12 multiplications au lieu de 1030.

55 L exponentiation rapide Pour calculer x e mod n 1 R 1 et f e et B x mod n 2 Tant que f 0 faire Si f est pair alors f f /2 et B B B mod n Si f est impair alors f (f 1)/2 et R R B mod n et B B B mod n 3 Afficher R

56 Théorème Le critère de Miller-Rabin Soit n 3 un entier impair et posons n 1 = 2 k m avec m impair. Si n est premier, alors pour tout x premier à n, on a x m 1 mod n ou x 2i m 1 mod n pour un 0 i < k. (3) Peut importe ici le détail : ce critère est une variante du critère de Fermat. Si l on trouve un x tel que la condition (3) est fausse, alors n est composé. On choisit x au hasard et on vérifie la condition (3). Si elle est fausse alors n est composé. Critère de composition. Si elle est vraie que dire?

57 Théorème Le critère de Miller-Rabin Soit n 3 un entier impair et posons n 1 = 2 k m avec m impair. Si n est premier, alors pour tout x premier à n, on a x m 1 mod n ou x 2i m 1 mod n pour un 0 i < k. (3) Peut importe ici le détail : ce critère est une variante du critère de Fermat. Si l on trouve un x tel que la condition (3) est fausse, alors n est composé. On choisit x au hasard et on vérifie la condition (3). Si elle est fausse alors n est composé. Critère de composition. Si elle est vraie que dire?

58 Théorème Le critère de Miller-Rabin Soit n 3 un entier impair et posons n 1 = 2 k m avec m impair. Si n est premier, alors pour tout x premier à n, on a x m 1 mod n ou x 2i m 1 mod n pour un 0 i < k. (3) Peut importe ici le détail : ce critère est une variante du critère de Fermat. Si l on trouve un x tel que la condition (3) est fausse, alors n est composé. On choisit x au hasard et on vérifie la condition (3). Si elle est fausse alors n est composé. Critère de composition. Si elle est vraie que dire?

59 Le test de Miller-Rabin Théorème Si n 15 est composé et impair, alors #{x in [1, n] : pgcd(x, n) = 1 et la condition (3) est vraie} #{x in [1, n] : pgcd(x, n) = 1} 1 4. Au plus un quart de faux témoins. Remarque 1 : Après λ tests, la probabilité de manquer un composé est majorée par 1/4 λ. Remarque 2 : Si n est premier, on n aura jamais de certitude avec ce test.

60 Agrawal, Kayal et Saxena T k 6 où k est le nombre de chiffres décimaux de n. Pas de faux témoins pour leur test.