3.2 Relation fondamentale de la dynamique D après le principe fondamental de la dynamique, un point matériel à un instant quelconque, soumis

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1 PRÉALABLES Déinition d un système Exemples de système Msse d un corps Déinition de l orce Conditions d équilibre d un corps soumis à l ction de deux orces Objectis : L élève doit être cpble de : - déinir l dynmique - énoncer le principe ondmentl de l dynmique - déinir l msse d un corps - écrire l reltion ondmentle de l dynmique - déinir un système mtériel - citer les crctéristiques d un système mtériel - citer le principe de Newton - déinir une orce intérieure, une orce extérieure à un système - citer et clsser les orces ppliquées à un système - déinir un système isolé - énoncer le principe de l inertie - déinir le réérentiel gliléen, le réérentiel non gliléen - citer des exemples de réérentiels gliléen et non gliléen - identiier les orces d inertie correctives (orce d inertie centripète, centriuge) dns un repère non gliléen - énoncer le théorème du centre d inertie 1 Déinition de l dynmique L dynmique est l brnche de l mécnique qui étudie le mouvement d un mobile dns ses rpports vec les orces qui s exercent sur ce mobile et qui sont les cuses de son mouvement. Principe ondmentl de l dynmique Enoncé : Si, à un instnt quelconque, un point mtériel est soumis à une orce, il est nimé d un mouvement dont l ccélértion à cet instnt est un vecteur : de même direction et de même sens que le vecteur orce de module proportionnel à l intensité ƒde l orce = constnte. 3 Reltion ondmentle de l dynmique 3.1 L notion de msse L msse d un corps est l quntité de mtière contenue dns ce corps L msse crctérise l inertie du corps c est-à-dire l plus u moins grnde diiculté de mettre ce corps u mouvement En eet chcun de nous sit qu il est cile de ire rouler une brrique vide qu une brrique remplie. Plus l msse d un corps est grnde plus l orce ppliquée pour le mettre en mouvement élevée. 3. Reltion ondmentle de l dynmique D près le principe ondmentl de l dynmique, un point mtériel à un instnt quelconque, soumis des orces dont l résultnte est une orce, est nimé d un mouvement dont l ccélértion est

2 elle que conserve une vleur constnte, positi quelle que soit ; que cette résultnte soit constnte ou qu elle vrie en onction du temps. L constnte positive du rpport est une grndeur sclire qui ne dépend que du point mtériel et le crctérise : c est l msse du point mtériel notée générlement m ou M. On déduit que = m ou = m : reltion ondmentle de l dynmique. Exemple : le poids p d un point mtériel de msse m est l orce d ttrction que l terre exerce sur ce point mtériel. Si le point mtériel est à une huteur h de l surce de l terre et en dehors de toute utre contrinte, le point mtériel entre en mouvement de chute libre de vecteur ccélértion g tel que p = m g = m g ; le vecteur g est ppelé le vecteur ccélértion de l pesnteur. 4 Système mtériel 4.1 Déinition On ppelle système mtériel tout ensemble de points mtériels. Exemple : Tout corps solide, liquide ou gzeux constitue un système mtériel Crctéristiques d un système mtériel Un système mtériel est déormble ou indéormble. Un système mtériel est déormble lorsque les distnces entre les points mtériels qui le constituent sont vribles. C est le cs des liquides, des gz et des solides doués d élsticité comme le ressort pr exemple. Le système mtériel est indéormble lorsque les points mtériels qui le constituent demeure dns des positions reltives invribles. C est le cs des solides en générl (pierre, bloc de métl etc.) Un système mtériel une msse : l msse du système est l somme des msses des points mtériels qui le constituent : m = m 1 + m +. + m n = L msse d un système ne dépend ps du repère d observtion. L unité interntionle de msse est le kilogrmme (symbole : kg). Les msses se mesurent pr comprison, l ide d une blnce su dns le corps de très grndes msses comme les corps célestes (terre, lune, soleil, etc.). Un système mtériel, choisi, est limité et possède un contour déterminé. Tout ce qui ne it ps prtie du système est extérieur u système ; il constitue le milieu extérieur u système. Ainsi pour une rme de trins constituée de l locomotive et d une suite de wgons, lorsqu on considère comme cette rme comme le système à étudier, les rils, l gre, sont extérieurs u système «rme de trin». Pr contre si le système étudié est l locomotive, les wgons, les rils, l gre sont extérieurs u système. Un système mtériel un centre d inertie noté générlement G Le centre d inertie du système est le brycentre des points du système ynt pour coeicients les msses de chcun des points. Pour un système mtériel constitué des points mtériels A 1, A,.,A n, de msses respectives m 1, m,, m n, le brycentre G du système vériie l reltion vectorielle i =n i = 1 m i.

3 i =n m1 GA1 + m GA mn GAn = 0 soit mi GAi = 0. i = 1 Cette expression vectorielle peut s exprimer d une utre mnière dns un repère ( i, j, k) O,. Dns ce repère on GA i = GO + OAi. En remplçnt GA i pr s vleur dns l expression précédente on m ( GO + GA ) + m ( GO + GA ) m ( GO + GA ) 0 1 n n = 1. En mettnt GO en cteur on obtient qu on peut encore écrire sous l orme m OG = i = n i = 1 m i OA i. Dns le chmp de pesnteur, le centre d inertie coïncide vec le centre de grvité du système. 5 Forces intérieures et extérieures à un système 5.1 Déinitions Une orce est intérieure à un système déini lorsqu elle s exerce entre des points mtériels ou prties du système. Exemple : Dns le cs du système «rme de trins» les orces exercées entre deux wgons ou entre l locomotive et le wgon qui lui est rttché sont intérieures u système. D près le principe de l églité de l ction et de l réction les orces intérieures sont deux à deux opposées : leur résultnte est nulle + 0 A / B B / A =. Une orce est extérieure à un système déini lorsqu elle est exercée pr un système extérieur u système étudié. Exemple : Lorsqu on considère le système «rme de trins» composé uniquement pr les wgons, l locomotive est extérieure à ce système et l orce qu elle exerce sur le système est une orce extérieure. Notons Bien : Le choix du système est très importnt en dynmique cr il permet de déinir l nture interne ou externe des orces mis en jeu. 5. Forces extérieures à un système Les orces extérieures à un système sont de deux ctégories 5..1 Les orces ppliquées qui se réprtissent en deux groupes : les orces de contct sont celles exercées pr les systèmes extérieurs en contct vec le système étudié (Poussée d Archimède, résistnce de l ir, etc.). les orces à distnce sont celles exercées pr les systèmes extérieurs qui ne sont ps en contct vec le système étudié (Force mgnétique, orce électrique, orce de pesnteur, etc.). 5.. Les orces de liison sont celles qui limitent qui limitent les possibilités de mouvement du système (réctions, tensions, etc.). Seules les orces extérieures déterminent le mouvement du système. 6 Le principe de l inertie 6.1 Système isolé Un système est dit isolé lorsque l résultnte des orces ppliquées u système est nulle. F ext = Principe de l inertie Le centre d inertie d un système isolé est soit u repos, s il étit u repos soit en mouvement rectiligne uniorme, s il étit en mouvement. 6.3 Action et réction Soit un corps de msse M de centre d inertie G sur un pln horizontl. L msse M exerce sur le pln l orce P qui est son poids ; le pln horizontl oppose u poids P du corps une orce R égle et

4 opposée ppelée réction du pln. On P + R = 0. Le centre d inertie de l msse M étnt u repos selon le principe de l inertie. L réction est égle et opposée à l ction : c est le principe de l ction et de l réction. 7 Réérentiel gliléen, réérentiel non gliléen 7.1 Déinition On ppelle réérentiel gliléen un réérentiel dns lequel le principe de l inertie est pplicble, c est-à-dire permettnt de décrire le mouvement d un point isolé, non soumis à une orce, comme rectiligne uniorme. Tout réérentiel en trnsltion rectiligne et uniorme pr rpport à un réérentiel gliléen est gliléen. Tout réérentiel en trnsltion rectiligne non uniorme et ceux en rottion pr rpport à un réérentiel gliléen est non gliléen. L reltion ondmentle de l dynmique n est vlble que dns un réérentiel gliléen. 7. Réérentiel non gliléen 7..1 Exemples de réérentiels gliléens Le réérentiel de Copernic est le meilleur réérentiel gliléen. Le réérentiel géocentrique est bien en trnsltion uniorme pr rpport u réérentiel de Copernic, mis son origine décrivnt une ellipse, il n est ps rigoureusement gliléen. Nénmoins pour des durées ssez courtes, l courbe décrite pr le centre de l Terre est ssimilble à un segment de droite et le réérentiel géocentrique peut être considéré comme gliléen pour des expériences brèves. Le réérentiel terrestre, en toute rigueur, n est ps gliléen du it de l rottion de l Terre sur elle-même. Les réérentiels terrestres mlgré cette rottion donnent des prévisions correctes de l reltion ondmentle et les réérentiels terrestres peuvent être considérés comme gliléens. 7.. Exemples de réérentiel non gliléen On considère le montge de l igure? : une tige horizontle t est ixée à l rbre d un moteur, un cylindre creux M, de msse m, peut glisser le long de l tige ; un ressort relie le cylindre à l rbre. L ensemble est mis en mouvement de rottion de vitesse ngulire constnte. Deux observteurs A et B regrdent le mouvement du centre d inertie G du cylindre. L observteur A est ixe dns le réérentiel terrestre ( i, j, k) O,. A voit le ressort tendu et G décrire un mouvement circulire uniorme. Il vériie lors Fext = m G, c est-à-dire T + P + R = m G vec T l tension du ressort, P le poids du cylindre et R l réction de l tige t. On P + R = 0 pr conséquent T = m G et que le vecteur ccélértion G est bien centripète. L observteur B est lié à l rbre du moteur et regrde G. Il voit le ressort tendu mis voit l msse M toujours immobile pr rpport à lui, donc que G = 0, or F 0 ondmentle de l dynmique ext Fext = m G n est ps pplicble.. Pr conséquent l reltion Le réérentiel terrestre de l observteur A est gliléen et celui tournnt de B est non gliléen L orce d inertie centripète, l orce d inertie centriuge ) L orce d inertie centripète Exemple 1 : Dns l expérience de l igure ci-dessous, si le ressort n existe ps et que le système tourne, l msse M v glisser le long de l tige t en s éloignnt de l xe de rottion. C est l preuve que son centre de grvité G ne peut eectuer le mouvement de rottion uniorme que s il est soumis à une orce de direction rdile et dirigée vers le centre de l trjectoire circulire décrite pr G lorsque le ressort git. L tension T qui oblige le mobile M à décrire l trjectoire circulire est ppelée une orce d inertie centripète.

5 Exemple : Cycliste dns un virge Soit le système ormé pr un cycliste et s mchine. L msse du système est m, son centre de grvité est G et le système borde un virge de ryon de courbure r vec l vitesse constnte v. Les orces ppliquées u système sont son poids P et l réction R du sol et on le vecteur ccélértion du mouvement du système. P + R = m, étnt Sur un pln horizontl les orces P et R sont de direction verticle et sont opposées, leur résultnte est nulle P + R = 0, que l ccélértion du cycliste et de s mchine est nulle et que le mouvement du système est nécessirement rectiligne uniorme. Conclusion : Le cycliste ne peut donc prendre son virge. Comme le cycliste u cours du virge doit décrire une trjectoire circulire, il ut que l résultnte des orces ppliquées soit une orce centripète. Le vecteur poids est une orce constnte en direction, sens et intensité, le cycliste doit donc nécessirement incliner s mchine d un ngle α pr rpport à l verticle de telle sorte que l résultnte des orces qui s exercent sur lui et s mchine soit centripète P +R = = m. L ngle d inclinison α du système est tel que tnα = =. Comme P g v v = il vient tnα = : l ngle d inclinison ne dépend que de l vitesse et du ryon de courbure. r rg Les utomobilistes et les conducteurs de trins ne pouvnt incliner leurs véhicules, c est le constructeur de l voie qui songe à relever le bord extérieur de l voie dns les prties courbes. b) L orce d inertie centriuge Exemple 1 : L observteur B voit l msse immobile : F ext = 0. Dns le réérentiel de A on T + P + R = m G ou encore T + P + R + mg = 0. En posnt ' = mg on T + P + R + ' = 0 et l condition d immobilité de l msse pour l observteur B est lors stisite. Pour l observteur B, il existe une orce supplémentire ' = mg ppelée orce d inertie. Comme P + R = 0 il vient ' = T : l orce T étnt une orce centripète, l orce d inertie ' = mg colinéire à T et de sens contrire est ppelée l orce d inertie centriuge (qui uit le centre de l trjectoire circulire). Exemple : Soit un pssger dns une voiture qui prend un virge ssez serré, le pssger dns le réérentiel de l voiture (réérentiel non gliléen) est soumis à son poids, à l réction de son siège, à l orce d inertie centripète et à l orce d inertie centriuge. Ces orces se compensnt deux à deux le pssger constitue un système isolé et pr conséquent reste en mouvement rectiligne uniorme selon le principe de l inertie. Autrement lorsque le mobile continue à prendre son virge le pssger tendnce à poursuivre sur une trjectoire rectiligne pr rpport u virge. Pr rpport à Trjectoire du pssger

6 l voiture, il est déporté vers l extérieur du virge. Chcun sit qu il lui ut un point «d ccroche» dns un véhicule dns un virge pour compenser l ction de l orce d inertie centriuge. Exemple 3 : L vrition du chmp de grvittion vec l ltitude λ que =ω r n on obtient r cosλ = r = Rcosλ. R On trouve lors G = g +ω Conclusions : L Terre est nimée d un mouvement de rottion utour de l xe des pôles. Un corps M de msse m à l surce de l Terre tourne utour de l xe des pôles vec l vitesse ngulire ω que l Terre. Le point M décrit utour de l xe des pôles une circonérence de ryon r et dont le centre H est le point de rencontre de l xe des pôles et l perpendiculire bissée de M sur l xe des pôles (ig. ). Les orces qui s exercent sur M dns un réérentiel non gliléen sont l orce de grvittion F = m G : orce de direction rdile, orientée vers le centre de l Terre, l orce d inertie centriuge F + = P m G + m = m g. = m et le poids P = m g de M. On En prennt n comme vecteur unitire tel que n colinéire à et de sens opposé on m G m g = = m et schnt G g =ω r n. Dns le tringle rectngle OHM rectngle en H on Rcos λ. n. Les chmps de grvittion G et de pesnteur g sont diérents. L direction du poids P = m g ne coïncide ps vec celle de l orce de grvittion F = m G. L ngle ε = (, F ) équteur H ω r n M R ε F = mg P λ = mg O F P Pôle sud Fig. = - m P est l écrt entre les deux directions. Le chmp de grvittion vrie vec l ltitude λ du lieu. 8 Théorème du centre d inertie ou du centre de grvité Le centre d inertie G d un système mtériel quelconque même mouvement qu un point mtériel libre dont l msse serit l msse totle du système et uquel serit ppliquées toutes les orces extérieures u système. Ou encore Le centre d inertie G d un système de msse totle m, soumis de l prt de l extérieur à des orces dont l résultnte est F, prend une ccélértion G telle que F = m G. Retenons : Dns l ppliction de l reltion ondmentle de l dynmique u mouvement d un système, on ppliquer l reltion ondmentle u seul centre d inertie ou centre de grvité du système. En rélité en plus du mouvement de trnsltion de l ensemble des points mtériels du système y compris le centre de grvité il existe un mouvement de rottion des utres points du système utour du centre d inertie.