1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

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1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS. Calcul formel EXERCICE.. Jeu de paramètres Considérons la fonction appelée logarithme à base a (avec a R + ). Cette fonction, paramétrée par a, est notée f a et est définie par : R +, f a()= ln() ln(a). Calculer les images suivantes : f a (), f a (a.), f a (e ), f a (a ), f 3 (), f a (), f a (a ). EXERCICE.2. Composition On considère les trois fonctions de la variable réelle suivantes : / f ()=2+ 2/ g ()= 2 3/ h()= + Donner l epression des fonctions composées suivantes en fonction de : / (f g )() 2/ (g f )() 3/ (h g f )().2 Domaine de définition EXERCICE.3. Domaine de définition Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : / f ()= / f ()= 2 2 2/ f ()= / f ()= ( 2)(+ ) / f ()= 6/ f ()= 2 7/ f ()= cos() +sin(2) 2 + 8/ f ()= 2cos().3 Equations EXERCICE.. Résolution d équations avec des logarithmes Résoudre les équations suivantes : / ln(3 2 )=ln()+ln(2) 2/ ln( ) 2ln( + )=0 EXERCICE.5. Résolution d équations avec des fonctions puissances Déterminer les racines de l équation : ( ) = ( ).

2 2 LIMITES EXERCICE 2.. Calcul de limite Calculer les limites en+ et en des fonctions f suivantes : 7+ 3 / f ()= / f ()= / f ()= / f ()= / f ()= / f ()= EXERCICE 2.2. Calcul de limites Déterminer les limites quand tend vers+ de : / f ()= ( e ) ln 2/ f ()= e 2 + 3/ f ()= 3 2 / f ()=(+ )e 5/ f ()= e2 2 e 2+ 6/ f ()= 3 7/ f ()= + e 3 8/ f ()= e+2 2 ln() EXERCICE 2.3. Limites en un point : changement de variable Déterminer les limites suivantes : 2 ( + 3 / lim 2 2 2/ lim 2 2 ln + ) 2 / lim π/2 + 2sin ( π 2 ) 2 π ( ) 5/ lim tan + 3/ lim ln( ) 2 2 EXERCICE 2.. Annales DS 2005 Calculer les limites suivantes : / lim 2 ln ( 2) 2 2/ lim ( ) 2 3/ lim sin + 2

3 3 CONTINUITÉ 3. Continuité en un point EXERCICE 3.. Continuité en un point : cas de la valeur absolue On considère la fonction f définie sur R par f ()=. Est-elle continue en 0? 2 + EXERCICE 3.2. Continuité en un point : cas d une fonction définie par morceau Considérons la fonction s définie (conditionnellement) par : s(t)=0, si t < 0 s(t)= t +e t, si 0 t < s(t)= t 3+e t (+2e), si t < 2 s(t)=e t (+2e e 2 ), si 2 t / Étudier la continuité de la fonction s, en calculant notamment : lim t 0 s(t), lim s(t), lim s(t), lim s(t), lim s(t), lim s(t). + t 0 + t + t 2 2/ Tracer rapidement le graphe de la fonction s, en calculant quelques valeurs clés. t t Ensemble de continuité EXERCICE 3.3. Ensemble de continuité d une fonction produit Soient f et g les fonctions définies par : { f ()=+ 2 si 0 { g ()= si 0 f ()= si < 0 et g ()=+ 2 si < 0 / Étudier la continuité des fonctions f et g et représenter graphiquement chacune d elles. 2/ Déterminer la fonction h = f g. Représenter graphiquement h en traçant plusieurs points caractéristiques. 3/ h est-elle continue en tout point de R? Quelle conclusion peut-on en déduire? EXERCICE 3.. Ensemble de continuité Donner l ensemble de continuité des fonctions suivantes : / f ()= / f ()= 5 3/ f ()=

4 DÉRIVÉES. Dérivabilité en un point EXERCICE.. Dérivabilité en 0 Montrer que la fonction définie sur R par f ()= est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé en 0..2 Calcul de dérivées EXERCICE.2. Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée Déterminer l ensemble de dérivabilité puis calculer la dérivée des fonctions suivantes : / f ()= 3 3 2/ f ()= 3 3/ φ(s)= 3 s / h(z)=( z) 3 (+2z) 9/ f ()= 5/ p()=2 3 + (t+ )2 6/ s(t)= t 2 + 0/ f ()= sin() cos() sin() + cos() 7/ f ()= 3 2 8/ f ()= / f ()=tan(sin()) 2/ f ()= cos( ) EXERCICE.3. Dérivée d une solution classique d équations différentielles Soit y = a cos(ωt)+b sin(ωt) avec a, b et ω trois constantes. / Calculer (si elles eistent) les dérivées y et y. 2/ Former ainsi une relation entre y et y indépendantes de a et de b. EXERCICE.. Logarithme et eponentielle Donner le domaine de dérivation et calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) y()= b) y()= a c) y()=ln ( log 0 () ).3 Application EXERCICE.5. ( Systèmes dynamiques) L étude des systèmes dynamiques du er ordre amène souvent à travailler avec la fonction de la variable réelle t : V (t)= V 0 e t τ, où τ est la constante de temps fiée. Montrer que la tangente à la courbe de V (t) en un point M 0 d abcisse t 0 quelconque coupe l ae des temps au point t 0 + τ.

5 5 CALCUL DIFFÉRENTIEL 5. Calcul différentiel EXERCICE 5.. Calcul différientiel Calculer les différentielles des fonctions suivantes : / f ()= + 2/ f ()=tan 2 ( 3 ) 3/ f ()= sin( ) EXERCICE 5.2. Dérivées et différentielles n-ième Soit la fonction t de la variable réelle définie par t() = tan(). Eprimer ses 5 premières dérivées en fonction de t et montrer que : d 5 t d 5 = 6+36t t + 20t 6 EXERCICE 5.3. Différentielles et variations / On considère un carré de côté a, dont la surface en fonction de a est notée S(a)=a 2. Par suite d une variation de température, on suppose que a varie d une petite quantité notée δa. a/ Calculer sa nouvelle surface S(a+ δa), la variation absolue de son aire δs = S(a+ δa) S(a) et la variation relative δs, en fonction de a et de δa. S b/ Calculer la différentielle ds de S(a) puis ds S. c/ Que néglige-t-on en assimilant la variation, δs S 2/ Même questions pour le volume V (r ) d un ballon de rayon r. ds à la différentielle (infiniment petite)? S 5.2 Applications EXERCICE 5.. Différentielles et équations différentielles Pour une fonction y() définie pour tout tel que, on fait le changement de variable = cos(t) avec 0 t π. / Eprimer d y d y en fonction de t et de d d t.. Attention δa est un symbole pour représenter la petite variation sur a ; ce n est pas δ a!! 5

6 6 Calcul différentiel 2/ En utilisant la méthode précédente, eprimer d 2 y d y en fonction de t, d 2 d t et d 2 y d t 2. 3/ Que devient, par ce changement de variable, l équation différentielle suivante : ( 2 ) d 2 y d 2 d y d + y = 0. EXERCICE 5.5. Déphasage d un circuit électronique Le déphasage ϕ de la tension par rapport au courant dans un circuit RLC alimenté par une tension sinusoïdale est donnée en fonction de la pulsation ω par : ( ) Lω Cω ϕ(ω) = Arctan, R / Rappeler la relation liant la fréquence f et la pulsation ω. 2/ Lorsque la fréquence f varie de δf (avec f très grand devant δf ), calculer la variation de déphasage δϕ correspondante, en l approimant avec la différentielle dϕ.

7 6 ÉTUDE DE FONCTIONS 6. Symétries graphiques : parité, imparité, périodicité EXERCICE 6.. Parité, Imparité Déterminer si les fonctions suivantes sont paires, impaires, ou ni paires ni impaires ; préciser alors le domaine d étude : / f ()= 2 + 2/ f ()= 3/ f ()= EXERCICE 6.2. Calcul de période Déterminer la période et le domaine d étude des fonctions suivantes : ( ) 3π / f ()=sin(2) 2/ f ()=sin 2 (2) 3/ f ()=cos ( ) 3 / f ()=tan 6.2 Étude de fonctions EXERCICE 6.3. Étude de fonctions Étudier et représenter graphiquement les fonctions suivantes : / f ()= / g ()= EXERCICE 6.. Fonctions hyperboliques 3/ y ()= / y 2 ()= (/a) / Étudier et représenter graphiquement la fonction définie par : y()=sh()+2ch() 2/ Résoudre et discuter l équation sh()+2ch()= a en fonction des valeurs prises par a. EXERCICE 6.5. Optimisation / On considère une boîte de conserve cylindrique de hauteur h et de rayon R. a/ On dispose d une surface de métal S limitée pour construire la boîte de conserve de taille S = 00π cm 2. Comment choisir le rayon R et la hauteur h de la boîte pour que son volume V soit maimal? b/ On souhaite maintenant construire une boîte de volume V 0 donné et fié. Comment choisir le rayon R et la hauteur h pour que la surface de métal à utiliser soit minimale? On eprimera la solution en fonction du rapport h R. 7

8 8 Étude de fonctions 2/ Mêmes questions avec une casserole. 6.3 Réciproque EXERCICE 6.6. Réciproque On considère la fonction f définie sur l intervalle [;+ [ par : f ()= + / Justifier de la continuité de f. 2. 2/ Démontrer que f admet une fonction réciproque f définie sur un intervalle I que l on précisera. 3/ Montrer que cette réciproque est g ()= EXERCICE 6.7. Calcul de réciproque On considère les deu fonctions f et g définies par : f ()= et g ()= 2 +. Pour chacun de ces fonctions, / Montrer qu elle possède deu intervalles de monotonie. 2/ Epliciter la fonction inverse relative à chacun de ces intervalles. 6. Retour sur les logarithmes et les eponentiels EXERCICE 6.8. Bac S 996, et oui! / On considère la fonction φ définie sur R + par : φ()= ln(+ ). Montrer que φ est décroissante + sur R +. En déduire le signe de φ() pour tout 0. 2/ Soit la fonction f définie par f (t)=e t ln(+e t ). Étudier à l aide de la fonction φ les variations de f. Déterminer les limites de f en et en +, donner le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative. EXERCICE 6.9. Fonction d eponentielles Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ;] par f ()= 3 2 e2 e 2. / Justifier la continuité de f. 2/ Calculer f () et montrer que : f ()=(3e + 2)(e ). En déduire le signe de f (). 3/ Justifier que l équation f ()=0 admet une solution 0 dans l intervalle [ 3;0] et donner un encadrement de 0 avec une erreur maimale de 0.

9 7 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 7. Etude de fonctions EXERCICE 7.. Etude de fonction ( (DS) 2005) + Soit la fonction f ()=Arctan. Donner le domaine de définition de f. Calculer sa dérivée et donner les limites quand tend vers±, 0 et 0 +. Tracer grossièrement son graphe. EXERCICE 7.2. Calcul de dérivées Donner l ensemble de dérivabilité et calculer les dérivées (ou les différentielles) des fonctions suivantes : ( ) ( + a ) / y()=arcsin(ln 2 ) 2/ y()=arcsin 3/ y()=arctan + a 7.2 Fonctions trigonométriques EXERCICE 7.3. ( Propriété des fonctions trigonométriques) Démontrer les relations suivantes : pour tout dans [ ;], / Arcsin()+Arccos()=π/2 ( ) 2/ Arccos()+Arccos( )=π 3/ Arctan() + Arctan = π sign() où sign() désigne la fonction signe. 2 EXERCICE 7.. Calcul et résolution d équations à base de fonctions trigonométriques ( ( )) ( ( )) 3 / Calculer tan Arcsin puis sin Arccos 5 2 2/ Montrer que : ( ) ( ) / 2Arctan + Arccos = π ( ) ( ) 3 2/ Arccos = 2Arctan / Trouver la ou les valeurs réelles de telle(s) que : ( ) ( ) / Arctan + Arctan + Arctan()= π ( ) 2/ Arctan + Arctan()= π / Eprimer le module ρ et la phase φ des complees suivants : z = +2j, z 2 = +2j et z 3 = 2j EXERCICE 7.5. Composition de fonctions trigonométriques Simplifier et représenter graphiquement (sur un même graphique) les fonctions suivantes : / Arccos(cos()) ( et ) cos(arccos()) 2/ Arctan(tan()) et tan(arctan(() )) cos() 3/ Arccos 2 9

10 8 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS (DL) ET LIMITES 8. DLs et limites EXERCICE 8.. Comportement local Étudier les fonctions suivantes au voisinage de 0 : a) sin c ()= sin(π) π EXERCICE 8.2. Limites Déterminer les limites quand tend vers+ de : b) f ()= e c) g ()= e / y() = ln(ch()) (ASTUCE : calculer lim + e y() ) 2/ y()= 2 ln() (+ ) 2 EXERCICE 8.3. Calcul de limites utilisant les DLs usuels : Arcsin() / f ()= sin() Calculer les limites quand tend vers 0 des epressions suivantes, en 2/ f ()= 2 sin() sin() 3/ f ()= 2+ + / f ()= e 2 cos() 5/ f ()= a b 6/ f ()= ln(cos(a)) ln(cos(b)) EXERCICE 8.. Calcul de DLs Donner le développement limité en 0 à l ordre des fonctions de la variable suivantes : / cos() 2/ 3/ tan 2 ln(+ ) ( π ) () / 5/ sin cos() + + EXERCICE 8.5. Calcul de DLs / Calculer le développement limité en 0 à l ordre de f ()= sin(2) et en déduire la limite de f en 0. cos() 2/ Donner le DL à l ordre de f ()=cos( + ) en 0 et sa limite en 0. EXERCICE 8.6. Changement de variable ( ) + Déterminer le comportement en + de la fonction f définie par f () = 3 ln. On pourra faire le changement de variable u=.. autrement dit analyser si la fonction est définie, continue, donner sa limite, et un développement limité par eemple à l ordre 2 0

11 8.2. Accroissements finis 8.2 Accroissements finis Formule des accroissements finis pour une fonction f continue sur [a,b] : f (a+ h)= f (a)+h f (a+ θh) avec h= b a et 0<θ< EXERCICE 8.7. En appliquant la formule des accroissements finis au fonctions suivantes, déterminer la valeur prise par θ : / f ()=α 2 + β+ γ 2/ f ()=e Calculer, dans chacun des cas, la limite de θ quand l écart h tend vers 0. EXERCICE 8.8. Série harmonique / Donner un encadrement de ln(a+ h) et l appliquer lorsque a= et h= n où n N. 2/ En déduire un encadrement de ln(n+ ) ln(n), ln(n) ln(n ), et ainsi de suite jusqu à ln(2) ln(). 3/ Déduire aussi un encadrement de u n = n. / Quelle est la limite de u n quand n tend vers l infini.

12 9 ANNALE - DS DE M Documents polycopiés et manuscripts autorisés Livres interdits,calculatrices interdites Durée : h30 EXERCICE 9.. Étude de fonction (7 points) On se propose d étudier la fonction f variable réelle définie par : f ()= / Donnez, en les justifiant, les domaines de définition, continuité et dérivabilité de la fonction f. 2/ Calculez la dérivée de la fonction f sur son domaine de dérivabilité. 3/ Étudiez le signe de la dérivée et déduisez-en le tableau de variation de f. / Précisez la limite de f en et la limite de f en ( 3) et en ( 3) +. 5/ Recherchez une asymptote au graphe de la fonction f en + sous la forme y = a+ b. Donnez la valeur de a et b. Même question en. 6/ Donnez l équation y = α+ β de la tangente au graphe de f en 0 en précisant les valeurs de α et β. 7/ Tracez le graphe représentatif de f en intégrant toutes les informations obtenues précédemment. EXERCICE 9.2. Calcul de limites (5 points) Calculez les limites suivantes : 3 / lim + 3 (+ ) 2/ lim + ± 2 3 ( ) + 3/ lim ± 2 3 ( ) + ( e ) / lim 0 ln EXERCICE 9.3. Résolutions d équation (3 points) Résolvez les équations et les inégalités suivantes : dans le cas des équations on donnera les valeurs de satisfaisant l équation ; dans le cas des inégalités, on donnera l intervalle I contenant les valeurs de vérifiant l inégalité. / ln( )=ln( + )+ln(2) 2/ ln ( 3 2 ) < ln()+ln(3) EXERCICE 9.. Fonctions trigonométriques circulaires (5 points) ( ) Dans cet eercice, on veut étudier la fonction φ définie par : φ()=arcsin 2 2 / On pose g la fonction définie par g ()=2 2. Donner le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de la fonction g. En faisant une étude rapide de la fonction g, montrez que pour tout réel de [ ;], on a g () [ ;]. On pourra utiliser l approimation suivante : 2,. 2/ Déduisez en justifiant le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de la fonction φ(). 3/ Calculez la dérivée de φ sur son domaine de dérivabilité. / Déduisez le tableau de variation de φ. 5/ Soit a R. Donnez le nombre de solutions de l équation φ()= a en fonction des valeurs prises par le paramètre a. 6/ Question bonus : Donnez une valeur approchée de la solution de l équation φ() = a lorsque a est proche de 0. On pourra utiliser un développement limité. 2