Fonction exponentielle Bac Série S

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1 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N Pondichéry 6 avril Partie On s intéresse à l évolution de la hauteur d un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-après représente cette évolution.,,8,6,4,,,8,6,4, O Hauteur (en mètres) y = Temps t (en jours) La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : h(t )= a +be,4t où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t ) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu initialement, pour t =, le plant mesure, m et que sa hauteur tend vers une hauteur ite de m. Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. Partie On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [ ; 5] par f (t )= +9e,4t. Déterminer f (t ) en fonction de t (f désignant la fonction dérivée de la fonction f ). En déduire les variations de la fonction f sur l intervalle [ ; 5].. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à,5 m. 3. a. Vérifier que pour tout réel t appartenant à l intervalle [ ; 5] on a f (t )= e,4t e,4t + 9. Montrer que la fonction F définie sur l intervalle [ ; 5] par F (t )=5ln ( e,4t + 9 ) est une primitive de la fonction f. b. Déterminer la valeur moyenne de f sur l intervalle [5 ; ]. En donner une valeur approchée à près et interpréter ce résultat. 4. On s intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f. En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée du temps t pour laquelle la vitesse de croissance est maximale. Estimer alors la hauteur du plant. Aide /

2 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N Liban 8 mai Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction f k définie surrpar ( f k (x)= +e kx. Le plan est muni d un repère orthonormé O, ı, ) j. Partie A Dans cette partie on choisit k =. On a donc, pour tout réel x, f (x)= +e x. ( La représentation graphique C de la fonction f dans le repère O, ı, ) j est donnée ci-dessous. C j 3 O ı 3. Déterminer les ites de f (x) en+ et en. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.. Démontrer que, pour tout réel x, f (x)= ex +e x. 3. On appelle f la fonction dérivée de f surr. Calculer, pour tout réel x, f (x). En déduire les variations de la fonction f surr. 4. On définit le nombre I = f (x) dx. ( ) +e Montrer que I = ln. Donner une interprétation graphique de I. Partie B Dans cette partie, on choisit k =. On souhaite tracer la courbe C représentant la fonction f. Pour tout réel x, on appelle P le point de C d abscisse x et M le point de C d abscisse x. On note K le milieu du segment [M P].. Montrer que, pour tout réel x, f (x)+ f (x)=.. En déduire que le point K appartient à la droite d équation y =. 3. Tracer la courbe C sur le graphique ci-dessus. 4. En déduire l aire, en unités d aire, du domaine déité par les courbes C, C l axe des ordonnées et la droite d équation x=. Partie C Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.. Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction f k est strictement comprise entre les droites d équations y = et y =.. Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction f k est strictement croissante. ( ) 3. Pour tout réel k, f k,99. Aide /

3 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 3 Polynésie 7 juin On considère la fonction f définie surrpar f (x)=(x+ )e x. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.. Étude de la fonction f. a. Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe C avec les axes du repère. b. Étudier les ites de la fonction f en et en +. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe C. c. Étudier les variations de f surr.. Calcul d une valeur approchée de l aire sous une courbe. On note D le domaine compris entre l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équation x= et x=. On approche l aire du domaine D en calculant une somme d aires de rectangles. a. Dans cette question, on découpe l intervalle [ ; ] en quatre intervalles de même longueur : [ Sur l intervalle ; ], on construit un rectangle de hauteur f () 4 [ Sur l intervalle 4 ; ] ( ), on construit un rectangle de hauteur f 4 [ Sur l intervalle ; 3 ] ( ), on construit un rectangle de hauteur f 4 [ ] ( ) 3 3 Sur l intervalle 4 ;, on construit un rectangle de hauteur f 4 Cette construction est illustrée ci-dessous. C O L algorithme ci-dessous permet d obtenir une valeur approchée de l aire du domaine D en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents : Variables : k est un nombre entier S est un nombre réel Initialisation : Affecter à S la valeur Traitement : Pour k variant de à 3 Affecter à S la valeur S+ ( ) k 4 f 4 Fin Pour Sortie : Afficher S Donner une valeur approchée à 3 près du résultat affiché par cet algorithme. b. Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à. On découpe l intervalle [ ; ] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu à la question.a. Modifier l algorithme précédent afin qu il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits. 3/

4 Fonction exponentielle Bac Série S Calcul de la valeur exacte de l aire sous une courbe. Soit g la fonction définie surrpar g (x)=( x 3)e x. On admet que g est une primitive de la fonction f surr. a. Calculer l aire A du domaine D, exprimée en unités d aire. b. Donner une valeur approchée à 3 près de l erreur commise en remplaçant A par la valeur approchée trouvée au moyen de l algorithme de la question. a, c est-à-dire l écart entre ces deux valeurs. Aide 4/

5 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 4 Centres étrangers juin On considère la fonction g définie pour tout réel x de l intervalle [ ; ] par : g (x)=+e x. On admet que, pour tout réel x de l intervalle [ ; ], g (x) >. y On note C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, et D le domaine plan compris d une part entre l axe des abscisses et la courbe C, d autre part entre les droites d équation x= et x=. La courbe C et le domaine D sont représentés ci-contre. D C x Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire, d abord par une droite parallèle à l axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l axe des abscisses (partie B). Partie A y Soit a un réel tel que a. On note A l aire du domaine compris entre la courbe C, l axe (Ox),les droites d équation x = et x = a, puis A celle du domaine compris entre la courbe C, (Ox) et les droites d équation x= a et x=. A et A sont exprimées en unités d aire. A A a C x. a. Démontrer que A = a e a +. b. Exprimer A en fonction de a.. Soit f la fonction définie pour tout réel x de l intervalle [ ; ] par : f (x)=x e x + e. a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [ ; ]. On précisera les valeurs exactes de f () et f (). b. Démontrer que la fonction f s annule une fois et une seule sur l intervalle [ ; ] en un réel α. Donner la valeur de α arrondie au centième. 3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires A et A sont égales. Partie B Soit b un réel positif. Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de même aire par la droite d équation y = b. On admet qu il existe un unique réel b positif solution.. Justifier l inégalité b< +. On pourra utiliser un argument graphique. e. Déterminer la valeur exacte du réel b. Aide 5/

6 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 5 Antilles Guyane 8 juin Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque. Partie A Soit f la fonction définie et dérivable sur l ensembler telle que : f (x)=(x+ )e x.. Calculer la ite de f en+ et.. On note f la fonction dérivée de la fonction f surr. Démontrer que f (x)=(x+ )e x. 3. Dresser le tableau de variation de f surr. Partie B On définie la fonction g m surrpar ( : g m (x)=x+ me x et on note C m la courbe de la fonction g m dans un repère O, ı, ) j du plan.. a. Démontrer que g m (x)= si et seulement si f (x)=m. b. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d intersection de la courbe C m avec l axe des abscisses en fonction du réel m.. On a représenté les courbes C, C e, et C e. (Obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs, e et e). 5 4 Courbe 3 Courbe 3 4 Courbe 3 3 Identifier chacune de ces courbes en justifiant. 3. Étudier la position de C m par rapport à D d équation y = x+ suivant les valeurs de m. 4. a. On appelle D la partie du plan comprise entre les courbes C e, C e, l axe (O y) et la droite x=. Hachurer D sur la figure ci-dessus. b. Dans cette question, a désigne un réel positif, D a la partie du plan comprise entre C e, C e, l axe (O y) et la droite a d équation x = a. On désigne par A (a) l aire de cette partie du plan, exprimée en unités d aire. Démontrer que pour tout réel a positif : A (a)=e e a. En déduire la ite de A (a) quand a tend vers+. Aide 6/

7 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 6 Asie 9 juin Toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f (x)=e x et g (x)= e x. Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C f et C g, sont fournies ci-dessous C f C g O Partie A Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes, Tracer au mieux ces tangentes sur la figure ci-dessus. Partie B Dans cette partie, on admet l existence de ces tangentes communes. On note D l une d entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d abscisse a et tangente à la courbe C g au point B d abscisse b.. a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à C f au point A. b. Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à C g au point B. c. En déduire que b= a.. Démontrer que le réel a est solution de l équation (x )e x + =. Partie C On considère la fonction ϕ définie surrpar ϕ(x)=(x )e x +.. a. Calculer les ites de la fonction ϕ en et+. b. Calculer la dérivée de la fonction ϕ, puis étudier son signe. c. Dresser le tableau de variation de la fonction ϕ surr. Préciser la valeur de ϕ().. a. Démontrer que l équation ϕ(x)= admet exactement deux solutions dansr. b. On note α la solution négative de l équation ϕ(x) = et β la solution positive. À l aide d une calculatrice, donner les valeurs de α et β arrondies au centième. Partie D Dans cette partie, on démontre l existence de ces tangentes communes, que l on a admise dans la partie B. On note E le point de C f d abscisse α et F le point de C g d abscisse α (α est le nombre réel défini dans la partie C).. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe C f au point E.. Démontrer que (EF) est tangente à C g au point F. Aide 7/

8 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 7 Antilles Guyane Septembre Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f k la fonction définie et dérivable sur l ensemble des nombres réelsrtelle que : f k (x)=k xe kx. On note C k sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal Partie A : Étude du cas k = On considère donc la fonction f définie surrpar f (x)=xe x.. Déterminer les ites de la fonction f en et en+. En déduire que la courbe C admet une asymptote que l on précisera.. Étudier les variations de f surrpuis dresser son tableau de variation surr. 3. Démontrer que la fonction g définie et dérivable surrtelle que : est une primitive de la fonction f surr. g (x)= (x+ )e x 4. Étudier le signe de f (x) suivant les valeurs du nombre réel x. ( O, ı, ) j. 5. Calculer, en unité d aire, l aire de la partie du plan déitée par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équation x = et x = ln. Partie B : Propriétés graphiques On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C, C a et C b où a et b sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à C b au point O origine du repère.,6 T,4 C, C a C b,,,4,6,8,,. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes C k passent par un même point.. a. Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a f k (x)=k( k x)e kx. b. Justifier que, pour tout réel k strictement positif, f k admet un maximum et calculer ce maximum. c. En observant le graphique ci-dessus, comparer a et. Expliquer la démarche. d. Écrire une équation de la tangente à C k au point O origine du repère. e. En déduire à l aide du graphique une valeur approchée de b. Aide 8/

9 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 8 Métropole septembre Soit f une fonction définie ( et dérivable surr. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, ı, ) j. Partie A Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C, C, C 3 avec la tangente en leur point d abscisse. C j O ı j d O ı d j O C ı j O ı C 3 d C. Donner par lecture graphique, le signe de f (x) selon les valeurs de x.. On désigne par F une primitive de la fonction f surr. Partie B a. À l aide de la courbe C, déterminer F () et F ( ). b. L une des courbes C, C, C 3 est la courbe représentative de la fonction F. Déterminer laquelle en justifiant l éination des deux autres. Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie surrpar f (x)=(x+ )e x.. L observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum. a. Démontrer que pour tout réel x, f (x)= (x+ 4)e x. b. En déduire une validation de la conjecture précédente.. On pose I = f (x) dx. a. Interpréter géométriquement le réel I. b. Soient u et v les fonctions définies sur R par u(x) = x et v(x) = e x. Vérifier que f = ( u v+ uv ). c. En déduire la valeur exacte de l intégrale I. 9/

10 Fonction exponentielle Bac Série S On donne l algorithme ci-dessous. Variables : k et n sont des nombres entiers naturels. s est un nombre réel. Entrée : Demander à l utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à s la valeur. Traitement : Pour k allant de à n Fin de boucle. Sortie : Afficher s. Affecter à s la valeur s+ n f ( k n On note s n le nombre affiché par cet algorithme lorsque l utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n. a. Justifier que s 3 représente l aire, exprimée en unités d aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur. ). C b. Que dire de la valeur de s n fournie par l algorithme proposé lorsque n devient grand? Aide /

11 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 9 Nouvelle Calédonie 4 novembre Soit f la fonction dérivable, définie sur l intervalle ] ; + [ par f (x)=e x + x.. Étude d une fonction auxiliaire a. Soit la fonction g dérivable, définie sur [ ; + [ par g (x)= x e x. Étudier le sens de variation de la fonction g. b. Démontrer qu il existe un unique réel a appartenant à [ ; + [ tel que g (a)=. Démontrer que a appartient à l intervalle [,73 ;,74[. c. Déterminer le signe de g (x) sur [ ; + [.. Étude de la fonction f a. Déterminer les ites de la fonction f en et en+. b. On note f la fonction dérivée de f sur l intervalle ] ; + [. Démontrer que pour tout réel strictement positif x, f (x)= g (x) x. c. En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur l intervalle ] ; + [. d. Démontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre réel m= a + a. e. Justifier que 3,43<m< 3,45. Aide /

12 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N Amérique du Sud novembre Partie A Soit f la fonction définie surrpar f (x)= xe x.. Vérifier que pour tout réel x, f (x)=e x e x.. Déterminer la ite de la fonction f en. 3. Déterminer la ite de la fonction f en+. Interpréter graphiquement cette ite. 4. Déterminer la dérivée de la fonction f. 5. Étudier les variations de la fonction f surrpuis dresser le tableau de variation. Partie B Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions g n et h n définies surrpar : g n (x)=+ x+ x + +x n et h n (x)=+x+ + nx n.. Vérifier que, pour tout réel x : ( x)g n (x)= x n+. On obtient alors, pour tout réel x : g n (x)= xn+ x.. Comparer les fonctions h n et g n, g n étant la dérivée de la fonction g n. En déduire que, pour tout réel x : h n (x)= nxn+ (n+ )x n + ( x). 3. Soit S n = f ()+ f ()+...+ f (n), f étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de S n puis sa ite quand n tend vers+. Aide /

13 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N Pondichéry 6 avril Sujet Partie a h(t )= t + Or +be,4t = t + e,4t =, donc a=. h()=, a +b =, Or a=, donc b= 9. Partie : On a f (t )= +9e,4t AIDE. f est du type u v dont la dérivée est f = u v v u v donc f (t )=,76e,4t ( +9e,4t ) Dérivée f (x) f (t )> donc f est strictement croissante. Sens de variation de f. f (t )>,5 >,5 +9e,4t >,5(+9e,4t ),5 9 > e,4t f (t )>,5 t > ln57, c est-à-dire t j our s.,4 3. a. f (t )= +9e,4t e,4t f (t )= +9e,4t e,4t Autre expression de f (x) f (t )= e,4t e,4t + 9 On a F (t )=5 ln(e,4t + 9). b. µ= 5 F est du type u v dont la dérivée est F = u v+ v u et v est du type ln(w) dont la dérivée est v = w D où F (t )= e,4t +9e,4t, c est-à-dire F (t )= f (t ) : F est une primitive de f. 5 f (t )dt µ= [F () F(5)] 5 µ,3. 4. La vitesse est maximale lorsque la pente est maximale, soit à t = 8. La hauteur est d environ égale à,5 m. w F primitive de f Valeur moyenne de f 3/

14 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N Liban 8 mai Sujet Partie A. On a f (x)= +e x x + e x = = f (x)=. x + Limites de f (x) x e x =+ = f (x)=. x + y = et y = sont deux asymptotes horizontales à C en+ et en.. f (x)= +e x ex f (x)= +e x e x Autre expression de f (x) f (x)= ex e x + 3. On a f (x)= ex +e x f est du type u v dont la dérivée est f = u v v u v donc f (x)= e x (+e x ) Dérivée f (x) f (x)> donc f est strictement croissante. Sens de variation de f 4. On a f (x)= ex e x + f est du type u u dont la primitive est F = ln(u) donc F (x)=ln(+e x ). I = f (x) dx I = F (() F ) () +e I = ln. Primitive de f Intégrale I est l aire déitée par C, l axe des abscisses, et les droites d équations x = et x=. Partie B ex P C = y P = f (x)= = +e x +e x M C = y M = f (x)= +e x. f (x)+ f (x)= ex e x + + +e x =. y K = y M + y P = f (x)+ f (x) = 3. C et C sont symétriques par rapport à y = C C j 3 O ı 3 4/

15 Fonction exponentielle Bac Série S A = Partie C. Vrai. Faux 3. Vrai Or (f (x) f (x))dx Intégrale f (x)+ f (x)= f (x)= f (x) Donc A = (f (x) )dx = f (x)dx ( ) +e dx = ln,4. On a f k (x)= +e kx >. < f k (x)<? Encadrement de f k (x) e kx > = +e kx > = +e kx < = < f k (x)<.. Contre-exemple : f est strictement décroissante. ( ) 3. k =? f k,99 k = k 5 = e k e 5 = ( ) +e k +e 5 Or +e 5,9933 donc f k,99 5/

16 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 3 Polynésie 7 juin Sujet. a. f (x)=(x+ )e x Intersection avec les axes Intersection avec l axe des ordonnées : x = = f ()= = ( ; ) Intersection avec l axe des abscisses : f (x)= = x= = ( ; ) b. Limite en : Limites de f (x) { ( x)=+ x par composition = x e x =+ X + ex =+ { x e x =+ x (x+ )= Limite en+ : par produit = x f (x)= f (x)=(x+ )e x = x e x + e x = e x + e x = x + x + ex =+ e x x + x =+ par quotient = x x + x + e x = e x = La droite d équation y = est asymptote à C en+. c. f (x)=(x+ ) e x f est du type u v dont la dérivée est f = u v+ v u x par somme = x + f (x)= Dérivée f (x) donc f (x)= e x + (x+ ) ( )e x = (x+ )e x f (x) est du signe de x Signe de f (x) et variation de f x + f (x) + f (x) e. a. S +/4f (/4)=,5,5+ /4f (/4)=,938,938+ /4f (/4)=,37,37+ /4f (3/4)=,64 k - 3 b. Dans Variables, ajouter "N est un nombre entier" Dans traitement : - remplacer "Pour k variant de à 3" par "Pour k variant de à N-" - remplacer "Affecter à S la valeur S+ ( ) k 3 f " par 3 "Affecter à S la valeur S+ ( ) k N f " N 3. a. g (x)= ( x 3)e x est une primitive de f (x). Intégrale Donc : A = b. ( 4e + 3),64,3 f (t ) dt = g () g ()= 4e + 3 6/

17 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 4 Centres étrangers juin Sujet Partie A : D est scindé en deux par une droite verticale d équation x= a. g (x)=+e x. a. A = a g (x) dx= G(a) G() Or, G(x)= x e x Intégrale Donc, A = (a e a ) ( )=a+ e a b. A = a g (x) dx= G() G(a)= ( e ) (a e a )= a+ e a e. a. f (x)=x e x + e = f (x)=+e x Dérivée f (x) f (x)> donc f est strictement croissante. Signe de f (x) et variation de f x f (x) f (x) e + e b. Sur [ ; ] : Théorème des valeurs intermédiaires f est continue. f est strictement croissante. est compris entre f (),6 et f (),6. Donc, d après le (corollaire du) théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), f s annule une fois et une seule sur [ ; ] en un réel α. A la calculatrice :,45<α<,453, donc α, A =A a+ e a = a+ e a e a e a + e =. Donc, a est une solution de l équation f (x) = Ainsi, A = A pour a,45. Partie B : D est scindé en deux par une droite horizontale d équation y = b.. On remarque sur le graphique que l aire totale est strictement inférieure à. La moitié de l aire est donc strictement inférieure à. D où b < Donc b< <+ e. D après la partie A : la moitié de l aire totale est donnée par (A +A )= D après la partie B : la moitié de l aire totale est égale à b Ainsi, b= ( e ) ( e ) 7/

18 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 5 Antilles Guyane 8 juin Sujet Partie A f (x)=(x+ )e x = xe x + e x. Limite en : Limites de f (x) { x xex = par somme = x ex = f (x)= x Limite { en+ : x+ =+ x + x + ex =+. f (x)=(x+ ) e x f est du type u v dont la dérivée est f = u v+ v u par produit = x + f (x)=+ Dérivée f (x) donc f (x)= e x + (x+ ) e x = (x+ )e x 3. f (x) est du signe de x+. Partie B x + f (x) + + f e. a. g m (x)=x+ me x : g m (x)= x+ me x = x+ =me x (x+ )e x = m f (x)=m b. D après le tableau de variation : m= e ou m : f (x)=m admet une solution. Il en est de même pour l équation g m (x)=. Donc, C m coupe l axe des abscisses en un point. e < m< : f (x)=m admet deux solutions. Il en est de même pour l équation g m (x)=. Donc, C m coupe l axe des abscisses en deux points. m< e : f (x)=m n admet aucune solution. Il en est de même pour l équation g m (x)=. Donc, C m ne coupe pas l axe des abscisses.. - Pour m=, g (x)=x+ est une fonction affine. Donc, la courbe correspond à C - La courbe ne coupe pas l axe des abscisses : m< e. Donc, m= e. - La courbe 3 coupe l axe des abscisses en un point. On vérifie que m= e 3. g m (x) (x+ )= me x Position d une courbe par rapport à une droite m> : C m en dessous de D. m< : C m au dessus de D. 8/

19 Fonction exponentielle Bac Série S a. Domaine D hachuré : 5 4 C e 3 C 3 4 C e 3 b. g e (x)=x+ +e x et g e (x)= x+ e x. Intégrale A (a) = = a a = e [ g e (x) g e (x) ] dx e e x dx a = e e a a + e a =, donc e x dx A (a) = e. a + 9/

20 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 6 Asie 9 juin Sujet Partie A Voir la figure. Partie B. a. f (x)=e x = f (x)=e x Donc f (a)=e a b. g (x)= e x = g (x)=e x Donc g (b)=e b c. f (a)=g (b) e a = e b b= a. T a : y = (x a) f (a)+ f (a) = y = xe a + e a ( a) Tangente T b : y = (x b) g (b)+ g (b) = y = xe b + e b be b Partie C xe a + e a ( a)= xe b + e b be b Or, b= a. Donc e a ( a)= e a + ae a, d où : (a )e a + =. a. ϕ(x)=(x )e x + = xe x e x + Limite en : x xex = x ex = x = Limite en+ : { x + (x )ex =+ x = par somme = x ϕ(x)= par somme = x + ϕ(x)=+ Limites de f (x) b. ϕ(x)=xe x e x + Dérivée f (x) ϕ (x)= e x + x e x e x = xe x ϕ (x) est du signe de x : Signe de f (x) - Sur ] ; [ : ϕ (x)< - Sur ] ; + [ : ϕ (x)> c. Variation de f x + ϕ (x) + ϕ(x) +. a. - Sur ] ; ] : Théorème des valeurs intermédiaires ϕ est continue. ϕ est croissante. est compris entre ϕ(x)= et ϕ()=. x Donc, d après le (corollaire du) théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l équation ϕ(x)= admet une unique solution α. - Sur [ ; + [ : de même, on montre que l équation ϕ(x)= admet une unique solution β. - SurR : on conclut que l équation ϕ(x)= admet exactement deux solutions. /

21 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 Partie D b.,679< α<,678 donc α,68,768<α<,769 donc β,77. Équation de la tangente en α : T α : y = (x α) f (α)+ f (α) y = (x α) e α + e α y = e α x αe α + e α Or, ϕ(α)= (α )e α + = e α = (α ) Donc T α : y = (α ) x+ Équation de la droite (EF) : (EF) : y = mx+ p E(α ; e α ) F( α ; e α ) m= y F y E = ( eα ) (e α ) = eα x F x E α α α = (α ) α E (EF ) y E = mx E + p ( ) d où p = e α α= (α ) (α ) + α (α ) = (EF) : y = (α ) x+ = (α ) La droite (EF) est tangente à la courbe C f au point d abscisse α.. Équation de la tangente en α : T α : y = (x ( α)) g ( α)+ g ( α) y = (x+ α) e α + e α y = e α x+ αe α e α +... y = (α ) x+ La droite (EF) est tangente à la courbe C g au point d abscisse α. /

22 Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N 7 Antilles Guyane septembre Sujet salut EXERCICE N 8 Métropole septembre Sujet salut EXERCICE N 9 Nouvelle Calédonie 4 novembre Sujet salut EXERCICE N Amérique du Sud novembre Sujet salut /