1, 2 ; l axe des abscisses et la courbe

Transcription

1 Ex à sujet B Ex49 p79 définie sur 0 ; par : 2 La fonction inverse,, est continue et positive sur ; donc l intégrale 2 représente l aire délimitée sous la courbe sur ;2 aire délimitée par les droites d équation, 2 ; l axe des abscisses et la courbe De même représente l aire sous la courbe sur ; b) 2 2 Dérivée Pour ; a) Pour ;! 0! 0! 0 Ainsi la fonction est strictement croissante sur ; b) est strictement croissante sur ;, donc 2

2 Ex49 p79 définie sur par : " # Dérivée Pour " # " # 2 on sait : " %! 0 sur D où, pour " #! 0! 0 Ainsi la fonction est strictement croissante sur 0 " # 0 est strictement croissante sur et s annule en 0 On peut en déduire le signe de : & 0 & 0 + Ex59 p79

3 '() sin - Dérivée : Pour tout de = cos cos sin = cos sin = cos cos = cos - = On a : = pour tout de, donc est une primitive de sur 2 Soit 2 la primitive de valant 0 en 2 est une autre primitive de sur donc 2 = = = 0 sin sin = = 0 4 = 2 D où 2 = '() sin 2 Ex 60 p79 = ln ² Dérivée : Pour tout de ]0 ;+ [ : = 2 ln = 2ln = On a : = pour tout de ]0 ;+ [, donc est une primitive de sur ]0 ;+ [. 2 ; = <= = est une primitive de sur ]0 ;+ [ Donc est une primitive de sur ]0 ;+ [ Donc la fonction 2 définie par 2 = ln ² est une primitive de ; sur ]0 ;+ [. Ex 6 p80 = 5-7"- Dérivée : Pour tout de? = " -? = " -

4 = " - + " - A B = " = " - = On a : = pour tout de, donc est une primitive de sur 2 ; = " - = - "- = - est une primitive de sur Donc - est une primitive de - sur Donc la fonction 2 définie par 2 = - 5-7"- + 4 est une primitive de ; sur On cherche 4 2 = 2 A 4 B"- + 4 = "- + 4 = 2 4 = "- D où 2 = - 5-7" E F "- Ex79 p 8 - G = 2 = [ - ] - = - - = 8 I = ² - = J - K = 0 A - - B = 9 - L = 2 = [2M) ] - = 2M) 2M) = 2M) Ex 80 p 8 G = 4 = J K = J - 2 K G = A B A - 2 B = = I = = J K = 2 = 2 L = " = J " K = [ " ] = " " = " " = " "

5 Ex 8 p 8 G = - = J + - K = J 2 K = A 2 2 B A 2 B = = 8 I = + = = 2 [ln + ] = 2 M)4 M) = 2 2M)2 M) = M)2 2 M) L = " # Ex 85 p 8 = 2 2 "# ² + 0 sur = 2 Oe# Q = 2 "E " = 2 "E 2 " pour tout de ] ;+ [ = Soit une primitive de sur ] ;+ [ Avec = 2 + = = = = ² + ln '?S ] ; + [ intégrale de 0 à Ex 9 p 8 G = " 2 2 = [ ] = 0 = + M) M) = M)2 I = 2 2" L = G + 5I = " 5 2" Ex 9 p 8 2 = = + +

6 = J 2 K + J 2 K = A 2 B + A 2 4 0B = 5 2 Ex 92 p 8 calculs d intégrales G = " + " = 2 2" + " = J 2 ln + " K = 2 ln + " 2 M)2 G + I = " + " = V " + " + + " W = " + + " = = [ ] = + + " D où I = G + I G = A 2 ln + " 2 ln2b = + 2 M)2 2 ln + " Ex 9 p 8 YZ' G = + 2'() 2 G + I = = = YZ' + 2'() YZ' + sin2 + 2'() = 2 2YZ' + 2'() + sin2 + 2'() YZ' + 2'() + 2'() = YZ' = ['() ] = = J 2 ln + 2'() K = 2 ln

7 I = G + I G = M) Ex94 p82 Pour tout de [0 ;] ² " " ² car la fonction " \ est croissante sur 2 Pour tout de [0 ;] 0 " " 0 " 0 " 0 " " # " " # Par intégration (membre à membre) de l inégalité sur l intervalle [0 ;] " " De plus _ " = _ ` 2 " a = b `"# ac = 5 " 7 5 " 7 = d On en déduit l encadrement : 0 " 2 2" Ex95 p82 Pour tout de [ ;2] 2 ln ln ln2 0 ln ln2 2 Pour tout de [ ;2] 0 ln ln2 0 ln ln2 Par intégration de l inégalité sur l intervalle O ;2Q 0 ln ²ln2 Or _ ²ln2 = b - - e ln2 c = ln 2 ln2 = f M)

8 D où l encadrement : 0 ln 7 ln2 Ex96 p82 Pour tout de YZ' 0 YZ' + YZ' 2 i + YZ' 2? 2 2 Pour tout de? 2 Par intégration de l inégalité sur l intervalle O0 ;6Q? 2 [ ]? O 2 Q 6? 6 2 Ex97 p8 l «si la fonction est nulle sur [j ;k], alors _ m = 0» l L affirmation est vraie car _ 0 m = 0 Réciproque : l «si _ m = 0, alors la fonction est nulle sur [j ;k]» L affirmation est fausse : Contre-exemple : = [j ;k] = [ ;]

9 = J 2 K = 2 ² 2 = 0 On a _ = 0, mais la fonction n est pas la fonction nulle ( 0 Ex98 p8 Pour tout réel de [ ;+ [ i2 i + 2 i i + i D où pour : i i Pour : i i + 2 i Enonce Par intégration de l inégalité sur l intervalle O ;2 Q 2 J 2 ln K [ln ]

10 2 ln2 2 ln 2 + M)2 + M) 2 2 M) M)2 2 + M)2 ln2 ln M)2 + M) M) Ex00 p 82 Pour ) *, on pose? = _ " ² Pour tout réel de [ ;+ [ ) ) ) 0 " # " De plus " % 0 sur D où pour tout réel de [ ;+ [ 0 " # " 2 Par intégration de l inégalité sur l intervalle O ;2Q 0 " # " 0 " # 0 " # 0 " # 0? " " ) limite de la suite? : J ) " K A ) " B A ) " B " " ) 0? " " 0? ) ) " " M(o ) = " M(o q q " = 0 M(o q " = 0 M(o 2) = " M(o q q " = 0 M(o q " = 0

11 D où M(o q " " = 0 De plus M(o q Donc M(o q = 0 " " = 0 En appliquant le théorème des gendarmes, on a : M(o q? = 0 La suite? converge vers 0. Ex02 dérivée Pour tout de = " + " + " = = " Signe de : 0 + " + 0 La fonction est strictement croissante sur ] ;0] et strictement décroissante sur [0 ;+ [ On peut déduire le tableau de signe Dérivée Pour tout de ]0 ;+ [ ; = " " ² = = < 0 " ² 0 < 0 ; < 0 La fonction ; est décroissante sur ]0 ;+ [

12 2 b) méthode : étude du signe 0 < 0 " < " " < " " 0 De plus 0 D où " 0 ; 0 Méthode 2 : limite en + M(o = " M(o q % q "% = 0 M(o q " = 0 M(o q " = M(o q = + d D où M(o st = 0 q Ainsi M(o q ; = 0 La fonction ; est décroissante sur ]0 ;+ [ et M(o q ; = 0 On en déduit le tableau de signe 0 + ; + Intégrale I = ; y x.a. pour [) ;) + ] ) ) + ;) + ; ;) car ; décroissante sur [) ;) + ]

13 .b. par intégration de cette inégalité sur [) ;) + ], ona : ;) + ; [;) + ] ; ;) ;) + ) + ) ;) ;) + ;) ;) + I ;) ;) [;) ] ;) ) + ).c. Montrons que la suite u v est décroissante. pour tout ) de ;) + I ;) ;) + 2 I ;) + D où I ;) + I I I La suite I est décroissante..d. limite de u v Pour tout ) de, on a : ;) + I ;) de plus M(o ; = 0 Y 2k M(o ;) = 0 " M(o ;) + = 0 q q q d après le théorème des gendarmes, on en déduit M(o q I = 0 ex 07 p8 Pour w < ² = - = + +

14 2 pour, on a : ², De plus = ; on en déduit que ; pour d = A B = "- 4?.j. = J [ ;+ [ d - ln K = "- ln" - + ln = "- 4 Ex09 p 8. b. Position relative de y et z sur [0 ;6] ; = = sin sin 0 sin sin ; On en déduit : y est au-dessus de z sur c0 ; b c ;6b et y et z ont trois points communs d abscisses respectives 0 ; ;6 2 Pour [0 ;6], ; L aire entre les deux courbes sur [0 ;6] sera donnée par : G = ` ; a = sin sin = Vsin A 2 cos2 BW 2 = Asin cos2 B = = J cos sin2 K = = = ?.j. De plus?.j.= 2Yo² D où = } ~,ƒ ~²

15 Ex0 p 8 Dérivée Pour 0 ; Signe de 0 ² & 2 0 ln E & 2 ln E & 2M) 0 M) 2 " " & 2ln - & 2M)! 0 M) 2 " " 0 " & 2M) 0 & & La fonction est croissante sur 0 ; " et décroissante sur " ; 2. Dérivée Pour 0 ; & 0 & 0 M) & & & M) & & M) M) On a pour 0 ;, donc est une primitive de sur ]0 ;. aire

16 La fonction est positive sur [ ;+ [ d = = 2 "?.j. Or?.j.= 2Yo² = [ ] d = " = A M)" " " B A M) B = " " + = 2 " Donc = 2 E d Yo².7 Yo² y x sujet B.a limite en + = 4 " = 2 A On pose = Quand + M(o % q "% = 0 M(o q Ainsi M(o q = 0 2 " 2 " B = 0 M(o q 2 2 " = 0 Et la droite d équation = 0 est asymptote à y au voisinage de +.b. Dérivée = 4 " + A 2 " B 4 = 4 " A 2 B

17 Signe de 4 " D où les variations La fonction est strictement croissante sur [0 ;2] et " a. variations de Pour [0 ;+ [ = = La fonction est une primitive de sur [0 ;+ [ La qb permet de connaître le signe de donc celui de 0 + = 0 + On en déduit que la fonction est strictement croissante sur [0 ;+ [ 2.b. dérivons 2 sur [0 ;+ [ 2 = " 2 " 2 = 0 A 2 " B A 2 " + A 2 " B B = 2 2 " 2 " + 2 " = 2 4 " = On a 2 = donc 2 est aussi une primitive de sur [0 ;+ [ 20 = = 0 " 0 = 0 D où 2 = 2.c. limite de en + M(o = q

18 2.d. 0 ˆ ,5 0 La fonction est continue et strictement croissante sur 0 ; Donc est une bijection de 0 ; sur 0 ; De plus 0,5 0 ; Donc l équation 0,5 admet une unique solution dans 0 ;, on la note ˆ On obtient ˆ,5 à 0 par excès.. algorithme v ^, La fonction est positive sur 0 ;, donc l aire décrite est l aire sous la courbe y sur 0 ;) Son aire est :

19 Ex 48 p 9 dérivée : Pour tout Equation de la tangente à = 0 &0 2.a. Dérivée : Pour tout &" y 0 " y = " au point d abscisse 0 : 0 Ainsi Δ est la tangente à Signe de : de & & au point d abscisse 0 de : & 0 &; 0 &" & & &"

20 " + 0 " < < 0 0 D où 0 + h b la fonction h est décroissante sur ] ;0] et croissante sur [0 ;+ [. signe de ; : On a ; = h et h0 = = 0 d où avec les variations de h 0 + h 0 + h 0 On en déduit le signe de h 0 + h Ainsi y est au-dessus ou au contact de sa tangente sur 4.a. h = `" + a = " + = J " + 2 K = = 2 " 4.b. partage du domaine coloré Signe de ; : + ; + 0 Pour 0 : le domaine coloré est entre les courbes y et Δ, avec + cfq Pour : le domaine coloré est l aire sous la courbe y de à j = ` ; a m + = h m + = 2 " + [ " ] m = = 2 "m L aire du domaine est : = d Œ?.j.

21 Ex52 p 94 pour tout entier naturel ) non nul : = J K = ) + + ) = = )) + =? 2..a Calcul de somme = Ž? =? +? + +? = = S"Mj(Z) " hj'm"' 2b calcul de v = = J K = ) + + = = ) ) + 2c Convergence de v : M(o ) + = + M(o q q ) + = 0 M(o A q ) + + B = Ainsi M(o q = et la suite converge vers.