MATHEMATIQUES. Semestre 2. Statistiques à deux variables COURS. Cours en ligne : sur section DUT Maths S2.

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1 Départemet TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION MATHEMATIQUES Semestre 2 Statstques à deux varables COURS Cours e lge : sur secto DUT Maths S2. IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page sur 3

2 SOMMAIRE COURS 3 I Itroducto, vocabulare 3 I- Objectfs 3 I-2 Mses e forme 3 I-3 Nuage de pots 4 II Test d dépedace du Kh-deux 5 III Ajustemet : méthode de Mayer et moyees mobles 6 III- Moyees mobles 6 III-2 Problématque de l'ajustemet léare 7 III-3 Méthode de Mayer 7 IV Ajustemet léare : méthode des modres carrés 8 IV- Paramètres des séres à deux varables 8 IV-2 Méthode des modres carrés 9 IV-3 Coeffcet de corrélato léare 0 V Ajustemet o léare : le chagemet de varable 2 VI Statstques prévsoelles 3 VI- Estmato poctuelle 3 VI-2 Estmato par tervalle de coface 3 IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 2 sur 3

3 COURS Itroducto, vocabulare. Objectfs Deux caractères serot c étudés smultaémet sur chaque dvdu d'ue populato de talle. Les deux lstes de valeurs des caractères formet deux varables quattatves X et Y. Objectfs : * mettre e évdece u le, ue relato, etre ces deux caractères : ue corrélato ; modélser cette corrélato par ue focto mathématque : régresso ; utlser cette relato à des fs prévsoelles, coface e cette prévso. * tester l'hypothèse qu'l 'y a pas de le etre ces deux varables crosées.2 Mses e forme Ue observato ( ) se décrra comme u couple de valeurs (x ; y ). Deux mses e forme des résultats peuvet être employées, suvat l'étude meée : * séres de valeurs doées e lstes exemple : le etre quatté d'egras épadu et producto recuelle quatté d'egras producto recuelle parcelle X (kg.ha - ) Y (q.ha - ) exemple de sére chroologque : évoluto auelle des dépeses publctares d ue etreprse X : aée Y : dépese * séres effectfs : tableaux de cotgece exemple : le etre âge et talle (mesures prses sur 200 persoes) X : âge Y : acuté 3/ / / IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 3 sur 3

4 .3 Nuage de pots Chaque sére statstque à deux varables peut être représetée graphquemet par u uage de pots, chaque varable état représetée sur so axe. * séres e lstes : u couple (x ; y ) correspod à u dvdu et se représete par u pot du pla. exemple 2 page précédete : * séres avec cotgece : u couple (x ; y ) correspod e gééral à plus d u dvdu et se représete par u objet dot la talle est focto crossate de l effectf correspodat. exemple 3 page précédete : IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 4 sur 3

5 2 Test d dépedace du Kh-deux U test statstque cosste à décder s ue hypothèse doée peut ou e peut pas être rejetée. Cette hypothèse est formulée au départ et est ommée "hypothèse ulle", H 0. S la décso codut à u rejet de H 0 (o répod "o" au test), cela se fat avec u certa rsque de se tromper, rsque dot la probablté est ommée "seul de rsque" et otée α. Le cas partculer du test d'dépedace : Ue étude crose deux varables quattatves ou qualtatves (das l'exemple du procha TD : sexe et relato au tabac), varables dot o souhate estmer l terdépedace au se d'ue populato, à partr de la seule coassace de la répartto des ctatos (effectfs) das le tableau crosé obteu d'u échatllo terrogé. E cas d'dépedace, les réposes sot cesées se répartr e coservat les sous-totaux mposés (par exemple : o a terrogé u certa ombre d'hommes et u certa ombre de femmes, ombres évetuellemet dfférets) et proportoellemet à ces sous-totaux. Le but c est de comparer la réalté des observatos à cette répartto déale lée à l'dépedace, d'e trer ue valeur, "χ²" (proocer Kh-deux), symbolsat u "écart des observatos par rapport à l'dépedace" costaté sur l'échatllo étudé, pus ef de juger s cet écart est grad ou pas. Méthodologe du test : observatos sot fates : dvdus sot évalués sur deux varables X et Y. O suppose que le caractère X présete r modaltés dfféretes et que Y présete k modaltés. L'hypothèse ulle H 0 est par coveto : les varables sot dépedates. Le test compare la réalté à ce qu'aurat doé l'dépedace parfate. O rejette cette hypothèse lorsque les observatos dffèret trop de la dstrbuto théorque.. Calcul du χ² * tableau des observatos sur dvdus Y Y 2 Y k total X X obs obs 2 obs k total X X 2 obs 2 obs 22 obs 2k total X 2 X r obs r obs r2 obs rk total X r total Y total Y total Y 2 total Y k * tableau de répartto théorque das le cas de l'dépedace O costrut u tableau sur le même modèle, où les sous-totaux et le total gééral sot respectés, mas où les effectfs th j respectet les proportos des sous-totaux par rapport à. ( obs th) * calcul du χ² total etre observato et théore : χ² calc = tableau th 2. Seul de o-rejet La varable χ² exprme la dfférece globale, aléatore, etre ce que peut doer 'mporte quel échatllo ssu d'ue populato où rège l'dépedace, et ce qu'aurat doé u échatllo parfatemet représetatf de la populato (ce qu est e gééral rare). Cette varable sut ue lo du même om, réglée par so ombre de degrés de lberté (ddl). ddl = (r- )(k - ) A chaque χ² possble correspod ue probablté "α" qu'u échatllo a de le dépasser. O fat alors ue lecture, das la table de la lo du χ², du seul χ² lm (coassat p = - α) 3. Comparaso et décso S χ² calc (calculé etre les tableaux) > χ² lm (doé par la table de la lo), alors o peut rejeter l'hypothèse ulle (l'dépedace), mas au rsque α de se tromper. 2 IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 5 sur 3

6 3 Ajustemet : méthode de Mayer et moyees mobles 3. Moyees mobles Elles s emploet le plus fréquemmet das le cas de séres chroologques, la varable X représete le temps et la varable Y ue valeur évoluat das le temps. Lorsque les valeurs Y évoluet de faço fortemet oscllate, l est dffcle de vsualser ue tedace globale à la hausse ou à la basse. Les moyees mobles sot alors là pour apporter ue répose, e lssat cette courbe oscllate. Méthode : * regrouper des valeurs successves de Y par paquets, toujours du même ombre (par exemple : predre des valeurs deux par deux ou tros par tros, ou quatre par quatre, etc.) ; * le paquet suvat est costtué du paquet précédet, auquel o a retré la premère valeur et jot la valeur suvate de Y (paquets glssats) ; * o calcule la moyee e Y de chaque paquet (ce sot les moyees mobles), as que sa moyee e X (pour stuer chaque paquet das le temps) ; * o représete graphquemet les pots obteus. Exemple : X (trmestres) Y (mllers de tourstes) Etablssos la lste des moyees mobles prses quatre par quatre : X 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 Y 32,25 32,75 32,25 32,5 3,75 Cette ouvelle lste de valeurs, as que la représetato graphque, suggère ue très légère tedace à la basse. b : * la premère moyee moble est la moyee des valeurs, 2, 3 et 4. Ic : (234)/4 = 2,5 e x et ( )/4 = 32,25 e Y * la deuxème moyee moble est la moyee des valeurs 2, 3, 4 et 5. Ic : (2345)/4 = 3,5 e x et ( )/4 = 32,75 e Y * et as de sute IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 6 sur 3

7 3.2 Problématque de l ajustemet léare U uage de pots peut refléter u le etre les deux varables s ses pots e sot apparemmet pas dspersés au hasard. Das certas cas, ce uage peut être de forme allogée, relatvemet fe, avec u "axe" assez drot motrat ue certae tedace Peut-o trouver u axe, ue drote, das ce repère, qu "suve au meux" l'esemble du uage? Imagos que l'o at tracé ue drote (D), d'équato y = ax b. Pour ue valeur x chose, o observe la valeur y (ordoée du pot M du uage) et la valeur y ˆ = ax b (sur la drote). y yˆ défto : o appelle résdu le ombre e = y - y ˆ Le résdu d u pot M sera doc postf s ce x pot est e-dessus de la drote et égatf das le cas cotrare. L objectf est alors de trouver la drote qu «mmse au meux» les résdus, celle qu «passe au plus près» de l esemble des pots du uage. O l'appellera drote d'ajustemet ou drote de régresso de la sére et o dra qu'o fat u ajustemet léare (ou affe). La pratque cosstat à modélser u uage de pots par ue drote est appelée régresso léare. 3.3 Méthode de Mayer Certas résdus sot postfs, d'autres égatfs. L'dée de Mayer est de dre que la "melleure" drote est celle pour laquelle la somme des résdus est ulle (les résdus égatfs compeset les résdus postfs). défto : o appelle prcpe de Mayer celu dot l ajustemet codut à étude mathématque : e = y ax b = y a x b ( ) IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 7 sur 3 = e = 0 Cette somme vaut zéro ss y a x b = 0 ss y ax b = 0 C est-à-dre : pour obter ue drote qu aule la somme des résdus, l faut et l sufft que celle-c G x, y. Cette proprété est e so suffsate pour redre la cotee le pot moye du uage, ( ) drote de Mayer uque, pusqu'elle e porte que sur u pot. Il exste ue fté de drotes aulat la somme des résdus! Méthode de Mayer : * Dvser le uage de pots e deux partes : Le uage est dvsé e deux uages de même ombre de pots (/2) s est par, ou s est mpar, e u uage de ()/2 pots et u autre de (-)/2 pots. Les valeurs de x (abscsses) des pots du premer uage sot toutes féreures à celles des pots du secod ; * Calculer les coordoées de G et G 2, pots moyes des deux uage ; * Détermer (s demadé) l équato de la drote (G G 2 ), drote de Mayer (aulat la somme des résdus) ; tracer cette drote. remarque : O motre que la drote qu cotet les pots G et G 2, pots moyes de deux "demuages", est l'ue d'etre elles car elle cotet forcémet G...

8 4 Ajustemet léare : méthode des modres carrés 4. Paramètres des séres à deux varables 4.. La moyee de X et celle de Y sot be etedu : x = = r x et y = = k y e l absece de cotgece (doées sous forme de lstes vor p.3) ; x jyj = j= x = et y = e présece de cotgece (tableau crosé coteat des effectfs le plus souvet supéreurs à vor p.3) Le pot partculer G ( x, y ) est appelé pot moye du uage de la sére. La varace de X et celle de Y sot le plus smplemet (s o souhate u calcul détallé) obteues par le bas du théorème de Koeg : ( ) V X ( ) V X r x 2 = 2 = x r x 2 = 2 = x et V ( Y ) et V ( Y ) k y 2 j j= 2 = y k jy 2 j j= 2 = y e l absece de cotgece ; e présece de cotgece. Les écarts types de X et Y sot be etedu les races carrées de leurs varaces O appelle covarace du couple (X,Y) le ombre : Cov ( X Y ) =, = ( x x )( y y ) C est ue «varace commue» etre os deux varables, paramètre dspesable pour étuder la relato qu elles etreteet. Le théorème de Koeg smplfe so calcul : (, ) Cov X Y x y = = x y (c sas cotgece) et Cov ( X, Y ) r k x y j j = j= = x y. (avec) 4..4 Sur la calculatrce : Les moyees et écarts types serot obteus drectemet grâce au mode Stat. Malheureusemet, la calculette e doera les varaces, la covarace. IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 8 sur 3

9 4.2 Méthode des modres carrés L'dée de cette méthode est de cosdérer le carré de chaque résdu, pus la somme de ces carrés, et ef de dre que la "melleure" drote est celle qu red cette somme mmale (obter la plus pette somme possble, e cosdérat l'fté des drotes du pla). défto : O appelle prcpe des modres carrés celu qu cosste à trouver ue drote d'ajustemet codusat à = e est mmum sur le uage (Gauss) étude mathématque : posos : (, ) = ( ) 2 2 P a b y ax b : polyôme de deux varables a et b. O peut développer ce polyôme d'au mos deux maères dfféretes : 2 (, ) = (( ) ) = 2 ( ) ( ) 2 2 P a b y ax b b b y ax y ax () qu est u trôme du secod degré e b ; 2 2 (, ) = ( ( ) ) = 2 ( ) ( ) 2 2 P a b y b ax a x a x y b x y b (2) qu est u trôme du secod degré e a. Das ce cotexte, o peut suvre cet térare : * cosdéros a costat et b varable. P(a,b) () est mmal lorsque sa dérvée par rapport à b s'aule (so er coeffcet,, est postf), ce qu codut à b = y ax * cosdéros que b a la valeur précédemmet trouvée, et que a est varable. P(a,b) (2) est alors mmal lorsque sa dérvée par rapport à a s'aule, ce qu codut à xy x. y Cov X, Y a = = 2 2 x V ( X ) x Pour les férus de calcul : essayez de retrouver les deux résultats précédets! remarque : le calcul de b etraîe que la drote trouvée cotet le pot moye G du uage. méthode des modres carrés : ( ) * Calculer les coeffcets (, ) ( ) a = Cov X Y V X et b = y ax (o peut les obter sur calculatrce!) * Ecrre l'équato de la drote de régresso de Y e X, D Y/X : y = ax b IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 9 sur 3

10 4.3 Coeffcet de corrélato léare U uage de pots présete u le plus ou mos fort etre deux varables X et Y, qu se révèle parfos sous la forme d'u uage de forme allogée et plutôt drote : das ce cas o parle be etedu de corrélato léare. Le but du coeffcet de corrélato léare est de chffrer cette tedace. coeffcet de corrélato léare etre X et Y : (, ) ( X ) σ ( Y ) Cov X Y r = σ O motre que quelle que sot la sére statstque, o a toujours - r (e pratque, la majuscule R ou la lettre grecque ρ peuvet auss être employées pour désger ce coeffcet) Sur la calculatrce : E gééral, ue calculatrce le ote r. Certas modèles e le calculet pas. O chosra doc toujours de calculer so-même u coeffcet de corrélato léare (ce qu mplque de calculer au préalable la covarace ). Iterprétato de sa valeur : Plus la corrélato léare est forte (uage tedat vers ue drote), plus r est proche de. r est postf lorsque Y est globalemet focto crossate de X - "corrélato postve" r est égatf lorsque Y est globalemet focto décrossate de X - "corrélato égatve" 0 r 0,5 : corrélato léare fable, modèle léare adapté. 0,5 r 0,75 : corrélato léare moyee, modèle léare peu fable. 0,75 r 0,95 : corrélato léare assez forte, modèle léare pas forcémet le melleur. 0,95 r : corrélato léare très forte, modèle léare parm les plus adaptés. Remarques : * le cocret? U coeffcet de corrélato léare proche de (ou de -) red compte d'u uage de pots presque algés, mas e dt pas que les varables X et Y sot cocrètemet lées. exemple : e Frace, de 974 à 98, le taux de marages a bassé de maère quas léare, alors que le PIB a augmeté de maère quas léare. Le quatrème graphque, c-dessous, motre le uage de pots obteu e crosat ces deux varables : la corrélato est très forte. Cepedat, l 'y a pas de relato de cause à effet etre les deux! (l'évoluto du taux de marage après 98 e correspod plus à la drote d'ajustemet). * corrélato léare r e red compte que d'ue corrélato léare. Il se peut que la corrélato etre X et Y sot très forte, mas sas que le uage de pots suve ue drote. Das ce cas, r est élogé de et de -, et l faudra prologer l'étude (vor II-4). IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 0 sur 3

11 Quelques exemples : reveus ( ) taux de réusste e collège / % de CSP défavorsées r = 0,8449 aceeté r = -0,7457 marge utare ( /u) r = 0,6438 quatté (mllers d'u) r = -0,9875 IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page sur 3

12 5 Ajustemet o léare : le chagemet de varable Il est pratqué lorsque le uage de pots semble suvre la courbe d'ue focto. La focto à evsager sera toujours dquée das u éocé. Elle peut être otammet : * ue focto logarthme ou expoetelle * ue focto du secod degré ou pussace * ue focto trgoométrque * Ue des deux varables X ou Y (ou les deux!) est remplacée par ue ouvelle varable, otée T par exemple, selo u mode de calcul doé par l éocé. Exemple : X Y Y semblat varer comme le carré de X, plus 5, l éocé proposera le chagemet de varable T = X². O établra alors le tableau suvat, où T remplace X : T Y * O effectue ue régresso léare etre ces deux ouvelles varables, e respectat leur ordre. Exemple : c, l s agt de détermer ue équato de drote de type y = at b. S o ous mpose la méthode des modres carrés, les coeffcets a et b sot smplemet obteus grâce à la calculatrce : y =,02526 t 3,856 * Ef, o déterme la relato de régresso de Y sur X, e réécrvat le chagemet de varable, pour obter l équato de la courbe de régresso qu o aura évetuellemet à tracer. Exemple : Pusque y =,02526 t 3,856, o obtet : y =,02526 x² 3,856 (cette derère est l équato d ue parabole) IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 2 sur 3

13 6 Statstques prévsoelles 6. Estmato poctuelle La drote d'ajustemet obteue (sas ou avec chagemet de varable) permet de par so équato d'estmer ue valeur de la varable explquée Y e chosssat ue valeur o explorée de la varable explcatve X (e gééral supéreure à celles récoltées das la sére). E l'occurrece, s X représete ue date, l est perms de fare ue prévso sur le futur. Par exemple : ue drote d ajustemet a pour équato y = 0,85x 22. a. O veut ue estmato de y pour x 0 = 0. y 0 = 0, = 30,5. b. O veut ue estmato de x pour y 0 = 39. x 0 = (39 22)/0,85 = Estmato par tervalle de coface La valeur doée par ue estmato poctuelle est à predre avec du recul : suvat la valeur du coeffcet de corrélato léare (doc suvat la dsperso du uage de pots), o peut lu fare plus ou mos coface. L'dée c est de doer ue fourchette pour l'estmato fate, plutôt qu'ue valeur uque, et de savor dre quelle est la probablté que la valeur réelle, o ecore mesurée, se trouve das cet tervalle. Méthode des rapports (e corrélato léare, pour estmer y à partr de x) :. Pour chaque valeur x du tableau de doées : * calculer les valeurs y' d'après l'équato de la drote de régresso * calculer les rapports z = y / y' * calculer la moyee et l'écart-type des valeurs z de la varable Z 2. La varable Z est cosdérée comme dstrbuée par ue lo ormale. Il e découle etre autres que : z, 96σ ; z, 96 σ 95 % des valeurs de Z se trouvet das l'tervalle [ z z ] 99 % des valeurs de Z se trouvet das l'tervalle [ z 2, 58σ ; z 2, 58 σ ] 3. Calculer la valeur y' 0 assocée à la ouvelle valeur souhatée x 0, d'après la régresso léare. O estme alors la valeur réelle y 0, coue, comme sut : y ' 0 z, 96σ z ; y ' 0 z, 96 σz Il y a 95% de chaces que y 0 se trouve das ( ) ( ) Il y a 99% de chaces que y 0 se trouve das y ' ( z 2, 58σ ) ; y ' ( z 2, 58 σ ) 0 z 0 remarques : * cette méthode 'est valable que pour r > 0 (corrélato postve) * le taux (95%, 99%, etc.) s'appelle veau de coface de l'estmato. So complémetare (5%, %, etc.) est le seul de rsque. * l'ampltude d'u tel tervalle de coface (doc l'certtude) augmete lorsque :. le veau de coface désré augmete,. r dmue,. x 0 s'éloge des valeurs x de la sére relevée. z z z IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars Math S2 Stat2Var Cours Rev206 page 3 sur 3