2) Opérations d addition et de soustraction sur les nombres entiers

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2 ) Comparaison des entiers Pour comparer des entiers relatifs entre eux, il suffit de se rappeler que un entier négatif est toujours plus petit qu un entier positif ; plus un entier négatif s éloigne de zéro, plus sa valeur est petite ; plus un entier positif s éloigne de zéro, plus sa valeur est grande. Exercice # Comparez les entiers suivants en utilisant les symboles <, > ou =. a) - -8 b) - 6 c) -9-9 d) - e) -9 0 f) -0 ) Opérations d addition et de soustraction sur les nombres entiers Pour additionner ou soustraire des nombres entiers, il suffit de regarder les signes. Si les nombres sont de mêmes signes, on les additionne sans se préoccuper des signes. La réponse conservera le même signe. Exemples : ) ) ( ) Par contre, si les nombres sont de signes contraires, sans se préoccuper des signes, on fait la soustraction des deux nombres. La réponse prendra le signe appartenant au plus grand nombre en valeur absolue. Exemples : ) ) ( ) secondaire MAT-0

3 S il y a signes identiques consécutifs, on les remplace par un (+). Exemples : ) ( ) ) S il y a deux signes contraires consécutifs, on les remplace par un (-). Exemples: ) ( ) ) Exercice # a) 6 ( ) f) 8 ( ) b) ( ) g) 6 ( 8) c) h) 8 d) ( 8) i) e) ( ) j) secondaire MAT-0

4 ) Opérations de multiplication et de division sur les nombres entiers Loi des signes. La multiplication ou la division de deux entiers de mêmes signes est positive. ex : La multiplication ou la division de deux entiers de signes contraires est négative. ex : Exercice # a) e) 0 b) 9 f) 0 0 c) 0 9 g) d) 0 0 h) 9 ) Priorité des opérations dans une expression arithmétique avec des entiers Priorité d opérations On doit suivre l ordre suivant : (PEDMAS). On effectue les opérations situées à l intérieur des parenthèses. *. On effectue les opérations contenant des exposants, s il y a lieu.. On effectue les multiplications et les divisions dans l ordre où elles se présentent (gauche à droite).. On effectue les additions et soustractions dans l ordre où elles se présentent (gauche à droite). * Lorsqu il y a un chiffre devant la ( ) cela signifie que le chiffre multiplie la ( ). Exemple : (-) = x - = - secondaire MAT-0

5 Exemples : ) -6 (-) + ) ( - + ) ) 9- [ - (-6) -] -8 (-) (- + ) 9 - [ - (-) -] (- ) 9 - [ 6 -] (- ) 9 - [ -] - + (-) Exercice # a) [0 (-) + (-6 )] b) ( (-) + 9 ) c) 9 9 secondaire MAT-0

6 d) 6 6 e) 6 Signature de l enseignant : Date : secondaire MAT-0 6

7 Dizaines de mille Unités de mille Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes Dixmillièmes ) Opérations d addition et de soustraction sur les nombres décimaux Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, il suffit de placer les nombres en colonnes en alignant les virgules ajouter le nombre de zéros nécessaires pour obtenir le même nombre de chiffres après la virgule. Exemples : ) 0,0 +, 8 =,90, 0, 0, 8 0 0, 9 0 ),8 -,96, 8 -, 96 0, 9 Exercice # a),6 -,0 c) 0, - 99,0 e) -,0,0 b),,0 d) -, - 6, f) 6, ,6 secondaire MAT-0

8 ) Opérations de multiplication sur les nombres décimaux Pour multiplier des nombres décimaux, on doit effectuer la multiplication pour des entiers déterminer l emplacement de la virgule en comptant le nombre de décimales dans chacun des termes. La somme indique le nombre de décimales dans le produit (réponse). On doit compter à partir de la droite. N.B. : N oubliez pas la loi des signes Exemples : ) 0, x 0, ),0 x ) 0,0 x 0,09,0 x x x 9 8 0,08 0 0,00 La réponse doit contenir 080 décimales 8,8 La réponse doit contenir La réponse doit contenir décimales décimales Pour multiplier par une puissance de 0 (0, 00, 000), il suffit de déplacer la virgule vers la droite d autant de positions qu il y a de zéros dans la puissance de 0. Exemples : ) 0,0 x 0 = 0, ), x 000 = 0 ),0 x 00 = 0 Exercice # 6 a) 0,0 x, b) -,0 x 0,00 c) 00 x 0,0 d) - 0,006 x - e), x -0,0 f) - 9,0 x secondaire MAT-0 8

9 ) Opérations de division sur les nombres décimaux Pour diviser des nombres décimaux, on doit avoir le même nombre de chiffres après la virgule dans les deux nombres, ajouter des zéros si nécessaire enlever les virgules diviser les deux nombres. N.B. :N oubliez pas la loi des signes Exemple:, Suivez les étapes,, 0 e Mettre le même nombre de chiffres après la virgule en ajoutant des 0. 0 e On divise comme des entiers, sans les virgules. 0 e 0 est contenu fois dans ( 0 x = 0). - 0 e On abaisse le du nombre. On abaisse un seul chiffre à la fois. 0 e 0 est contenu 0 fois dans ( 0 x 0 = 0) , e Comme il n y a plus de chiffres à abaisser, on ajoute une virgule au quotient (réponse) et on ajoute un 0 au reste qui est , e 0 est contenu fois dans 0 ( 0 x = 0) e La virgule déjà présente permet d ajouter un 0 au reste e 0 est contenu fois dans 00 (0 x = 00). Donc, 0,. secondaire MAT-0 9

10 Exercice # a),8, b),89 0, 6 c) 0, 0, d) 0, 0, e) 6, 0, f) 08, 0, 0 Pour diviser par une puissance de 0 (0, 00, 000), il suffit de déplacer la virgule vers la gauche d autant de positions qu il y a de zéros dans la puissance. Exemples: ) 0, 0 = 0,0 ) 000 = 0, ),0 00 =0,00 Exercice # 8 a) 0, -000 = b) = c) 0,0 0 = secondaire MAT-0 0

11 ) Priorité des opérations dans une expression arithmétique avec des nombres décimaux Pour la théorie voir page du document. Conseil : Diviser votre page en pour effectuer votre calcul. Exemple :,00, 0, Faites les calculs N.B : attention à la loi des signes. Calcul,0 9,, 9,0, 0,8 Exercice # 9 a),, 0, 0, secondaire MAT-0

12 b),9, 0,0, 9 c) 0,, 8,,,, Signature de l enseignant : Date : secondaire MAT-0

13 ) Représentation de fractions Il y a façons de présenter des fractions : fraction : le numérateur est inférieur au dénominateur expression fractionnaire : le numérateur est supérieur au dénominateur nombre fractionnaire : un entier suivi d une fraction Exemples: ) ) ) 9 reste Exercice # 0 Transformez les nombres fractionnaires en fractions et vice versa. 9 a) b) c) 06 d) 9 e) 9 8 f) secondaire MAT-0

14 ) Situer des fractions, expressions fractionnaires et nombres fractionnaires sur une droite numérique Étapes : - Transformer les expressions fractionnaires en nombre fractionnaires pour déterminer dans quel intervalle (entre quels entiers) les situer. - Mettre toutes les fractions sur le même dénominateur. - Séparer chaque espace entre les entiers en parties égales. - Indiquer à l aide d un point, la position exacte déterminée par le numérateur de chaque fraction. Exemple : Situer les nombres suivants sur une droite numérique :,,,,, - Transformer les expressions fractionnaires en nombres fractionnaires. (Les nombres se situent donc entre - et ) - Mettre au même dénominateur = secondaire MAT-0

15 - Tracer la droite et placer l intervalle de - à Partager chaque espace entre les entiers en parties égales (dénominateur commun) et indiquer par un point la position exacte de chaque nombre (donnée par le numérateur) Exercice # Situez les nombres suivants sur une droite numérique :,,,,, 8 Étapes : ) Comparaison de fractions - On transforme les nombres fractionnaires en expression fractionnaire. - On met les fractions sur le même dénominateur. - On compare les numérateurs pour déterminer laquelle est la plus petite ou la plus grande. - On place le symbole approprié entre les fractions : >, <, = Exemple : Comparer donc : et 6 6 > 6 > secondaire MAT-0

16 Exercice # Comparez les nombres rationnels en utilisant les symboles : >, <, = a) b) 6 c) ) Opérations d addition et de soustraction sur les fractions Pour additionner et soustraire des fractions, on doit transformer les nombres fractionnaires en expressions fractionnaires mettre les fractions au même dénominateur additionner ou soustraire les numérateurs et conserver le dénominateur commun simplifier la réponse s il y a lieu. Exemples: x x ) le dénominateur commun est x x 8 8 ) transformer les nombres fractionnaires en expressions fractionnaires 8 9x le dénominateur commun est 8 8 x ou 8 8 secondaire MAT-0 6

17 Exercice # a) b) 8 c) d) 9 e) 6 f) 9 ) Opérations de multiplication sur les fractions Pour multiplier des fractions, on doit transformer les nombres fractionnaires en expressions fractionnaires multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux simplifier la réponse s il y a lieu. *N.B Il est parfois possible de simplifier avant de faire la multiplication Exemples: ) ) ou secondaire MAT-0

18 a) Exercice # b) c) 6 d) 6 9 e) f) 8 8 6) Opérations de division sur les fractions Pour diviser des fractions, on doit transformer les nombres fractionnaires en expressions fractionnaires inverser le diviseur et transformer la division en multiplication simplifier la réponse il y a lieu. Exemples: ) ) secondaire MAT-0 8

19 Exercice # a) b) c) 0 6 d) e) 8 9 f) ) Priorité des opérations dans une expression arithmétique avec fractions Pour la théorie voir page du document. Exemple: secondaire MAT-0 9

20 0 Exercice # 6 a) 6 b) 9 8 c) 0 d) secondaire MAT-0 0

21 secondaire MAT-0 e) 8 f) 8 6 Signature de l enseignant : Date :

22 ) Définition du pourcentage Un pourcentage est une autre façon d écrire une fraction dont le dénominateur est 00. Exemples: ) % se lit pour cent et peut s écrire en fraction donc 00 0, ), % se lit, pour cent et peut s écrire en fraction. 00 Comme on ne peut avoir de nombre décimal dans une fraction, on multiplie par 0 le numérateur et le dénominateur : ) Transformation d une fraction en nombre décimal Si la fraction peut se transformer en une fraction équivalente ayant une puissance de 0(ex : 0, 00 ou 000) comme dénominateur, on le fait, sinon on divise le numérateur par le dénominateur. Exemples: ) 0, 0 ) 9, 09 puisque la fraction se lit deux entiers et 9 centièmes 00 ) 6 0, 6 puisque la fraction se lit seize centièmes 00 ), puisque la fraction se lit trois entiers et cent vingt-cinq millièmes ) On doit faire la division et arrondir au millième 0, secondaire MAT-0

23 ) Transformer un nombre décimal en fraction On doit écrire la fraction comme elle se lit et ne pas oublier de réduire. Exemples: ) 0,9 se lit neuf dixièmes et s écrit 0 9 ), se lit cinq et douze centièmes et s écrit 00 ),0 se lit trente-deux et quatorze millièmes et s écrit ) Transformer un pourcentage en fraction On doit écrire le pourcentage en fraction en utilisant 00 comme dénominateur et ensuite réduire la fraction. Exemples: 0 ) 0 % = 00 0 ) 0% = 00,, ),% = 00 00,0 000 ) Transformer une fraction en pourcentage 0 Si la fraction peut se transformer en une fraction équivalente ayant 00 comme dénominateur, on le fait, sinon on multiplie par 00%. Exemples: ) % 00 ) % 00 ) 00% % 6,% 8 00 ) 00% % 8,% secondaire MAT-0

24 6) Transformer un pourcentage en nombre décimal On doit écrire le pourcentage en un rapport sur 00 et transformer la fraction obtenue en un nombre décimal. Exemples: ) %= 0, 0, ) % =, ), % = 0, ) Transformer un nombre décimal en pourcentage On doit multiplier le nombre décimal par 00%. Exemples: ) 0,06 0,0600% 6% ),, 00% 0% ) 0,0 0,000%,% Exercice # Complétez le tableau suivant Fraction réduite 0 Pourcentage %,% % 0,% Notation décimale 0,8 0, 6, 0, secondaire MAT-0

25 8) Comparer des nombres rationnels donnés sous différentes notations (décimale, fractionnaire, pourcentage) On les transforme dans la même notation (au choix) et on compare. Exemple : ), ) %, > 0, 80 % > % Exercice #8 a) 6 6, b) 0, c) 0 % % Exercice # 9 Effectuez les opérations suivantes en respectant les priorités d opérations (travaillez soit en nombres décimaux ou en fractions). a),, 9 c) ( 0,6 ) 0 b) 0,0 0,8 0, d), 0,8) secondaire MAT-0

26 9) Calcul du pourcentage d une nombre Les expressions «de» dans la résolution d un problème signifie une multiplication. Exemples: ) de 0 = ) 0% de = 00 ) Le cerveau humain ne représente que % de la masse du corps humain. Quelle est la masse du cerveau d une personne qui pèse 6kg? 6 % de 6 = 6,kg Exercice # 0 a) % de = b) 0% de 60 = c),6% de 8,0$ = d) 0% de 0% = e) Le cœur humain bat en moyenne à battements par minute. Le cœur d une baleine bat à,% du rythme du cœur humain. À quel rythme le cœur d une baleine bat-il? Signature de l enseignant : Date : secondaire MAT-0 6

27 ) Relation de proportionnalité directe (proportion) Lorsque deux rapports sont égaux, on obtient une proportion. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. extrême moyen moyen extrême Exemples: ) ? ) 60 60? 00? 00?? ) Un épicier offre une douzaine d oranges pour,60$. Camille veut en acheter seulement. Combien devra-t-elle débourser? oranges = prix,60$??,60?,0,0??,0$ secondaire MAT-0

28 Exercice # a)?? 6, b) 0 8 c) Tommy a travaillé heures la semaine passée et a reçu un salaire de 9,0$. Quel sera son salaire cette semaine s il prévoit travailler 9 heures? d) Jasmine sait qu avec 0$ elle peut mettre litres d essence dans son auto. Si elle n a que 8$, combien de litres d essence pourra-t-elle acheter? e) Alexandre doit changer 00 $ canadien en roupies népalaises. Le taux de change est : RPN pour 0, CAD. Combien de roupies obtiendra-t-il? secondaire MAT-0 8

29 ) Relation de proportionnalité inverse Lorsque deux quantités varient dans un sens inverse, c est-à-dire que lorsque l une augmente, la seconde diminue, on obtient une proportion inverse. Exemple: Trois peintres exécutent un travail en jours. Pour exécuter le même travail, combien de jours prendront peintres? Nombre de peintres temps requis peintres jours peintres? jours Avant d effectuer le calcul, on doit inverser le second rapport puisque la relation est inversement proportionnelle.?? Exercice #?? 9? a) Après une tempête de neige, la ville de Québec emploie 900 travailleurs pendant jours pour déblayer les rues. Combien faudrait-il de travailleurs pour faire ce travail en jours? b) Pour paver la moitié d un pont, 8 hommes ont pris heures. Si d entre eux sont congédiés, en combien de temps l autre moitié du pont sera-t-elle terminée? Signature de l enseignant : Date : secondaire MAT-0 9

30 Étapes : - Lire attentivement le problème afin de comprendre la situation (peut être lu plus d une fois). - Identifier clairement la question afin de savoir ce que l on cherche. - Sélectionner les données utiles à la résolution du problème (attention aux données dont le signe peut être négatif). - Déterminer les opérations appropriées pour trouver la solution. - Estimer le résultat, s il y a lieu, en arrondissant les données. 6- Calculer. - Vérifier si la réponse est vraisemblable et si elle correspond bien à ce que l on cherche. Exemple : Le plus haut sommet du monde est l Everest qui culmine à l altitude impressionnante de 8 88 mètres. La fosse des Mariannes est la fosse océanique la plus profonde et atteint une profondeur de 0 mètres sous le niveau de la mer. Quelle est la différence d altitude entre ces deux endroits? - Bien lire le problème - Identifier la question : Quelle est la différence d altitude entre ces deux endroits? - Sélectionner les données utiles : Ici, toutes les données sont utiles : Hauteur du mont Everest : 8 88 m Hauteur de la fosse de Marianne : - 0 m (signe négatif, car sous le niveau de la mer) - Déterminer les opérations appropriées : Comme il faut trouver la différence, l opération choisie est une soustraction 8 88 (- 0) = - Estimer le résultat : En arrondissant, on obtient : = m On s attend à une réponse près de mètres. 6- Calculer : = = 9 08 mètres - Vérifier : La réponse 9 08 m est vraisemblable. Elle est proche de l estimation et elle est logique. Il faut, à partir du point le plus bas, monter de 0 mètres pour atteindre le niveau de la mer et ensuite monter de 8 88 mètres de plus pour arriver au sommet de l Everest. secondaire MAT-0 0

31 Exercices # a) Le philosophe grec Socrate est né en l an -0 et est décédé en 99 avant J-C. À quel âge estil mort? b) Madame Fleurie a légué $ en héritage. Le de cette somme a été destiné à sa sœur, le à son fils, les 9 à sa cousine et le reste à un organisme de charité. Quel est le montant reçu par l organisme de charité? secondaire MAT-0

32 c) Évelyne a obtenue un rabais de 0 % sur une robe à 0 $. Quel prix a-t-elle finalement payé cette robe? d) Vous travaillez 0 heures par semaine dans une boutique. Votre salaire est de 0 $ de l heure et le total des déductions s élève à % de votre salaire brut. Quel montant sera déposé sur votre compte par votre employeur à toutes les deux semaines? secondaire MAT-0

33 Corrigé des exercices Première partie Deuxième partie Exercice # Exercice # a) < b) < c) > a) 0,9 d) -0, b) 6, e) -,9 d) > e) < f) > c),9 f),6 Exercice # Exercice # 6 a) -9 f) - a) 0,6 d) 0,0 b) - g) b) -0,00906 e) -,6 c) - h) c), f) 9000 d) i) - e) - j) - Exercice # Exercice # a) d) -,09 a) 6 e) -8 b) -0, e), b) 0 f) impossible c) 0, f) 0, c) -8 g) -8 d) h) Exercice # Exercice # 8 a) -0,000 a) - d) - b) 0, b) - e) c) 0,00 c) -9 Exercice # 9 a) -,08 b),09 c) 6,0 secondaire MAT-0

34 Troisième partie Exercice # 0 a) b) Exercice # c) d) 6 e) f) 9-0 Exercice # a) > b) > c) < Exercice # 8 a) 0 b) 9 c) 60 d) e) 9 f) Exercice # a) 8 b) 8 c) ou d) ou e) 8 f) Exercice # a) 8 b) c) ou d) e) f) 6 Exercice # a) ou b) ou c) 0 d) ou 8 8 e) 6 ou - f) 0 secondaire MAT-0

35 Quatrième partie Exercice # Exercice # 8 Fraction Pourcentage réduite 8 % Notation Décimale a) < b) < c) > 80 % 0,8 Exercice # 9 0, 0, % 000 8, % 0,8 a) -,089 b) -,8 c) d) e) 9 0,0 Exercice # % a) 0,8 b) c),6 0 0 % 0, d) 0,0 e) 9 battements 8, 0 % 0 66, 6 % 0, 6 0, Cinquième partie Exercice # a) 8, b) c),90 $ d), litres e) 9 roupies Exercice # a) 0 travailleurs b), heures Exercice # Sixème partie a) ans b) 00 $ c) 00 $ d) 0 $ secondaire MAT-0

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