BTS INFORMATIQUE DE GESTION SESSION 2002 E2 : MATHÉMATIQUES I. Durée : 3 heures Coefficient : 2 ÉPREUVE OBLIGATOIRE

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1 BTS INFORMATIQUE DE GESTION SESSION 2002 E2 : MATHÉMATIQUES I Durée : heures Coeffcent : 2 ÉPREUVE OBLIGATOIRE Le (la) canddat (e) dot trater tous les eercces. La qualté de la rédacton, la clarté et la précson des rasonnements entreront pour une part mportante dans l'apprécaton des copes. L'usage des calculatrces est autorsé. Le formulare offcel de mathématque est jont au sujet. EXERCICE N (5 ponts) Dans un ensemble E mun d une structure d algèbre de Boole, on consdère l epresson A = ab c + a b c + a b c +ab c + a b c. ) a) Représenter A dans un tableau de Karnaugh. En dédure une smplfcaton de A. b) Retrouver par le calcul le résultat précédent. 2 ) On consdère l opérateur «mplcaton», noté, défn par : ( y) = + y. a) Calculer : ( 0). b) Démontrer que : + y = ( 0) y pus que : y (( ) y) = 0 0. c) Dédure des questons précédentes une écrture de A à l ade des varables a, b, c, de la constante 0 et du seul opérateur «mplcaton» [les opérateurs +,., complémentaton, sont eclus]. Page /

2 EXERCICE N 2 (8 ponts) Parte A On consdère la foncton f de varable réelle défne sur l ntervalle [ ; 0] par : f ( ) On désgne par ( C ) la courbe représentatve de f dans un repère orthogonal ( untés graphques : cm sur l ae des abscsses ; 0,05 cm sur l ae des ordonnées). 7 = + e 2 ) Justfer le sgne de la dérvée de f sur l ntervalle [ ; 0], pus dresser le tableau de varaton de f sur cet ntervalle. ) Démontrer que, pour tout réel, on a f ' + 6 ) Détermner une équaton de la tangente (T) à la courbe ( C ) au pont A d abscsse 2. ) Tracer la drote ( T ) et la courbe ( C ) dans le repère donné = e. Parte B Avant la commercalsaton d un nouveau système d alarme, la socété SECUPRO réalse une enquête auprès des entreprses de la régon Rhône-Alpes afn de détermner le nombre d acheteurs potentels du logcel en foncton de son pr de vente. Les résultats de cette enquête sont donnés dans le tableau suvant : : pr en centane d euros y : nombre d acheteurs potentels L allure du nuage de ponts de la sére (, ) y condut à poser z = ln y. ) Compléter après l avor reprodut le tableau suvant, en arrondssant les valeurs de z au mllème le plus proche : z = ln y 2 ) Donner la valeur arronde à 0 - près du coeffcent de corrélaton lnéare de la sére. Un ajustement affne est-l justfé? ) Détermner une équaton de la drote de régresson de z en, sous la forme z = a + b, a sera arrond au centème le plus proche et b arrond à l enter le plus proche. BTS INFORMATIQUE DE GESTION E2 MATHÉMATIQUES Page 2/

3 ) Dédure, du résultat obtenu à la queston précédente, une epresson de y en foncton de. Utlser cette epresson pour estmer le nombre d acheteurs potentels du logcel s le pr de vente est de 000 euros. Parte C Le pr de revent d un système d alarme est de 00 euros. On suppose dans cette parte, qu une estmaton du nombre d acheteurs potentels est le pr de vente eprmé en centane d euros. + 6 y = e, où est ) Justfer que la foncton f, étudée dans la parte A, donne une estmaton du bénéfce réalsé par la socété SECUPRO en foncton du pr de vente untare proposé pour le système d alarme. 2 ) A quel pr la socété dot-elle proposer le système d alarme pour que ce bénéfce sot mamum? Quel est alors ce bénéfce à 00 euros près? EXERCICE N (7 ponts) Une usne fabrque en grande sére des pèces susceptbles de présenter deu défauts notés a et b. Une étude statstque de la producton condut au résultats suvants : 5 % des pèces présentent le défaut a, % des pèces présentent le défaut b, % des pèces présentent les deu défauts. On prélève au hasard une pèce dans la producton. On note A l événement : «la pèce présente le défaut a», B l événement : «la pèce présente le défaut b». Parte A ) a) Les évènements A et B sont-ls ndépendants? b) Calculer la probablté de l évènement A sachant que B est réalsé. 2 ) a) Calculer la probablté de l événement : C : «La pèce prélevée présente au mons un défaut». b) Sot D l événement : «La pèce prélevée ne présente aucun défaut». Montrer que la probablté de l événement D est 0,92. BTS INFORMATIQUE DE GESTION E2 MATHÉMATIQUES Page /

4 Parte B On prélève au hasard un lot de 00 pèces dans la producton. On assmle ce prélèvement à un trage avec remse. Sot X la varable aléatore qu, à chaque prélèvement de 00 pèces, assoce le nombre de pèces du lot ne présentant aucun défaut. Dans cette parte, on donnera les valeurs décmales arrondes à 0 près des probabltés demandées. ) a) Justfer que la lo de probablté suve par la varable X est une lo bnomale dont on précsera les paramètres. b) Calculer la probablté d avor eactement une pèce présentant au mons un défaut dans un lot. 2 ) On décde d approcher la lo de la varable aléatore X par la lo normale de paramètres m = 92 et d écart type σ = 2,7. On note Y la varable aléatore suvant la lo normale de paramètres 92 et 2,7. a) Justfer le cho des paramètres m et σ. b) Calculer la probablté pour qu un lot de 00 pèces contenne au plus 86 pèces sans défaut, c està-dre P (Y 86,5). c) Calculer la probablté pour qu un lot de 00 pèces contenne au mons 90 % de pèces sans défaut, c est-à-dre P (Y ³ 89,5). BTS INFORMATIQUE DE GESTION E2 MATHÉMATIQUES Page /

5 Eercce I Eercce II CORRIGE DU SUJET : A BTS INFORMATIQUE DE GESTION SESSION 2002 EPREUVE DE MATHEMATIQUES E2 Queston Correcton Barème )a) a a b b proposé c c c )a) On lt : A = a b + c. )b) A = a b c + a b c + a b c + a b c + ab c = c + c a b + a + a b c + a b c = b c + b a + a c = b c + b a + a a + c = b c + b a + b c = b a + c.,5 0 = + 0 =. 2)a) 2)b) ( 0 y) = ( y) = + y = + y. (( ) ) ( ) 2)c) = (((( a ) b) ) ( c )) A)) On a : A)2) A)2) 0 y 0 = + y 0 = + y = y. A é æ öù æ ö æ ö f ' = e ê + - ç - e e ú= ç - + = ç - + ë è øû è ø è ø 7 f ' ³ 0 Û - + ³ 0 Û ³ 0 Û 7. La dérvée de f est postve sur l ntervalle [ ; 7], négatve sur [7 ; 0]. 7 0 f '( ) f ( ) 7 e. 27e A)) 7 y = f '( 2) ( - 2) + f ( 2) = - ( - 2) + 2 L équaton cherchée est : 7 sot : y = A)) Vor dessn B)) z 5,298,605,92 2,996 2,0,609 B)2) On trouve r = - 0,999, valeur arronde à 0 - près : cette valeur, très vosne de, permet d affrmer qu un ajustement affne est à pror justfé. B)) On trouve, pour l équaton de la drote de régresson de z en, sous la forme demandée : z = - 0, BTS Informatque de Geston Sesson 2002 Corrgé de l épreuve de mathématques E2 Sujet A Page sur

6 B)) On trouve, avec les égaltés z = ln y et z = - 0, : y = e. Le nombre d acheteurs potentels, pour un pr de 000 euros, peut être estmé à car : 6- Eercce III C)) C)2) 0 6,5 e - + = e» (on a remplacé par 0 dans la relaton précédente donnant y en foncton de ). Les ventes correspondent à la somme (en centanes d euros) : retrancher le pr de revent total (estmé) : e. Le bénéfce (montant estmé) de la socété s élève donc à : e e = ( - ) e. On retrouve l epresson de la foncton f étudée dans la parte A. 6 e - + à laquelle l faut On a trouvé (pour la foncton f ) un mamum égal à e pour = 7 : cela sgnfe que la socété dot proposer, pour son système d alarme, un pr de 700 euros pour espérer un bénéfce mamal, égal dans ce cas à = A))a) On peut résumer les données en écrvant : P A = 0,05, P B = 0,0, P A Ç B = 0,0. A))b) Les événements A et B sont ndépendants s P A Ç B = P A P B e euros à 00 euros près. Or P A P B = 0,002 et 0,002 ¹ 0,0 : les deu événements A et B ne sont donc pas ndépendants. La probablté demandée correspond au calcul : ( ) P A B 0, 0 PB A = = = 0, 25. P A 0, 0 A)2)a) La probablté demandée correspond au calcul : P A È B = P A + P B - P A Ç B = 0,05 + 0,0-0,0 = 0,08. On a donc : P( C) = 0,08. A)2)b) D est l événement contrare de C, donc P( D) = - P( C) = 0,92. B))a) On répète 00 fos, de manère ndépendante, la même epérence, n ayant que deu ssues possbles : «la pèce prélevée ne présente aucun défaut» avec une probablté p = 0,92 «la pèce prélevée présente au mons un défaut» avec une probablté q = p. On reconnaît un schéma de Bernoull, la varable X sut la lo bnomale b ( 00, 0,92 ). B))b) 99 La probablté demandée est : C à 0 - près par défaut P X=99 = 0,92 0,08 = 0,002, résultat donné B)2)a) On sat que lorsqu une varable aléatore suvant la lo bnomale ( n, p) par une varable aléatore suvant la lo normale n ( m, σ ) avec B)2)b) b est approchée m = n p = 00 0,92 = 92 et σ = npq = 7,6 = 2,7 à 0 près. æy ,5-92ö P Y 86,5 Pç P T 2,0 2,0 è 2,7 2,7 ø ( ) = = ( - ) = - Π - = 0, 02 à 0 près par défaut. B)2)c) - On trouve de même P Y ³ 89,5 = P T 0,92 = 0,82 à 0 près par défaut BTS Informatque de Geston Sesson 2002 Corrgé de l épreuve de mathématques E2 Sujet A Page 2 sur

7 TRACE DE LA COURBE QUESTION EXERCICE 2 : A)) Jo I BTS Informatque de Geston Sesson 2002 Corrgé de l épreuve de mathématques E2 Sujet A Page sur