Qu est-ce que démontrer

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1 pls_399_p088_093_lhy.xp_mm_30_ 6/2/0 6:20 Pg 88 mthémtiqus REGARDS LOGIQUE & CALCUL Prsur son svoir sns l trnsmttr En onvnt l émonstrtion omm un isussion ntr ux prsonns t non plus omm un ours mgistrl, ls pruvs sns trnsfrt onnissn omplissnt ptits mirls. Jn-Pul DELAHAYE Qu st- qu émontrr n mthémtiqus? L qustion prît élémntir t l on imgin qu, puisqu ls mthémtiins s l posnt puis plus ux millénirs, ils oivnt svoir qu l signifi. En rélité, n st ps si simpl t l on v voir qu s prsptivs nouvlls ont été réés pr l informtiqu théoriqu t l ryptogrphi : nous progrssons nor ns notr ompréhnsion l vriété s émonstrtions mthémtiqus t ns l nlys lur pité. L logiqu mthémtiqu onné un répons préis si on limit l qustion ux émonstrtions érits qu un mthémtiin soumt sur un fuill à un utr mthémtiin qui n ontrôl l xtitu. L notion systèm forml mis u point à l fin u XIX sièl t u éut u XX onstitu tt répons univrsllmnt mis ; st l form outi l métho xiomtiqu ont l origin s trouv hz Euli. Ds règls prfitmnt préiss mnipultion s formuls sont fixés insi qu s xioms, l tout rprésntnt ls onnissns évints t olltivmnt ptés sur l omin mthémtiqu uqul on s intérss. Tout l éfinit un systèm forml. Trouvr un émonstrtion onsist lors à érir un suit formuls tll qu hun st un xiom ou l résultt l pplition un s règls mnipultion. Vérifir un émonstrtion onsist à pssr n rvu l suit formuls n s ssurnt qu ls règls u ju forml ont in été rsptés. Trouvr un émonstrtion st iffiil, r ls règls u systèm forml rént un xplosion omintoir possiilités. Vérifir un émonstrtion st fil, r il s git un trvil méniqu ontrôl qu on put, n prinip, onfir à un mhin. Ds pruvs its intrtivs Ls mthémtiins n érivnt ps pruvs formlls étillés, r srit long t pénil, mis sulmnt s squisss pruvs formlls. Cl n hng ps fonmntlmnt l sitution, r à prtir qu ils érivnt, on put prouir ls pruvs formlls omplèts. D illurs, s progrmms informtiqus int à l fir si l on y tint solumnt. Rtnons qu trouvr un pruv st un trvil iffiil, lors qu l vérifir st ménisl. Ctt onption lssiqu un proposition, un ontrôl n st pnnt ps ll ont l profssur ou l onférnir fit l xpérin : il intrgit v ss élèvs ou uiturs. Pour lui, prouvr un énoné mthémtiqu, st ls onvinr mnièr prfit ou n lissnt un out infinitésiml qu l énoné qu il lur présnt st vri, t plusiurs éhngs prols sont prfois néssirs, éhngs qui vrint un uitoir à l utr. Ctt ié pruv intrtiv n st ps ll l logiqu mthémtiqu moélisé v ls systèms formls. Ell été introuit n informtiqu théoriqu il y un pu plus un vingtin nnés pr Shfi Golwssr, Silvio Mili t Chrls Rkoff. Ell y jou un rôl plus n plus importnt, n prtiulir ns l omin s pplitions ryptogrphiqus. Notons qu l rtil qui introuit tt notion t qui st onsiéré ujour hui omm l un s plus importnts l histoir l informtiqu été rfusé trois fois! Il xist plusiurs vrints l notion pruv intrtiv, hun ynt son intérêt t nous n onnrons l ié v s xmpls. Non sulmnt st musnt, mis l nous for à réfléhir v un œil nuf à l ié émonstrtion t ux rôls qu y jount l lul, l hsr t l intrtion. D plus, st util! L ié fonmntl st qu trouvr s pruvs sr prfois iffiil, mis qu ls vérifir sr toujours ssz fil. Ctt fois, non sulmnt un mhin pourr fir l vérifition, mis ll pourr l fir rpimnt. L ifférn v ls systèms formls l métho xiomtiqu lssiqu vint u fit qu il y ur plusiurs éhngs, t non un sul omm ns l s un émonstrtion érit qu un mthémtiin soumt à un onfrèr. L «prouvur», lui qui propos un énoné mthémtiqu E t vut prsur s justss, t l «vérifiur», l prsonng qu il fut onvinr l justss E, éhngnt fçon répété s infor- 88] Logiqu & lul Pour l Sin - n Jnvir 20

2 pls_399_p088_093_lhy.xp_mm_30_ 6/2/0 6:20 Pg 89 R g r s mtions. À l issu lur ilogu, l vérifiur st rtin qu E st xt v un risqu rrur négligl. Dns l s s pruvs sns trnsfrt onnissn (on it ussi «à ivulgtion null»), l vérifiur n ur rin ppris plus qu l vérité E, t n prtiulir, il n sr ps pl prsur qulqu un utr l justss E. Un ilogu prouvur-vérifiur L ié st qu trouvr s pruvs st plus iffiil qu ls vérifir : l prouvur ispos un pité lul ussi grn qu il l souhit, lors qu l vérifiur n ispos qu un pité lul limité. On supposr insi qu ls luls qu l vérifiur mèn son ôté sont un till mjoré pr un polynôm n l vril T qui rprésnt l till s onnés l énoné mthémtiqu E. Nous irons simplmnt : l vérifiur ispos un pité lul polynomil. L nomr éhngs ntr l prouvur t l vérifiur st lui ussi mjoré pr un polynôm épnnt T : il fut qu l vérifition puiss s fir glolmnt n un tmps risonnl, sinon l vérifiur n uun intérêt à ilogur v l prouvur. Drnir point : l hsr sr souvnt utilisé pour orgnisr l ilogu, r ls qustions posés pr l vérifiur oivnt êtr inttnus. Du fit l introution hsr, l rtitu qu l vérifiur ur l vérité E, un fois ls éhngs trminés, n sr ps solu. Cpnnt, l risqu rrur (l vérifiur s liss onvinr à tort l justss E) éroît xponntillmnt v l uré s éhngs. Cl signifi qu si inq minuts éhngs lissnt un risqu rrur pour 000, lors un uré oul (ix minuts) n lissr qu un risqu pour t un uré tripl (un qurt hur) n lissr qu un risqu pour On omprn qu l équivut n prtiqu à un rtitu pour l vérifiur ; illurs, ns ls pplitions n ryptogrphi, on néglig risqu rnu ussi ptit qu on J.-M. Thirit. L émon Quisqutr t Guillou L émon Jn-Jqus Quisqutr t Louis Guillou st inspiré u élèr émon Mxwll t un ié Quisqutr t Guillou qui illustr qu st un pruv intrtiv sns trnsfrt onnissn. Dux piès A t B sont séprés pr un port ommunition n pouvnt êtr frnhi qu si l on ompos un o srt. Un lvir hqu ôté l port prmt sisir tt informtion t élnh l ouvrtur. L o srt pourrit êtr ls ux fturs prmirs un grn nomr ntir. En plus l port ntrl à srt, hqu omprtimnt possè s propr port vrs l xtériur : port A t port B. Dès qu un s ports vrs l xtériur st ouvrt, l port ntrl s éloqu. Ptrik onnît l o l port t vut n onvinr Vinnt, mis il n vut ps lui ommuniqur l srt. Au éprt, ls trois ports sont ouvrts (). Ptrik ntr ns l «oît». On frm ls ports A t B. L oît st lors totlmnt opqu t Ptrik put éoutr ls injontions Vinnt à l xtériur. À t instnt, l port ntrl ntr ls ux omprtimnts st ouvrt (). Ptrik s pl ns l un s ux omprtimnts son hoix. L ménism l port ntrl fontionn t frm l port ntrl. Vinnt hoisit lors, n tirnt évntullmnt à pil ou f, un s ports t mn à Ptrik sortir pr ll-i (). Ptrik, près qulqus sons, frnhit l port ntrl si st néssir, puis sort pr l port qu lui iniqué Vinnt (). Vinnt it : «Oui st in, mis l n suffit ps à m onvinr, il s put qu sns voir à frnhir l port ntrl tu sorts u on ôté pr qu, pr hn, tu étis ns l on omprtimnt.» Ptrik lui répon «Eh in, rommnçons.» On rommn l ptit ju. Ptrik réussit à nouvu à sortir pr l port qu lui iniqu Vinnt. C n st ps nor ssz pour Vinnt t l ju st répété 20 fois suit. Ctt fois, Vinnt onsnt : «J suis mintnnt onvinu, tu onnis l srt l port. Au out 20 ssis, si tu proéis u hsr sns onnîtr l srt l port, tu n uris qu un hn sur 2 20 (nviron un million) n jmis voir été oiné, r il urit fllu qu 20 fois suit tu t pls ns l omprtimnt qu j i hoisi, vnt mêm qu j l hoisiss.» Vinnt, à l issu s 20 suès Ptrik, st on rtin qu lui-i onnît l srt l port ntrl. L protool utilisé st un pruv intrtiv t Vinnt, à l issu s 20 ssis, n rin ppris sur l srt l port. Si srt st l ftoristion un grn nomr ntir N, il sit just qu N st omposé, mis n sit rin sur ls fturs N. Il ispos l pruv qu N st omposé, mis uun informtion sur l pruv qu N st omposé n lui été trnsmis. L protool st un pruv sns trnsfrt onnissn. Pour l Sin - n Jnvir 20 Logiqu & lul [89

3 pls_399_p088_093_lhy.xp_mm_30_ 6/2/0 6:20 Pg 90 R g r s h G 2. L intifition s grphs f g A ux grphs sont intiqus (ou isomorphs) s ils ont l mêm nomr D nœus t rs, v l mêm topologi (onstitués fils élstiqus, on put suprposr ls nœus, omm pour ls ux grphs G t G 2 ). On onn ii un protool où un prouvur montr à un vérifiur qu ux grphs onnés n sont ps isomorphs sns lui étillr ls luls ompliqués qu il û fir pour émontrr lur nonisomorphism. L prolèm u non-isomorphism grphs st ns l lss IP : un prouvur put onvinr un vérifiur n ilogunt v lui. Ptrik (l prouvur) oit onvinr Vinnt (l vérifiur ), qui n l roit ps sur prol, qu ls ux grphs R uxquls ils s intérssnt n sont ps isomorphs. Ptrik pu s onvinr u non-isomorphism n fisnt utnt luls qu il l souhit, r uun limit ux luls u prouvur n st imposé ns un protool pruv intrtiv. Ptrik pourrit trnsmttr à Vinnt ls luls lui ynt prmis svoir qu R n sont ps isomorphs, mis Vinnt n vut ni fir longs luls ni lir t ontrôlr longus pruvs. Il vut êtr onvinu rpimnt t fçon fil qu ls ux grphs n sont ps isomorphs, sns qu un intrus puiss l rnr. Voii ommnt ils s y prnnnt. Vinnt prmut l nom s nœus l un s grphs, R ou R 2, sns ir à Ptrik sur qul grph il opéré (voir l ssin). Il otint insi un grph R qu il trnsmt à Ptrik n lui mnnt si Rprovint R ou R 2. L fit voir hngé ls noms s nœus rn méonnissl l grph trnsformé. Si Ptrik n st ps un impostur t qu ls ux D E H G 2 F G B C grphs R n sont ps isomorphs, il réussit à étrminr l origin R (v ls nœus non hngés) t il trnsmt lors s répons à Vinnt (l grph R vint R 2 pr xmpl), lqul onnît l origin R t vérifi on qu Ptrik n s tromp ps. Si tt opértion n st fftué qu un sul fois, il s put qu R soint isomorphs (uqul s Ptrik un hn sur ux onnr l on résultt). En rvnh, si l mêm séri opértions st mné 20 fois suit, lors l proilité pour qu, pr hn, Ptrik ou lui qui répon à s pl it réponu 20fois suit orrtmnt n st plus qu un millionièm. En fftunt l opértion 30 fois, l risqu pour Vinnt êtr upé pss à un millirièm. Il s git un protool qui répon à nos souhits : l vérifiur fit pu luls, t s trouv onvinu v un ssurn ussi grn qu il vut qu R n sont ps isomorphs. À l issu s éhngs, Vinnt n rin ppris, r l répons qu lui onné l prouvur étit onnu lui vnt qu l prouvur lui répon : il s git un protool intrtif pruv sns trnsfrt onnissn. R R 2 R l vut. À propos risqu proilist pté, n ouliz ps qu un ult n Frn, qul qu soit son âg, un proilité supériur à un millirièm mourir ns l minut. Un xmpl protool à ivulgtion null st l «Démon Quisqutr t Guillou» (voir l figur ). L prouvur, ii l émon l histoir, u fur t à msur qu s éroulnt ls éhngs v l vérifiur, réussit à prsur rnir s pité à ouvrir un port srèt. Après un vingtin éhngs, l vérifiur n plus uun out sur l pité u prouvur à ouvrir l port, mis n ispos uun informtion qui lui prmttrit l ouvrir lui-mêm. On put ussi onnr s xmpls purmnt mthémtiqus (voir ls figurs 2 t 3). Ils illustrnt l ntur s pruvs intrtivs où un vérifiur s onvin un énoné E, prfois sns voir rin ppris utr qu l justss E. L utilité s protools pruv sns trnsfrt onnissn onrn priniplmnt l séurité informtiqu. L uthntifition y trouv là un métho sûr t iél. L étntur un srt E qui ttst son intité (il, pr xmpl, réé srt) réussit, grâ ux pruvs intrtivs sns trnsfrt onnissn, à émontrr à un intrloutur qu il onnît in l srt sns pour utnt l ivulgur, qui prmt l réutilistion srt pour un uthntifition ultériur. Ls rts à pu nirs, pr xmpl, mttnt n œuvr tls protools. Pouvoir s pruvs Il rriv qu un omin mthémtiqu n puiss ps onstitur un «un systèm forml», r l nsml s vérités mthémtiqus ssoiés st trop omplx pour qu on puiss ls émontrr touts utomtiqumnt. D près l théorèm inomplétu Göl, st l s l rithmétiqu : l strutur l nsml s formuls vris rithmétiqu st trop sutil pour s lissr nfrmr ns un systèm forml. Cl signifi qu mêm s il 90] Logiqu & lul Pour l Sin - n Jnvir 20

4 pls_399_p088_093_lhy.xp_mm_30_ 6/2/0 6:20 Pg 9 R g r s xist s moyns lssiqus pour érir s émonstrtions rithmétiqu (t ls trnsmttr à un vérifiur), uun s moyns n vut pour l nsml s vérités rithmétiqus : tout systèm forml possil pour l rithmétiqu n liss éhppr. L pouvoir s pruvs lssiqus st limité t st l sns profon s résultts inomplétu. D l mêm fçon, n import qul omin mthémtiqu n st ps susptil onnr liu à un protool pruv intrtiv ou à un protool pruv sns trnsfrt onnissn. L intifition préis s omins mthémtiqus prmttnt s typs émonstrtions in sûr été l ojtif s hrhurs. C qu ils ont éouvrt ls étonnés, r un grn nomr omins mthémtiqus sont onrnés, t in plus qu on n l imginit u éprt. Nous llons présntr t étt l rt uqul ls hrhurs sont rrivés n 20. Mêm si l smlr prfois un pu strit, il nous fut prlr n trms lsss omplxité t utilisr qulqus sigls ésotériqus : P, NP, PSPACE, IP, ZK. C st l prix l préision. L prmètr importnt sr toujours l till T l énoné mthémtiqu E qu l prouvur tnt fir ptr u vérifiur. Qun on prl tmps lul ou sp néssir pour l lul, on l fit toujours n s référnt à tt till T s énonés E. Qun on it pr xmpl qu un lgorithm A rélis un lul n sp polynomil, l signifi qu il xist un polynôm P(T), pr xmpl P(T) =T 3 +2T +9, tl qu A utilis moins P(T) mémoirs (msurés n its ou n otts) pour tritr un énoné E ont l till, msuré n nomr symols, st T. Envisgons sussivmnt ivrs omins mthémtiqus t ls protools pruvs ssoiés, insi qu ls lsss omplxité qui orrsponnt. L lss omplxité P st l lss s prolèms qu l prouvur put tritr n tmps polynomil. Comm l vérifiur ispos ussi tt puissn lul, tout éhng st inutil : l vérifiur, f à un prolèm l lss P, fit l lul Dns l xmpl onsiéré ii, Ptrik prétn qu un rtin grph G st 3-oloril, st-à-ir qu on put n olorir ls nœus v trois oulurs (roug, lu, jun) tll fçon qu ux nœus rliés pr un r u grph soint toujours oulur ifférnt (ssin A). Nous irons qu un tl olorig st orrt. Au hsr, Ptrik ssoi s numéros ux trois oulurs, pr xmpl = roug, 2 = jun, 3 = lu (ssin B). Il insrit sur ls nœus u grph ls numéros orrsponnt u olorig orrt qu il onnît t rouvr ls numéros ptits jtons qui msqunt ls numéros insrits (ssin C). Ensuit, Ptrik n touh plus u grph ni ux jtons. Cl onstitu s prt un nggmnt. Vinnt hoisit lors un r u grph t soulèv ls ux jtons s xtrémités l r hoisi (ssin D). S ils sont mêm oulur (mêm numéro), il n éuit qu Ptrik trih n prétnnt onnîtr un olorig orrt à trois oulurs. Sinon, il ispos un ini qu Ptrik onnît put-êtr un olorig orrt. En fft, si Ptrik n n onnissit ps, u moins l un s rs sur l grph qu il nggé srit inorrt t Vinnt urit pu tomr ssus. L proilité pour qu un impostur s fss rpérr pr Vinnt st supériur à /K, où K st l nomr rs u grph. En répétnt un rtin nomr fois l protool (numérottion s oulurs, numérottion s nœus u grph, nggmnt u grph pr Ptrik, hoix un r pr Vinnt), Vinnt rn l proilité qu Ptrik soit un impostur ussi ptit qu il l souhit, puisqu ( /K) n tn vrs 0 qun n tn vrs l infini. Un instnt réflxion montr qu lors u éroulmnt protool, Vinnt n pprn stritmnt rin onrnnt l olorig 3. L 3-oloriilité A B C D u grph qu Ptrik onnît. Il s git un protool sns trnsfrt onnissn. Bin sûr, l opértion msqug s nœus pr ls jtons oit êtr rélisé numériqumnt ns ls protools informtiqus. Cl st rnu possil pr ls fontions à sns uniqu, fontions tlls qu on lul filmnt f(x) qun on onnît x, mis qu il st très oûtux invrsr : lulr x qun on onnît f(x) mn un tmps non polynomil. L proéé numériqu msqug s nœus s fit l mnièr suivnt : Ptrik ssoi à hqu nœu un nomr x ont l vlur moulo 3 u hiffr s ntins (pr xmpl) st l oulur u nœu ns l olorig orrt n trois oulurs qu il onnît. Ptrik iniqu à Vinnt l vlur f(x) t l nsml s f(x) onstitu l nggmnt grph pr Ptrik. Vinnt n put n éuir uun x on, n put ps xploitr l informtion qu lui trnsmt Ptrik pour ronstitur l olorig u grph qu Ptrik onnît. Dit utrmnt, Vinnt n put ps soulvr ls jtons pour voir l olorig u grph. Qun Vinnt vut ontrôlr un r prtiulir u grph, Ptrik iniqu à Vinnt ls vlurs x t x 2 s nomrs qu il ssoiés ux ux xtrémités l r hoisi. Vinnt ontrôl qu l orrspon à ux oulurs ifférnts (il évlu l vlur u hiffr s ntins x t x 2 moulo 3), t qu Ptrik n ps trihé : il lul f(x ) t f(x 2 )t ompr ls vlurs otnus v qu Ptrik iniqué n nggnt son grph. L protool érit ii st très puissnt n rélité t, sous résrv qu il xist s fontions à sns uniqu, il prmt éuir un protool sns trnsfrt onnissn pour tout prolèm l lss NP (t ps sulmnt pour l prolèm u 3-olorig un grph). 3 Pour l Sin - n Jnvir 20 Logiqu & lul [9

5 pls_399_p088_093_lhy.xp_mm_30_ 6/2/0 6:20 Pg 92 R g r s 4. Qulqus lsss omplxité P: Ls prolèms typ P sont résoluls rpimnt (n tmps polynomil). L vérifiur n qu à lulr pour vérifir l ffirmtion u prouvur. NP : Ls prolèms NP sont iffiils à résour pour l prouvur, mis il st fil pour l vérifiur ontrôlr qu l solution proposé st orrt. Pr xmpl l vérifiur ontrôl qu un grph st 3-oloril n vérifint qu l olorig trnsmis pr l prouvur st orrt. IP : Dns typ prolèms, l prouvur, qui ispos un pité lul illimité, ilogu v un vérifiur qui n ispos qu un pité lul polynomil. À l issu lurs éhngs, l vérifiur st onvinu qu vut lui prouvr l prouvur, pr xmpl qu ux grphs n sont ps isomorphs (voir l figur 2). PSPACE : Prolèms qu l on résout n utilisnt un quntité mémoir polynomil n fontion l till s onnés t sns qu uun limit n tmps lul n soit imposé. ZK : Noté insi pour zro-knowlg, ZK st l lss s prolèms qu l on sit tritr v s protools sns trnsfrt onnissn. MIP : Mêm éfinition qu l lss IP, suf qu l vérifiur ilogu ii v plusiurs prouvurs, lsquls n ilogunt ps ntr ux. néssir t st tout. Détrminr si un nomr st prmir st un prolèm ssz iffiil n pprn, mis, grâ à un résultt 2002, on onnît s lgorithms polynomiux qui l tritnt t l prolèm l primlité st on ns P. Si un énoné it «N st un nomr prmir», l vérifiur fit sul l lul néssir. L oloriilité st un xmpl Un grph étnt onné, il st prfois possil l olorir v trois oulurs sns qu ux nœus rliés pr un r u grph soint l mêm oulur. Av qutr oulurs, st toujours possil pour un grph ssiné sur un pln près un théorèm (l «théorèm s qutr oulurs», qui port sur l prolèm équivlnt u olorig s rts géogrphi, énoné n 852 t émontré n 976). Svoir si un grph st 3-oloril st un prolèm l lss NP (Nontrministi Polynomil). Cl signifi qu trouvr (trvil u prouvur) un tl olorig, s il xist, put mnr énormémnt luls, mis qu ontrôlr (tâh u vérifiur) si un olorig proposé onvint (ux nœus rliés sont toujours oloriés ifférmmnt) sr fil t rpi (polynomil). On n sit ps émontrr qu l lss P st ifférnt l lss NP (P NP?). On pns qu NP st in plus grn qu P t qu, pr xmpl, l prolèm l 3-oloriilité st ns NP, mis ps ns P. L lss NP st l lss s prolèms mthémtiqus pour lsquls il xist s systèms tritionnls pruv mthémtiqus v vérifiur polynomil : l prouvur lul (prfois longumnt), il trnsmt s pruv t l vérifiur l ontrôl n tmps polynomil. Pour l instnt, uun intrtion répété n été néssir. L lss IP st ll s omins mthémtiqus où un protool éhng intrtif prmt à un prouvur onvinr l vérifiur l vérité un ffirmtion. Ctt fois, il y ur plusiurs éhngs ntr l prouvur t l vérifiur, t s ppls u hsr sront put-êtr utils. L prolèm u non-isomorphism grphs (voir l figur 2) st ns l lss IP, r un tl protool xist. C prolèm n st ps onnu omm pprtnnt à NP : n fft, il sml impossil qu un lgorithm puiss vérifir rpimnt qu ux grphs n sont ps isomorphs, omm st l s u vérifiur s prolèms NP. Il sml on qu l lss IP soit plus grn qu NP t qu l intrtion répété offr l possiilité fir s émonstrtions qu l trnsmission un informtion sns ilogu n prmt ps. Lorsqu l vérifiur n ispos qu un tmps lul polynomil, ls pruvs tritionnlls s mthémtiqus srint moins puissnts qu ls pruvs intrtivs. L profssur ou l onférnir ispos un pouvoir prsusion supériur u mthémtiin isolé qui ommuniqu pr un sul oumnt érit. Qu y -t-il ns l lss IP, pprmmnt plus grn qu NP? L qustion été résolu pr Ai Shmir n émontrnt qu IP = PSPACE (nous llons xpliqur tt églité), qui onstitué un oup tonnrr ns l omin l étu s lsss omplxité. L intrtion roît l pouvoir s pruvs L lss PSPACE st l lss s prolèms qu l on put résour sns qu uun limit sur l tmps lul n soit imposé, mis où on limit l mémoir utilisl pour mnr l lul : l mémoir oit êtr polynomil n fontion l till s onnés. Démontrr qu IP = PSPACE fut on vrimnt l mis n évin qu ls protools intrtifs sont plus puissnts qu ls protools sns intrtion. L lin ntr IP t PSPACE st surprnnt, r l lss PSPACE n vit priori ps rison êtr intiqu à l lss IP éfini sns mntion l pité mémoristion. C st n éouvrnt s résultts typ qu ls mthémtiins ont l sntimnt mttr u jour s vérités profons sur l mon s nomrs t s struturs strits. Un utr qustion étit posé, ruil pour l ryptogrphi : qu put-on fir v un protool pruv sns trnsfrt onnissn? On not ZK (pour zro-knowlg) ls prolèms ou omins mthémtiqus qu on put tritr v s protools sns trnsfrt onnissn. On sit ujour hui qu, ontrirmnt à tout ttnt, ZK = IP = PSPACE : tout qui put 92] Logiqu & lul Pour l Sin - n Jnvir 20

6 pls_399_p088_093_lhy.xp_mm_30_ 6/2/0 6:20 Pg 93 R g r s êtr émontré pr un protool pruv intrtiv put l êtr pr un protool pruv sns trnsfrt onnissn! L rtil signé spt uturs (M. Bn- Or, O. Golrih, S. Golwssr, J. Håst, J. Kilin, S. Mili, P. Rogwy) qui nnonçit résultt port un titr frppnt : Evrything provl is provl in zroknowlg. Toutfois, l résultt n st émontré qu n supposnt vri l onjtur slon lqull il xist s fontions à sns uniqu. Pour s fontions x f(x), l pssg x à f(x) st fil (il n mn qu un lul polynomil), lors qu rtrouvr x qun on onnît f(x) mn un long t iffiil lul. L onjtur ffirmnt l xistn fontions à sns uniqu impliqu l onjtur P NP t il st pu prol qu ll soit rpimnt émontré. Il xist pnnt plusiurs xmpls fontions ont on pns qu lls sont à sns uniqu t qu on utilis ns ls protools ryptogrphiqus. L plus simpl st l multiplition : il st fil lulr l prouit M N = P à prtir s ntirs prmirs M t N, mis prsonn n onnît métho rpi pour rtrouvr M t N à prtir l ntir P (mêm si nous svons qu M t N sont s nomrs prmirs t qu l éomposition st uniqu). Loni Lvin rémmnt fit fir un progrès importnt à tt énigm. Il proposé un fontion ont il émontré qu ll étit à sns uniqu sous l sul onition qu il xist u moins un fontion à sns uniqu. Autrmnt it : ou in l fontion qu il propos st à sns uniqu, ou in il n xist uun fontion à sns uniqu. Mlgré l utilistion un onjtur non résolu, l résultt ZK = IP st rmrqul. Il n signifi ps qu tout protool intrtif st sns trnsfrt onnissn, mis qu s il xist un protool intrtif, lors on sit ommnt n onvoir un qui soit sns trnsfrt onnissn. Put-on s érrssr l hypothès sur s fontions à sns uniqu? Un répons positiv été onné à l onition prnr n ompt un nouvu typ pruvs où ux prouvurs (ux onférnirs) n pouvnt ps ommuniqur l un v l utr tntnt n ilogunt hun lur ôté v l vérifiur l onvinr l vérité un énoné E. C résultt n s ppuynt ps sur un onjtur non émontré s érit MIP = NEXPTIME : l lss MIP s prolèms ont un multitu prouvurs gissnt pour onvinr un vérifiur st l mêm qu l lss NEXPTIME s prolèms qu un vérifiur isposnt un puissn xponntill n tmps lul put tritr. Puisqu l lss NEXPTIME st vrimnt très grn, l signifi qu l for l intrtion s montr routl. Cl nous onuit on à joutr un éhlon à l éhll s lsss omplxité, où st l symol l inlusion u sns lrg : P NP PSPACE = IP MIP = NEXPTIME. Inutil fir ppl à plus ux témoins L fit qu ux prouvurs font miux qu un sul un intrpréttion ssz nturll, onnu s poliirs qui intrrognt séprémnt ls témoins un ffir louh. L vérifiur (l poliir) qui s méfi t n vut s lissr onvinr un ssrtion E qu si ll st vri ompr qu l prouvur (l témoin ) t l prouvur 2 (l témoin 2) isnt. Il s ssur qu qu on lui ront st in ohérnt t il tn s piègs ux témoins ont ls réits oivnt oïnir ou u moins s omplétr sns s ontrir. Chos musnt t à nouvu inttnu, un vérifiur éhngnt s informtions v ux prouvurs utnt pouvoir qu s il éhngit s informtions v trois prouvurs ou plus. Disposr plus ux témoins n ugmnt ps l pouvoir l nquêtur mthémtiin! Il st pssionnnt voir ommnt l ryptogrphi morn, n nvisgnt s protools utils t ruiux pour l on fontionnmnt notr mon numériqu, t n ssynt ls omprnr mthémtiqumnt, réussi à onnr un sns préis à s iés nturlls mis rstés vgus, t onuit à rnouvlr notr onption l rtitu mthémtiqu. L AUTEUR Jn-Pul DELAHAYE st profssur à l Univrsité Lill t hrhur u Lortoir informtiqu fonmntl Lill (LIFL). BIBLIOGRAPHIE O. Golrih, Computtionl Complxity. A Conptul Prsptiv, Cmrig Univrsity Prss, O. Golrih, Proilisti proof systms : primr, Fountions n Trns in Thortil Computr Sin, vol. 3(), -9, O. Golrih, Fountions of Cryptogrphy, vol. t 2, Cmrig Univrsity Prss, 200, L. Guillou, Histoir l rt à pu u point vu un ryptologu, Ats u Sptièm Colloqu sur l Histoir l Informtiqu t s Trnsmissions, 2004 : olloqu_2004/guillou.pf L. Lvin, Th tl of on-wy funtion, 2003 : J.-J. Quisqutr t L. Guillou, How to xplin zro-knowlg protools to your hilrn, Avns in Cryptology - Crypto '89, Springr-Vrlg, pp , 990. S. Golwssr, S. Mili t Ch. Rkoff, Th knowlg omplxity of intrtiv proof systms, SIAM Journl of Complxity, vol. 8, pp , 989. Pour l Sin - n Jnvir 20 Logiqu & lul [93