Dans le domaine de l optique non linéaire

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1 Introduction Dans le domaine de l optique linéaire : Les propriétés optique d un matériau dépendent de la fréquence de la lumière sa polarisation sa direction de propagation Dans le domaine de l optique non linéaire Elles peuvent aussi dépendre de l amplitude lumineuse conduire à l apparition de nouvelles fréquences 1

2 Introduction Concepts physiques : Notion de terme source (oscillations linéaires et s des dipôles) Notion d accord de phase entre le rayonnement des dipôles Formalisme : Equation de propagation Equations couplées Applications : 2

3 3

4 Introduction n = n 0 + n 2 I 1 n 2 = 1 4n 2 0 ( ω 1 )c χ 3 ( ) Effet d ordre 2 susceptibilité d ordre 3 4

5 Lame aberrante MCP z Effet d ordre 2 susceptibilité d ordre 3 5

6 Laser Axe optique Effet d ordre 1 Susceptibilité d ordre 2 Accord par orientation du cristal (condition d accord de phase) 6

7 Laboratoire Charles Fabry de l Institut d Optique Equipe ELSA JmJ February

8 Diffusion linéaire et 8

9 Introduction - Principes : dipôles induits 9

10 Polarisation Induite Introduction Principes : - dipôles induits - polarisation induite : densité volumique de polarisation induite D r,t ( ) = ε 0 E ( r,t) + P ( r,t) ondes planes monochromatiques D ( r,t) = Re D ( ω)exp i ωt k. r E ( r,t) = Re E ( ω)exp i ωt k. r P ( r,t) = Re P ( ω)exp i ωt k. r D ω { ( )} { ( )} { ( )} ( ) = ε 0 E ( ω) + P ( ω) 10

11 Introduction Principes : - dipôles induits - polarisation induite D ω ( ) = ε E ( ω) + P ( ω) 0 P ( ω) = ε χ( ω) E ( ω) 0 Équation constitutive du milieu D ω ( ) = ε 0 [ 1+ χ( ω) ] E ( ω) = ε 0 ε r ( ω) E ( ω) 11

12 Généralisation - Fonction réponse Fonction réponse et susceptibilité Fonction réponse d un milieu linéaire invariant dans le temps et l espace Effet non local non instantané linéaire ( ) = ε o R ij P i r,t E i r,t P i r,t j Passage dans l espace des fréquences ( ) = E i ( ) = P i r ' r (,t' t)e j ( r ',t')d r " 'dt' ( k,ω)expi( ωt k. r )d k dω ( k,ω)expi( ωt k. r )d k dω 12

13 Généralisation - Fonction réponse ( ) = E i E i r,t ( ) = P i P i r,t E i r,t E i k,ω ( k,ω)expi( ωt k. r )d k dω ( k,ω)expi( ωt k. r )d k dω ( ) et P i ( r,t) sont des fonctions réelles ( ) et P i ( k,ω) sont des fonctions complexes Susceptibilité d un milieu linéaire ( ) = ε 0 χ ij R ij r,t P i k,ω ( ) = ε 0 χ ij j ( k,ω)expi( ωt k. r )d k dω ( k,ω)e j ( k,ω) 13

14 Généralisation - Fonction réponse Si la réponse du milieu est locale : pour r ' r R ij r ' r,t' t ( ) = 0 ( ) = ε 0 R ij t' t P i r,t ( )E j ( r,t')dt' = ε 0 R ij ( t) E j r,t j Par transformation de Fourier χ ij ( k,ω) = χ ij ( ω)indépendant de k j ( ) ( ) = ε 0 χ ij ω P i k,ω j ( ) ( )E j k,ω 14

15 Généralisation - Fonction réponse Si la réponse du milieu est instantanée : pourt' t R ij ( t' t) = 0 Par transformation de Fourier P i ( r,t) = ε 0 R ij E j ( r,t) j Le milieu est dit «non dispersif» χ ij ω ( ) = χ ij indépendant de ω ( ) = ε 0 χ ij E j ( k,ω) P i k,ω j 15

16 Généralisation - Fonction réponse Si la réponse du milieu est, on généralise la relation par un développement limité : P = ε 0 χ E P = ε 0 χ ( 1) E + ε 0 χ ( 2) E 2 + ε 0 χ ( 3) E P 1 ( ) = ε 0 χ 1 ( ) E Polarisation linéaire du 1er ordre P 2 ( ) = ε 0 χ 2 ( ) E 2 Polarisation d'ordre 2 P 3 ( ) = ε 0 χ 3 ( ) E 3 Polarisation d'ordre 3 16

17 Généralisation - Fonction réponse - Polarisation Equation de propagation Δ E 1 2 E c 2 t = 1 2 P 2 ε 0 c 2 t 2 En présence d une polarisation Δ E 1 2 E c 2 t = 1 2 P l 2 ε 0 c 2 t ε 0 c 2 t 2 P nl P = P l + P nl Δ E + ω 2 nε ( 1) ( ω n ) 2 1 E = ω c 2 n ε 0 c 2 P nl Le champ électromagnétique solution peut donc présenter toutes les fréquences présentes dans le second membre 17

18 Généralisation - Fonction réponse - Polarisation -Effets ONL d ordre 2 ( P 2) = ε χ ( 2 ) 0 E 2 E( t) = E 1 exp iω 1 t +E 2 exp iω 2 t + cc Si χ ne dépend pas de la fréquence (milieu non dispersif) P ( 2) ( t) = ε 0 χ ( 2) E 2 1 exp 2iω 1 t + cc SHG +E 2 2 exp 2iω 2 t + cc SHG +2E 1 E 2 exp i( ω 1 +ω 2 )t + cc SFG +2E 1 E * 2 exp i( ω 1 ω 2 )t + cc DFG +2 E 1 E * * ( 1 +E 2 E 2 ) OR 18

19 Généralisation - Fonction réponse - Polarisation -Effets ONL d ordre 2 P ( 2) ( 2ω 1 )( t) = ε 0 χ ( 2) [ E 2 1 exp 2iω 1 t + cc] 19

20 Généralisation - Fonction réponse - Polarisation -Effets ONL d ordre 2 P ( 2) ( ω 1 +ω 2 )( t) = ε 0 2χ 2 ( ) E 1 E 2 exp i( ω 1 +ω 2 )t + cc [ ] 20

21 Généralisation - Fonction réponse - Polarisation -Effets ONL d ordre 2 P ( 2) ( ω 1 ω 2 )( t) = ε 0 2χ 2 ( ) E 1 E * 2 exp i( ω 1 ω 2 )t + cc [ ] 21

22 Généralisation - Fonction réponse - Polarisation -Effets ONL d ordre 2 P ( 2) ( ω=0) ( t) = ε 0 2χ ( 2) [ * E 1 E ] 1 22