Chapitre V. Connexions ensemblistes

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1 Chapitre V Connexions ensemblistes Connexions : -> Définition et Propriétés -> connexions dérivées -> Geodésie et ouverture par reconstruction Applications : -> analyse individuelle -> corrections de bords -> objets isolés -> alignements J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 1

2 Connexité topologique (rappel) Définition : Etant donné un espace topologique E, l ensemble A5E est dit connexe si on ne peut pas le partitionner en deux fermés non vides. Théorème : Si {A i }iυ I est une famille d ensembles connexes, alors { A i } { A i connexe} (1) Connexité par arcs (plus pratique quand E = R n ) : A est connexe par arcs s il existe, pour toute paire a,b ΥA, une application continue ψ telle que [ α, β ] ΥR et f(α) = a ; f (β) = b Cette seconde définition est plus restrictive. Cependant, pour les ouverts de R n, les deux définitions sont équivalentes. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 2

3 Critique La connexité topologique est-elle adaptée à l analyse d image? La connexité par arcs est beaucoup utilisée, et de façon adéquate, dans des notions telles que squelettes, LPE, et transformations homotopiques. Toutefois, tous ces algorithmes reposent sur l intuition suivante: Une particule est quelque chose que l on peut pointer, et à partir de deux points distincts on extrait soit la même particule, soit deux particules disjointes. Avons nous vraiment besoin de topologie pour formaliser cette intuition? De plus, le fait de sectionner les objets 3-D, ou d échantillonner les séquences tend à disconnecter les objets et aussi les trajectoires. Est-ce que la connexité topologique permet de maîtriser ces situations? J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 3

4 Connexion Ces critiques suggèrent de de ne ne pas prendre (1) (1) comme une conséquence, mais plutôt comme point de de départ.. Définition :: Soit Ε un un espace arbitraire. Nous appellerons classe connexe, ou ou connexion φ toute famille dans σ(e) telle que iv iv )) φ; φ; v )) x E :: {x} φ; φ; (( La Laclasse φ contient toujours les les singletons, plus l l ensemble vide) vi vi )) {A }, }, A φ :: { A i i i i i i } { A φ} i φ} i (( La La réunion des éléments de deφ dont l intersection n est pas vide est est encore un un élément de de φ )) Les éléments de deφ sont appelés composantes connexes.. En En particulier, si si E est est un un espace topologique, les les deux connexités topologique et etpar arcs sont des connexions. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 4

5 Ouverture connexe ponctuelle Chaque connexion se se caractérise par les les trois propriétés suivantes, qui expriment un un effet de de segmentation :: Théorème :: La La donnée d une classe connexe φ sur sur σ(e) est est équivalente une famille {γ {γ x x,x E} d ouvertures telles que i i )) γ x (x) x (x) = {x} x Ε ii ii )) γ y (A) y et et γ z (A) z y, y, z Ε,, A Ε sont disjoint ou ou égaux iii iii )) x A γ x (A) x = En En d autres termes, chaque φ induit une famille unique d ouvertures vérifiant i i )) à iii iii ), ), et et les les éléments de de φ sont les les invariants des {γ {γ x x,x E}. Les γ xx se se nomment "ouvertures connexes ponctuelles ", ", et et γ x x (A) n est autre que la la composante connexe de de A qui contient le le point x (ou l ensemble vide, si si x A). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 5

6 Commentaires L axiomatique et le théorème ci-dessus ont été proposés en 1988 par G.Matheron et J.Serra, qui avaient à l esprit de rendre leur démarche libre de toute hypothèse topologique inutile ; de formaliser les techniques de reconstruction à base de dilatations ; de recouvrir plus de cas que les objets d un seul tenant ; de conduire à de bons filtres morphologiques forts. Leur approche était essentiellement ensembliste. Or le véritable champ d application du filtrage porte sur les images et les séquences numériques, voire colorées. D où les questions : - Peut-on déduire des ouvertures connexes binaires des filtres pertinent pour les images de gris, ou de couleurs? - Avons nous besoin de reconstructions basées sur la dilatation circulaire? - Est-il possible de construire des connexion sur les treillis généraux? J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 6

7 Exemples de Connexions En En imagerie digitale, les les composantes connexes au au sens des 4-4-et et 8-connexités (trame carrée),, 6-connexité (trame hexagonale )),, 12-connexité (( trame cube-octahédrique),, constituent quatre connexions différentes. Les connexions de de seconde génération -- par dilatation ou ou fermeture considèrent les les groupes d objets comme des entités connexes ;; --mais par ouvertures disjoignent les les objets. Par ailleurs, la la notion s étend aux fonctions numériques et et multi-spectrales. Ainsi, la la démarche proposée rassemble en en une axiomatique unique les les diverses acceptions usuelles du du concept de de connexité, plus de de nouvelles. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 7

8 Connexion seconde par dilatation Les connexions qui regroupent les les objets agissent par l intermédiaire, soit de de dilatations, soit de de fermetures (( J. J. Serra). Proposition 1 :: Soit δ :: σ(e) σ(e) une dilatation extensive qui préserve la la connexion φ (( i.e. i.e. δ (φ) (φ) φ). Alors, l'image inverse φ' φ' = δ -1-1 (φ) (φ) de de φ est est à son tour une connexion sur sur σ(e), et et elle est est plus riche que φ. φ. [A' [A' φ' δ(a') φ. Les points et et sont dans φ' φ' (préservation par δ). δ). Soient A' A' ii φ', φ', avec A' A' ii.. On On a δ(a' i i )) A' A' ii,, et et comme δ(a' i ) i ) φ, φ, il il vient δ( δ( A' A' i ) i ) = δ(a' i ) i ) φ, φ, et et donc A' A' i φ' i.].] Proposition 2 :: Les φ-composantes de de δ (A), A σ(e), sont exactement les les images, selon δ, δ, des φ'-composantes de de A.. Si Siγ xx désigne l'ouverture de de la la connexion φ, φ, et etν xx celle de de φ', φ', il il vient: ν x (A) x = γ x δ x (A) A si si x A ;; ν x (A) x = sinon. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 8

9 Application : Recherche d objets Isolés Commentaire: On veut trouver les particules distantes de plus de 20 pixels des autres. Ces objets isolés ont un dilaté de taille 10 qui ne rencontre pas le SKIZ de l'image initiale. a): Image initiale b): dilaté de a) par un disque de rayon 10, et nouvelle connexion c) : Les particules isolées sont celles qui sont identiques pour les deux connexions. Le SKIZ de a) permet leur extraction. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 9

10 Plan partiel de la la ville de Nice J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 10

11 Les Maisons à Grand Jardin Commentaire : Détail de la carte précédente, où l'on veut connaître les composantes de la connexité par dilatation,et, parmi elles, celles qui sont aussi connexes par arc. a : Composantes de la connexité par dilatation b : Les composantes isolées de a) (selon l'algorithme précédent) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 11

12 Connexions dans une Séquence b) représentation de la balle de ping-pong dans le produit Espace Temps a) partie d'une séquence d'images Connexions obtenues par dilatation de taille 3 dans Espace Temps (en gris, les regroupements) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 12

13 Connexion seconde par fermeture Proposition :: Soit ϕ ϕ :: σ(e) σ(e) une fermeture qui préserve la la connexion φ (( i.e. i.e. ϕ (φ) (φ) φ). Alors, l l image inverse φ' φ' de de φ selon ϕ est est à son tour une connexion sur sur σ(e), et et elle est est plus riche que φ. φ. Combien de gains y a-t-il pour la connexion par fermeture par : - bouchage des trous? - enveloppe convexe? et pour l intersection des deux connexions? J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 13

14 Connexion seconde par ouverture Soit γ une ouverture arbitraire. Les invariants { γ(a), A σ(e)} de γ forment toujours une classe stable pour la réunion. Aussi la famille φ = { γ(a), A σ(e)} { {x}, x E} engendre une connexion (Ch. Ronse). a d b c Pour γ ouverture digitale par le carré 2x2, cet ensemble est formé de quatre grains: - la réunion des deux carrés, - et les trois points. Pour γ la réunion des ouvertures par tous les segments de R 2, il vient : - a b c = un grain - tous les points de d = grains individuels. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 14

15 Connexion par partition A Soit D une partition de l espace E ; la famille des sous ensembles des classes {D(x), x E} est stable pour la réunion. Elle engendre donc la connexion (J.Serra): φ= { γ (A), A σ(e)} {{x}, x E} où la composante connexe γ x (A), x A, est donnée par l intersection A entre A et la classe D(x) de la partition au point x. D(x) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 15

16 Propriétés des connexions Treillis des connexions : L ensemble de toutes les connexions sur σ(e) est stable pour l intersection ; il forme un treillis complet dans lequel le supremum de la famille {φ i ;i I} est la plus petite connexion contenant φ i inf {φ i } = φ i et sup{φ i } = φ{ φ φ φ i }. Partition : Soit φ une connexion sur σ(e). Pour chaque AΥσ(E) les composantes connexes maximales 5A partitionent A en ses propres composantes connexes. Cette partition est croissante, i.e. si A5A, alors toute composante connexe de A est majorée par une autre, de A. Corollaire : Si φ et φ sont deux connexions sur σ(e) avec φ 5φ, alors toute φ -composante de A est le supremum de toutes les φ-composantes de A qu elle majore. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 16

17 Préservation de la connexion On dit qu un opérateur ψ sur σ(e) préserve la connexion φ sur σ(e) quand ψ applique φ dans lui-même, i.e. ψ : φ φ. Dilatations Connexes : Soit δ: σ(e) σ(e) une dilatation extensive. Si δ(x), x E, est connexe, alors δ préserve la connexion φ. Opérateurs dérivés : Pour toute dilatation δ sur σ(e) qui préserve la connexion φ, l érosion adjointe ε et l ouverture γ = δε traitent les composantes connexes de tout A 5E indépendamment les unes des autres. Addition de Minkowski : Soit E = R d ou Z d, muni de la connexion φ. Quand A et X appartiennent à φ, la somme A+X est encore φ-connexe. Commentaire : Cette dernière proposition ne suppose pas l extensivité. Mais la première, qui ne met pas en jeu de translation, recouvre plus de situations, et en particulier les opérateurs standards. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 17

18 Les Transformations géodésiques Comment implémenter une ouverture connexe ponctuelle? Toutes les connexions que nous avons vues procèdent de la classique connexion par arcs, qu elles modifient de manière plus ou moins complexe. Or ces dernières peuvent être obtenues au moyen d opérateurs géodésiques. Métriques «géodésiques» Dans la distance euclidienne, ou ses versions digitales, on ne tient pas compte des obstacles possibles d un point à un autre. Par contre, étant donnés deux points (a,b) dans un compact X R n, il existe toujours un plus petit chemin de a à b qui soit inclus dans X ( G. Choquet). Cela définit une nouvelle distance, dite géodésique, restreinte à la référence X, d où découle une classe très riche d opérateurs (Ch. Lantuejoul, S. Beucher). Ces opérations sont toujours isotropes, car elles ne mettent en jeu que des boules ou des disques. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 18

19 Distance géodésique Définition : La distance géodésique d X : R n R n R, par rapport à l'ensemble de référence X, s'écrit: -d X (x,y) = Inf. de la longueur des chemins, s'il en existe, allant de x à y en restant inclus dans X -d X (x,y) = + Τ sinon. Propriétés : 1- d X est une distance généralisée, i.e.: d X (x,y) = d X (y,x) d X (x,y) = 0 <=> x = y d X (x,z) d X (x,y) + d X (y,z). 2- Distance géodésique distance initiale. 3- Existence, mais pas unicité de géodésiques. Exemples de géodésiques dans R 2 z y x + y' Les portions de géodésiques intérieures à X sont des segments de droites X J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 19

20 Boules géodésiques On travaille peu avec les chemins géodésiques. Par contre, on utilise souvent le concept de boules géodésiques : B X,λ (z) B X,λ (z) = { y, d X (z,y) λ } Quand λ augmente, les boules progressent comme le front d'une onde émise depuis z dans l' environnement X. z X Pour une taille donnée λ, les boules B X peuvent être considérées comme un jeu d'éléments structurants variables d'un point à l'autre. Boules géodésiques concentriques de centre z J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 20

21 Dilatation Géodésique La La dilatation géodésique de de taille λ de de Y dans X s'écrit: δ X,λ X,λ (Y) ) = {B X,λ (y) X,λ (y),, y Y },λ Quand λ varie, les lesδ X,λ X,λ forment le lesemi groupe additif :: δ X,λ+µ X,λ+µ =δ [[ δ ] X,λ ] X,λ X,µ X,µ (utile pour l' l' implémentation digitale). dilatations géodésiques de Y dans X. Y X Il Il est est à noter enfin la la différence entre les les dilatations géodésique ci-dessus et et conditionnelle :: δ X,λ X,λ,λ (Y),λ ) (Y (Y Β λ λ ) ) X.. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 21

22 Erosion géodésique Toute boule étant symétrique, les les dualités par adjonction et et pour le le complément sont les les mêmes. Mais il il faut complémenter dans l'ensemble de de référence X (i.e. X \\ Y = X Y c c ), ), ce ce qui donne :: ε X (Y) = X \\ δ X (X (X\\ Y) Y) Ou Ou encore, en en digital, pour λ = 1 ε X (Y) = ε (( Y X c c )) X où où ε désigne l'érosion isotrope de de taille On On notera que ce ce résultat diffère de de ε (Y) X érosion géodésique ε (Y) X Y ε(y) X Y X J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 22

23 Dilatation géodésique digitale (binaire) Pour les métriques digitales sur Z n l ensemble δ(x) représente la boule unité centrée au point x, la dilatation géodésique unitaire est définie par: δ X (Y) = δ (Y) X La dilatation de taille n se construit alors par itération : δ X,n (Y) = δ (n) X(Y), avec X Y δ X (Y) δ (n) X(Y) = δ(... δ(δ (Y) X) X... ) X On notera que les dilatations géodésiques ne sont pas invariantes par translation. δ (2) X (Y) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 23

24 Ouverture par reconstruction Pour un un X donné, la la dilatation infinie de de Y δ X, X, (Y) = { { δ X,λ (Y) X,λ,, λ>0 }, est est une fermeture ;; mais si si nous la la considérons comme une opération sur sur l l ensemble de de référence X (rendu variable), pour un un marqueur donné Y, Y, alors δ X, X, (Y) devient l l ouverture γ rec rec (X (X;; Y) Y) = { { δ X,λ (Y) X,λ,, λ>0 } = {γ y, (X), y, y Y} par reconstruction des composantes connexes de de X qui contiennent au au moins un un point de de l ensemble Y. Y. X Y N.B.: Quand le pas de la grille devient de plus en plus fin, la reconstruction digitale tend vers l euclidienne ssi X est réunion localement finie de compacts disjoints. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 24

25 Connexion et Ouverture par Reconstruction La La notion de de connexion permet d'exprimer puis de de généraliser l'ouverture par reconstruction de de la la manière suivante: 1) 1) Appelons critère binaire croissant toute application c: c: σ(e) {0,1} telle que: A B c(a) c(b) 2) 2) A chaque critère croissant c associons l'ouverture triviale γ T γ (A) = A si si c(a) = 1 T γ (A) = si si c(a) = 0 A σ(e) T 3) 3) Généralisant la la définition du du cas géodésique, nous dirons que γ rec rec est est l'ouverture par reconstruction relative au au critère c quand: γ rec rec = {γ {γ T γ x,x E} x γ rec rec agit indépendamment sur sur les les diverses composantes connexes, les les gardant ou ou les les éliminant selon qu'elles vérifient le le critère, ou ou non. (e.g. marqueur, mais critère de desurface, ou ou de de diamètre de de Ferret). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 25

26 Fermeture par Reconstruction; Treillis La La fermeture par reconstruction ϕ rec rec = γ γ rec rec se se définit par dualité. Par exemple, dans R 22,, -- pour le le critère «avoir une surface 810»,», ϕ rec rec (A) est est la la réunion de de A et et des pores de de surface 710; --pour le le critère «rencontrer le le marqueur M»,», ϕ rec rec (A) est est la la réunion de de A et et des pores inclus dans M c c.. Treillis associés: Considérons maintenant une famille {γ {γ rec rec i} i} d ouvertures par reconstruction, de de critères { c i }. inf rec i }. Leur inf γ rec i est i est encore une ouverture par reconstruction, où où chaque grain de de A doit remplir tous les les critères c i et le γ rec i pour être retenu, et le sup γ rec i est i est l l ouverture où où un un critère au au moins doit être satisfait. D où la: la: Proposition: les les ouvertures et et les les fermetures par reconstruction forment deux treillis complets pour le le sup et et l l inf usuels. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 26

27 Filtrage par Erosion-Recontruction L' L' érosion X,B λλ supprime les les composantes connexes de de X qui ne ne peuvent pas contenir un un disque de de rayon λ. λ. L'ouverture γ rec rec (X (X;; Y) Y) de de marqueur Y = X,B λλ reconstitue ensuite toutes les les autres. a) image initiale b) érodé de a) par un disque c) reconstruction de b) dans a) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 27

28 Elimination des grains touchant les bords Soit Z l l '' ensemble des bords du du champ,, et et X les les grains à étudier. On On reconstruit Z X dans X ;; et et on on prend la la différence ensembliste entre X et et la la reconstruction. a) image initiale b) grains touchant les bords c) résidu : a) - b) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 28

29 Bouchage des trous Ν.Β. : Algorithme rapide et efficace sauf pour les trous qui coupent les bords du champ. image initiale X A = bords du champ rencontrant X C reconstruction de A dans X C J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 29

30 Analyse individuelle de particules Algorithme (( J.C. Klein) Tant que X n' n' est est pas vide, faire { ~ p := := premier point rencontré lors d' d' un un balayage vidéo; ~ Y := := composante connexe de de X reconstruite à partir de de p; p; ~ Traitement de de Y (( mesures diverses) ;; ~ X := := X \\ Y } Extraction individuelle de particules J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 30

31 Application : extraction d objets 3-D (I) a) b) c) But: extraire les ostéocytes présents dans une séquence de 60 sections, en microscopie confocale Clichés a) et b) : sections 15 et 35 ; Image c) : supremum M des 60 sections. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 31

32 Application : extraction d objets 3-D (II) d) e) f) d) : seuil de c) au niveau 60 ; e) : ouverture connexe de d) f): dilatation géodésique infinie de la séquence seuillée au niveau 200, par rapport au masque e) ( visualisation en perpective ). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 32

33 Connexité et Reconstructions Nous avons vu vu que si si le le point x est est un un marqueur et et A un un ensemble, la la dilatation géodésique infinie δ (n) A (n) (x) (x) fournit l' l' ouverture connexe ponctuelle de de A en en x,, i.e. i.e. γ x (A) x = δ (n) A (n)(x) (x) (( 1) 1) De De plus si si nous remplaçons le le disque unité δ par celui de de rayon 10, par exemple, dans l' l' Eq. (1) (1)? Nous obtenons une seconde connexion. D où deux questions :: 1-1-Est-il nécessaire d'opérer par des dilatations selon des disques? 2-2-et et même par des dilatations? A x J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 33

34 Géodésie et Connexions Curieusement, la la réponse à ces questions dépend de de propriétés de de symétrie des opérateurs. Une application ψ :: σ(ε) σ(ε) est est symétrique quand x 5 ψ (y) (y) y 5 ψ (x) (x) pour tous les les points x,y x,y de de E. E. Proposition (Ch. Ronse, J.Serra) :: Soit δ: δ: σ(e) σ(e) une dilatation extensive et et symétrique,, et et soient x Υ E et et A Υ σ(e). Alors l'itérée limite γ x (A) x = {δ (n) A (n)(x) (x),, n > 0 } vue comme une opération sur sur A, A, est est une ouverture connexe ponctuelle. (( On On notera que δ lui-même n a pas besoin d être connexe!!)) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 34

35 Nice : Alignements directionnels Commentaire : Bien que l' élément D de la reconstruction ne soit pas connexe, il engendre une connexion nouvelle, dont on a filtré les particules les plus grosses. a) Zone d' étude A b) Reconstruction de A à partir 2 de A, 2B en utilisant l'élément D = 2 2 où chaque point indique un hexagone unité J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 35

36 Références Sur la la géodésie binaire :: Les premiers algorithmes géodésiques portent sur sur l analyse individuelle {KLE76}. La La théorie de de la lagéodesie est est due à S.Beucher et et Ch. Lantuejoul {LAN81}. Certains compléments ont été été proposés par M.Schmitt {SCH89}. Sur les les connexions binaires :: La La connexité morphologique pour les les ensembles fut fut introduite par J.Serra and G.Matheron en en liaison avec les les filtres forts {SER88,ch7}. L ouverture connexe ponctuelle et et les les connexions de de seconde génération apparaissent aussi pour la la première fois dans {SER88,ch2}. Dans {RON98}, Ch.Ronse définit une axiomatique équivalente, mais prise d un autre point de de vue, et et l illustre de de divers exemples. Une variante plus spécifique a été été proposée par R.M. Haralick et et L.G. Shapiro {HAR92}. Les résultats sur sur les les connections de de seconde génération et et sur sur les les treillis de de connexions sont de de J. J. Serra {SER98a et et b}. b}. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology V. 36