Électrostatique: L énergie. D après: Eugene HECHT. Physique. Éditeur ITP de boeck.

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1 Électrostatique: L énergie D après: Eugene HECHT. Physique. Éditeur ITP de boeck.

2 Énergie potentielle électrique Analogie avec force gravitationnelle Soulever une masse (force F G =mg) dans le champ gravitationnel = travail Ce travail se transforme en énergie potentielle Énergie potentielle proportionnelle à la masse En tombant le corps perd de l énergie potentielle et gagne de l énergie cinétique Déplacer une charge (force F E =q 0 E) contre l influence d un champ électrique = travail Ce travail se transforme en énergie potentielle électrique Énergie potentielle (E P ) proportionnelle à la charge En se déplaçant l une vers l autre deux charges opposées perdent de l énergie potentielle et gagnent de l énergie cinétique Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.2

3 Potentiel électrique Indépendance vis-à-vis de la charge Énergie potentielle électrique par unité de charge : Potentiel électrique ou potentiel ou tension Unité: Joule/Coulomb (J/C) Volt (V) NB. Précédemment: Unité de champ électrique: N/C Plus couramment mesuré en V/m Équivalence: 2 N (kgim / s ) 1 = 1 C C V J/C Nim/C N kgim/s 1 = 1 = 1 = 1 = 1 m m m C C V 2 = E q P 0 Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.3

4 Différence de potentiel électrique Travail effectué sur une charge de A vers B Segment AB divisé en n segments Δl j (suffisamment petits pour que E ne varie pas) Force F déplace la charge du repos vers le repos (Énergie cinétique nulle) Dans le sens du déplacement (parallèle au champ électrique) opposée à la force du champ électrique: F j =F j ; E j =E j Travail énergie potentielle Δ Wj = F jδ lj = q0e jδ lj = ΔEPj ΔE n Pj Potentiel: Δ Vj = = E jδl j Sur AB: Δ V = ( E jδl j) q 0 j= 1 V B E d B l E d i l Δ = = A A Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.4

5 Différence de potentiel (suite) La différence de potentiel entre deux points A et B est égale au travail effectué contre le champ pour déplacer une charge positive unitaire de A vers B sans accélération V B V = A W q A B 0 Quantité relative: aucun point de l espace n est «zéro absolu» Charge positive sans vitesse initiale se déplace d un potentiel élevé vers un potentiel plus bas (ΔV<0): Perte d énergie potentielle et gain d énergie cinétique Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.5

6 Différence de potentiel (suite) De même: Charge négative sans vitesse initiale se déplace d un potentiel bas vers un potentiel plus élevé (ΔE P = q 0.ΔV<0) Conservation de l énergie: le travail effectué pour déplacer une charge ne dépend pas du chemin suivi Proton se déplaçant dans ΔV=1V: Perte d énergie potentielle ΔE P =q e ΔV= J 1 ev Électron-volt: unité d énergie à l échelle microscopique Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.6

7 Électrophorèse Déplacement particules chargées dans un champ électrique uniforme dépend de la charge et de la taille de l ion F = qe =γv (γ: coefficient v = μele de friction) Vitesse électrophorétique: q Mobilité électrophorétique: μ el = γ Électrophorèse analytique : migration sur gel (ex.: agarose): fonction de la charge et de la taille des ions Exemple: séparation d ADN chromosomique Champ: 5,1 V/cm Durée: 34 heures Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.7

8 Exemple: tube à rayons cathodiques Électrons émis par cathode chauffée Accélérés dans ΔV=20kV Vitesse finale? ΔE PE =q e ΔV=( C)( V) = -3, J E Ci +E Pi =E Cf +E Pf ; E Ci =0 E Cf =E Pi -E Pf =-ΔE PE ½m e v f2 = 3, J v v f = 8, m/s = 9,1 10 kg 15 2(3, 2 10 J f 31 1/2 Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.8

9 Potentiel dans un champ uniforme Charge positive B B B Δ V = E dl = E i dl = Ecos θ dl B A A A B B A = θ l = θ A A V V Ecos d Ecos d l V V = EDcosθ B A Dans le sens du champ Dans le sens opposé VB VA = Ed V V =+ Ed Potentiel nul pour un déplacement perpendiculaire au champ (de C en B par ex.) Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.9 B Travail nul! A

10 Déplacement parallèle à un champ électrique uniforme Déplacement de B en A: V A -V B =-Ed Potentiel borne + de la pile supérieur de 12V à celui de la borne - Champ électrique entre les plaques si distantes de 2 mm? E V V 12V B A = = 3 d 2 10 m E = 6,0 kv/m Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.10

11 Potentiel d une charge ponctuelle dl θ Analogie avec énergie gravitationnelle W B F d B i l F cos d l = = θ A B E E A A dl tangente à la trajectoire dr=-cosθdl rb W = F (r)dr A B E r rb kqq Δ EPE = WA B = dr = kqq 2 0 ra r rb r ΔE 1 1 PE Δ V = VB VA kq = q 0 r B r A 1 Potentiel nul à l infini VB 0 = kq 0 rb 1 V = kq r A Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand A

12 Exemple Différence de potentiel en allant de B vers A (q=+10μc; r B =10 cm; r A =20 cm) 1 1 VA V B = (VB V A) = kq r B r A VA V B = (9,0 10 N m / C )( C) m 2 10 m V A -V B =-0,45 MV Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.12

13 Équipotentielles Déplacement d une charge perpendiculairement au champ électrique pas de travail (pas de variation de potentiel) Équipotentielle: ligne partout perpendiculaire au champ Potentiel à distance R d une charge ponctuelle q 1 V = kq R Même potentiel dans toutes directions Surfaces équipotentielles = sphères concentriques Champ électrique toujours normal à ces surfaces Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.13

14 Équipotentielles (suite) Rappel: conducteurs Champ partout àleur surface Leur surface est une équipotentielle Intérieur du conducteur en équilibre électrostatique (aucun champ) volume équipotentiel Terre: conducteur surface équipotentielle (potentiel zéro) Équipotentielles représentées par des lignes Séparées par une différence de potentiel constante Équidistantes dans champ uniforme Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.14

15 V A Potentiel créé par plusieurs charges Potentiel: quantité scalaire Potentiel d un système de charges ponctuelles= = + somme algébrique des potentiels créés par chacune des charges 1 Exemple: potentiel au point A V = kq R 1 1 VA = kq1 + kq2 r1 r (9,0 10 N m /C )( 10 1O C) 4,0m (9,0 10 N m / C )( 10 1O C) 4,0m V A = 45 V Mais E A = 0,0 N/C! Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.15

16 Équipotentielles de deux charges égales Les surfaces deviennent sphériques àdistance Pour un dipôle, le potentiel s annule à mi-chemin Le plan médiateur (égale distance des deux charges) = équipotentielle (V=0) Les lignes de champ sont àce plan Aucun travail n est nécessaire pour y déplacer une charge Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.16

17 Potentiel créé par une distribution continue de charges 1 Charge ponctuelle: V = kq R kdq Élément différentiel de charge charge ponctuelle dv = r Potentiel total = somme (intégrale) des éléments dv dq V = k r V sur l axe de l anneau? dq dq k V = k = k = dq r x + R x + R V = x k + R 2 2 Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand Q

18 Détermination de E à partir de V Relation entre E et V pour une distribution de charges V B E d B l E d i l Δ = = A A ΔV: somme de différences infinitésimales dv = E dl dv E = dl E est l opposé du gradient de V Rappel: E composante du champ parallèle au déplacement Champ radial: E r =-dv/dr Dans l espace V(x,y,z): Q = = = E = E = V E V/ x;e V/ y;e V/ z x y z Exemple: V(r)=kQ/r dv dr d dr 1 2 E r = = (kqr ) = ( kqr ) k r r 2 Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.18

19 Potentiel et configuration de charges Relation entre charge, géométrie et travail (pour ajouter une charge) Plus une sphère est chargée négativement, plus il faut de travail pour lui ajouter un électron 1 V kq 2 = Q = 4πR σ V = 4πkRσ R A densité surfacique égale la charge et le potentiel de la plus grande sphère sont plus élevés Mais potentiel maximum: apport électron supplémentaire impossible Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.19

20 Générateurs électrostatiques Générateur de Van de Graaff: Charge à l intérieur d un conducteur Aucun champ ne la repousse Potentiel limité par propriété isolante de l air Claquage: dépassement de la rigidité du diélectrique Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.20

21 Conservation de la charge Laboratoire immobile dans Champ uniforme Déplacement charge de l extérieur (potentiel arbitraire V=0) vers l intérieur ΔE PE =q 0 ΔV A l intérieur du laboratoire: impossible de mesurer V ΔV =ΔV+ΔV 0 Disparition de la charge? Conservation de l énergie même transformation d énergie doit être observée dans et hors du laboratoire (au repos) Impossible car ΔV ΔV Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.21

22 Capacité Définie par Volta (18 ème siècle): Quantité de charge (Q) qu un corps peut emmagasiner à un potentiel V Q C = V Unité: Coulomb par Volt (C/V) le farad 1 F = 1 C/V (Toujours positif!) 1 F : grande capacité Unité courante en électronique: le μf=10-6 F ou le pf=10-12 F Plus gros condensateurs en électromécanique NB: Homme 100pF; vache 200pF Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.22

23 Capacité d une sphère métallique Rayon R: kq V = R Q Q R C = = = V kq k R Donc C=4πεR Dans l air (ε ε 0 ): C=4πε 0 R La capacité d une sphère métallique est donc proportionnelle à son rayon Elle reste cependant modeste car 4πε Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.23

24 Bouteille de Leyde Conducteurs (plaques métalliques) séparés par un isolant (verre) Charge du conducteur interne induit charge sur conducteur externe Répulsions charges conducteur interne plus faibles plus de charges stockées pour un même potentiel Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.24

25 Condensateur plan Conducteurs plans séparés par isolant (air ou isolant plus puissant) Réduction de potentiel lors de l approche du conducteur neutre relié àla terre Capacité d un condensateur plan? C=Q/ΔV Champ électrique uniforme entre armatures: ΔV=Ed σ Q E = = ε Sε εs C = Qd Δ V = Ed= d S ε Q Q Capacité augmente avec S et ε C = = ΔV Qd/Sε diminue quand d augmente Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.25

26 Le farad est une grande valeur Taille d un condensateur de 1 F à plans parallèles d armatures carrées séparées par 1 mm d air? C εs dc = S = d ε 3 dc (1,0 10 m)(1,0f) ε 0 (8,85 10 C /Nm ) S = = = 0, m L= S=10,6km 9 2 Si air remplacé par du verre (ε=10ε 0 ): L = 3,35 km Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.26

27 Action du diélectrique Polarisation du diélectrique champ interne plus faible (E=σ/ε) Charge opposée en face du conducteur Différence de potentiel diminue (ΔV=Ed) à charge constante des conducteurs Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.27

28 Réalisation technique Feuilles d aluminium séparées par un isolant (papier, mylar, ) L isolant peut être un électrolyte Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.28

29 Association de condensateurs Circuit électrique Association en parallèle Capacité résultante? V=V 1 =V 2 =V 3 Q=Q 1 +Q 2 +Q 3 Donc CV=C 1 V 1 +C 2 V 2 +C 3 V 3 =V(C 1 +C 2 +C 3 ) et C=C 1 +C 2 +C 3 La capacité de condensateurs associés en parallèle est la somme des capacités individuelles Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.29

30 Exemple: un circuit simple V Équivalent à: Q C 1 = = Q C Q 1 =VC 1 =(12V)( F)=2, C Q 2 =VC 2 =(12V)( F)=3, C Condensateurs montés en parallèle: C=C1+C2=( F)+( F)=50μF Charge correspondante: Q=CV=6, C=Q 1 +Q 2 Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.30

31 Association en série Équivalent à Charge + de C 3 provoque charge égale et opposée sur C 2 (électrons chassés de C 3 ) etc Q=Q 1 =Q 2 =Q 3 Chute de potentiel totale (V): V=V 1 +V 2 +V 3 Q Q1 Q2 Q V=Q/C, donc : 3 = + + C C C C = + + C C C C Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.31

32 Exemple: circuit mixte Équivalent à C + C = + = C C C CC (2,0μF)(2,0μF) C12 = = 1, 0μF (2,0μ F) + (2,0μF) C=C 12 +C 3 =(1,0μF)+(5,0μF)=6,0μF Calculer C, V 1, V 2, V 3, Q 1, Q 2, Q 3 Q 3 =C 3 V 3 =(5,0μF)(12V)=60μC Q=CV=(6,0μF)(12V)=72μC Q 1 =Q 2 =Q-Q 3 =(72μC)-(60μC)=12μC Q 12,0μC V = = = 6V = V C1 2,0μF Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.32

33 Énergie stockée dans un condensateur Charge d un condensateur = travail Quantité d énergie indépendante de la façon de charger Charge +Q d une armature à l autre (celle de départ reste avec Q) Avec accumulation des charges le potentiel augmente force répulsive augmente Travail avec force variable : calcul avec force moyenne (ou différence de potentiel moyenne) V varie linéairement de 0 à V=Q/C: potentiel moyen V/2 Donc E PE 1 2 = VQ 2 2 E = CV = Q /C PE Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.33

34 Exemple: énergie stockée dans un réseau de condensateurs PE1 Énergie stockée dans le circuit précédent? E = QV = (12μC)(6,0V) = 36μJ PE E = QV = (12μC)(6,0V) = 36μJ PE E = QV = (60μC)(12,0V) = 360μJ E PE = E PE1 +E PE2 +E PE3 = 432μJ 2 2 Vérification E = CV = (6,0μ F)(12,0V) = 432μJ PE Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.34

35 Décharge du condensateur Si possibilité : électrons se déplacent de l armature à l armature + ΔV=0 en cas de court-circuit Décharge de 2 condensateurs parallèles (C 1 =4μF; C 2 =2,0μF; V 1 =12V; V 2 =6V) Connexion armatures + (aucun mouvement de charge) Connexion armatures (mouvement charges équilibre) Avant connexion: Q 1 =C 1 V 1 =(4μF)(12V)=48μC Q 2 =C 2 V 2 =(2μF)(6V)=12μC Q=60μC Après connexion (même V): Q1 Q E 2 V = = C1 C Q 2 1 =40μC; Q 2 =20μC QC 2 1 Q(4 2 μf) Q1 = = = 2Q E 2 C (2μF) 2 PE1 PE Q 1 (40μC) = = = 200J C 4μF Q 2 (20μC) = = = 100J C 2μF 2 C 1 12 V 6 V C 2 4 µf 2 µf Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.35

36 Énergie emmagasinée et champ électrique Travail pour charger le condensateur champ électrique C=εS/d et V=Ed ( εs )( ) EPE = CV = Ed = ε(sd)e d 2 2 Énergie emmagasinée par le champ électrique est proportionnelle au carré du module du champ Champ électrique peut être traité comme milieu transportant énergie et quantité de mouvement Le vecteur en est le photon Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 18.36