EG - FORMULAIRE. 1. Puissances

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1 EG - FORMULAIRE. Puissnces x b x = ( b) x ; x y = x+y ; ( x ) y = x y ; x = x ; x = x Pour les reltions vec les rcines x ième, il vut mieux revenir sous forme de puissnce de /x que de retenir les formules suivntes : x y = x y ; x y = x y x+y. Inéglités b implique b 0 b implique b ddition terme à terme : ( b et c d) implique + c b + d mis on ne peut soustrire terme à terme. Pr contre ( b et c d) implique d b c. multipliction pr un nombre positif : ( b et 0 c) implique c b c multipliction terme à terme : (0 b et 0 c d) implique c b d mis on ne peut diviser terme à terme. Pr contre (0 b et 0 c d) implique d b c

2 EG Conséquences importntes pour mjorer une somme x + y, on mjore à l fois x et y pour mjorer une différence x y, on mjore x et on minore y pour mjorer un produit x y de nombres positifs, on mjore à l fois x et y pour mjorer un quotient x y de nombres positifs, on mjore x et on minore y pour minorer une somme x + y, on minore à l fois x et y pour minorer une différence x y, on minore x et on mjore y pour minorer un produit x y de nombres positifs, on minore à l fois x et y pour minorer un quotient x y de nombres positifs, on minore x et on mjore y. Vleur bsolue = = mx(, ) = b = b Inéglités tringulires + b + b (l églité lieu si et seulement si et b sont de même signe) + b b b équivut à b b Attention : b n implique ps b. Pour mjorer une vleur bsolue il ne suffit ps de mjorer. Le signe de intervient : b c implique b mx(, c )

3 EG. Logrithme néperien ln( b) = ln + ln b (,b > 0) ( ln = ln ln b (,b > 0) b) ln ( ) = ln ( > 0) ln x = xln ( > 0) b = e b ln ( > 0). Identités remrqubles () ( + b) = + b + b ( b) = b + b Générlistion : formule du binôme de Newton ( + b) n = n p=0 ( ) n p b n p p ( ) n où le coefficient vérifie les reltions p ( ) ( ) n n n! n(n ).. (n p + ) = = = p n p p!(n p)! p(p ) ( ) n = p ( n p ) + ( ) n p Ces coefficients se trouvent dns le tringle de Pscl si 0 < p n

4 EG (b) b = ( b)( + b) b = ( b)( + b + b ) + b = ( + b)( b + b ) Générlistion : n b n = ( b)( n + n b + + p b n p + + b n + b n ) Appliction : somme des termes d une suite géométrique n = n+ si 6. Sommes prticulières n = n(n + ) n = n(n + )(n + ) 6 ( n(n + ) n = ) 7. Trigonométrie

5 EG () Angles remrqubles sin(n) = 0 ; cos(n) = ( ) n ; tn(n) = 0 (n Z) x 0 6 sin x 0 cos x 0 tn x 0 + (b) Reltions entre les lignes trigonométriques sin x + cos x = (c) Reltions de symétrie i. période ii. Angles opposés tn x = sin x cos x ; cotn x = tn x = cos x sin x + tn x = cos x ; + cotn x = sin x sin(x + ) = sin x ; cos(x + ) = cos x ; tn(x + ) = tn x sin(x + ) = sinx ; cos(x + ) = cos x ; tn(x + ) = tn x sin(x + n) = ( ) n sin x ; cos(x + n) = ( ) n cos x (n Z) iii. Angles supplémentires sin( x) = sin x ; cos( x) = cos x ; tn( x) = tn x sin( x) = sin x ; cos( x) = cos x ; tn( x) = tn x

6 EG 6 iv. Angles complémentires ( ) ( ) ( ) sin x = cos x ; cos x = sin x ; tn x = cotn x (d) Formules d ddition (e) Formules de l ngle double sin( + b) = sin cos b + sin bcos sin( b) = sin cos b sin bcos cos( + b) = cos cos b sin sin b cos( b) = cos cos b + sin sin b tn( + b) = tn( b) = sin() = sin cos = tn + tn b tn tn b tn tn b + tn tn b tn + tn cos() = cos sin = cos = sin = tn + tn (f) Formules de l ngle moitié tn() = tn tn cos = + cos ; sin = cos (g) Trnsformtions de somme en produit sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = sin p q cos p + cos q = cos p + q cos p cos q = sin p + q cos p q cos p + q cos p q sin p q

7 EG 7 (h) Trnsformtions de produit en somme cos cos b = ( ) cos( + b) + cos( b) sin sin b = ( ) cos( + b) cos( b) sin cos b = ( ) sin( + b) + sin( b) 8. Fonction prtie entière E(x) = n si n x < n + (n Z) E(x) x < E(x) + ; x < E(x) x E(x + n) = E(x) + n (Il n y ps d utres reltions simples vec E(x)). si x est réel et n est entier 9. Fctorielle et si n est un entier strictement positif 0! = n! = n (en prticulier (n)! = (n )(n )(n) et non (n) ). (n + )! = (n + ) n! (n + p)! = (n + p)(n + p ) (n + ) n! Attention : il n y ps de formules simples pour un produit de fctorielles ; les formules suivntes sont en générles fusses p! q! = (pq)! ; (p!) = (p )!

8 EG 8 0. Nombres complexes Si z = x + iy et z = x + iy, où x, y, x, y sont réels on somme z + z = (x + x ) + i(y + y ) produit z z = (xx yy ) + i(xy + yx ) conjugué prtie réelle prtie imginire inverse z = x iy Rez = x Im z = y z = x iy x + y = z z module z = z z = x + y rgument rg z est un nombre θ défini à k près tel que cos θ = x x + y = Rez z et sinθ = y x + y = Imz z Expression sous forme d exponentielles complexes Formules d Euler Formule de Moivre e iθ = cos θ + isin θ ; e iθ = cos θ isin θ e inθ = (cos θ + isin θ) n = cos nθ + isin nθ Autres formules vec les nombres complexes cos θ = eiθ + e iθ Re z = Re z = z + z ; sin θ = eiθ e iθ z = x + iy = z e iθ i ; Im z = Im z = z z i z z = z z z z z + z z + z

9 EG 9 Re z z ; Im z z rg(z z ) = rg z + rg z rg z = rg z = rg z Rcines cubiques de l unité Les nombres et j = e i/ = + i j = j = e i/ = i sont les rcines du trinôme X + X + et vérifient l éqution X = Applictions à l géométrie Soit, b, et c trois nombres complexes d imges respectives A, B, C, lors + b = c équivut à OA + OB = OC Le nombre complexe b c l ngle orienté ( AC, AB) pour module AB AC et pour rgument une mesure en rdins de. Dérivée () Formules de dérivtion multipliction pr un sclire (λu) = λu (λ réel) somme (u + v) = u + v produit (u v) = v u + u v plus générlement (u u u n ) = u u u n + u u u n + + u u u n

10 EG 0 formule de Leibniz composée (u v) = u v v inverse quotient ( ) = u u u ( u ) v u u v = v v (u v) (n) = ppliction réciproque (u ) = n p=0 u u ( ) n u (p) v (n p) p Attention : l dérivée de u v n est ps v u v. Pour l trouver on revient à l forme exponentielle e v ln u. (b) Dérivées des fonctions usuelles C te 0 x e x ln x sinx cos x x e x x cos x sinx tn x + tn x = cos x cotn x ( + cotn x) = sin x shx ch x ch x shx th x th x = ch x

11 EG rctn x rcsin x rccos x rgsh x rgch x x + b cx + d + x x x + x x d bc (cx + d) = b c d (cx + d). Fonctions circulires réciproques Fonction rcsinus (rcsin) Bijection croissnte de [, ] sur [ /, / ] rcsin(sin x) = x si x [ /, / ] sin(rcsin x) = x si x [, ] Fonction impire : si x [, ] on rcsin( x) = rcsin x. Fonction dérivble sur ], [ : f (x) = x. Fonction rccosinus (rccos) Bijection décroissnte de [, ] sur [0, ] rccos(cos x) = x si x [0, ] cos(rccos x) = x si x [, ] rccos( x) = rccos x si x [, ]

12 EG rcsin x + rccos x = si x [, ] Fonction dérivble sur ]0, [ : f (x) = x. Fonction rctngente (rctn) Bijection croissnte de R sur ] /, / [ rctn(tn x) = x si x ] /, / [ tn(rctn x) = x si x ], [ Fonction impire : si x R on rctn( x) = rctn x. Fonction dérivble sur R : f (x) = x +. Limites à l infini : lim x + rctn x = Formule utile : si x > 0, rctn x + rctn x =. et lim x rctn x = x 0 rcsin x 0 6 rccos x 6 0 x 0 + rctn x 0 6

13 EG ) rcsin x b) rccos x / / / c) rctn x / /. Fonctions hyperboliques Définitions : quel que soit x R ch x = ex + e x ; sh x = ex e x th x = sh x ch x = ex e x e x + e x = ex e x + = e x + e x Fonction sinus hyperbolique (sh) Bijection croissnte de R sur R

14 EG Fonction impire : si x R on sh( x) = shx. Fonction dérivble sur R : f (x) = ch x Limites à l infini : lim sh x = + et lim sh x = x + x Fonction cosinus hyperbolique (ch) Appliction de R sur [, + [. En prticulier ch 0 =. Fonction pire : si x R on ch( x) = ch x. Fonction dérivble sur R : f (x) = sh x Limites à l infini : lim ch x = + et lim ch x = + x + x Fonction tngente hyperbolique (th) Bijection croissnte de R sur ], [ Fonction impire : si x R on th( x) = th x. Fonction dérivble sur R : f (x) = ch x = th x Limites à l infini : lim th x = + et lim th x = x + x Reltions ch x + shx = e x ; ch x sh x = e x ch x sh x = ; th x = ch x ch(ix) = cos x ; sh(ix) = isin x cos(ix) = ch x ; sin(ix) = ish x Ces formules permettent d obtenir fcilement les formules de trigonométrie hyperbolique : pr exemple ch x = ch x + sh x ; shx = sh x ch x

15 d) e) th x EG ch x e x / sh x. Fonctions hyperboliques inverses Fonction rgument sinus hyperbolique (rgsh) Bijection croissnte de R sur R rgsh(sh x) = x si x R sh(rgsh x) = x si x R Fonction impire : si x R on rgsh( x) = rgsh x. Fonction dérivble sur R : f (x) = + x Limites à l infini : lim rgsh x = + et lim rgsh x = x + x Expression sous forme logrithmique : si x R on rgsh x = ln(x + x + ) Fonction rgument cosinus hyperbolique (rgch) Bijection croissnte de [, + [ sur [0, + [ rgch(ch x) = x si x [0, + [

16 EG 6 ch(rgch x) = x si x [, + [ Fonction dérivble sur ], + [ : f (x) = Limites à l infini : lim rgch x = + x + x Expression sous forme logrithmique : si x ], + [ on rgch x = ln(x + x ) Remrque : rgch x et rgch( x) ne peuvent exister simultnément que si x = 0. f) rgsh x g) rgch x. Intégrtion Si F est une primitive de f sur [, b], lors linérité positivité si b et f(t) 0, f(x)dx = (λf(t) + µg(t))dt = λ [ ] b F(x) = F(b) F(). f(t)dt 0 f(t)dt + µ g(t) dt

17 EG 7 croissnce si b et f(t) g(t), f(t)dt g(t) dt intégrtion pr prties u(x)v (x)dx = chngement de vrible t = v(x) [ ] b u(x)v(x) u v(x)v (x)dx = v(b) v() u (x)v(x)dx u(t) dt chngement de vrible x = g(t) où g est une bijection de clsse C de [c, d] sur [, b] : u(x)dx = d c u g(t) g (t) dt inéglité si < b, Reltion de Chsles vec f(t)dt = f(t)dt c f(t) dt f(t)dt + c f(t)dt f(t)dt = Primitive des fonctions usuelles b f(t)dt et f(t)dt = 0

18 EG 8 x x ( ) sin x cos x e x sh x ch x ln x x + + cos x sin x e x ch x shx + x rctn x x + x rcsin x (ou rccos x) ln(x + + x ) = rgsh x { ln x + x = rgch x si x > x rgch( x) si x < sin x cos x ln tn x ( x ln tn + ) tn x ln cos x cotn x ln sin x thx ln x ln ch x x ln x x On peut églement retenir que, si P(x) est un trinôme du second degré de discriminnt < 0, une primitive de /P(x) est donnée pr rctn P (x)

19 EG 9 6. Equivlents pour les fonctions usuelles () en zéro Les fonctions suivntes sont toutes équivlentes à x : (b) à + e x ln(x + ) sin x rcsin x tn x rctn x shx rgsh x th x shx ch x ex E(x) x th x rctn x (c) à shx e x ; ch x e x E(x) x th x rctn x 7. Inéglités pour les fonctions usuelles

20 EG 0 e x x x ], [ e x xn n! x [0, [ n N ln(x + ) x x ], [ sin x x x ], [ sin x x x [0, [ sin x x ], [ sin x sin y x y x et y ], [ cos x x ], [ cos x cos y x y x et y ], [ tn x x x ] /, / [ ch x x ], [ th x < x ], [ th x x x ], [ sh x x x ], [ ( + x) > + x x ], + [ ], + [ (inéglité de Bernoulli) 8. Produits sclires et vectoriels Dns ce qui suit on se plce dns E = R, identifié vec l espce vectoriel de l géométrie. Un vecteur ser noté vec une flèche et ( i, j, k ) désigne l bse cnonique. Produit sclire

21 EG C est une ppliction de E E dns R qui à un couple ( u, v ) de vecteurs ssocie un nombre réel noté < u, v >, vérifint les propriétés suivntes : () linérité pr rpport à l première vrible : quels que soient les vecteurs u, u, v, et les nombres réels λ et λ, < λ u + λ u, v > = λ < u, v > + < λ u, v > (b) linérité pr rpport à l deuxième vrible : quels que soient les vecteurs u, v, v, et les nombres réels µ et µ, < u,µ v + µ v > = µ < u, v > +µ < u, v > (c) symétrie : quels que soient les vecteurs u, v (d) positivité : quel que soit le vecteur u < u, v > = < v, u > < u, u > 0 (e) < u, u > = 0 u = 0 On note u = < u, u > l norme d un vecteur. Elle vérifie () quels que soient le vecteur u et le nombre λ, λ u = λ u (b) Inéglité tringulire : quels que soient les vecteurs u et v u + v u + v (c) u = 0 u = 0 Deux vecteurs u et v sont orthogonux si et seulement si < u, v > = 0. Bse orthonormée ( I, J, K). C est une fmille de trois vecteurs de norme et deux à deux orthogonux. Inéglité de Schwrz : quels que soient les vecteurs u et v < u, v > u v

22 EG et on églité si et seulement si u et v sont colinéires. Angle de deux vecteurs non nuls. C est l ngle θ défini pr θ = rccos < u, v > u v Coordonnées d un vecteur dns une bse orthonormée Si ( I, J, K) est une bse orthonormée, on u = < u, I > I + < u, J > J + < u, K > K Expression du produit sclire dns une bse orthonormée Si ( I, J, K) est une bse orthonormée, et si u = x I + y J + z K et v = x I + y J + z K lors et < u, v > = xx + yy + zz u = x + y + z. Ecriture mtricielle du produit sclire Si U et V sont les mtrices colonnes des vecteurs u et v dns une bse orthonormée, lors < u, v > = t U V Mtrice de chngement de bse orthonormée Soit B une bse orthonormée, et B une utre bse. Soit Q l mtrice de pssge de B à B. Alors B est orthonormée si et seulement si Q = t Q. Une telle mtrice Q est dite orthogonle et son déterminnt vut ou. Remrque On choisir dns ce qui suit de prendre le produit sclire rendnt l bse cnonique orthonormée, c est-à-dire celui qui est défini pr < u, v > = xx + yy + zz lorsque u = x i + y j + z k et v = x i + y j + z k.

23 EG Orienttion de l espce Si l on prend une bse B de mtrice P dns l bse cnonique. On dir que B est une bse directe si detp > 0, et indirecte si det P < 0. On dir que deux bses de même nture (directes ou indirectes) ont l même orienttion. Soit B et B deux bses, et Q l mtrice de pssge de B à B. Les bses B et B ont l même orienttion si et seulement si detq > 0. En prticulier, si les bses sont orthonormées, elles ont même orienttion si et seulement si det Q =. Si ( u, v, w) est une bse, où bien elle est directe ou bien ( u, v, w) est directe. Si ( i, j, k ) est l bse cnonique, lors ( j, k, i ) et ( k, i, j ) sont des bses directes, lors que ( i, j, k ), ( j, i, k ) sont des bses indirectes. Si B et B sont deux bses orthonormées directes, et si X est un système de trois vecteurs de mtrice Q dns B et Q dns B, lors detq = det Q. Produit mixte Soit trois vecteurs u, v, w. On ppeller produit mixte de ces trois vecteurs et on noter ( u, v, w), le déterminnt de l mtrice de ces trois vecteurs dns l bse cnonique. Ce produit mixte donc les propriétés du déterminnt : c est une forme linéire ntisymétrique. Produit vectoriel Soit deux vecteurs u, v. Il existe un unique vecteur w tel que, quel que soit z, < w, z > = ( u, v, z ). Ce vecteur est ppelé produit vectoriel de u et v et se note u v. On donc < u v, z > = ( u, v, z ).

24 EG Expression du produit vectoriel dns l bse cnonique Si lors u = x i + y j + z k et v = x i + y j + z k u v = (yz y z) i + (zx z x) j + (xy y x) k Formellement cel revient à développer le déterminnt suivnt pr rpport à l dernière colonne : x x u v = i y y j. z z k Propriétés du produit vectoriel () linérité pr rpport à l première vrible : quels que soient les vecteurs u, u, v, et les nombres réels λ et λ, (λ u + λ u ) v = λ u v + λ u v (b) linérité pr rpport à l deuxième vrible : quels que soient les vecteurs u, v, v, et les nombres réels µ et µ, u (µ v + µ v ) = µ u v + µ u v (c) ntisymétrie : quels que soient les vecteurs u, v u v = v u Deux vecteurs u et v sont colinéires si et seulement si u v = 0. (En prticulier u u = 0 ). De plus on l reltion u v + < u, v > = u v. Expression du produit vectoriel dns une bse orthonormée directe Si ( I, J, K) est une bse orthonormé directe, et si u = X I + Y J + Z K et v = X I + Y J + Z K

25 EG lors u v = (Y Z Y Z) I + (ZX Z X) J + (XY Y X) K. L expression du produit vectoriel est l même dns toute bse orthonormée directe. En prticulier I J = K, J K = I, K I = J. Définition géométrique Si u et v sont colinéires le produit vectoriel est nul. Sinon c est l unique vecteur w vérifint les conditions suivntes : () w est orthogonl à u et à v (b) w = u v sin θ, où θ est l ngle des deux vecteurs u et v (c) l bse ( u, v, w) est directe. Remrques ) u v est l ire du prllélogrmme construit sur les vecteurs u et v. b) l vleur bsolue du produit mixte ( u, v w) est le volume du prllélépipède construit sur les vecteurs u, v, et w. Double produit vectoriel ( u v ) w = < u, w > v < v, w > u Produit sclire de deux produits vectoriels < u v, w z > = < u, w > < v, z > < u, z > < v, w > ADDITIF Les ngles remrqubles

26 EG 6 ngle sinus cosinus tngente cotngente