Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

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1 UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé et C une application de Ω dans R On note : C : Ω R où et sont deux VA définies sur (Ω, P(Ω), P) ω ((ω), (ω)) On dit que C = (, ) est un couple de VA discrètes, ou plus simplement couple aléatoire discret, lorsque les VA et sont discrètes Exemple On lance un dé est le numéro qui sort et vérifie (Ω) = {0; } où = 0 si le numéro est pair et = si le numéro est impair Remarque : En principe, le couple C pourrait prendre une infinité (dénombrable) de valeurs, cependant, dans tous les exemples traités, nous nous contenterons d étudier des couples prenant un nombre fini de valeurs Notations : Soit C = (, ) un couple aléatoire discret On note, dans le cas fini : (Ω) = {x,, x n } et (Ω) = {y,, y m } = P( C = (x i, y j )) = P(( = x i ) ( = y j )) pour tout (i, j) [[, n] [[, m] 3 p i = P( = x i ) pour tout i [[, n] p j = P( = y j ) pour tout j [[, m] Loi conjointe, lois marginales Définition Soit C = (, ) un couple aléatoire discret L application p : (Ω) (Ω) [0, ] (x i, y j ) s appelle la loi conjointe du couple C L/S - MATH 0 - Probabilités

2 3 L application p : (Ω) [0, ] x i p i s appelle la première loi marginale du couple C (C est en fait la loi de ) L application p : (Ω) [0, ] y j p j s appelle la seconde loi marginale du couple C (C est en fait la loi de ) Remarque : Nous verrons que la loi conjointe d un couple aléatoire C détermine complètement les lois marginales de C, mais que la réciproque est fausse Théorème Soit C = (, ) un couple aléatoire discret Avec les notations précédentes, on a : m n i [[, n], p i = et j [[, m], p j = j= Remarque : On a bien évidemment : i [[,n]] les p j ) représentent la loi de (resp de ) Enfin, = = i [[,n]] j [[,m]] j [[,m]] i [[,n]] p i = et p j j [[,m]] (i,j) [[,n]] [[,m]] = i= = puisque les p i (respectivement y y y j y m Loi de x p p p j p m p x p p p j p m p x i p i p i p im p i x n p n p n p nj p nm p n Loi de p p p j p m Table représentation matricielle des lois de C Exercice On lance un dé non truqué (hypothèse d équiprobabilité) On considère les variables aléatoires et définies sur {; ; 3; ; 5; 6} par : prend la valeur 0 si le résultat est pair, et la valeur sinon prend la valeur 0 si le résultat est ou, et la valeur sinon Donner le tableau de la loi conjointe du couple (, ) et des lois marginales L/S - MATH 0 - Probabilités

3 3 Exercice Une urne contient 3 boules blanches et boules noires On tire successivement deux boules de cette urne On considère les VAR et définies par : prend la valeur si la première boule tirée est blanche et 0 sinon prend la valeur si la seconde boule tirée est blanche, et 0 sinon Donner la table de la loi conjointe de (, ) dans le cas où les tirages se font avec remise, puis dans le cas où les tirages se font sans remise 3 Lois conditionnelles Remarque : Soient C = (, ) un couple aléatoire discret, et x i, (respectivement y j ) une valeur prise par ) (respect ) telle que P( = y j ) 0 On peut considérer la probabilité conditionnelle P ( =yj )( = x i ) = P(( = x i) ( = y j )) P( = y j ) = p j Définition 3 Soit C = (, ) un couple aléatoire discret défini sur un espace probabilisé Pour tout indice j tel que P( = y j ) 0, on appelle loi conditionnelle de sachant ( = y j ), l application définie sur (Ω), à valeurs dans [0, ] par : x i P ( =yj )( = x i ) = p j Pour tout indice i tel que P( = x i ) 0, on appelle loi conditionnelle de sachant ( = x i ), l application définie sur (Ω), à valeurs dans [0, ] par : y j P (=xi )( = y j ) = p i n m Remarque : On a vu que = p j et = p i, les applications définies ci-dessus sont i= j= ( n p donc bien des lois de probabilités ij m ) p = ij = i= p j j= p i Exercice 3 On considère deux VAR et discrètes sur un univers Ω telles que (Ω) = (Ω) = {0; ; } On donne la table de la loi conjointe de (, ) et des lois marginales 0 Loi de 0 0, 0, 0, 3 0, 6 0 0, 0, 0, , 0, Loi de 0, 0, 3 0, 6 Déterminer toutes les lois conditionnelles L/S - MATH 0 - Probabilités

4 Indépendance de VAR Définition Soit C = (, ) un couple aléatoire discret défini sur un espace probabilisé quelconque On dit que les VARD et sont indépendantes si et seulement si (i, j) [[, n] [[, m], P ( ( = x i ) ( = y j ) ) = P( = x i ) ( = y j ) ou encore, avec les notations du paragraphe précédent : (i, j) [[, n] [[, m], = p i p j Exercice On lance un dé non truqué (hypothèse d équiprobabilité) On considère les VA et définies sur [[; 6] par : prend la valeur si le résultat est pair, et la valeur sinon prend la valeur si le résultat est ou 5, et la valeur sinon Compléter la table de la loi conjointe Loi de Loi de Combien y-a-t-il d égalités à vérifier pour justifier que les VARD et dont indépendantes? Remarque : Si Card(Ω) = n et Card (Ω) = m, il y a n m égalités à vérifier Par contre, pour justifier que deux VARD ne sont pas indépendantes, il suffit de montrer qu une égalité n est pas vérifiée! Définition 5 On peut généraliser cette notion à d VAR discrètes définies sur le même espace probabilisé : elles sont dites mutuellement indépendantes si et seulement si : α (Ω),, α d d (Ω), P ( ( = α ) ( d = α d ) ) = P( = α ) P( d = α d ) L/S - MATH 0 - Probabilités

5 5 5 Somme de deux VAR discrètes Le but de ce paragraphe est de déterminer la loi de la somme Z = + de deux VAR discrètes et définies sur un même espace probabilisé Ω 5 Définitions - Exemples Exercice 5 On lance un dé non truqué (hypothèse d équiprobabilité) Soient et les VAR discrètes définies par : est le chiffre obtenu et prend la valeur 3 si le résultat est un multiple de 3 et sinon Donner la loi conjointe du couple (, ), et les lois marginales Donner la loi de la VAR Z = + Remarque : Ainsi, lorsque pour une valeur z Z(Ω), on veut calculer P(Z = z), il faut considérer l ensemble I z = {(i, j) [[, n] [[, m]/x i + y j = z} Cet ensemble décrit toutes les façons d obtenir z en sommant + I z étant une partie de [[, n] [[, m] donc de N, elle est dénombrable, et en utilisant la σ-additivité de P, on a : P(Z = z) = P( + = z) = P ( ( ( = xi ) ( = y j ) )) (i,j) I z = (i,j) I z Théorème Soient et deux VAR discrètes indépendantes à valeurs dans N (ou une partie de N) La loi de Z = + est obtenue en faisant le produit de convolution de la loi de par la loi de, ie n N, P(Z = n) = P( = p) P( = q) = P( = p) P( = n p) p+q=n p 0 Exercice 6 On considère deux variables aléatoires et de loi de Bernoulli de paramètres et 3 respectivement On suppose de plus que P ({ = 0} { = 0}) = 6 Déterminer la loi du couple (, ) Les variables et sont-elles indépendantes? On pose U = + et V = Déterminer la loi du couple (U, V ), ainsi que les lois des variables aléatoires U et V Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes? Exercice 7 (i; j) Ω, Sur Ω = { ; 0; }, on considère un couple (, ) de VA tel que, pour tout 9 P ({ = i} { = j}) = 6 si i = j, si i = 0 ou j = 0 et i j, si i = j et i j L/S - MATH 0 - Probabilités

6 5 Quelques cas particuliers 6 Représenter ces données dans une table Déterminer les lois marginales de et Déterminer l espérance de, puis celle de 3 Les VA et sont-elles indépendantes? Déterminer la loi de probabilité de la variable Z = + Exercice 8 La loi d un couple (, ) de VA est donnée par le tableau suivant : Loi de Calculer E() et E ( ) 0 Loi de Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes? 3 On pose Z = + Donner le tableau de la loi de probabilité du couple (, Z) Les VA et Z sont-elles indépendantes? Quelques cas particuliers 5 Loi binomiale Théorème 3 Soient B(n, p) et B(n, p) (le paramètre p doit être le même!) deux VA indépendantes : alors + B(n + n, p) Corollaire : Considérons n VAR indépendantes qui suivent toutes la même loi de Bernouilli (ou loi Binomiale B(, p)) Alors Z = n suit la loi binomiale B(n, p) 5 Loi de Poisson Théorème Soient P(λ) et P(µ) deux VA indépendantes qui suivent des lois de Poisson ; alors + P(λ + µ) L/S - MATH 0 - Probabilités

7 53 Espérance 7 53 Espérance Théorème 5 Soient et deux VARD définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) On suppose que et possèdent chacune une espérance Alors + possède une espérance et E( + ) = E() + E( ) Pour tous réels a et b, W = a + b possède une espérance et E(W ) = ae() + b 5 Variance et covariance Théorème 6 Soit une VARD définie sur (Ω, P(Ω), P) On suppose que possède une variance Alors = a + b (où (a, b) R ) possède une variance et V ( ) = a V () Définition 6 Soient et deux VARD définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) On suppose que et possèdent chacune une variance On appelle covariance de et, notée cov (, ), l espérance du produit des VAR centrées associées à et à, ie cov (, ) = E[( E())( E( ))] Théorème 7 Avec les notations ci-dessus, on a : cov (, ) = E( ) E()E( ) Théorème 8 Soient et deux VARD définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) On suppose que et possèdent chacune une variance Alors La VARD Z = + possède également une variance V ( + ) = V () + V ( ) + cov (, ) 55 Corrélation linéaire Définition 7 Soient et deux VAR discrètes sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) On suppose que et possèdent chacune une variance non nulle On appelle coefficient de corrélation linéaire de et le nombre réel noté ρ, défini par : cov (, ) ρ, = σ()σ( ) où σ() (respectivement σ( )) est l écart-type de (respectivement de ) et σ() = V () Remarque : Il existe une inégalité (dite de Cauchy-Schwarz) en analyse qui s écrit : ( n n ) / ( n ) x i y i x / i yi i= i= i= Cette inégalité s applique ici : cov (, ) σ()σ( ) Conséquence : ρ, L/S - MATH 0 - Probabilités

8 55 Corrélation linéaire 8 Théorème 9 Soient et deux VAR discrètes sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) On suppose que et possèdent chacune une variance non nulle On a l implication et indépendantes cov (, ) = 0 et indépendantes V ( + ) = V () + V ( ) Remarque : Ces deux implications ne possèdent pas de réciproque! Exercice 9 La loi d un couple de VAR discrètes (, ) est donné par le tableau ci-dessous : ((Ω) = {; } et (Ω) = {; 3} ) 0 Loi de 3 Loi de Calculer cov (, ) et sont-elles indépendantes? 0 Exercice 0 Un dé équilibré est lancé n fois Soit la variable aléatoire égale au nombre de chiffres pairs obtenus et la variable aléatoire égale au nombre de obtenus Pour n =, explicitez la loi conjointe de et Calculez cov(; ) Dans le cas général, calculez V(), V( ), V( + ) et en déduire cov(; ) Indication pour V( + ) : quelle est la loi de +? 0 L/S - MATH 0 - Probabilités

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