Applications linéaires

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1 Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison linéaire. Définition Soit E et F deux espaces vectoriels (on supposera que l'addition est notée de la même façon dans ces deux espaces). Soit une application de E dans F. On dit que f est une application linéaire de E dans F si elle possède les propriétés suivantes :,,,, On a alors la caractérisation suivante : Soit E et F deux espaces vectoriels. Soit f une application de E dans F. f est une application linéaire si et seulement si,,,, Sens direct : Si est une AL, alors et et. Donc Sens réciproque Si,,,,, on aura en particulier pour et pour Une forme plus condensée Soit E et F deux espaces vectoriels. Soit f une application de E dans F. f est une application linéaire si et seulement si,,, Sens direct : Si est une AL, alors et Donc

2 Sens réciproque Si,,,, on aura en particulier pour et pour ) Compatibilité avec la structure d'espace vectoriel Deux résultats sont utiles. Ils concernent les opposés et l'élément neutre. Soit une AL de E dans F. Alors, On a évidemment 1 1 Soit une AL de E dans F, alors 0 0 On a pour tout dans E, 0 0 Une conséquence importante : autre caractérisation d une AL Soit E et F deux espaces vectoriels. Soit f une application de E dans F. f est une application linéaire si et seulement si,,, Sens direct : Si est une AL, alors et Donc Sens réciproque Si,,,, on aura en particulier pour et pour Or si, alors pour 1 et, on a 0 Or

3 Donc Et donc en prenant ) Exemples d'applications linéaires Exemple 1 On considère l'ensemble ₂ et l'application de cet ensemble dans définie de la façon suivante Si,. est une application de l espace vectoriel dans l espace vectoriel. On a Exemple 2 On considère les ensembles ³ et ² (qui sont des ev) et l'application de ³ dans ² définit par :,, ³, 2, Faisons la démonstration en deux étapes. Soit,, et,, deux vecteurs de. On a,,,,,, 2, 2 2, 2, 2,,,,, Si λ est un réel quelconque et,, un vecteur de, on a L'application est linéaire.,,,, 2, 2,,, Exemple 3 On considère l ensemble des fonctions dérivables sur. Soit cet ensemble. Nous savons que cet ensemble est un sous espace vectoriel de l espace vectoriel, des fonctions de dans. A ce titre c est un espace vectoriel. Soit l application de dans, qui à toute fonction de () fait correspondre la fonction de,. Soit et deux fonctions de et α et β deux nombres réels.

4 On a L application est donc linéaire. Exemple 4 On considère l espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 :. On définit sur cet espace vectoriel une application notée ϕ définie de la façon suivante : Si, est la fonction définie pour tout réel par : 2 Nous savons que si est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2. L application est une application polynôme de degré inférieur ou égal à 3. apparaît alors comme la somme de deux polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Donc est une application de l espace vectoriel dans lui-même. Soit et deux éléments de et,. Soit α un nombre réel quelconque. On aura pour tout réel 2 2 Soit et. On a pour tout réel : On a donc Et donc L application est une application linéaire de dans. On dit que c est un endomorphisme de. Exemple 5 Au collège on appelait application linéaire toute application de dans de la forme : Une application linéaire est bien linéaire. En effet a une structure d espace vectoriel. On a pour tout couple de réels, et pour tout nombre réel λ : Mais dans, ces applications sont les seules applications linéaires Una application affine n est pas linéaire. Prenons. La fonction carrée n est pas linéaire : si on a par exemple : 2 2 4

5 Donc ) L'ensemble des applications linéaires On note, l'ensemble des applications linéaires de l espace vectoriel E dans l espace vectoriel F. On a alors le résultat suivant :, ) a une structure d'espace vectoriel sur. On peut en effet définir la somme de deux applications linéaires de E dans F de la façon suivante : Si,,,, l application somme est notée et est définie par, On peut également définir le produit par un réel d une application de, de la façon suivante : Si, et si, l application notée est définie par :, On peut remarquer que ces deux définitions sont celles que l on rencontre habituellement pour parler de fonction somme de deux fonctions, et fonction produit par un réel. L ensemble des applications linéaires de E dans F est un sous-ensemble de l espace vectoriel des fonctions de E dans F (les applications linéaires sont des fonctions particulières de E dans F). Il est non vide, puisque la fonction nulle de E dans F est une application linéaire. Notons cette application nulle de E dans F. C est l'application définie par :, 0 Soit, un couple d'éléments de E et α un nombre réel. 0 Et Donc Montrons que l'ensemble, est stable par addition : Soit et deux éléments de,, soit et deux éléments de E et α un réel. On a par définition de l application somme : Or les applications et sont linéaires donc On en déduit que L application est donc linéaire : l ensemble, est stable par addition.

6 De même montrons que l'ensemble, est stable par la multiplication par un nombre réel. Soit f un élément de, ; un nombre réel, soit et deux éléments de E et α un nombre réel. On a par définition de l application : Or l application est linéaire, donc : On a donc L application est linéaire. 1.5) Des cas particuliers importants De façon générale une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est appelée morphisme d'espaces vectoriels (parce qu'elle se «moule» dans la forme d'espace vectoriel). Si E = F, on dit qu'il s'agit d'un endomorphisme. Définition Si est un espace vectoriel, on appelle endomorphisme toute application linéaire de dans. On note l'espace vectoriel des endomorphismes de. Un autre cas intéressant est celui des applications linéaires bijectives d'un ev dans un ev. Définition Soit et deux espaces vectoriels. On appelle isomorphisme toute application linéaire bijective de dans. On note, l'ensemble des isomorphismes de dans. Enfin un endomorphisme bijectif est appelé automorphisme. Définition Soit un espace vectoriel. On appelle automorphisme toute application linéaire bijective de dans. On note l'ensemble des automorphismes de. 1.6) Composition des applications linéaires On considère trois espaces vectoriels, et. Soit, et,. On considère l'application de dans définie par Nous savons que si est une application de dans et une application de dans, alors est une application de dans. E F G

7 Montrons que cette application est un élément de,. On considère deux éléments et de E et un réel α. On a par définition de la composition : La fonction est linéaire donc : La fonction est linéaire donc : On a donc La fonction est bien linéaire. On a donc le théorème suivant : : Soit, et,, alors appartient à,. 1.7) Application réciproque d'un isomorphisme On considère un isomorphisme d'un espace vectoriel dans un espace vectoriel. Puisque est une bijection, elle admet une bijection réciproque notée ¹. Montrons que cette bijection réciproque est une application linéaire (et donc un isomorphisme) de sur. On a par définition : ¹ Soit et deux éléments de et α un nombre réel. Soit ¹ et ¹. On a donc : Or l application est linéaire, donc : ¹₁ ₂ Par définition de, on a : Donc La bijection réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme II) Applications linéaires en dimension finie 2.1) Un isomorphisme bien utile On considère l'espace vectoriel ⁿ qui est composé des -uplets de réels de la forme,...,. On peut associer à tout -uplet le vecteur colonne (c'est-à-dire un élément de, ) composé des mêmes nombres que ceux du -uplet :,,,

8 Il est facile de vérifier que cette application est linéaire. Elle est évidemment bijective. On dit que c'est l'isomorphisme canonique de ⁿ dans,. 2.2) Application linéaire associée à une matrice Considérons une matrice à lignes et colonnes (, ). Soit,..., un vecteur de. On lui associe canoniquement à la matrice colonne qui appartient donc à,. Le produit matriciel de par est possible et donne une matrice colonne à lignes. Par exemple si, avec Pour tout triplet,, de ³, on associe canoniquement On a On a en fait procédé aux étapes suivantes : 2 3,, 2 3, De façon générale, on crée ainsi une application de dans ⁿ dont nous allons montrer qu'elle est linéaire. Bien entendu, les deux isomorphismes permettant de passer des vecteurs lignes aux vecteurs colonnes et réciproquement sont des applications linéaires. Compte tenu de la propriété concernant la composée d'applications linéaires, il suffit de prouver que l'application qui fait correspondre au vecteur colonne le vecteur colonne A est une application linéaire. Nous ne ferons cette démonstration que dans le cas particulier où 3. Soit l'application qui à tout de, fait correspondre le vecteur colonne A. On a donc Soit et deux éléments de, et un nombre réel. On a

9 La démonstration est bien évidemment identique si est quelconque. Un cas particulier important : les endomorphismes associés aux matrices carrées. On dispose d une matrice carrée d ordre. Montrons comment on crée une application linéaire à partir de cette matrice. Nous ne montrerons la démarche que sur un exemple. On procèderait de même façon dans le cas général On considère la matrice Pour créer une application linéaire de ³ dans ³, on fait d abord correspondre à tout triplet,,, le vecteur colonne, puis le vecteur colonne On fait ensuite correspondre à ce vecteur colonne le vecteur ligne canoniquement associé : On a ainsi défini une application linéaire de ³ dans ³, c'est-à-dire un endomorphisme de ³ par :,, 3, 2 2, 2.3) Inversibilité et bijectivité Quel rapport y-a t'il entre une application linéaire bijective et une matrice inversible? L'inversibilité n'est envisageable que dans le cas des matrices carrées. Soit une matrice carrée inversible d ordre. On considère alors l'endomorphisme associé à la matrice comme on l a vu dans la partie précédente. Appelons l'isomorphisme canonique de : Et donc,,,,,,,,,, Soit l'endomorphisme de, défini par : On a en rassemblant les différentes étapes :

10 On a donc On peut écrire aussi,,, ¹ ¹,,, La bijectivité de est équivalente à la bijectivité de. Posons Dire que g est bijective c'est dire que quel que soit le vecteur colonne de,, il existe un vecteur colonne et un seul de, tel que. (l'existence correspond à la surjectivité, l'unicité l'injectivité). Autrement dit,, il existe un unique de, tel que : C est ce que nous allons montrer dans le cas où est inversible. Si est inversible, l'égalité est équivalente à ¹ On a bien Donc est bien un antécédent de par l application. Montrons que cet antécédent est unique.

11 Pour cela démontrons que si et ont la même image par alors ils sont égaux. Si alors donc Et donc On a donc un premier résultat partiel : Si la matrice A est inversible, l'application g et donc aussi l'application f est bijective. Nous démontre à partir des systèmes linéaires la réciproque de cette propriété. On peut alors énoncer le théorème suivant : Soit A une matrice carrée d'ordre n et f l'endomorphisme de ⁿ associé à A. f est bijectif (c'est-à-dire est un automorphisme) si et seulement si la matrice A est inversible On a ainsi un critère simple pour tester la bijectivité de f. 2.4) Noyau d'une application linéaire Définition Soit E et F deux espaces vectoriels et une application linéaire de E dans F. On appelle noyau de Exemple : l'application l'ensemble des vecteurs de E dont l'image est le vecteur nul de F. On note cet ensemble. On a donc, 0 Considérons la matrice et l'application linéaire de ³ dans ² associée à cette matrice. Déterminons l image par d un triplet,, par. On a : On a donc

12 :,, 2 3, 2 Le noyau de est donc l'ensemble des triplets,, de ³ tels que 2 3, 2 0,0 Ce qui donne On transforme ce système par le pivot de Gauss : On en tire Donc Et donc Ce qui donne L'ensemble des vecteurs,, de ³ qui remplissent la relation,, 0,0 est donc constitué par les vecteurs du type :,,,, 1, 1,1 Il s'agit donc du sev engendré par le vecteur 1, 1,1. On a 1, 1,1 On a le théorème suivant : Soit E et F deux espaces vectoriels et,, alors est un sev de E On a par définition Nous avons vu que 0 0, donc. Soit et deux vecteurs appartenant à et α un réel. On a : Donc ker 2.5) Noyau et injectivité Soit E et F deux espaces vectoriels et une application linéaire de E dans F.

13 est injective si et seulement si 0 Ce théorème est très important. Sens direct Dire que est injective c'est dire que chaque élément de E a une image qui lui est propre, ou encore que si deux éléments de E ont la même image, ils sont égaux. Prenons dans. On a 0, mais on a aussi 0 0 donc 0 et d'après l'injectivité 0. Donc le seul élément de est 0. Sens réciproque Supposons que ne contienne que 0. Cela signifie que si un vecteur est tel que 0 alors ce vecteur est nul. Prenons deux vecteurs et qui ont la même image. On a donc, donc 0 et par linéarité 0. Ce qui conduit alors à 0 et en définitive à. Donc est bien injective. 2.6) Image d'une application linéaire Définition Soit E et F deux espaces vectoriels et,. On appelle image de et l'on note (ou parfois ) le sous-ensemble de F constitué par l'ensemble des images des éléments de E par f. Remarque : Le noyau est un sous-ensemble de l'ensemble de départ, l'image est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée. On a, Dire qu'un vecteur de F appartient à c'est dire qu'il existe au moins un vecteur de E tel que. est un sous-espace vectoriel de F Démonstration : n'est pas vide. En effet 0 puisque 0 0. est inclus dans F par définition. Soit ₁ et ₂ deux éléments de et α un nombre réel, montrons que est un élément de. Il faut donc trouver un vecteur de E dont l'image est. ₁ donc il existe ₁ tel que ₁ ₁. ₂ donc il existe ₂ tel que ₂ ₂. Posons ₁ ₂. On a ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

14 Donc ₁ ₂ Exemple 1 : 1) On considère l'application de ² dans ³ définie par :,,, 2 a) Montrer que est une application linéaire associée à une matrice que l'on déterminera. b) Déterminer le noyau de. c) Déterminer l'image de On cherche une matrice qui transforme par multiplication un vecteur colonne en un vecteur colonne. 2 Déterminons le format de. Comme permet de créer une correspondance entre ² et ³, ce doit être une matrice de????,. Donc??. Il faut donc que?????? On a clairement L'application f est donc linéaire comme application associée à une matrice. b) Le noyau de est l'ensemble des vecteurs de ² dont l'image est égale au vecteur nul de ³., ²,, 0,0,0, ²,,, 2 0,0,0 0, ², Ce système conduit évidemment à 0. Donc le seul vecteur du noyau est le vecteur nul de ². 0,0 L'application f est donc injective. c) Déterminons l'image. On a,,, ² On prend un élément quelconque,, de ³. La question est de savoir s'il appartient à ou sinon quelle(s) condition(s) il doit remplir pour appartenir à. Dire que,, appartient à, c'est dire que l'on peut trouver deux réels et tels que,,, On a alors

15 Ce qui conduit au système 2 La troisième équation donne En remplaçant dans la deuxième on trouve,, 2,, Pour que système soit possible, il faut que les valeurs trouvées pour et remplissent aussi la première équation. A savoir : On en tire Ou encore Tous les éléments de ne sont pas dans. Seuls ceux qui remplissent la condition précédente en font partie. Donc,, signifie que,,,, 1,0,1 0,1,1. Im(f) est un sous-espace vectoriel de ³ dont (1,0,1) et (0,1,1) forment une famille génératrice. (Ce qui signifie que seuls les triplets de réels qui peuvent s'écrire comme combinaison linéaire de ces deux triplets ont un antécédent par, et aussi que l'on est sûr qu'un tel triplet a bien un antécédent). 1,0,1, 0,1,1 Exemple 2 : On considère la matrice et l'endomorphisme de ³ associé à. Démontrer que la famille constituée par les vecteurs ₁ 1,1,0, ₂ 2, 4,3, ₃ 1,5, 3 correspondant aux vecteurs colonnes de cette matrice est une famille génératrice de. Autrement dit un vecteur de ³ appartient à si et seulement si on peut l'écrire comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs. Détaillons d'abord l'application. On a Donc est l'endomorphisme de ³ défini par,, 2, 4 5, 3 3 Un vecteur,, de ³ appartient à s'il est image par d'un vecteur,, de ³, c'est-àdire s'il existe trois nombres réels, et tels que f,,,,, ou encore

16 On peut alors écrire 2, 4 5, 3 3,,,,,, 0 2, 4, 3, 5, 3 1,1,0 2, 4,3 1,5, 3 ₁ ₂ ₃ Donc tout vecteur de s'écrit bien comme combinaison linéaire de ₁, ₂ et ₃. Réciproquement, si l'on considère un vecteur de ³ qui s'écrit comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs, montrons qu'un tel vecteur appartient à. Soit 1,1,0 2, 4,3 1,5, 3 2, 4 5, 3 3 Il est clair que,, et donc. Remarque : Ce résultat est tout à fait général. Nous en proposerons une autre démonstration plus tard. Soit une matrice de, et l'application linéaire de dans associée à cette matrice. La famille de vecteurs de obtenue à partir des vecteurs colonnes de la matrice est une famille génératrice de. 2.7) Image et surjectivité Soit une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F. L'application est surjective si et seulement si. Nous savons que. Dire que l'application est surjective c'est dire que tout élément de F a au moins un antécédent, autrement dit que, il existe au moins un élément de E tel que, ce qui signifie que, et donc tout élément de F est dans, ou encore que. Et donc puisque nous avons à la fois et, on a bien. Réciproquement, si cela signifie que tout élément de F est l'image d'un élément de E et donc que est surjective. III) Applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie 3.1) Etude du cas général Soit et deux espaces vectoriels de dimensions respectives et. On considère une application,.

17 Soit,, une base de et,, une base de. Posons,,. Les vecteurs,, sont des vecteurs de. Considérons un vecteur de. Il existe donc un vecteur de dont est l image. s écrit sous la forme : Donc Donc la famille,, est une famille génératrice de. Soit une application linéaire d un espace vectoriel de dimension dans un espace vectoriel. Soit,, une base de et,,, les images des vecteurs,, par. Alors la famille,, est une famille génératrice de. Considérons maintenant les coordonnées des éléments de la famille,, dans la base,,. Pour écrire ces coordonnées, nous utiliserons un principe de double indexation. On écrira par exemple : Si alors nous avons vu que On peut écrire avec le symbole Σ : Et Donc La ième composante du vecteur est 1,,

18 Ecrivons la matrice de la famille,, dans la base,,. fait le produit par un vecteur colonne à lignes, on obtient un vecteur colonne à lignes. La ième composante du vecteur colonne s obtient en faisant la somme des produits de la ième ligne de la matrice par les éléments du vecteur Soit,,, Ce qui donne On reconnaît la composante de dans le vecteur. Ce produit matriciel donne donc le vecteur image. On passe de en effectuant le produit de la matrice par le vecteur colonne. On dit que est la matrice de l application linéaire relativement aux bases et. On écrit, Définition : Soit,, et étant deux espaces vectoriels de dimensions respectives et. Soit,, une base de et,, une base de. Soit la matrice des composantes des vecteurs,, dans la base. Cette matrice est appelée matrice de l application linéaire relativement aux bases et. Avec les notations précédentes, soit un vecteur de de composantes,, dans la base. Soit. Posons. Alors. Exemple Considérons l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 2 et l application de qui à toute matrice associe le couple, 2 de.

19 On démontre facilement que est une application linéaire de dans. Considérons la base canonique de : , , , Et la base canonique de 1,0, 0,1 On a 1,1 0, ,1 0 1, 1 1 La matrice de l application relativement à ces deux bases est donc : Remarque : en écrivant Et en passant aux vecteurs colonnes, on obtient : Résultat qui confirme bien ce que nous attendions. 3.2) Le cas particulier des applications linéaires de dans Nous allons examiner cette question à partir d un exemple. On considère l application linéaire de dans associée à la matrice Nous savons que l image d un vecteur,, de s obtient à partir du produit matriciel On a On a donc,, 2, 5, 2 2, 2 3 Considérons la base canonique de 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 et la base canonique de 1,0,0,0, 0,1,0,0, 0,0,1,0, 0,0,0,1. On aura 1,1,2,2 1, 5,1,3 2,1, 2, 1 On reconnaît les colonnes de la matrice.

20 On aurait pu s en «apercevoir plus vite». En effet : Et de même pour les deux autres colonnes. Cette remarque est très générale. Elle justifie le résultat suivant : Soit, associée à une matrice de,. Soit la base canonique de et la base canonique de. On a :, Ce résultat provient du fait que quand on multiplie une matrice à lignes et colonnes par un vecteur colonne contenant 1 «0» et un «1» placé au rang, on obtient la ième colonne de la matrice. Dans le cas d un endomorphisme, la seule différence est que = Par exemple si est l endomorphisme de associé à la matrice 4 5 6, on a dans la base canonique de : ) Noyau et Image en dimension finie Soit une application linéaire d un espace vectoriel de dimension dans un espace vectoriel de dimension. On sait que ker est un sev de donc dimker On sait que est un sev de donc Certains cas particuliers sont intéressants. dim Si dimker 0, cela signifie que ker ne contient que le vecteur nul de 0. Alors est injective, d après ce que nous avons vu précédemment. La réciproque est évidemment vraie. En dimensions finies, est injective si et seulement si dimker 0

21 Si dimker, alors ker (c est un sev de de même dimension que il est donc égal à. Donc, ker et donc 0. L application est l application nulle. La réciproque est vraie : si est l application nulle,, 0 et donc ker. Donc ker et dimker dim On a des résultats de même nature pour l image. Si dim 0, alors 0. Donc, 0. L application est l application nulle. La réciproque est évidemment vraie. Si dim, alors on aura et donc est surjective. Ce cas est intéressant, car nous devons nous rappeler que si,, est une base de, nous avons montré que,, est une famille génératrice de. Si l application est surjective, alors, et donc cette famille est une famille génératrice de. Or toute famille génératrice dans un espace vectoriel contient au moins autant de vecteurs que la dimension de l espace. On a donc dans ce cas nécessairement. 3.4) Le cas des endomorphismes On considère un endomorphisme d un espace vectoriel de dimension. Soit,, une base de. Si est une application surjective, alors,, est une famille génératrice de qui est égal à, donc puisqu il s agit d une famille de vecteurs, c est une base de. Considérons alors deux vecteurs et de tels que. Posons On a alors Si, comme,, est une base on a : Et donc l application est injective. Toute application surjective est donc injective, et donc bijective. Mais comme toute application bijective est surjective, on en déduit qu un endomorphisme dans un espace de dimension finie est bijectif si et seulement si, il est surjectif. Si est un endomorphisme injectif, ker 0. Supposons que cet endomorphisme ne soit pas surjectif, cela signifierait que. Donc dim. La famille de vecteurs,, est une famille génératrice de qui contiendrait plus de vecteurs que la dimension de : elle ne pourrait donc pas être libre. Si

22 elle est liée, cela signifie qu il existe un vecteur au moins de cette famille qui est soit nul, soit s exprime comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille. Supposons que l un des vecteurs soit nul, par exemple. On aurait alors 0 et ker. Ce qui est contradictoire avec ker 0. Supposons que par exemple s exprime comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille. On pourra écrire On aura alors Donc Mais 0 ker 0 Ce vecteur n est pas nul puisqu il a au moins une composante non nulle. Nouvelle contradiction. Donc la famille,, est libre et donc. L application est donc surjective. Toute application injective est donc surjective, et donc bijective. Mais comme toute application bijective est injective, on en déduit qu un endomorphisme dans un espace de dimension finie est bijectif si et seulement si, il est injectif. Bien entendu les démonstrations et les résultats sont les mêmes si est une application linéaire d un espace vectoriel dans un espace vectoriel de même dimension que. On a le théorème suivant : Soit une application linéaire d un espace vectoriel de dimension dans un espace vectoriel de même dimension que (éventuellement égal à. Cette application est bijective si et seulement si elle est injective, ou si et seulement si elle est surjective. Et entre des espaces vectoriels de dimensions différentes, peut-il exister un isomorphisme? Soit de dimension et de dimension. Soit une application linéaire de dans dont on voudrait qu elle soit bijective. On considère une base,, de. On sait que,, est une famille génératrice de. Si est surjective, alors et donc nécessairement. Nous avons déjà vu ce

23 résultat. Si, alors la famille,, n est pas libre. Elle est liée et nous avons vu plus haut que cela impliquait nécessairement que le noyau contenait d autres vecteurs que le vecteur nul. L application ne peut pas être injective. Il faut donc que. Il ne peut pas exister d isomorphismes entre deux espaces vectoriels de dimensions différentes. 3.5) Matrices d isomorphismes Nous savons déjà qu un isomorphisme ne peut se concevoir qu entre espaces vectoriels de même dimension et donc que la matrice associée relativement à des bases de chacun des espaces vectoriels est nécessairement une matrice carrée dont l ordre est la dimension commune des deux espaces. Nous savons également que les colonnes de cette matrice sont constituées par les composantes des images des vecteurs de la base de dans la base de. Si l on nomme les deux bases,, et,,, cette matrice apparaît donc comme la matrice de la famille,, dans la base,,. Or nous savons que l application linéaire est un isomorphisme si et seulement si la famille,, est une base de. Ce qui est équivalent à dire que la matrice est inversible. Soit et deux espaces vectoriels de même dimension rapportés respectivement à des bases et. Soit une application linéaire de dans et la matrice de relativement aux bases et. L application linéaire est bijective si et seulement si la matrice est inversible. 3.6) Le théorème du rang On considère deux espaces vectoriels et. On suppose que dim. Soit,. On suppose que n est pas injective et n est pas l application nulle. Alors le noyau de est un sous-espace vectoriel de de dimension strictement positive. Soit dimker. On a donc 0 Soit,, une base de ker. D après le théorème de la base incomplète, on peut trouver vecteurs de,,, tels que la famille,,,,, soit une base de. Rappelons que la construction des vecteurs,, se fait de la façon suivante : Comme, il existe au moins un vecteur non nul que l on nommera appartenant à mais n appartenant pas à ker. La famille,,, est libre. En effet prenons 1 nombres réels,,, 0 Nécessairement 0. S il n en était pas ainsi on pourrait écrire : 1 Dès lors s écrirait comme combinaison linéaire des vecteurs,, et donc on aurait ker. Ce qui est impossible. On a donc

24 0 Mais comme,, est une base de ker, on a 0. La famille,,, est donc libre. On appelle le sous espace vectoriel de engendré par cette famille. La famille,,, est donc une base de ce sous espace puisqu elle est par définition génératrice pour ce sous-espace et libre comme nous l avons vu. Si 1, alors est un sous-espace de de même dimension que c est donc lui-même et la famille,,, est alors une base de. Si 1, cela signifie qu il existe un vecteur non nul appartenant à, mais pas à. On recommence alors le même raisonnement. Et ainsi de suite. On ajoute des vecteurs jusqu à ce que l on atteigne le nombre fatidique d une famille de vecteurs qui constitue une base de. On dispose donc maintenant d une base de dont les premiers vecteurs forment une base de ker. Appelons le sous-espace vectoriel de engendré par la famille,,. Considérons l application de dans définie par :, On a,,, L application est donc linéaire. Montrons que est injective. Soit et tels que On a 0 ker Mais, donc ker. Or le seul vecteur commun à ker et est 0. Donc 0 Et donc Donc l application est injective. Puisque c est une application linéaire entre espaces de dimensions finies, c est un isomorphisme et donc les deux espaces ont la même dimension. On en déduit que dim dim Et donc dim Ce que l on peut écrire Ou encore dim dim dim ker dim dimker dim Cette formule est aussi vérifiée si est injective d après ce que nous avons vu plus haut.

25 On appelle rang de l application la dimension de. On obtient ainsi le très important théorème du rang : Soit et deux espaces vectoriels tels que soit de dimension finie. Soit,. On a dim dimker dim

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