Méthodologie Causal de modélisation et de commande : application aux machines électriques

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1 Méthodolog aual d modélaton t d command : applcaton aux machn élctqu K. Hatan, Y. Mloud, A. Mloud Unté Taha Moulay d Sada, ALGERIE Kada_hatan@yahoo.f, Yahamlouddz@yahoo.f, amlouddz@yahoo.f Réumé : La command d'un pocu détmn claqumnt à pat d'un modèl mathématqu donné ou d fom d: équaton dfféntll, foncton d tanft, lux d tanft, tc. L appoch claqu donnnt d nfomaton tant quanttat qu qualtat u l ytèm à modél. Dan l ca d ytèm complx d'aut appoch ont été déloppé pou focal u l'apct qualtatf. La noton d Gaph appaaît alo natullmnt pou nfom u l laton d cau à fft nt l aabl du pocu. D outl utlé pou délopp un modélaton n u d la command, un plac patculè étant éé au Gaph Infomatonnl aual (GI). L GI t un popoton d ymbolm t d méthodolog pmttant d mplf t d tuctu la command. Dan c taal on donn un péntaton d pncp du GI t l'applcaton d c dn dan la modélaton d machn élctqu t la tuctuaton d lu command ou l nonnmnt MATLAB /SIMULINK. Mot clé : Gaph Infomatonnl aual, Modélaton, ommand d machn à couant contnu, machn aynchon. Intoducton La concpton d'un dpotf d command po u un analy péalabl d dépndanc nt gandu à contôl t gandu d contôl. L'appoch pa d gaph nfomatonnl conttu un ad pécu dan ctt démach. L Gaph Infomatonnl aual t outl d dcpton qualtat d phénomèn lé à un ytèm donné. Il pmt d'abod l'élaboaton d'un modèl pou l ytèm an qu la command d clu-c. Bn connaît un ytèm (n ao un modèl) c't êt capabl d ao commnt éaga l pocu -à- d nté. D'un pont d u command, ao un modèl c't ao qull ont l cau t qul ont l fft. On poua donc défn qull t la bonn cau à foun pou obtn l'fft déé. L GI pmt un déducton d lo d command. tt opéaton ytématqu t applé l'non. La pmè pat d c taal t conacé à la péntaton d pncp du GI.

2 La duxèm pat d c taal t dédé à un command n t d la machn à couant contnu. tt command claqu, t dédut à l'ad du gaph nfomatonnl caual (GI). On a cho comm un pmè applcaton la command d la machn à couant contnu. tt dnè t condéé, mêm aujoud'hu, comm l'actonnu d éfénc (notammnt pou la mplcté d on modèl). La duxèm aon dan c chox t au lé au fat qu l modèl d la machn à couant contnu t bn connu t mpl. Il nou pmt d'llut l GI, dont un péntaton détallé t donné dan l paagaph 3. Nou nou contnton, dan la toèm pat, d'utl l pncp d ct outl gaphqu à la modélaton t la tuctuaton d la command n coupl d'un machn aynchon.. L Gaph Infomatonnl aual L GI t un outl d dcpton qualtat d phénomèn lé à un ytèm donné. Son ntéêt t doubl: l pmt d'abod l'élaboaton d'un modèl pou l ytèm an qu la command d clu-c. La contucton d'un gaph nfomatonnl caual modélant un pocu t baé u l tct pct du pncp d caualté d ytèm phyqu. Un laton nté-ot caacté un objt phyqu, pénté pa un pocu. L laton utlé clant n dux catégo: l laton gd t l laton caual. Rlaton aual Rlaton Rgd Fgu. Pocu élémnta du GI Un pocu t l uppot d'un laton nt un ou pluu gandu nflunt t un gandu nfluncé. tt laton pct l pncp d caualté natull qu égt l fonctonnmnt d tout objt phyqu. La ot d'un pocu n dépnd qu d alu pént t paé d nté. Un tll fomulaton nt à xpm la caualté ou fom ntégal. On tnt à xpm la caualté ntégal: - un objt accumul d l'nfomaton, la caualté t ntn: la ot t nécamnt un foncton d l'état éngétqu, la laton alo onté t caual. L tmp t l'état ntal ont d nté mplct non pénté. L pocu t alo un bull mun d'un mpl flèch ymbolant un laton non nbl.

3 - un objt n'accumul pa d'nfomaton, la caualté t xtn. La ot t foncton ntantané d l'nté, la laton qu n't pa onté t alo gd. L pocu copondant t un bull ac doubl flèch. L objt éngétqu A l'ad d c pocu élémnta, l t pobl d défn pluu typ d'objt uant lu foncton éngétqu: - l ouc ont d objt à caualté mplct dan l n où la gandu d ot t ndépndant d la gandu d'nté. - l accumulatu ont d objt à caualté ntn: l'éng foun à l'objt, ou fom cnétqu ou potntll, t cont ou a fom dual pa accumulaton. An, pou un bobn, la gandu nflunt t nécamnt la tnon qu lu t applqué alo qu l flux t la aabl nfluncé péntant l'état éngétqu. On tou n Fgu qulqu xmpl claqu d laton caual. Φ Q,, ω ω Φ Q ω dφ = dq dω = J = J Fgu. Exmpl d laton caual - l dpatu ont d objt à caualté xtn, ca établ unqumnt pa l contxt d lu m n œu. L'éng, appoté ou un fom qulconqu, t totalmnt dpé n chalu: la étanc n élctcté, l dpotf à fottmnt quux n mécanqu R ω, ω, ω, ω, () ω () (ω ) ( ) = R = ( ) f Fgu 3. Objt à caualté xtn ω ω ω = f ( ω ) () ω ) ( ω ω

4 - l objt d couplag nut ont d dpotf auant l tanft d puanc d'un goupmnt à un aut, an pt n accumulaton d'éng. tt nutalté ntaîn la conaton d la puanc ntantané t n'ndut pa la caualté qu t donc xtn. L objt nut punt êt d dux goup. On pal d modulatu l'nté t la ot ont d mêm natu éngétqu (cnétqu ou potntll) non, l 'agt d'un gatu.,ω,ω m f m ω ω = = ω = ω ac = m = f ω = mω t t t = m = f = m ac m : appot d tanfomaton f : foncton d conon / m : appot d éducton Fgu 4. Objt d couplag nut. La contucton d'un modèl A pat d c objt élémnta, l t pobl d tac l gaph complt qu a don l modèl GI d ytèm condéé. modèl poua êt xploté pou la mulaton [Gu-98] ou pou élabo un lo d command [Hau-99] d pocu. L modèl contut n 5 étap: - Local l ouc t objt accumulatu, détmn lu gandu nflunt t nfluncé. - Local l dpatu, détmn lu gandu nflunt t nfluncé à pat d ot d ouc t accumulatu.

5 - Local l objt nut, détmn lu gandu nflunt t nfluncé à pat d ot d ouc t accumulatu - Etabl l Gaph n ntconnctant l nté t l ot. - Explct l laton. L Gaph an obtnu t un modèl du pocu. Bn connaît un ytèm (n ao un bon modèl) c't êt capabl d ao commnt éaga l pocu -à d nté. D'un pont d u command, ao un modèl c't ao qull ont l cau t qul ont l fft. On poua donc défn qull t la bonn cau à foun pou obtn l'fft déé. L GI pmt un déducton d lo d command. tt opéaton ytématqu t applé l'non..3 L modèl d la command Pou la concpton d la command d'un pocu on applqu l pncp d'non caual [Hau-99]: "ommand un pocu c't lu mpo la tajcto déé. tt tajcto t l'fft d'un cau d ot qu'l ufft alo d cé la bonn cau pou ao l bon fft". - L pncp d'non: L'non d la laton aocé à un pocu détmn un laton d command ll-mêm aocé à un aut pocu. Rlaton gd: un laton gd bjct détmn un lo d command pa non dct. La fgu 5. (a) llut c pm pncp qu condut à détmn la gandu d églag ureg à pat d la tajcto d éfénc yf ouhaté pou y. Il nt: ( f R y = f (u) ; R u = c y ) REG c = f t u = ureg alo y yf Rlaton caual: Dan un laton caual, l tmp ntnt mplctmnt d ot qu l'fft d'accumulaton ndut ytématqumnt un alu ntal. Dan c conon, la gandu d églag détmn u REG t élaboé n pnant n compt, à tout ntant, la tuaton d y pa appot à a éfénc y f. cond pncp lluté à la fgu 5. (b) t clu d l'amnt qu, ant à mnm l'écat = yf y, détmn un lo d command pa non ndct. Il nt: R y = f (u) ; R u = c( y y) REG c t u = ureg alo y yf f

6 u y u y PROESSUS u REG y f u REG OMMANDE y f Fgu 5. Pncp d'non Pou llut ctt démach on uppo qu'on dot élabo la command du pocu pénté à la Fgu 6. typ d pocu t tè ount nconté dan l doman d la command d machn élctqu (xmpl: la pat élctqu d'un machn à couant contnu ou un chag mécanqu ac éductu). command d t d pocu y f / k y f + + u + + P y k y Fgu 6. Illutaton du pncp d'non Pu pct l pncp d'non, tout ptubaton d dot êt compné ot pa mu dct, ot pa un tmaton d t. Pou tou la command d'un acton caual P on t d'un amnt, donc d'un coctu. Un acton gd, ymbolé pa l gan k, a on n / k dan la pat command. On uppo un captu déal an qu l contu d puanc d coffcnt unta. L gaph nfomatonnl caual (GI) t un fomalm tè appopé pou llut ctt appoch. Pou ctt aon on l pént n paallèl ac l chéma fonctonnl: d u y y PROESSUS u REG y f y f OMMANDE d t Fgu 7. Exmpl du pncp d'non pa l GI

7 3. Applcaton à la machn à couant contnu 3. ontucton du modèl L modèl d la machn à couant contnu t dédut d l'analy pa l lo phyqu (lo d Faaday, lo d'ampè, lo d'ohm, ). lo phyqu condunt d'abod à l'équaton élctqu d noulmnt d'ndut, lant l couant à la tnon d'ndut u c (n uppoant la machn t almnté pa un contu tatqu délant un tnon u c ) t à la f.é.m., au ta d la étanc R t d l'nductanc L d l'noulmnt: d L = u R () c Vnt nut la laton d conon élctomécanqu d l'ntacton tatooto, lant la f.é.m. à la t Ω d'un pat, l coupl élctomagnétqu au couant d'aut pat, au ta d la mêm aabl k lé au flux nductu Φ : = kφω () = kφ (3) La machn qu nou condéon t un machn à couant contnu à xctaton épaé (à amant pmannt) donc kφ t un contant, applé dan la ut k Φ. La lo fondamntal d la mécanqu débouch u la laton lant la t Ω aux coupl élctoma-gnétqu t d chag, à ta l'nt J t du coffcnt d fottmnt quux f d l'ab du oto: J dω = f Ω (5) L GI d la Fgu 8 dédut d'apè l laton () à (4). u c Ω kφ Ω Fgu 8. GI d la machn à couant contnu

8 3. Elaboaton d la command Pou tou la command l ufft d'n la caualté: "d tou la bonn cau pou podu l bon fft" (pncp d l'non d la caualté). Un laton gd t dctmnt né, t un laton caual t ndctmnt né au ta d'un amnt. L GI d la command t donné à la Fgu 9. Un hypothè mplfcatc t fat: captu t con-tu tatqu déaux. uc Ω kφ Ω PROESSUS t kφ t t OMMANDE u g f f Ω f Fgu 9. GI d la command d la machn à couant contnu OMMANDE PROESSUS y f + () PM t f f / k Φ PE () t + u g = u c + () P E k Φ + () P M Ω k Φ Fgu 0. ommand claqu d'un machn à couant contnu L tablau donné c-dou donn l laton d la command dédut d cll du pocu. Dan la pat command, l compnaton néca (d la f.é.m. t du coupl d chag) punt fa pa d gandu mué (au moyn d captu) o tmé (conttué u la ba d'un modèl tmp él). La fgu 0 donn dux xmpl d'obaton applqué à la machn à couant contnu.

9 J dω Tablau. Illutaton d ègl d'non Pocu ommand R R + f Ω = 0 f Ω = f Ω + (non ndct) R = kφ R 0 f = k Φ (non dct) R R d L 3 03 (non ndct) f ^ + R = uc ug = f + R = k Ω 4 Φ R (non dct) 04 Ω f = k Φ f 3.3 Dcpton pa foncton d tanft On po l hypothè uant: ouc élctqu pafat, contu élctqu (hachu) déal, d mêm qu l captu, flux contant. L chéma fonctonnl copondant au GI d la command t lluté pa la fgu 0 uant. P, P péntnt l foncton d tanft d pat élctqu t mécanqu E M d la machn, t PE, PM, l coctu aoc. P E ( ) = (8) L + R PM ( ) = (9) J + f La Fgu pént l modèl Smulnk du pncp d non pa l GI applqué à la machn à couant contnu.

10 R Rlaton aual R Rlaton Rgd R3 Rlaton aual Scop kph R Rlaton Rgd Rc Rlaton aual ommand mc-t Rc Rlaton Rgd ommand kph Rc3 Rlaton aual ommand -t W-f Fgu. Modèl Smulnk d la command d'un machn à couant contnu pa l GI 5. Applcaton à la machn aynchon 5. ontucton du modèl L calcul mné t latf à la modélaton d la MAS dan l pè d oncoda lé au tato, aboutant aux xpon d tnon tatoqu : dα α = Rα + σl + α [ Rα ] (0) d β = + + [ ] β R β σl β Rβ Ac : dégn la étanc total amné au tato. R σ L dégn l'nductanc d fut total amné au tato. L tm α t β éultnt d couplag élctoméca-nqu t élctomagnétqu nt l noulmnt lon l équaton : ' '' α = α + α ' '' () β = β + β D manè tè mla aux foc élctomotc déloppé pa un machn ' ' à couant contnu, nou choon d'xpm l tnon α t β ou la fom:

11 ac ' α = kα Ω ' β = k β Ω k k α β m m [ R [ R gαl ] gβ M = P φ n( θ ) L M = P φ co( θ ) L ] [ R [ R fα fβ ] ] () (3) où θ dégn la poton angula du flux otoqu dan l pè lé au tato. L ytèm d'équaton (4) complèt la modélaton d la conon élctomécanqu : c c α β = k α α = k β β [ R [ R gα gβ ] ] (4) [ gα [ gβ L laton R ] t R ] caactént un goupmnt gyatu d couplag équalnt à clu m n édnc pou la machn à couant contnu (Fg. 8). Enfn, l échang d'éng élctomagnétqu nt l motu t on almntaton ont à clu à l'ogn d tm d couplag upplémnta donné pa : '' M α = R co( ) φ θ L '' M β = R n( ) φ θ L (5) L'équaton dfféntll égant l'éoluton d la t du oto t donné pa : dω J m = c c [ Rm ] (6) On xpm l modul du flux otoqu n égm pmannt pa l'équaton: φ = M co( θ ) n( θ )) (7) ( α + β L laton claqu d cnétqu ntn ont donné pa : ω = pω ω [ R ] (8) m + θ θ = ω [ Rθ ] ] (9)

12 où ω dégn la pulaton d glmnt qu 'xpm pa: R ω = c [ R ] θ pφ (0) α R α ' α '' α α R gα k α α R fα Φ M α R gα Poton flux otoqu Rc Rm Ω m R θ ω R θ θ R θ 3 M β R gβ ' β kβ R fβ β β β Φ R β '' β R gβ Fgu. GI d la machn aynchon Poducton du coupl L modèl an obtnu mont qu la machn généalé t, d'un pont d u élctomécanqu, équalnt à l'aocaton d dux machn à couant contnu élémnta fct ( Mα t M β, Fgu ), couplé mécanqumnt. hacun t l èg d'un foc élctomotc (f..m. élctomagnétqu global lon l'équaton : c ' α ' β t ) t contbu au coupl = c c [ R c ] () α + L modèl GI éultant d ctt modélaton t donné Fgu. β 5. Elaboaton d la command L modèl GI (Fg. ) mont c qu la machn dphaé t équalnt à dux machn à couant contnu, d manè équlbé, au coupl élctomagnétqu

13 global déloppé pa la machn tphaé. Dan c conon, la tuctuaton d la command mt n édnc la dffculté à défn l coupl d éfénc pou chacun d c machn fct: la éoluton d c poblèm fat l'objt d c paagaph. L'objctf t d détmn l tnon ntantané d églag à α f t β f applqu aux bon d la machn à pat d'un éfénc donné du coupl élctomagnétqu c. f L'applcaton du pncp d'non dct ot confonté à la non-bjctté d la laton [ R c] : n fft, l 'agt alo d'xpm l éfénc d coupl c α f t c β f à pat d'un ul t mêm nté c f. Il t néca c d défn un laton upplémnta pou obtn totalmnt la tuctu d command. L dgé d lbté upplémnta offt pa l'non d'un laton non bjct put êt utlé dan l but d'optm l fonctonnmnt du pocu à command [HAU99-]. On fat donc, dan l cad d la command déloppé, l chox claqu d mantn l modul du flux otoqu à a alu nomnal. Il nt égalmnt à condé qu l'éoluton du flux otoqu t ég pa un uccon d pmannt. On uppo alo, qu'à chaqu ntant, l flux otoqu t égal à a alu d éfénc lon l'équaton: Φ = Φ f () En égm pmannt, l'xpon du flux dan la machn t donné pa l'équaton (7). L xpon d couant α t β, foncton d coupl élémnta c t c β lon l'équaton (4), pmttant alo d défn la laton α upplémnta lant c c α f t c β f : β f L'non d la laton [ R c ] mpo: Φ f n ( θ) cα f co ( θ ) = p n(θ ) (3) L f + c β f = c α c (4) f On dédut, d équaton (3) t (4), l'xpon d coupl d éfénc c c α f t β f : c c α f β f = c = c f f Φ n ( θ) p L Φ co ( θ) + p L f f n(θ ) n(θ ) (5)

14 Un manpulaton tgonométqu d c xpon mont qu chaqu coupl d éfénc t la omm d'un tm contant (égal au dm-coupl d éfénc) t d'un pulato d pha θ [DEG00] : c c α f β f = c = c f f ( c + ( c f f f Φ co(θ ) p L Φ co(θ ) p L f n(θ ) n(θ ) (6) Il appaaît donc qu chacun d machn élémnta, tll qu l défnon au moyn du modèl GI d la Fgu, fount la moté du coupl auqul 'ajout un compoant pulato d mêm ampltud t d féqunc doubl d cll d la t élctqu d otaton du flux otoqu dan l pè d oncoda lé au tato. L coupl élémnta d éfénc étant totalmnt défn, nou dpoon alo d élémnt néca pou détmn la tuctu global d command (Fgu 3). La tuctu d command t obtnu pa applcaton d pncp ytématqu d'non du modèl GI. L laton d command dédunt donc pa non (laton ac xpoant"-"), l laton d'obaton conttuant d aabl ntn 'obtnnnt mplmnt pa "cop" (laton t aabl péé pa d tld""). L gandu mué ont péé pa l ymbol "^". L éfénc d couant, élaboé pa R gα t gβ R néct la connaanc d coffcnt d couplag élctomécanqu k α t k β. dn ont conttué gâc à un tmaton d la poton angula du flux otoqu. La tuctu d'tmaton d l'angl θ t donné Fgu 3. Baé u l équaton (8) à (9), ll uppo qu'à chaqu ntant l coupl motu t l flux otoqu ont égaux à lu alu d éfénc (Rlaton [ R θ] ). Pou l flux otoqu, ctt hypothè t cll déjà fomulé équaton () t qu l'on popo d éf, a poto, u l éultat du contôl. oncnant l coupl élctomagnétqu, ctt hypothè éult : - du caactè gd d laton lant c coupl aux couant α t β. Enfn, l laton Rα t R β caactént l a-mnt d couant; c laton péont la compnaton d f..m. La fgu 5 pént l modèl Smulnk du pncp d non pa l GI applqué à la machn aynchon.

15 α f α R α α ' α '' α f α R g k α α f R fα Φ f R gα R c Φ f f Ω m θ θ β R g β f β ' β R β β f '' β R gβ k β β f R fβ Φ f Fgu 3. Stuctu d command n coupl d la machn aynchon R θ f Ω m ω R ω θ 3 R Φ θ f θ Fgu 4. Etmaton d poton du flux otoqu

16 Va Ra Rga Rfa Rga Rc Rm Rt Rt Rt3 Thta Rgb Rfb Vb Rb Rgb Fgu 5. Modèl Smulnk GI d la machn aynchon 6. oncluon Dan c taal, nou aon donné un péntaton d pncp du gaph nfomatonnl caual (GI) t l'applcaton d c dn dan la modélaton d'un machn à couant contnu t un machn aynchon, t la tuctuaton d lu command n t t n coupl pctmnt. L'appoch pa l GI conttu un ad pécu dan la concpton d'un dpotf d command. Bblogaph. J. Fauch, M. Gandp, : L gaph nfomatonnl d caualté Applcaton à la mulaton d ytèm élctqu. Jouné du club EEA Elctotcnhqu, Pa, (99). J. Haut, J. Fauch, : L gaph nfomatonnl caual Outl d modélaton t d ynthè d command d pocu élctomécanqu. ah pécal d l'ngnmnt Supéu, pp 5-58,n J. Haut, : L gaph nfomatonnl caual n Elctotch-nqu. Jouné 3EI, (999) 4. Ph. Dgobt, :Modélaton caual applqué aux ytèm élctqu. Sémna PGEPTSI. (004) 5. J.P. aon, :Sytèm élctotchnqu. Eon Tchnp Scnc t tchnolog.