Table des matières. 3 Suites de nombres réels Limites... 30

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30"

Transcription

1 Table des matières 1 Généralités Un peu de logique Vocabulaire Opérations logiques Modes de raisonnement Quantificateurs Théorie élémentaire des ensembles Ensembles, appartenance Inclusion Opérations sur les parties d un ensemble Produit cartésien de deux ensembles Relations. Applications Image d une partie Applications injectives, surjectives, bijectives Composition d applications Application réciproque d une bijection Le corps des nombres réels Introduction Ensembles ordonnés Relation d ordre Majorant, maximum, borne supérieure Applications bornées Applications monotones L ensemble ordonné N des entiers naturels La structure de corps Lois de composition La structure de groupe Le corps des nombres rationnels Le corps ordonné des réels La fonction partie entière Approximations décimales d un réel Valeur absolue Intervalles de R Suites de nombres réels Généralités Limites

2 3.3 Règles de calcul sur les limites Suites monotones Suites adjacentes Suites de référence Suites arithmétiques Suites géométriques Limites des fonctions d une variable réelle Introduction Limite d une fonction en un point de R Limite finie en un point de R Limite infinie en un point de R Limite d une fonction en + ou L ensemble R Caractérisation séquentielle de la limite Limites et relation d ordre Quelques limites classiques Limite d une somme, d un produit, d un quotient Limite d une fonction composée Formes indéterminées Limite à gauche ou à droite en un point a R Limite d une fonction monotone Continuité des fonctions Continuité en un point Opérations sur les fonctions continues Fonctions continues classiques Caractérisation séquentielle de la continuité Prolongement par continuité Continuité à gauche et à droite Continuité sur un intervalle Suites définies par récurrence, u n+1 = f(u n ) Généralités Utilisation de la monotonie Cas des fonctions contractantes Dérivation Dérivée en un point Dérivée à droite, à gauche Opérations algébriques Dérivées successives Extremums d une fonction dérivable Théorème des accroissements finis Dérivée et sens de variation Fonctions convexes Plan d étude d une fonction

3 Chapitre 1 Généralités Les mathématiques ont ceci de particulier qu elles s intéressent à des objets idéaux qui n existent que par les relations qui les lient les uns aux autres. Bien entendu certains de ces objets sont inspirés par le monde qui nous entoure. Mais le mathématicien s astreint à oublier, dans une certaine mesure l origine concrète des concepts qu il a construits, à utiliser un langage conventionnel précis, dont les termes auront été soigneusement définis et à conduire dans ce langage des raisonnements rigoureux. La même exigence de rigueur s avère indispensable en informatique. 1.1 Un peu de logique Vocabulaire Tout texte mathématique est constitué d une suite d énoncés qui sont soit des définitions soit des propositions. Une définition est un énoncé qui introduit un nouvel objet en le caractérisant par les relations qui le lient aux objets définis auparavant. Par exemple l énoncé Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. donne le sens du mot équilatéral étant entendu que les termes triangle, côté, longueur ont été définis auparavant. Une définition est une convention qui doit donc être apprise par cœur, au même titre que le vocabulaire d une langue étrangère. Une proposition est un énoncé portant sur les objets définis précédemment ; elle est vraie si elle peut être logiquement déduite des propositions vraies établies auparavant et des définitions introduites (on dit qu elle a été démontrée ) ; elle est fausse s il est démontré que contraire est vrai. 1 Par exemple l énoncé : Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles ont des mesures égales. est une proposition. Elle sera acceptée comme vraie si on peut la démontrer à l aide d un raisonnement logique qui consiste à déduire la conclusion à partir de l hypothèse. La 1 Souvent une proposition importante est appelée théorème, une proposition qui se déduit immédiatement d une autre est appelée corollaire et une proposition qui sert comme résultat auxiliaire dans la démonstration d une autre proposition est appelée lemme. 3

4 démonstration commencera par exemple par les phrases : Soit T un triangle équilatéral. Par définition ses trois côtés ont la même longueur. Montrons que ses trois angles ont la même mesure..... Un autre énoncé pourrait être Un triangle est équilatéral si et seulement si ses trois angles ont des mesures égales ce qui pourrait aussi s écrire : Une condition nécessaire et suffisante pour qu un triangle soit équilatéral est que ses angles aient des mesures égales, ou encore, Pour qu un triangle soit équilatéral, il faut et il suffit que ses angles aient des mesures égales. Il y aura dans ce cas deux raisonnements à faire en prenant successivement pour hypothèse le fait que le triangle soit équilatéral, puis que ses angles ont la même mesure. Dans une théorie mathématique complète, on pose au départ des définitions et des propositions acceptées a priori comme vraies appelées axiomes. Les autres propositions vraies en sont ensuite déduites par des démonstrations. Mais, dans un cours introductif comme celui-ci, on sera nécessairement amené à admettre certaines notions et certaines propositions dont la démonstration, trop longue ou trop difficile, ne pourra pas être donnée Opérations logiques La logique mathématique est une formalisation de la logique naturelle exprimée dans la langue commune par des conjonctions de coordination : et, ou, donc et par la négation ne pas ou non. Une étude plus approfondie de cette formalisation, importante en particulier pour ses applications à l informatique, fera l objet d un autre cours. On se contentera ici d une initiation. Supposons qu on note par des lettres A, B,... des propositions, c est-à-dire des assertions pouvant être vraies ou fausses. Définition Soit A une proposition. On désigne par non A la proposition qui est vraie si A est fausse et qui est fausse si A est vraie. Elle est appelée négation de A. On la note aussi A (lu non A ). Exemple 1.1 La négation de la proposition Le nombre 22 7 simplement Le nombre est inférieur ou égal à 113. est strictement plus grand que est tout Définition Soient A et B deux propositions. On désigne par A et B la proposition qui est vraie si A et B sont toutes les deux vraies et qui est fausse si l une au moins des deux propositions A et B est fausse. On la note aussi A B (lu A et B ). On désigne par A ou B la proposition qui est vraie si l une au moins des deux propositions A et B est vraie et qui est fausse si A et B sont fausses toutes les deux. On la note aussi A B (lu A ou B ). 2 2 En mathématique si A ou B est vraie cela n exclut pas que A et B soient tous deux vraies. On dit que le ou, en mathématique n est pas exclusif. 4

5 On désigne par A implique B la proposition qui est fausse si A est vraie et B est fausse et qui est vraie dans les autres cas. 3 On la note A B (ou B A). Deux propositions A et B sont dites équivalentes si et seulement si les deux assertions A B et A B sont vraies. Dans ce cas, on note A B. Exemple 1.2 Si x est un certain nombre entier donné, si A est la proposition x est divisible par 2 et si B est la proposition x est divisible par 3, la proposition A et B sera x est divisible par 2 et par 3 ce qui, comme on le voit en arithmétique, revient à x est divisible par 6. Exemple 1.3 Si x est un nombre réel donné, si A est la proposition x est supérieur ou égal à 1 et si B est la proposition x est inférieur ou égal à 1, la proposition A ou B pourra se résumer en x est supérieur ou égal à 1. Exemple 1.4 Si T est un triangle, les propositions A : T est un triangle équilatéral et B : les angles de T ont la même mesure sont équivalentes. L énoncé A B est celui que nous avons donné comme exemple plus haut. On peut résumer les définitions précédentes dans un tableau, appelé table de vérité. Ce tableau indique, pour chaque valeur possible Vraie ou Fausse des propositions A et B la valeur de (non A), ( A et B), ( A ou B) (A B) et (A B) : A B non A (A et B) (A ou B) (A B) (A B) V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V Proposition Soient A et B des propositions. Les équivalences suivantes sont vraies : (i) non(a ou B) ( non(a) et non(b) ). (ii) non(a et B) ( non(a) ou non(b) ). (iii) (A B) ( non(a) ou (B) ) non( (A) et non(b) ). Exercice 1.5 En complétant la table de vérité précédente, démontrer ces équivalences. (On lit sur une table de vérité que deux propositions sont équivalentes en vérifiant qu elles prennent dans tous les cas la même valeur vrai ou faux). Proposition Soit A, B, C des propositions. On a la propriété de transitivité : ((A B) et (B C)) (A C). Exercice 1.6 En dressant une table de vérité, démontrer cette implication. Remarque. On voit que le non, le et et le ou agissent comme des opérations sur les propositions. On dit que ce sont des connecteurs logiques. 3 En particulier, si A est fausse, alors la proposition A implique B est toujours vraie! 5

6 1.1.3 Modes de raisonnement Le plus souvent l énoncé d un théorème se présente sous la forme A B où A est une proposition (ou un ensemble de propositions) (appelée hypothèse) et B une proposition (appelée conclusion). Raisonnement direct B. En général la démonstration consiste à établir une chaîne d implications aboutissant à A A 1 A 2 B Dans une rédaction de la démonstration, cette chaîne doit être clairement explicitée. On le fait en reliant les phrases (en langue courante) du raisonnement à l aide d expressions comme donc, d où, par conséquent, ce qui implique etc. Le plus grand soin doit être apporté à ce texte. Raisonnement par contraposée On voit sur une table de vérité que les propositions (A B) et (non(b) non(a)) sont équivalentes. Il en résulte que, pour démontrer la proposition (A B) on peut, si c est plus commode, démontrer (non(b) non(a)) c est-à-dire prendre comme hypothèse que B est fausse et en déduire qu alors A serait fausse. On dit qu on raisonne par contraposée. Raisonnement par l absurde Certaines proposition portent en elles-mêmes une contradiction et sont toujours fausses ; on dit qu elles sont absurdes. Par exemple, si x est un nombre réel, la proposition suivante : (x > 0 et x 0) est absurde. 4 Supposons qu on ait à démontrer la proposition (A B). Si on prend provisoirement ((A) et (non B)) pour hyphothèse et si on parvient à en déduire une proposition absurde, on aura montré que ((A) et (non B)) est faux donc que (A B) est vraie (cf. la proposition 1.1.3). On dit qu ainsi on raisonne par l absurde 5. Remarque. Au cours d une démonstration par l absurde, on est donc amené à écrire des énoncés qui en fait sont faux. Il est bon, par conséquent, d en avertir le lecteur par une formule du genre Raisonnons par l absurde et supposons que Quantificateurs Certaines propositions sont exprimées à l aide d une ou plusieurs variables qui peuvent prendre différentes valeurs 6. Par exemple l énoncé x est un nombre réel supérieur à 1 est une proposition A(x) qui dépend de la variable x. Qu elle soit vraie ou fausse dépend de la valeur de x. On définit deux opérateurs, appelés quantificateurs, qui associent à la famille A(x) une nouvelle proposition : 4 Inversement, certaines proposition sont toujours vraies ; on dit que ce sont des tautologies. Par exemple, si x est un nombre réel, la proposition (x > 0 ou x 0) est une tautologie. 5 On disait en latin ad absurdum, qui exprime mieux qu on conduit le raisonnement jusqu à l absurde. 6 On parle alors de fonction propositionnelle ou de prédicat. En informatique, les variables s appellent selon les cas paramètres ou arguments. 6

7 Le quantificateur pour tout, noté, qui s emploie de la façon suivante : la proposition ( x, A(x)) est la proposition qui est vraie si la proposition A(x) est vraie pour tous les objets x. On lit pour tout x, A(x) ou quel que soit x, A(x). Le quantificateur il existe, noté, qui s emploie de la façon suivante : la proposition ( x, A(x)) est la proposition qui est vraie s il existe au moins un objet x tel que la proposition A(x) soit vraie. On lit il existe x, A(x) ou, si on préfère, il existe x, tel que A(x). Ces quantificateurs satisfont l axiome (bien naturel) suivant : La négation de la proposition ( x, A(x)) est ( x, non A(x)). La négation de la proposition ( x, A(x)) est ( x, non A(x)). Exemple 1.7 La proposition x, (x est un nombre réel ) et (x 2 + 3x 5 = 0) exprime la propriété que l équation x 2 + 3x 5 = 0 admet une racine réelle. (On peut montrer qu elle est vraie). On emploiera le plus souvent l écriture plus concise x R, x 2 + 3x 5 = 0 dans laquelle R désigne l ensemble des nombres réels. La proposition x R, x 2 + 3x + 5 = 0 est fausse, comme le lecteur pourra le montrer. Sa négation qui s écrit est donc vraie. x R, x 2 + 3x Remarque. Une proposition de la forme ( x, A(x)) ou ( x, A(x)) ne dépend en fait plus de la variable x. On dit que x est une variable interne ou muette. Les propositions ( x, A(x)) et ( z, A(z)) sont donc absolument identiques. Les choses se compliquent un peu quand on a à faire à des propositions qui sont écrites avec plusieurs quantificateurs. Exemple 1.8 La proposition m N, n N, (m + n est un nombre pair) exprime que, quel que soit l entier naturel m, il existe un entier n tel que m + n soit un nombre pair. On démontre facilement qu elle est vraie. Par contre la proposition n N, m N, (m + n est un nombre pair ) qui exprime qu il existe un entier naturel n tel que, quel que soit l entier m, m + n soit un nombre pair est fausse, comme on le montre facilement. On voit que l ordre dans lequel sont écrits les quantificateurs et est très important. Attention : Les symboles pour les connecteurs et pour les quantificateurs ne doivent pas être employés comme des abréviations d écriture. Ils ne s emploient que dans des formules. Une phrase comme Montrons que si x E x F ; en effet... est à proscrire absolument. Il faut faire des phrases complètes en français (ou en espagnol...) comme, par exemple, Montrons que s il existe un élément x de E tel que x n appartient pas à F, alors... Exercice 1.9 Soit f une fonction de R dans R. Écrire la négation des deux énoncés x 0 R, ε > 0, η > 0, x R, x x 0 < η f(x) f(x 0 ) < ε, ε > 0, η > 0, x 0 R, x R, x x 0 < η f(x) f(x 0 ) < ε. (La notation ε > 0 est un peu abusive car elle sous-entend, sans l expliciter, que ε est un nombre réel ; cet abus de notation est très fréquent et évite une notation trop lourde.) 7

8 1.2 Théorie élémentaire des ensembles Ensembles, appartenance. La notion d ensemble est à la base de l édifice des mathématiques contemporaines. Nous ne donnerons que quelques éléments de ce qu on appelle la théorie naïve des ensembles qui néglige les fondements logiques (et les sérieuses difficultés qui leur sont attachées). Nous prendrons donc le mot ensemble dans le sens intuitif de collection (d objets qui peuvent être des nombres, des fonctions, des ensembles etc.). Cette collection peut éventuellement être vide : l ensemble considéré est l ensemble vide noté. Un ensemble non vide est constitué d éléments. Si E est un ensemble et x est un élément de E, on note x E qu on lit x appartient à E (ou E contient l élément x). Si x n est pas élément de E on note x / E qu on lit x n appartient pas à E. Si éléments x, y désignent un même élément de E, on écrit x = y et on lit x est égal à y ; s ils ne sont pas égaux on écrit x y et on lit x n est pas égal à y ou x est différent de y. Pour alléger la notation, on écrira parfois x, y E pour x E, y E. Il existe principalement deux façons de définir un ensemble : En donnant la liste de ses éléments : On note ainsi, par exemple, {a, b, c} l ensemble ayant pour éléments a, b et c. Plus généralement, si le nombre d éléments est n, on écrira {a 1, a 2..., a n }. À l aide d une proposition A(x) dépendant d une variable x appartenant à un ensemble E donné. On notera alors {x ; x E et A(x)} ou {x E ; A(x)} l ensemble dont les éléments sont les éléments x de E pour lesquels A(x) est vraie. Exercice 1.10 Quels sont les éléments de l ensemble {x R ; x 2 = 25}? Est-ce le même ensemble que l ensemble {x N ; x 2 = 25}? Définition Un ensemble E s appelle singleton s il contient exactement un élément c est-à-dire si on a x E, z E, z = x. Un ensemble F s appelle paire s il contient exactement deux éléments c est-à-dire si on a Exemple : les ensembles de nombres. x, y F, (x y et z F, (x = z ou y = z) ) Nous aurons à considérer les ensembles suivants : N : ensemble des entiers naturels ; Z : ensemble des entiers relatifs ; D : ensemble des nombres décimaux ; Q : ensemble des nombres rationnels ; R : ensemble des nombres réels ; C : ensemble des nombres complexes. Pour chacun de ces ensembles E nous poserons E = E \ {0}. Il n est pas question ici de donner une définition rigoureuse de ces ensembles : nous en resterons à l approche intuitive adoptée dans l enseignement secondaire et nous nous contenterons le moment venu de préciser celles des propriétés sur lesquelles nous appuierons certains développements. (En particulier pour R au chapitre 2.) 8

9 1.2.2 Inclusion. Définition Soient E et F deux ensembles. 1. On dit que E est inclus dans F si tout élément de E appartient à F : x, (x E = x F ). E F. On dit aussi alors que E est une partie ou un sous- Dans ce cas on note ensemble de F. 2. Les ensembles E et F sont dits égaux si on a E F et F E. Dans ce cas on note E = F. Si deux ensembles ne sont pas égaux on dit qu ils sont distincts. Si E est inclus dans F et en est distinct on note 7 E F. Remarque. Une démonstration de l inclusion E F commencera le plus souvent par la phrase. Soit a un élément (sous-entendu quelconque) de E. Montrons que a appartient à F.... Pour montrer l égalité de deux ensembles on vérifiera que chacun des deux est inclus dans l autre. Proposition L inclusion est transitive c est-à-dire que pour trois ensembles E, F, G on a (E F et F G) E G. Démonstration : Soit x un élément de E. Comme E F, on a x F. Mais, comme F G, cela implique que x G. Par conséquent, tout élément de E appartient à G et donc E G. Définition Un ensemble E étant donné, on note P(E) l ensemble de toutes les parties de E. (Cet ensemble contient toujours et E). Exemple 1.11 Soit E l ensemble des trois éléments distincts a, b et c : E = {a, b, c}. Alors : Si F = {a, b} on aura donc F E et F P(E) P(E) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}}. Exercice 1.12 A-t-on {a, b} = {b, a}? {a, b} = {a, a, b}? Exercice 1.13 A-t-on??? Exercice 1.14 Soit E = {a, b}. Déterminer P(E) puis P(P(E)). Exercice 1.15 Si E = on a P(E) = { }. On notera bien que E ne contient aucun élément alors que P(E) en contient un! En poursuivant, on obtient P(P(E)) = {, { }}. Pourriez-vous déterminer P(P(P(E)))? Exercice 1.16 Soient A et B deux parties de l ensemble E telles que A B. Prouver, en raisonnant par contraposée, que, pour tout élément x de E, si on a x / B alors on a x / A. 7 Dans la litterature on trouve souvent le symbole dans le sens de et = à la place de. 9

10 1.2.3 Opérations sur les parties d un ensemble Soit un ensemble E et soit P(E) l ensemble de ses parties. Définition Soient A et B deux parties d un ensemble E. On appelle intersection de A et B l ensemble noté A B des éléments de E qui appartiennent à A et à B : A B = {x E ; (x A) et (x B)}. On appelle réunion de A et B l ensemble noté A B des éléments de E qui appartiennent à A ou à B : A B = {x E ; (x A) ou (x B)}. On appelle complémentaire de A dans E l ensemble noté C E A ou E\A ou simplement A (parfois A c ) si l ensemble E est fixé sans ambiguïté, des éléments de E qui n appartiennent pas à A : A = {x E ; x A}. Remarque. Comme on le voit, ces définitions sont directement liées aux opérations logiques ou, et et non définies en Les propriétés énoncées dans les exercices suivants se démontrent à l aide des propriétés de ces opérations logiques ou à l aide de tables d appartenance analogues aux tables de vérité. Exercice 1.17 Montrer les égalités suivantes (propriété d associativité) : A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Ces propriétés permettent de supprimer les parenthèse et d écrire simplement pour la réunion de trois parties A B C ou, plus généralement pour la réunion de plusieurs parties A 1 A 2... A n ou n i=1 A i. Même remarque pour l intersection. Exercice 1.18 Montrer les égalités suivantes (propriété de distributivité) : A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Exercice 1.19 Soient A et B des parties d un ensemble E. Montrer les égalités suivantes (lois de Morgan) : A B = A B A B = A B Les opérations décrites dans la définition confèrent à l esemble P(E) une structure appelée structure d algèbre de Boole dont l étude sera approfondie dans le cours de mathématiques pour l informatique. On utilise aussi d autres opérations. La différence d ensembles : on note A \ B l ensemble des éléments de A n appartenant pas à B. Autrement dit, A \ B = A B. La différence symétrique : on note A B l ensemble des éléments appartenant à l un des ensembles A ou B mais pas aux deux. Autrement dit, A B = (A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A). 10

11 1.2.4 Produit cartésien de deux ensembles Définition Étant donnés deux ensembles E et F on appelle produit cartésien de E et F l ensemble noté E F constitué de tous les couples (a, b) avec a E et b F. Plus généralement, étant donnés des ensembles E 1, E 2,..., E n le produit cartésien E 1 E 2 E n est l ensemble des n-uplets (a 1, a 2,..., a n ) où a 1 E 1,..., a n E n. Plus simplement, on note E n le produit de n ensembles égaux à un même ensemble E. Remarque. Un couple (plus généralement un n-uplet) est une suite ordonnée de termes non nécessairement distincts : si a b, le couple (a, b) est différent du couple (b, a) et le triplet (a, a, b) différent du couple (a, b). On prendra bien garde de ne pas confondre la notion de couple (a, b) et la notion de paire {a, b} qui désigne l ensemble ayant pour éléments a et b ; on a toujours {a, b} = {b, a} (ce dernier ensemble se réduisant à {a} si a = b). 8 Exemple 1.20 Si E = {a, b} et F = {c, d} on a : E F = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}. Par ailleurs : E E = E 2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. Définition Lorsque E = F, le sous-ensemble D = {(x, x); x E} est appelé diagonale de E E Relations. Applications Définition Soient E et F deux ensembles. Soit G un sous-ensemble de l ensemble E F. On dit qu un élément x de E et un élément y de F satisfont la relation R de E vers F dont le graphe est G si le couple (x, y) appartient à G. On notera cette propriété x R y. En résumé x R y (x, y) G. Dans le cas où E = F, on parle simplement de relation définie sur E. Exemple 1.21 Si D est la diagonale de l ensemble produit E E, la relation définie sur E dont le graphe est D est tout simplement la relation égalité. Exemple 1.22 Prenons pour ensemble E l intervalle [0, 1]. Le produit cartésien [0, 1] [0, 1] peut être représenté dans un plan par le carré K dont les points ont des coordonnées x et y comprises entre 0 et 1. La relation x y définie sur [0, 1] a pour graphe le triangle formé par les points situés sur la diagonale de K ou en dessous. (Faire un dessin). Cette relation est un exemple de ce qu on appelle relation d ordre. Nous reviendrons un peu plus loin sur cette notion. Exemple 1.23 Si m est un entier relatif, la relation R définie sur l ensemble Z des nombres entiers relatifs par xry k Z, x y = km est une relation appelée congruence modulo m. 9 On la note x y (mod m). 8 La même distinction existe en informatique, avec des notations parfois différentes. Cf. en langage Maple les types list et set. 9 Cette relation est un exemple de ce qu on appelle relation d équivalence. Cette notion sera étudiée en détail dans un cours ultérieur. 11

12 Définition Soient E et F deux ensembles. Une application de E dans F est une relation R de E vers F dont le graphe G a la propriété suivante : Pour tout élément x de E il existe un et un seul élément y de F tel que la relation x R y soit vraie. On voit donc qu une application (on dit aussi fonction) de E dans F associe à chaque élément x E un unique élément y F. Cet élément est appelé l image de x par l application. On utilise en général pour les applications les notations suivantes : Si on note f une application de E dans F, on note f(x) l image de l élément x de E et souvent, pour mieux mettre en évidence que x E et que f(x) F on écrit f : E F x f(x). On dit aussi que f(x) est la valeur prise par f en x. Si y = f(x), on dit que x est un antécédent de y. Un élément de F peut très bien avoir plusieurs antécédents ou n en avoir aucun. On dit que E est l ensemble de départ ou le domaine de définition de f, et que F en est l ensemble d arrivée. On dit encore que f est une fonction (ou une application) définie sur E à valeurs dans F. Le graphe de f est le sous-ensemble de E F : G f = {(x, f(x)) ; x E}. Exemple 1.24 Soit R : l ensemble des nombres réels et f l application de R dans R définie par x R, f(x) = x 2. L image de 2 est 4. Le réel 4 a deux antécédents : 2 et 2. Le réel 4 n a pas d antécédent. Exemple 1.25 Considérons l application x sin x de R dans R. Le nombre 2 n a pas d antécédent. Le nombre 1 a pour antécédents tous les nombres appartenant à l ensemble {π/2 + 2kπ ; k Z}. Il est parfois utile de restreindre l ensemble de départ d une application : Définition Soit f est une application d un ensemble E dans un ensemble F. Soit A un sous-ensemble de E. On appelle restriction de f à A l application notée f A, de A (pris comme nouvel ensemble de départ) dans F qui prend en tout x de A la même valeur que f : pour tout x : ina, on a f A (x) = f(x). Remarque. Si A E, les applications f et f A. sont différentes. En effet, pour que deux applications soient égales, elles doivent avoir même ensemble de départ, même ensemble d arrivée et même graphe. Autrement dit, si f : E F et g : G H sont deux applications, on a f = g si et seulement si E = G, F = H et f(x) = g(x) pour tout x E. 12

13 1.2.6 Image d une partie Définition Soit f est une application d un ensemble E dans un ensemble F. Soit A un sous-ensemble de E. On appelle image de la partie A par f l ensemble des valeurs prises par f en les éléments de A. C est un sous-ensemble de F qu on note f(a). On a donc f(a) = {y F ; x A, f(x) = y}. L image f(e) de l ensemble de départ E tout entier s appelle simplement l image de l application f. (C est une partie de F qui n est pas nécessairement F tout entier.) Exercice 1.26 Soit f l application de N dans N telle que f(n) = n + 1. Déterminer l image de f. Exercice 1.27 Soit f l application de R dans R telle que f(x) = x + 3. Déterminer l image de f. Exercice-type 1.28 Soient f : E F une application, A et B deux parties de E. Montrer que si A B alors f(a) f(b). Solution. Il faut montrer que pour tout élément y f(a) on a y f(b). Or, si y f(a), il existe a A tel que y = f(a). Mais alors, par hypothèse, a B d où y = f(a) f(b). Exercice 1.29 Sous les mêmes hypothèses que précédemment, établir les résultats suivants : f(a B) = f(a) f(b); f(a B) f(a) f(b). On vérifiera que la seconde inclusion n est en général pas une égalité en considérant f : R R telle que f(x) = x 2, A = {0, 1}, B = {0, 1} Applications injectives, surjectives, bijectives Si on relit attentivement la définition du mot application, on voit qu un élément x de l ensemble de départ a toujours une seule image mais que rien n interdit en général à deux éléments x et x distincts d avoir la même image. On voit aussi que tout élément de l ensemble de départ à une image mais que rien n oblige en général tous les éléments de l espace d arrivée à être l image d un élément de l ensemble de départ. Les définitions très importantes suivantes précisent ces points. Définition Soit f une application d un ensemble E dans un ensemble F. On dit que f est une application injective (ou que f est une injection) de E dans F si deux éléments distincts quelconques de E ont des images distinctes : x, x E, (x x f(x) f(x )). De façon équivalente, par contraposition : L application f : E F est injective si on a quels que soient x et x de E, si f(x) = f(x ) alors x = x On dit que f est une application surjective (ou que f est une surjection) de E sur F si tout élément de F est image par f d au moins un élément de E : y F, x E, y = f(x). De façon équivalente, f est surjective de E sur F si f(e) = F. 13

14 On dit que f est une application bijective (ou que c est une bijection) de E sur F si elle est à la fois injective et surjective. En d autres termes : quel que soit y F, il existe un unique x E tel que y = f(x). Exemple 1.30 L application f : x x 2 de R dans R n est ni injective ni surjective. Sa restriction à l ensemble R + des nombres réeels positifs est injective puisque deux réels positifs qui ont même carré sont égaux. Il en est de même de sa restriction à R. On peut aussi considérer l application g : x x 2 de R dans R +. Cette application est différente de f car elle n a pas le même ensemble d arrivée. Elle est, quant à elle, surjective car tout nombre positif est le carré d au moins un réel. 10 La restriction de g à R + est une bijection de R + sur lui-même. Remarque de méthode. Soit f une application d un ensemble E dans un ensemble F. Étudier la surjectivité de f revient à se poser la question : l équation f(x) = y dont l inconnue est x a-t-elle au moins une solution pour tout second membre y de F? Le raisonnement commencera le plus souvent ainsi : Soit y un élément (sous-entendu quelconque) de F. Montrons qu il existe un élément x de E tel que f(x) = y.... Étudier l injectivité de f revient à se poser la question : si l équation f(x) = y admet une solution pour le second membre y de F, cette solution est-elle unique? La solution commencera souvent par : Soient x 1 et x 2 deux élément de E tels que f(x 1 ) = f(x 2 ). Montrons que x 1 = x ou bien par Soient x 1 et x 2 deux élément de E tels que x 1 x 2. Montrons que f(x 1 ) f(x 2 ).... Pour montrer qu une application f est bijective de E sur F, on doit montrer deux choses : qu elle est surjective et qu elle est injective. Cela revient à prouver que l équation f(x) = y admet, pour tout second membre y de F une solution x unique dans E Composition d applications. Définition Soient E, F, G trois ensembles non vides et f : E F, g : F G deux applications. La composée de f et g, notée g f, est l application g f : E G x g(f(x)). Exemple 1.31 Soient f et g les applications de R dans lui-même telles que, pour tout réel x, f(x) = x 4 et g(x) = x + 1. Alors on peut définir les applications g f : x x et f g : x (x + 1) 4. On notera que g f f g. Exercice 1.32 Donner un exemple de deux applications f et g telles que l expression f g ait un sens mais pas g f. Exercice 1.33 Soient des ensembles E, F, G et H et trois applications f : E F, g : F G, h : G H. Montrer l égalité (associativité) h (g f) = (h g) f. Cette égalité permet de se passer de parenthèses et d écrire cette application h g f. Les propriétés d injectivité, surjectivité et bijectivité sont conservées par composition, comme le montre la proposition suivante. 10 Plus généralement, à toute application f d un ensemble E dans un ensemble F on peut associer une surjection de E sur l image f(e) de f. 14

15 Proposition Soient E, F, G trois ensembles non vides et f : E F, g : F G deux applications. 1. Si f et g sont injectives alors g f est injective ; 2. Si f et g sont surjectives alors g f est surjective ; 3. Si f et g sont bijectives alors g f est bijective. Démonstration : 1. Soient x et x deux éléments de E qui vérifient (g f)(x) = (g f)(x ). Montrons qu on a alors x = x. Comme g est supposée injective, l égalité g(f(x)) = g(f(x )) implique l égalité f(x) = f(x ). Comme f est supposée injective, l égalité f(x) = f(x ) implique l égalité x = x que l on voulait démontrer. 2. Soit z un élément de G. Puisque g est supposée surjective, il existe au moins un élément y de F tel que z = g(y). Par surjectivité de f, il existe alors un élément x de E tel que y = f(x). On a finalement bien trouvé un élément x de E tel qu on ait z = g(f(x)) = (g f)(x). 3. Puisque f et g sont à la fois injectives et surjectives, leur composée est à la fois injective et surjective donc bijective. Exercice-type 1.34 On reprend les notations E, F, G, f, g ci-dessus. En supposant (g f) injective (respectivement, surjective), montrer que f est injective (respectivement, que g est surjective). Solution. On peut, par exemple, raisonner par contraposition dans les deux cas. En supposant que f n est pas injective, montrons que (g f) n est pas injective. Par hypothèse, il existe x et x de E, tels que x x et f(x) = f(x ). Mais alors, (g f)(x) = g(f(x)) = g(f(x )) = (g f)(x ) avec x x, donc (g f) n est pas injective. Si g n est pas surjective alors g(f ) G. Mais puisque f(e) F on a (g f)(e) = g(f(e)) g(f ). Donc l image de g f n est pas G tout entier et g f n est pas surjective. Exercice 1.35 Soient f : E F, g : F G, et h : G H trois applications telles que (g f) et (h g) soient bijectives. En utilisant l exercice-type 1.34, montrer que g est bijective puis en déduire que f, g, et h sont bijectives. Définition Soit un ensemble E. On appelle application identique (ou identité) de E l application de E dans E notée Id E définie par x E, Id E (x) = x. On déduit immédiatement de cette définition la Proposition Pour toute application f d un ensemble E dans un ensemble F, on a f Id E = f et Id F f = f Application réciproque d une bijection Soit f une application bijective d un ensemble E sur un ensemble F. À tout élément y de F on peut associer l élément unique de E tel que f(x) = y. On pose f 1 (y) = x et on définit ainsi une bijection f 1 de F dans E appelée application réciproque de f. On a donc par définition x E, y F, y = f(x) x = f 1 (y). 15

16 Plus précisément, si G f (G f E F ) est le graphe de f, l application réciproque est définie par le graphe symétrique : G f 1 = {(y, x) F E ; (x, y) G f }. Exemple 1.36 Un exemple étudié dans les classes antérieures est donné par la fonction exponentielle : c est une application bijective de R sur l ensemble R + des nombres réels strictement positifs. Elle admet pour fonction réciproque la fonction logarithme népérien qui est une bijection de R + sur R. Exercice 1.37 Soit E un ensemble et P(E) l ensemble de ses parties. On considère l application h de P(E) dans P(E) définie par h(a) = A (complémentaire de A) pour tout A P(E). Montrer que h est une bijection et déterminer son application réciproque. Exercice 1.38 Soit f une application bijective f d un ensemble E dans un ensemble F et f 1 l application réciproque. Montrer qu on a f 1 f = Id E et f f 1 = Id F. Proposition Soit une application f : E F. Pour que f soit bijective, il faut et il suffit qu il existe une application g : F E telle que g f = Id E et f g = Id F. (Dans ce cas g est aussi bijective ; c est l application réciproque de f.) Exercice 1.39 Démontrer cette proposition. Proposition Si f : E F et g : F G sont des applications bijectives, l application g f est bijective et on a (g f) 1 = f 1 g 1. Exercice 1.40 Démontrer cette proposition. On notera l inversion de l ordre de la composition. 16

17 Chapitre 2 Le corps des nombres réels 2.1 Introduction Les nombres réels sont au cœur de l Analyse mathématique. Ils ont été introduits et utilisés dans l enseignement secondaire sans qu une définition précise en ait été donnée. Dans ce chapitre nous allons expliciter dans un axiome les propriétés admises des nombres réels à partir desquels seront déduits tous les théorèmes d Analyse que nous étudierons dans la suite. Nous partirons de l énoncé suivant : Axiome. L ensemble R des nombres réels est un corps totalement ordonné dans lequel toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Notre première tâche consistera à expliquer tous les termes de cet énoncé. Les expressions corps, totalement ordonné, borne supérieure dont nous allons donner les définitions précises sont importantes pour tous les domaines des mathématiques et nous seront très utiles dans la suite. 2.2 Ensembles ordonnés Relation d ordre Sur les ensembles de nombres N, Z, R, tels qu ils sont introduits dans l enseignement élémentaire, on définit la relation notée, qui se lit inférieur ou égal à. De manière générale : Définition Soit un ensemble E et une relation R définie sur E. On dit que R est une relation d ordre si elle possède les trois propriétés suivantes : 1. Elle est réflexive, c est-à-dire qu on a 2. Elle est transitive, c est-à-dire qu on a a E, ara. a E, b E, c E, ((arb et brc) = arc). 3. Elle est antisymétrique, c est-à-dire qu on a a E, b E, ((arb et bra) = a = b). 17

18 Si on a de plus, pour tout couple (x, y) d éléments de E, xry ou yrx on dit que la relation d ordre R est totale. Si un ensemble est muni d une relation d ordre (resp. d ordre total), on dit que c est un ensemble ordonné (resp. totalement ordonné). Exemple 2.1 L ensemble des nombres réels R muni de la relation est un ensemble totalement ordonné. Exemple 2.2 Soit Ω un ensemble quelconque. Sur l ensemble P(Ω) des parties de Ω la relation inclusion, notée, est une relation d ordre. Cette relation est non totale (sauf si Ω est vide ou n admet qu un seul élément!). Exemple 2.3 Sur l ensemble N des entiers naturels la relation divise, notée par le signe et définie par est une relation d ordre non totale. (Exercice). m n s il existe un entier k tel que n = km Soulignons le fait que, dans la définition adoptée, la notion d ordre est prise au sens large. Si, sur un ensemble E, on a une relation d ordre notée par exemple par le signe, on peut lui associer une autre relation qui sera notée en posant a b (a b et a b). La relation ainsi définie n est pas une relation d ordre au sens de la définition précédente puisqu elle n est pas réflexive. On dit que c est une relation d ordre-strict (en un seul mot) Majorant, maximum, borne supérieure Définition Soit un ensemble E muni d une relation d ordre notée. Soit A une partie de E et m un élément de E. On dit que m est un majorant de A si a A, a m. On dit que m est un plus grand élément ou un maximum de A si m est un majorant de A et si de plus m A. Autrement dit un majorant de la partie A est un élément du grand ensemble E qui est supérieur ou égal à tous les éléments de la partie A. Un majorant de A est un maximum si de plus il appartient lui-même à A. Bien entendu, une partie A de E n admet pas toujours de maximum. Exemple 2.4 Si on se place dans l ensemble R des nombres réels muni de la relation d ordre habituelle, la partie A = [0, 1[ admet le nombre 36 ou même le nombre 1 comme majorants mais n admet pas de plus grand élément. (Le démontrer en exercice) On définit de manière analogue les termes minorant et plus petit élément ou minimum. Une partie A d un ensemble ordonné E qui admet au moins un majorant et au moins un minorant dans E est dite bornée. Proposition Si une partie A de E admet un maximum (respectivement un minimum) celui-ci est unique. On le note max(a) (respectivement min(a)). On pourra donc dire (s il existe) le maximum de A ou le minimum de A. 18

19 Exercice 2.5 Démontrer la proposition précédente. En analyse on a très souvent, pour un ensemble donné de nombres réels, à chercher à le majorer et à le minorer ou, comme on dit, à en trouver un encadrement. Il est naturel de rechercher le meilleur encadrement possible et pour cela on est amené à introduire les définitions suivantes : Définition Soit un ensemble E muni d une relation d ordre notée et soit A une partie de E. On dit qu un élément S de E est la borne supérieure de A si S est le minimum de l ensemble des majorants de A. On note S = sup A. De même, on dit que s est la borne inférieure de A, notée inf A, si s est le maximum de l ensemble des minorants de A. Pour que S soit la borne supérieure de A il faut et il suffit, par conséquent, que deux conditions soient remplies : S est un majorant de A aucun élément de E strictement inférieur à S n est un majorant de A. Dans le cas où l ensemble E est l ensemble R qui est totalement ordonné pour la relation d ordre, on a S = sup A si on a : (i) a A, a S, (ii) b < S, a A, b < a. Mise en garde! Il existe des ensembles ordonnés E et des parties A de E telles que A admet des majorants sans avoir de borne supérieure. Par contre, comme l affirme l axiome de la borne supérieure (voir 2.4 plus bas), ceci ne peut se produire dans l ensemble des nombres réels. Une partie A peut admettre une borne supérieure sans avoir de maximum. Par contre on pourra vérifier en exercice que : Proposition Si une partie A d un ensemble ordonné E admet un maximum, celui-ci est nécessairement sa borne supérieure. Exemple 2.6 Dans l ensemble des réels, l ensemble ]0, 1[ admet la borne supérieure 1 mais n admet pas de maximum. L ensemble [0, 1] admet le maximum 1. L ensemble N n admet pas de majorant (et, a fortiori, pas de borne supérieure). Exercice 2.7 Dans l ensemble P(Ω) des parties d un ensemble Ω, muni de la relation d ordre inclusion symbolisée par, on considère une partie finie {A 1, A 2,..., A m }. Démontrer que cet ensemble admet comme borne supérieure l élément A 1 A 2 A m Applications bornées Soit E un ensemble quelconque et F un ensemble muni d une relation d ordre. Soit f une application de E dans F. On dit que f est une application majorée (resp. minorée) sur E par l élément m de F si m est un majorant (resp. minorant) de l ensemble image f(e). Autrement dit si, pour tout x E, on a f(x) m (resp. m f(x)). Si f est à la fois majorée et minorée, on dit que c est une application bornée. 19

20 Exercice 2.8 Montrer que l application de R dans R définie par x e x2 est une application bornée. Notation. Soit D une partie de l ensemble de départ E. Si l ensemble f(d), image de D par f, admet dans F une borne supérieure S, on pourra écrire S = sup f(d) ou S = sup {f(x) ; x D} ou S = sup x D f(x). De même pour la borne inférieure Applications monotones. Définition Soit E un ensemble muni d une relation d ordre et F un ensemble muni d une relation d ordre. Soit f une application de E dans F. On dit que f est une application croissante si, pour tout couple (x, y) d éléments de E, on a x y = f(x) f(y). On dit que f de E dans F est strictement croissante si, pour tout couple (x, y) d éléments de E, on a x y = f(x) f(y). Définition analogue pour décroissante et strictement décroissante. Une application qui est soit croissante soit décroissante est dite monotone. Elle est dite strictement monotone si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante. Le cas le plus important que nous allons considérer dans ce module est celui où E = F = R muni de la relation d ordre usuelle. Exercice 2.9 On suppose E totalement ordonné. Montrer qu une application strictement monotone de (E, ) dans (F, ) est une application injective de E dans F. Exercice 2.10 Soit E un ensemble muni d une relation d ordre notée. Soient f et g deux applications monotones de E dans lui-même. Montrer que l application composée f g est monotone. Montrer que si f et g sont strictement monotone, alors f g est strictement monotone. Montrer par un exemple que f g peut être strictement monotone sans que ni f ni g ne le soit. Exercice 2.11 L ensemble N est muni de la relation d ordre divise notée et l ensemble P(N ) de ses parties est muni de la relation d ordre inclusion. À tout entier k on associe l ensemble D(k) des entiers qui divisent k et l ensemble M(k) des multiples de k. Montrer que les applications k D(k) et k M(k) sont des applications monotones de (N, ) dans (P(N ), ) L ensemble ordonné N des entiers naturels En tant qu ensemble ordonné, l ensemble N joue un rôle particulier. En effet, les entiers naturels ne servent pas seulement à dénombrer, c est-à-dire à mesurer une quantité d objets, mais aussi à numéroter c est-à-dire à donner aux éléments d un ensemble un numéro d ordre. Cela repose sur les propriétés fondamentales que possède la relation d ordre sur N et qui peuvent servir d axiomes pour définir cet ensemble : Axiome. L ensemble N est un ensemble non vide, muni d une relation d ordre totale pour laquelle a) N n admet pas de plus grand élément. 20

21 b) Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Les propriétés a) et b) ont pour conséquences immédiates que : (i) N admet un plus petit élément. On convient de le noter 0. (ii) Pour tout n N l ensemble des éléments de N strictement supérieurs à n admet un plus petit élément qu on appelle le successeur de n et qu on convient de noter n + 1. c) Tout élément de N distinct de 0 est le successeur d au moins un élément de N. Autrement dit l application n n + 1 est une application surjective de N sur l ensemble N \ {0} (qui est aussi noté N ). Exercice 2.12 Montrer que cette application est en fait bijective. À l aide d un système de numération, comme le système décimal, on représente par des symboles les successeurs successifs de 0 : par exemple le successeur de 0 par 1, celui de 1 par 2 etc. À partir des propriétés précédentes prises pour axiome de définition de l ensemble N on peut bâtir toute l arithmétique. On commence par établir la validité du raisonnement par récurrence tel qu il est énoncé dans la proposition suivante : Proposition Raisonnement par récurrence. Soit A une partie de N vérifiant : (1) 0 A. (2) Quelque soit n N, on a (n A = n + 1 A). Alors A = N. Démonstration : Montrons cette proposition en raisonnant par l absurde : supposons que A N. Le complémentaire N \ A de A dans N admet (propriété b)) un plus petit élément que nous noterons m et qui ne peut être 0 puisque 0 A par hypothèse (1). Mais alors (propriété c)) m est le successeur d un entier n et cet entier appartient nécessairement à A (sinon m ne serait pas le plus petit élément de N \ A). L hypothèse (2) entraîne alors que le successeur de n, qui est m, appartient à A ce qui contredit la définition de m. Remarque. Plus généralement, pour tout entier n 0, on montre que si une partie B de N vérifie n 0 B et n N (n B = (n+1) B), alors B contient tous les entiers supérieurs ou égaux à n 0. On montre ensuite qu on peut définir des applications par récurrence. Pour cela on démontre (nous l admettrons) le corollaire suivant de la proposition Proposition Soit un ensemble E et une application f : E E. Pour tout élément a de E, il existe une application unique u : N E vérifiant (i) u(0) = a (ii) n N, u(n + 1) = f(u(n)). Remarque. Une application de N dans un ensemble E s appelle une suite (voir chapitre 3) et on écrit le plus souvent u n pour u(n). Avec cette notation les conditions (i) et (ii) prennent la forme u 0 = a et u n+1 = f(u n ). Nous étudierons plus loin en détail les suites de nombres réels définies par récurrence. C est à l aide de cette proposition qu on peut définir précisément l addition et la multiplication des nombres entiers. 21

22 Exercice 2.13 Montrer par récurrence les formules suivantes : pour tout entier n, n = n(n + 1) n 2 n(n + 1)(2n + 1) =. 6 ( ) 2 n(n + 1) n 3 =. 2 La notation. La notation des sommes du type de celles de l exercice précédent à l aide de petits points ne convient pas pour des expressions plus compliquées. On écrit alors, par exemple n a 1 + a a n = a k. Dans cette notation, l indice de sommation k a un usage purement interne ; comme on dit en informatique, c est une variable locale. On peut changer la lettre k en toute autre lettre sans rien changer à la formule. Comme autre exemple d application du raisonnement par récurrence démontrons la proposition suivante : Proposition Soit n un entier non nul et E un ensemble ayant n éléments. On suppose que E est totalement ordonné pour une relation d ordre notée. Alors E admet un élément maximum et un élément minimum. Démonstration : Nous allons raisonner par récurrence sur le nombre n d éléments. Soit P(n) la proposition : Tout ensemble totalement ordonné ayant n éléments admet un maximum. Soit B l ensemble des entiers n strictement positifs tels que P(n) est vraie. La proposition P(1) est vraie puisque si E a un seul élément celui-ci est un maximum. Donc 1 B. Supposons que que n soit un entier supérieur où égal à 1 tel que P(n) soit vraie. Montrons qu alors P(n + 1) est vraie. Pour cela, soit E un ensemble totalement ordonné ayant n + 1 éléments. Soit a un élément quelconque de E. L ensemble E \{a} est un ensemble totalement ordonné ayant n éléments. Puisque P(n) est supposée vraie, il admet un maximum. Notons m ce maximum. Alors, puisque E est totalement ordonné, on a ou bien a m et m est un maximum de E, ou bien m a et, par transitivité de l ordre, c est a qui est un maximum de E. Par conséquent P(n + 1) est vraie. On a prouvé que, pour n 1, n B = (n + 1) B et donc que B contient tous les entiers supérieurs ou égaux à 1. L existence d un minimum est montrée de manière analogue À partir de l ensemble N des entiers naturels dans lequel la soustraction n est pas toujours possible on construit l ensemble Z des entiers relatifs. Nous prendrons pour acquis les propriétés des opérations +, et de la relation d ordre dans Z. Montrons simplement, à titre d exemple, le résultat suivant : Proposition Toute partie non vide minorée (resp. majorée) de Z admet un minimum (resp. un maximum). Démonstration : Soit A une partie non vide de Z admettant pour minorant m. L ensemble B = {x m ; x A} est un ensemble non vide d entiers appartenant à N. Il admet donc k=1. 22

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique :

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique : Université Bordeaux 1 Licence de Sciences, Technologies, Santé Mathématiques, Informatique, Sciences de la Matière et Ingénierie M1MI1002 Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique Fondamentaux

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

B03. Ensembles, applications, relations, groupes

B03. Ensembles, applications, relations, groupes B03. Ensembles, applications, relations, groupes Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 6 janvier 2006 Table des matières 1 Calcul propositionnel 2 2 Ensembles 5 3 Relations 7 4 Fonctions, applications

Plus en détail

Leçon 1: les entiers

Leçon 1: les entiers Leçon 1: les entiers L ensemble N des entiers naturels Compter, dresser des listes, classer et comparer des objets interviennent dans de multiples activités humaines. Les nombres entiers naturels sont

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements

Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Exo7 Logique et raisonnements Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Quelques motivations Il est important d avoir un langage rigoureux. La langue

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Université Paris Diderot Langage Mathématique (LM1) Département Sciences Exactes 2011-2012 Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Durée : 3 heures Exercice 1 Dans les expressions suivantes, les

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Exercices à savoir faire

Exercices à savoir faire Licence 1 Mathématiques 2014 2015 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n o 2 Théorie des ensembles, applications Exercices à savoir faire Théorie des ensembles Exercice 1 Soit F l ensemble des femmes. Qu

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit (x 1, x 2 ) E 2. La propriété

Plus en détail

BASES DU RAISONNEMENT

BASES DU RAISONNEMENT BASES DU RAISONNEMENT P. Pansu 10 septembre 2006 Rappel du programme officiel Logique, différents types de raisonnement. Ensembles, éléments. Fonctions et applications. Produit, puissances. Union, intersection,

Plus en détail

Langage mathématique

Langage mathématique Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1 e année Langage mathématique Eric Dumas, Emmanuel Peyre et Bernard Ycart

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini

Plus en détail

Cours d algebre pour la licence et le Capes

Cours d algebre pour la licence et le Capes Cours d algebre pour la licence et le Capes Jean-Étienne ROMBALDI 6 juillet 007 ii Table des matières Avant-propos Notation v vii 1 Éléments de logique et de théorie des ensembles 1 11 Quelques notions

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Relations binaires. 1 Produits cartésiens et graphes. 2 Relations binaires. 1.1 Produit cartésien E F. 1.2 Graphe dans E F. 2.

Relations binaires. 1 Produits cartésiens et graphes. 2 Relations binaires. 1.1 Produit cartésien E F. 1.2 Graphe dans E F. 2. Relations binaires 1 Produits cartésiens et graphes 1.1 Produit cartésien E F Soient E et F deux ensembles non vides. E F = {(x; y) / x E et y F } Si E = F, E F = E 2 (carré cartésien) Soit (a; b) E F.

Plus en détail

Relations d ordre et relations d équivalence

Relations d ordre et relations d équivalence CHAPITRE 1 Relations d ordre et relations d équivalence 1.1 Définition Une relation sur un ensemble E est un sous-ensemble R de l ensemble E E, produit cartésien de E par lui-même. Par exemple, si E =

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Cours d algèbre. Maths1 LMD Sciences et Techniques. Par M. Mechab

Cours d algèbre. Maths1 LMD Sciences et Techniques. Par M. Mechab Cours d algèbre Maths1 LMD Sciences et Techniques Par M. Mechab 2 Avant Propos Ceci est un avant projet d un manuel de la partie Algèbre du cours de Mathématiques de premières années LMD Sciences et techniques

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Éléments de logique et de théorie des ensembles

Éléments de logique et de théorie des ensembles 1 Éléments de logique et de théorie des ensembles Pour les exemples et exercices traités dans ce chapitre les ensembles usuels de nombres entiers, rationnels réels et complexes sont supposés connus, au

Plus en détail

Cahier de textes Mathématiques

Cahier de textes Mathématiques Cahier de textes Mathématiques Mercredi 6 janvier : cours 2h Début du chapitre 12 - Convergence de suites réelles : 12.1 Convergence de suites : suites convergentes, limites de suites convergentes, unicité

Plus en détail

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES I. Logique. II. Ensemble. III. Relation, fonction, application. IV. Composition, réciprocité. V. Relation d

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Définitions. Si E = F on dit. (x, y) / G R signifie que x n est pas en relation avec y. 32/137. Exemple

Définitions. Si E = F on dit. (x, y) / G R signifie que x n est pas en relation avec y. 32/137. Exemple I Introduction II Wims Cours de Mathématiques IUT Orsay DUT INFORMATIQUE 1A - Semestre 1 III Calcul ensembliste IV Relations binaires, applications V Logique VI Raisonnement par récurrence, suites récurrentes

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence Nous notons N l ensemble des entiers naturels : N = {0,,, } Nous dirons naturel au lieu de entier naturel Le principe du raisonnement par récurrence Soit A une partie de

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel Master ICA Spécialité IHS Année 2007/2008 Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel I) Relations binaires 1. Généralités Définition 1 : Une relation binaire d un ensemble E vers

Plus en détail

Logique et théorie des ensembles

Logique et théorie des ensembles Université de Metz Licence de Mathématiques 1ère année, 1er semestre Logique et théorie des ensembles par Ralph Chill Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz Année 2007/08 1 Contenu Chapitre

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Mathématiques pour l'informatique? Au programme. Objectif du semestre

Mathématiques pour l'informatique? Au programme. Objectif du semestre Mathématiques pour l'informatique? Calcul des Ensembles David Teller 09/02/2007 Q L'informatique, au juste, c'est quoi? A L'informatique, c'est : de l'électronique de la théorie des processus de la linguistique

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Mathématiques MPSI. Pierron Théo. ENS Ker Lann

Mathématiques MPSI. Pierron Théo. ENS Ker Lann Mathématiques MPSI Pierron Théo ENS Ker Lann 2 Table des matières I Algèbre 1 1 Ensembles 3 1.1 Vocabulaire général........................ 3 1.2 Opérations sur les parties d un ensemble............ 4

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1

CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1 Université Paris 7 U3MI36 CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1 4.1 Formes normales Définitions : 1) Une formule F est sous forme normale disjonctive si et seulement si il existe

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection.

Plus en détail

Programme du Math1. Chapitre 1. 22/09/2013 بالتوفيق. Math1 L1 Semestre 1 SM ST. Bibliographie: 1. Notions de Logique. 2. Ensembles

Programme du Math1. Chapitre 1. 22/09/2013 بالتوفيق. Math1 L1 Semestre 1 SM ST. Bibliographie: 1. Notions de Logique. 2. Ensembles /09/013 Programme du Math1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Mathématiques Math1 L1 Semestre 1 SM ST Dr M ZIDANI-BOUMEDIEN 1 Ensembles, Relations, Applications Structures

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Ensembles-Applications

Ensembles-Applications Ensembles-Applications Exercice 1 : Soient A = {1,2,3} et B = {0,1,2,3}. Décrire les ensembles A B, A B et A B. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soient A = [1,3] et B = [2,4]. Déterminer

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Logique informatique 2013-2014. Examen

Logique informatique 2013-2014. Examen Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions

Plus en détail

TD: Ensembles, applications, dénombrement

TD: Ensembles, applications, dénombrement Université de Provence Année 011/1 Licence Math Info ème année S3 Fondements de l Informatique 1 Ensembles et fonctions TD: Ensembles, applications, dénombrement 1. On suppose que l ensemble de tous les

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Université Sultan Moulay Slimane

Université Sultan Moulay Slimane Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences et techniques de Beni Mellal Année universitaire : 2012/2013 Cours du Module Algèbre I Abdesselam BOUARICH Deuxième version : 14/01/2013 Table des

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

(3.22) Interchangeabilité mutuelle : p q r p q r

(3.22) Interchangeabilité mutuelle : p q r p q r Préséance (priorité) des opérateurs (1) [x := e] (substitution textuelle) (prioritéélevée) (2). (application de fonction) (3) + P (opérateurs unaires préfixes) (4) / mod pgcd (5) + (opérateurs binaires)

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Chapitre 3. Eléments pour comprendre et écrire des démonstrations

Chapitre 3. Eléments pour comprendre et écrire des démonstrations Chapitre 3 Eléments pour comprendre et écrire des démonstrations Une des tâches essentielles en mathématique est de chercher à s assurer que telle ou telle proposition est vraie ou fausse. Il ne suffit

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Cours polycopié pour le module UE8 (Mathématiques II)

Cours polycopié pour le module UE8 (Mathématiques II) Université Paul Sabatier - UFR MIG - Département de mathématiques. Année scolaire 2007/2008. Cours polycopié pour le module UE8 (Mathématiques II) Conventions. Dans ce qui suit, les mots en italiques sont

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +

Plus en détail

Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions

Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions Chapitre 11 Premières Notions sur les fonctions 1. Exemples Exemple 1 La distance parcourue par une automobile en un temps donné varie en fonction de sa vitesse. Faire deux phrases utilisant les mots suivants.

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Préparation aux épreuves écrites du CAPES Conseils de rédaction

Préparation aux épreuves écrites du CAPES Conseils de rédaction Préparation aux épreuves écrites du CAPES Conseils de rédaction Claire Debord Le texte qui suit est une libre compilation de plusieurs textes sur le même thème, notamment ceux de Christophe Champetier

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

Ensembles et applications. Motivations. Exo7

Ensembles et applications. Motivations. Exo7 o7 nsembles et applications Vidéo partie 1. nsembles Vidéo partie 2. Applications Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo partie 4. nsembles finis Vidéo partie 5. Relation d'équivalence

Plus en détail

COURS MPSI A.1.IV.NOTIONS DE BASE : RELATIONS R. FERRÉOL 13/14

COURS MPSI A.1.IV.NOTIONS DE BASE : RELATIONS R. FERRÉOL 13/14 IV) RELATIONS. 1) Définition. DEF : une relationrest définie par la donnée d unensemblededépart E, d unensembled arrivée F et d un ensemble G de couples(x,y) avecxdanse ety dansf (autrement dit, G est

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques

Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Vandana BHANDARI Marc-Olivier CZARNECKI P R E P AMA TH Collection dirigée par Éric MAURETTE Sommaire Algèbre Notionsdebase... 1,2 Arithmétique...

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail