COURS DE THERMODYNAMIQUE

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1 1 I.U.. de Saint-Omer Dunkerque Département Génie hermique et énergie COURS DE HERMODYNAMIQUE 4 e semestre Olivier ERRO

2 able des matières 1 Mathématiques pour la thermodynamique Dérivées partielles Différentielles totales Relations liant les dérivées partielles Relation liant les coefficients thermoélastiques d un fluide Coefficients calorimétriques d un fluide Introduction Expression de δw Expression de δq déduite de la différentielle du Expression de δq déduite de la différentielle dh Etude d un fluide homogène : Généralités : coefficients calorimétriques d un fluide Relations entre les coefficients calorimétriques Relation déduite des propriétés des différentielles totales : généralités Relation déduite des propriétés des différentielles totales : couple, Relation déduite des propriétés des différentielles totales : couple, Relation de Mayer généralisée Relation entre les coefficients calorimétriques : conclusion 26 4 Etude thermodynamique des gaz parfaits Introduction Energie interne d un gaz parfait Enthalpie d un gaz parfait Equation d un gaz parfait Relation de Mayer pour un gaz parfait Chaleurs massiques pour les gaz parfaits Entropie d un gaz parfait pour une mole

3 ABLE DES MAIÈRES Entropie d un gaz parfait : applications Étude thermodynamique des gaz réels Compressibilité des gaz réels Equation caractéristique de gaz réels Équation de an der Walls [ mise sous ] la forme fy, = dy Etude de la dérivée d = Comportement asymptotique du produit lorsque Existence d un minimum de compressibilité pour une valeur de

4 Chapitre 1 Mathématiques pour la thermodynamique 1.1 Dérivées partielles Si f est une fonction de deux variables indépendantes x et y, fx, y s appelle une fonction explicite des variables x et y. L étude des variations de f peut se décomposer selon trois cas : x varie et y reste constant ; y varie et x reste constant ; x varie et y varie. Lorsque x varie et y reste constant, fx, y n est fonction que de la variable x. Les variations de f par rapport à x s étudient à l aide de la dérivée de f par rapport à x avec y constant, qui se nomme la dérivée partielle de f par rapport à x à y constant : f f x + x, y fx, y = lim x x 0 y x 1.1 De même, les variations de f par rapport à y s étudient à l aide de la dérivée partielle de f par rapport à y à x constant qui a pour expression : f f x, y + y fx, y = lim y y 0 x y 1.2 4

5 CHAIRE 1. MAHÉMAIQUES OUR LA HERMODYNAMIQUE5 1.2 Différentielles totales Lorsque x et y varient, les variations de f s étudient à l aide de la différentielle totale donnée par : df = f. dx + x y f. dy 1.3 y x 1.3 Relations liant les dérivées partielles Soit fx, y, z = 0 une fonction à trois variables. Les variations du système sont totalement décrites à partir des variations de deux des variables, la troisième se déduisant des deux autres par la relation fx, y, z = 0. Chacune des variables peut être considérée comme une fonction des deux autres qui deviennent les variables indépendantes. fx, y, z = 0 x = xy, z y = yx, z z = zx, y Si x = xy, z, x est considéré comme une fonction de y et z : dx = x. dy + y z x. dz 1.4 z y Si y = yx, z, y est considéré comme une fonction de x et z : dy = y. dx + x z y. dz 1.5 z x Remplaçons dans l équation 1.4, dy par son expression donnée par l équation 1.5 : x y x y x dx = dx + dz + dz y z x z y z z x z y Soit en regroupant les termes : dx 1 x y z y = dz x z x y z y + z x x z y

6 CHAIRE 1. MAHÉMAIQUES OUR LA HERMODYNAMIQUE6 où dx et dz sont des variations indépendantes de x et z auxquelles on peut donner des valeurs arbitraires. dx 1 x y z Si dx 0 et dz = 0 y = dz x z 1 x y z x y z y = 0 x z y + z x x z y x = y z 1 y x z 1.6 Remarque : Cette relation est vérifiée quelque soit la variable : dx 1 Si dx = 0 et dz 0 x y z x y z y + z x x = y z y = z x z = x y y = dz x z 1 y x z 1 z y 1 x z x y x = 0 or z y x z y y + z x x = z y x z y 1 z x y

7 CHAIRE 1. MAHÉMAIQUES OUR LA HERMODYNAMIQUE7 soit : x y z y z x z = x y 1.4 Relation liant les coefficients thermoélastiques d un fluide Supposons que l équation d état d un fluide soit de la forme : f,, = 0 =, =, =, où, et sont respectivement la pression, le volume et la température. On appelle : Coefficient de dilatation thermique à pression constante : α = 1 Coefficient de compressibilité isotherme : χ = 1 Coefficient de variation de pression à volume constant : β = 1 D après la relation1.7 en remplaçant x, y et z par, et : = 1

8 CHAIRE 1. Avec : MAHÉMAIQUES OUR LA HERMODYNAMIQUE8 = 1 = α = 1 = 1 χ = 1 β Remplaçons les dérivées partielles par les coefficients thermoélastiques : 1 1 α = 1 χ β α = β χ 1.8

9 Chapitre 2 Coefficients calorimétriques d un fluide 2.1 Introduction La réduction d un système à un gaz parfait permet d écrire que les fonctions du et dh ne dépendent que de la température. our un gaz réel ces quantités s expriment en fonction de deux variables. 2.2 Expression de δw. Nous cherchons à exprimer δw en fonction de 2 des 3 variables, et Nous avons trois possibilités selon le couple de variables choisies : 1. Expression de δw, δw,, δw, et δw, δw, = d Expression de δw, A partir de l expression δw = d exprimons d en fonction des variables et soit : d = d + d 9

10 CHAIRE 2. COEFFICIENS CALORIMÉRIQUES D UN FLUIDE10 δw, = d + d Expression de δw, δw, s écrit en fonction du couple, en exprimant la pression comme fonction des variables soit : δw, =, d 2.3 Remarque : expression du travail pour un gaz parfait,, δw, = d δw, = d + d Calculons les dérivées partielles pour un gaz parfait : = n R = 2 = 2 = n R δw, = d + n R d = d n R d = n R d n R d Cette expression pouvait être obtenue directement en différenciant l équation des gaz parfaits : = n R d + d = n R d d = d n R d, δw, =, d = n R d

11 CHAIRE 2. COEFFICIENS CALORIMÉRIQUES D UN FLUIDE11 Conclusion : pour un gaz parfait :,,, δw, = d δw, = n R δw, = n R d n R d d 2.3 Expression de δq déduite de la différentielle du Comme pour la quantité δw, cherchons à exprimer δq en fonction de 2 des 3 variables, et. D après le premier principe : δq = du δw Nous avons donc 3 expressions possibles :, δq, = du, δw,, δq, = du, δw,, δq, = du, δw, 1. Couple, U osons : U δq, = du, δw, U U = d + d + d U U = d + + d = m λ + = µ

12 CHAIRE 2. COEFFICIENS CALORIMÉRIQUES D UN FLUIDE12 δq, = m λ d + µ d Couple, δq, = du, δw, U U = d + d + d Cette expression ne présente pas d intérêt, les variations de Q s exprimant ici en fonction des variations des 3 variables d, d et d. 3. Couple, U osons : U δq, = du, δw, U U = d + d + d U U = d + + d = m c + = l δq, = m c d + l d Expression de δq déduite de la différentielle dh Remarque : Nous venons d exprimer δq à l aide de la différentielle du. Nous pouvons également exprimer δq à partir de la différentielle dh :

13 CHAIRE 2. COEFFICIENS CALORIMÉRIQUES D UN FLUIDE13 δq = du + d = d H + d = dh d d + d = dh d 1. Couple, osons : δq, = dh, d H H = d + d d H H = d + d H H 2. Couple, = m λ = µ δq, = m λ d + µ d 2.6 osons : δq, = dh, d H H = d + d d H H = d + d H H = m h = m c δq, = m c d + m h d 2.7

14 CHAIRE 2. COEFFICIENS CALORIMÉRIQUES D UN FLUIDE14 3. Couple, δq, = dh, d H H = d + d d Cette expression ne présente pas d intérêt, les variations de Q s exprimant ici en fonction des variations des 3 variables d, d et d.

15 CHAIRE 2. COEFFICIENS CALORIMÉRIQUES D UN FLUIDE15 Expression de δq : conclusion A partir des expressions de δq en fonction des différentielles des fonctions U et H, nous avons obtenu 6 expressions : δq, = du + d Q, = m λ d + µ d λ = 1 m µ = δq, = dh d δq, = m λ d + µ d λ = 1 m δq, = du + d sans intérêt U U + H µ = δq, = dh d δq, = m c d + m h d c = 1 m h = 1 m δq, = du + d δq, = m c d + l d c = 1 m δq, = dh, d sans intérêt l = H H H U U +

16 CHAIRE 2. COEFFICIENS CALORIMÉRIQUES D UN FLUIDE16 Remarques : erminologie : c = 1 m c = 1 m l = h = 1 m U H : chaleur massique à volume constant : chaleur massique à pression constante U + : chaleur latente de dilatation isotherme H : chaleur latente de compression isotherme Selon que l on emploie la fonction U ou la fonction H l expression des coefficients change : λ = 1 U = 1 H m m µ = U + = H ariables extensives et variables intensives : Certains coefficients sont précédés de la masse du système coefficients intensifs, tandis que d autres ne le sont pas coefficients extensifs, exemple : δq, = m c d + l d Cette distinction est nécessaire pour généraliser la formule à une partie quelconque du système. Définition Une variable est dite intensive si elle ne varie pas lorsque les dimensions du système varient : exemple la température

17 CHAIRE 2. COEFFICIENS CALORIMÉRIQUES D UN FLUIDE17,,,,, 2, Dans la formule δq, = m c d + l d : δq, est extensif. d est extensif. d est intensif mais le produit m c d est extensif.

18 Chapitre 3 Etude d un fluide homogène : 3.1 Généralités : coefficients calorimétriques d un fluide La quantité de chaleur δq peut s exprimer de 3 façons différentes selon le couple de variables utilisées : δq, = m c d + l d δq, = m λ d + µ d δq, = m c d + m h d Remarques : 1. Dans l expression δq, = m c d + l d : c est une fonction des variables, et s écrit c, l est une fonction des variables, et s écrit l, δq, s écrit : δq, = m c, d + l, d La quantité de chaleur δq s exprime donc selon le couple de variables utilisées : δq, = m c, d + l, d 18

19 CHAIRE 3. EUDE D UN FLUIDE HOMOGÈNE : 19 δq, = m λ, d + µ, d δq, = m c, d + m h, d 2. Equivalence des expressions en,,, et, Montrons que ces trois expressions sont équivalentes. Considérons le cycle suivant : + d D C isotherme + d A B + d Expression des échanges de chaleur : our chaque transformation du cycle, nous cherchons à écrire δq sous la forme : δq = X dy A B isobare de à + d δq AB = m c d B C isotherme de à + d δq BC = m h d C D isobare de + d à δq CD = µ d D A isochore de + d à δq DA = m λ d our le cycle complet l échange de chaleur est égal à : δq cycle = m c d + m h d µ d m λ d Evaluation des échanges de travail δw = à la surface du cycle soit δw < 2 d d

20 CHAIRE 3. EUDE D UN FLUIDE HOMOGÈNE : 20 La valeur absolue du travail est donc un infiniment petit du deuxième ordre, négligeable devant l échange de chaleur qui est un infiniment petit du premier ordre. δw + δq = 0 se réduit donc à δq = 0 soit : m c d + m h d µ d m λ d = 0 m c d + m h d = µ d + m λd δq, = δq, 3.2 Relations entre les coefficients calorimétriques Considérons une transformation isobare. our l unité de masse δq s écrit : δq = c d + l d = µ d = c d Si = C te, µ = c d d µ = c Si = C te, l = c c d d d l = c c d Considérons maintenant une transformation isochore. our l unité de masse δq s écrit : Si = C te, λ = c d d δq = c d = c d + h d = λ d λ = c d d Si = C te, h = c c d d

21 CHAIRE 3. EUDE D UN FLUIDE HOMOGÈNE : Relation déduite des propriétés des différentielles totales : généralités Nous allons établir de nouvelles relations entre les coefficients calorimétriques en exprimant que l énergie interne U et l entropie S sont des différentielles totales 1. ropriété : Soit fx, y une fonction à deux variables. La différentielle totale df de la fonction f s écrit : Et l on a : df = Ax, y. dx + Bx, y. dy Ax, y y x Bx, y = x y Relation déduite des propriétés des différentielles totales : couple, Expression de U et S 1. Fonction U du = δw, + δq, = d + c d + l d à constant : c = du soit c = d à constant : l = du d Relation entre les dérivées croisées : = c d + l d U soit l = U du = c d + l d 1 oir Cours de mathématiques spéciales, Comissaire et Cagnac, tome 2, p 342

22 CHAIRE 3. EUDE D UN FLUIDE HOMOGÈNE : 22 c = l Fonction S à constant : c = ds d à constant : l = ds d ds = c d + l d S soit c = S soit l = Relations entre les dérivées croisées : ds = c d + l d 1 c = 1 l l 2 c = l l 3.2 Comparons les équations 3.1 et 3.2 : c c = = Soit la 1 re relation de Clapeyron : l l l

23 CHAIRE 3. EUDE D UN FLUIDE HOMOGÈNE : 23 l = Dérivons maintenant l équation par rapport à la variable à constant et substituons le résultat dans l équation 3.2 l 2 l = = + 2 or c l = l d après = + 2 et donc : c = Relation déduite des propriétés des différentielles totales : couple, Expression de U et S 1. Fonction U du = δw, + δq, = d + c d + h d = d + d + c d + h d = c d + h d

24 CHAIRE 3. EUDE D UN FLUIDE HOMOGÈNE : 24 du = c d + h d Relation entre les dérivées croisées : [ ] [ c = c 2 = h h ] 2 c = h Fonction S ds = δq, à constant : c = ds d soit = c d + h d à constant : h = ds d soit h = S c = S ds = c d + h d Relation entre les dérivées croisées : 1 c = 1 h h 2 c = h h 3.5

25 CHAIRE 3. EUDE D UN FLUIDE HOMOGÈNE : 25 Comparons les équations 3.4 et 3.5 : Soit la 2 e relation de Clapeyron : c h = c h = h h = 3.6 Dérivons maintenant l équation 3.6 et substituons le résultat dans l équation 3.5 or h = et donc : c h h = h d après = = 2 c 2 = Relation de Mayer généralisée A partir des deux relations définissant la fonction l il vient : l = c c l = c c = 3.8

26 CHAIRE 3. EUDE D UN FLUIDE HOMOGÈNE : Relation entre les coefficients calorimétriques : conclusion µ = c λ = c U c = c = S c = S l = c = l = c = 2 2 l = c c h = c c U l = l S c = S h = l c c = l h = c = = 2 2 h h h c c =

27 Chapitre 4 Etude thermodynamique des gaz parfaits 4.1 Introduction En partant de la description générale des systèmes à trois variables liées par une équation d état, nous allons rechercher les caractéristiques des gaz parfaits. Deux démarches sont alors envisageables : 1. A partir de l équation des gaz parfaits, nous pouvons déterminer l expression des coefficients calorimétriques c, c, l, h,... et donc en déduire le comportement du système dans des conditions déterminées. 2. A partir des lois de Joule, Gay-Lussac,.. retrouver directement l équation d état des gaz parfaits. 4.2 Energie interne d un gaz parfait Expression de du du = δw + δq = d + c, d + l, d Calcul du coefficient l pour un gaz parfait : l, = et = n R n R l, = = = 27

28 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS28 du = d + c, d + l, d avec l, = du = c, d A priori U est donc une fonction des variables et. Montrons que c, ne dépend pour un gaz parfait que de la variable. c Calcul de la dérivée partielle pour un gaz parfait : = n R c = = n R = n R = 0 c = 0 c, ne dépend pas de la variable pour un gaz parfait. c, ne dépendant pas de la variable pour un gaz parfait. du = c d 1 re loi de Joule : un gaz vérifie la 1 re loi de Joule si son énergie interne ne dépend que de la température : U B U A = Remarque : B Enfin si c ne dépend pas de la température : A c d U B U A = c B A

29 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS Enthalpie d un gaz parfait Expression de dh dh = du + d + d = δq + δw + d + d = c d + h d d + d + d = c d + h d + d = c d + h + d Expression de dh dh = c d + h + d Calcul du coefficient h pour un gaz parfait : h, = et = n R n R h, = = = dh = c, d + h, + d avec h, = dh = c, d A priori H est donc une fonction des variables et. Montrons que c, ne dépend pour un gaz parfait que de la variable.

30 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS30 Enthalpie d un gaz parfait c Calcul de la dérivée partielle c = pour un gaz parfait : 2 2 = n R = n R 2 2 = n R = 0 c = 0 c, ne dépend pas de la variable pour un gaz parfait. dh = c d 2 e loi de Joule : un gaz vérifie la 2 e loi de Joule si son enthalpie ne dépend que de la température : H B H A = Remarque : B Enfin si c ne dépend pas de la température : A c d H B H A = c B A 4.4 Equation d un gaz parfait Nous pouvons définir un gaz parfait comme un fluide vérifiant les deux lois de Joule soit :

31 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS31 1 re loi de Joule : U est fonction uniquement de soit : l = = 2 e loi de Joule : H est fonction uniquement de soit : h = = 1 re loi de Joule : l = = à = C te d = d = ϕ 2 e loi de Joule : h = = à = C te d = d = ψ Éliminons entre les deux équations : il vient } = ϕ = = ψ ϕ ψ ψ = ϕ Le premier membre de cette équation ne dépend que de, tandis que le second membre ne dépend que de, on a donc : ψ = ϕ = C te = K ψ = K ψ = K

32 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS32 La 2 e loi de Joule s écrit : = ψ = K soit : = K ϕ = K ϕ = K La 1 re loi de Joule s écrit : = ϕ = K soit : Détermination de la constante K : = K Loi d Avogadro : Les molécules de tous les gaz parfaits occupent le même volume dans les conditions normales : our une mole on a : K = R = , = 8, 315 J. K 1. mole Relation de Mayer pour un gaz parfait Si l unité de masse est le kg la loi des gaz parfaits s écrit = r et d après 3.8 c c = = r = r Si l unité de masse est le kg : c c = r c c = r r = r Si l unité de masse est la mole : C C = R

33 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS Chaleurs massiques pour les gaz parfaits En posant γ = c c = C C on a : c = R γ 1 c = γ R γ 1 On démontre que : pour les gaz parfaits monoatomiques : c = 5 2 R, c = 3 2 R, γ = 5 3 = 1, 66 pour les gaz parfaits diatomiques : c = 7 2 R, c = 5 2 R, γ = 7 5 = 1, Entropie d un gaz parfait pour une mole ds = δq d rev Expression de δq pour un gaz parfait : δq = c d + l d = c d + d = c d + h d = c d d = λ d + µ d Calcul de λ et µ pour un gaz parfait λ = c µ = c = R = R λ = c R = c

34 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS34 = R µ = c R = c our un gaz parfait δq s écrit : δq = c d + d = c d d = c d + c Expression de δs pour un gaz parfait : d δs = c d + d = c d + R d = c d d = c d R d = c d + c d Si c et c sont indépendants de la température, S B S A = c ln B A + R ln B A couple :, = c ln = c ln B A B A R ln + c ln B A B A couple :, couple :, our n moles la variation d entropie est :

35 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS35 S B S A = n c ln B A + n R ln B A couple :, = n c ln = n c ln B A B A n R ln + n c ln B A B A couple :, couple :, 4.8 Entropie d un gaz parfait : applications 1. Application 1 : un gaz occupe tout le volume qui lui est offert. Exprimons la variation d entropie d un gaz en fonction du couple, : S B S A = c ln B A + R ln B L entropie est donc une fonction croissante du volume et de la température. Si = C te et si croît, la variation d entropie est positive : la transformation est irréversible. 2. Application 2 : Diffusion de deux gaz. Considérons la diffusion de deux gaz A et B initialement à la même température 0 et à la même pression 0 A n A n B n A + n B A B A + B État initial 1 0 A = n A R 0 0 B = n B R 0 État final 2 0 A + B = n A + n B R 0

36 CHAIRE 4. EUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ ARFAIS36 La variation d entropie du gaz A est : A + B S 2 S 1 A = n A R ln La variation d entropie du gaz B est : A + B S 2 S 1 B = n B R ln La variation d entropie totale est : A + B A + B S = n A R ln + n B R ln A A B S > 0 le mélange des deux gaz est irrréversible. B

37 Chapitre 5 Étude thermodynamique des gaz réels Diverses études menées sur la compressibilité ont montré que : 1. Aucun gaz ne suit la loi de Mariotte : = C te pour une isotherme ; 2. A = C te le produit passe par un minimum, si est inférieure à une certaine température M ; 3. La liquéfaction d un gaz ne peut s observer que si la température est inférieure à une certaine température C ; La loi des gaz parfaits ne permet ni de comprendre ni d interpréter le comportement des gaz à mesure que la pression croît. 5.1 Compressibilité des gaz réels On appelle facteur de compressibilité d un gaz à la température la grandeur : Z = R our un gaz parfait Z = 1, quelle que soit la température considérée. Représentation de la compressibilité d un gaz pour plusieurs températures. 37

38 CHAIRE 5. ÉUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ RÉELS 38 Z 1 1 > > Représentation de la compressibilité de différents gaz : température fixe. Z 1 N 2 C 2 H 4 C O 2 Conclusion L étude expérimentale de la compressibilité d un gaz réel montre que : 1. our chaque température, il existe une courbe de compressibilité, ayant pour origine = 0 et Z = 1 ; [ ] dz 2. Selon la température, la pente à l origine peut être positive, négative ou nulle ; d =0 [ ] dz 3. Lorsque la pente à l origine est négative < 0 il existe d =0 un minimum de compressibilité ; 4. Les remarques précédentes s appliquent à tous les gaz.

39 CHAIRE 5. ÉUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ RÉELS Equation caractéristique de gaz réels Nous cherchons à modifier l équation des gaz parfaits, en tenant compte des faits expérimentaux suivants : 1. La pression d un gaz réel est inférieure à la pression du gaz parfait correspondant la diffusion des molécules diminue l énergie cinétique des molécules.. ; = G.. δ 2. Le volume occupé par un gaz réel est supérieur au volume que ce gaz occuperait s il était parfait il faut ajouter au volume libre le volume occupé par les autres molécules = G.. + δ En remplaçant G.. et G.. dans l équation des gaz parfaits : + δ δ = R De nombreuses variantes existent pour exprimer δ et δ en fonction des variables et. L expression la plus utilisée est l expression de an der Walls : our 1 mole : + a 2 b = R our n mole : + n2 a n b = n R 2 b se nomme le covolume. 5.3 Équation de an der Walls mise sous la forme fy, = 0 Déterminons l équation liant la compressibilité en fonction de de la pression : remplaçons dans l équation de an der Walls par Y : 2 + a b = R 2

40 CHAIRE 5. ÉUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ RÉELS 40 Y 2 Y + a b = R Y 2 2 Y 2 + a Y b = R Y 2 Y 3 + Y 2 b R + a Y a b 2 = aleur de Y = en = 0 Si = 0 l équation devient Y 3 Y 2 R = 0 Y 2 Y R = 0 = 0 Y = = R En = 0 la compressibilité du gaz est égale à celle d un gaz parfait Etude de la dérivée Différencions l équation 5.1 [ dy ] d =0 Y 3 + Y 2 b R + a Y a b 2 = 0 3 Y 2 dy + 2 Y dy b R + Y 2 b d +a dy + a Y d 2a b d = 0 dy [ 3 Y 2 + 2Y b R + a ] + d [ b Y 2 + a Y 2a b ] = Si on étudie la différentielle en = 0 soit Y = R dy [ 3 Y 2 + 2Y b R + a ] + d [ b Y 2 + a Y 2a b ] = 0

41 CHAIRE 5. ÉUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ RÉELS 41 dy [ 3 R R R ] + d [ b R a R ] = 0 dy [ R 2 2] + d [ b R a R ] = 0 Si = 0 et Y = R alors dy [ R 2 2] + d [ b R a R ] = 0 [ ] dy = b R2 2 a R = b a d R =0 2 2 R [ ] dy = b a d R =0 En = 0, le produit est égal à R pour un gaz de an der Walls La pente de la courbe = f est nulle au point = 0 si = a R b = M La pente de la courbe = f est positive en = 0 si > M La pente de la courbe = f est négative en = 0 si < M Z > a R b 1 = a R b a < R b

42 CHAIRE 5. ÉUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ RÉELS Comportement asymptotique du produit lorsque Si alors Donc : + a 2 R b = + a 0 b 2 a a + a 2 b 2 2 L équation de an der Walls devient : b = R soit Y = R + b La compressibilité admet lorsque une asymptote de pente b : Z Z = 1 + b R 1 Z = Existence d un minimum de compressibilité pour une valeur de D après l équation 5.2 on a : dy [ 3 Y 2 + 2Y b R + a ] +d [ b Y 2 + a Y 2a b ] = 0

43 CHAIRE 5. ÉUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ RÉELS 43 dy d = [b Y 2 a Y + 2a b ] [3 Y 2 + 2Y b R + a ] dy d = 0 [ b Y 2 a Y + 2a b ] = 0

44 CHAIRE 5. ÉUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ RÉELS 44 Existence d un minimum de compressibilité pour une valeur de dy d = 0 [ b Y 2 a Y + 2a b ] = 0 C est l équation d une parabole d axe parallèle à : Y a b lieu des minimums a 2 b Recherchons les coordonnées du sommet de la parabole lieu des minimum de de compressibilité : Différencions l équation de la parabole soit : b Y 2 a Y + 2a b = 0 2 Y b dy a dy + 2 a b d = 0 dy d = 2 a b 2 Y b a dy d = Y = a 2 b Coordonnées du sommet de la parabole lieu des minimum de de compressibilité :

45 CHAIRE 5. ÉUDE HERMODYNAMIQUE DES GAZ RÉELS 45 Y Z = R a br lieu des minimums a 2bR 1 a 8 b 2 Compressibilité d un gaz de van der Walls L équation de an der Walls permet de prendre en compte les résultats expérimentaux suivants : 1. Selon la température, la pente à l origine peut être positive, négative ou nulle ; 2. Lorsque la pente à l origine est négative un minimum de compressibilité ; [ dy ] d =0 [ dy ] d =0 < 0 il existe

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