COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

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1 CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires une application Z : Ω R 2 ω (X(ω), Y(ω)) où X et Y sont des variables aléatoires sur (Ω, P). On note alors Z = (X, Y). On a Z(Ω) = (X, Y)(Ω) = {(X(ω), Y(ω)); ω Ω} et X(Ω) Y(Ω) = {(X(ω), Y(ω )); (ω, ω ) Ω 2 }. On a donc Z(Ω) X(Ω) Y(Ω), sans l égalité en règle générale. Exemple 13.1 On lance deux dés à quatre faces équilibrés, l un vert dont on note A le résultat, l autre rouge dont on note B le résultat. Déterminer X(Ω), Y(Ω) et (X, Y)(Ω) dans chacun des cas suivants : 1. X = A et Y = B ; 2. X = min(a, B) et Y = max(a, B)) ; 3. X = A et Y = A + B. 1.1 Loi d un couple Proposition 13.2 Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). On note X(Ω) = {x 1,..., x n } et Y(Ω) = {y 1,..., y p }. La famille ( [X = x i ] [Y = y j ] ) est un système complet d événements. 1 i n 1 j p En notant p i, j = P ( [X = x i ] [Y = y j ] ), on a donc (i, j) 1, n 1, p, 0 p i, j 1 p i, j = n p p i, j = p n p i, j = 1 1 i n 1 j p i=1 j=1 j=1 i=1 Lycée du Parc 851 1

2 1.1.a Définition 13.3 Loi conjointe Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). On appelle loi conjointe du couple (X, Y) l application P (X,Y) : X(Ω) Y(Ω) [0, 1] (x, y) P([X = x] [Y = y]) s Avec les notations utilisées plus haut, on a donc P X,Y : (x i, y j ) p i, j. Déterminer la loi (conjointe) d un couple, c est donc déterminer X(Ω), Y(Ω) puis les p i, j. Si l on connaît les p i, j, on en déduit (X, Y)(Ω) : c est l ensemble des (x i, y j ) X(Ω) Y(Ω) tels que p i, j 0. Exercice 13.2 On tire successivement et sans remise deux boules dans une urne contenant au départ 2 boules rouges et 3 boules noires. On note X (respectivement Y) la variable aléatoire qui vaut 1 si la première (respectivement deuxième) boule tirée est rouge, 0 sinon. Déterminer la loi du couple Z = (X, Y). 1.1.b Définition 13.4 Lois marginales Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). On appelle première loi marginale de Z la loi de X, deuxième loi marginale de Z la loi de Y. Proposition 13.5 Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). En notant X(Ω) = {x 1,..., x n } et Y(Ω) = {y 1,..., y p }, on a i 1, n, P([X = x i ]) = p P ( [X = x i ] [Y = y j ] ) = p j=1 j 1, p, P([Y = y j ]) = n P ( [X = x i ] [Y = y j ] ) = n i=1 p i, j j=1 p i, j i=1 La connaissance de la loi d un couple permet donc de retrouver les lois marginales. En revanche, il n est pas possible de déterminer la loi d un couple s il on ne connaît que les lois marginales : deux couples peuvent avoir des lois différentes alors qu ils ont les mêmes lois marginales. Exercice 13.3 Exercice En reprenant la situation de l exercice 13.2, déterminer les lois marginales de Z. 2. Déterminer de même les lois de X, de Y et de Z = (X, Y ) si le tirage se fait avec remise. On considère α R, n N et un couple Z = (X, Y) de variables aléatoires tel que Z(Ω) N de loi : P([X = i] [Y = j]) = αi j si 1 i j n P([X = i] [Y = j]) = 0 sinon. 1. Déterminer Z(Ω) et α. Lycée du Parc 851 2

3 2. Retrouver les lois marginales de X et de Y. 1.1.c Définition 13.6 Lois conditionnelles Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). Pour y Y(Ω), on appelle loi conditionnelle de X sachant [Y = y] l application qui à x X(Ω) associe P ([X = x] [Y = y]) P ([Y = y]) Avec les notations usuelles, on a alors P [Y=y j ]([X = x i ]) = = P [Y=y] ([X = x]) p i, j P([Y=y i ]). s p On définit de même la loi conditionnelle de Y sachant [X = x i ] et l on a P [X=xi ]([Y = y j ]) = i, j P([X=x i ]). La connaissance de la loi de Y et des lois conditionnelles de X sachant [Y = y j ] pour chacun des y j de Y(Ω) est suffisante pour déterminer la loi conjointe du couple (X, Y) (et donc également la loi de X). Exercice 13.5 En reprenant la situation et les notations de l exercice 13.3, déterminer les lois conditionnelles de Y sachant X = 1 et de Y sachant X = Indépendance de deux variables aléatoires Définition 13.7 Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). X et Y sont dites indépendantes si, pour tout (x, y) X(Ω) Y(Ω), les événements [X = x] et [Y = y] sont indépendants. On note alors X Y. On a donc X Y (x, y) X(Ω) Y(Ω), P([X = x] [Y = y]) = P([X = x]) P([Y = y]) X et Y sont indépendantes ssi les lois conditionnelles de X sachant [Y = y] pour y Y(Ω) sont toutes égales à la loi de X. Exercice 13.6 On considère une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On tire successivement deux jetons et l on note X le numéro du premier jeton tiré, Y celui du deuxième. Donner les lois de X et de Y et indiquer si X et Y sont indépendantes dans les deux cas suivants : 1. le tirage se fait avec remise ; 2. le tirage se fait sans remise. Proposition 13.8 Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors pour toutes parties A, B de R, on a P([X A] [Y B]) = P([X A]) P([Y B]) C est en fait une équivalence, mais la réciproque n a pas d intérêt (elle est évidente). Lycée du Parc 851 3

4 Proposition 13.9 Si X et Y sont deux variables de Bernoulli, alors X Y P([X = 1] [Y = 1]) = P([X = 1])P([Y = 1]) C est assez logique : deux variables de Bernoulli sont indépendantes ssi le succès de l une est indépendant du succès de l autre. Exercice 13.7 Soient p un réel, X et Y deux variables de Bernoulli dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant : X \ Y p p 1 p 1 2 p 1. Quelles valeurs peut prendre p? 2. Déterminer les lois marginales de X et Y, ainsi que leurs espérances et leurs variances. 3. Pour quelles valeurs de p les variables X et Y sont-elles indépendantes? Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et f : R R. Si X Y, alors f (X) f (Y). Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). Si X est certaine, alors X et Y sont indépendantes. Exercice 13.8 Soient X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur 3, 1 1, 3. On définit la variable aléatoire Y qui vaut 1 si X > 0, 1 si X < Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 2. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 3. Les variables X 2 et Y sont-elles indépendantes? 1.3 Variables du type f (X, Y) Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et f : X(Ω) Y(Ω) R. On définit f (X, Y) par f (X, Y) : Ω R ω f (X(ω), Y(ω)) f (X, Y) est une variable aléatoire sur Ω. En la notant Z, sa loi est donnée par : Z(Ω) = {g(x, y) ; (x, y) (X, Y)(Ω)} z Z(Ω), P(Z = z) = P([X = x] [Y = y]) f (x,y)=z Lycée du Parc 851 4

5 Tout le problème est d énumérer correctement les couples (x, y) tels que f (x, y) = z. Les exemples les plus importants sont traités dans la section suivante, mais on peut s entraîner sur l exemple suivant : Exercice 13.9 Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P), on pose Z = XY. Déterminer la loi de Z (on distinguera les cas P([Z = 0]) et P([Z = x]), x R ). Dans les cas les plus simples, le bon sens peut suffire : Exercice Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires dont la loi est donnée par Déterminer la loi de X + Y et celle de XY. 1.3.a Proposition X \ Y /30 6/30 6/30 1/30 1 3/30 8/30 3/ /30 1/ Loi du minimum, du maximum, de la somme Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) à valeurs dans N. En posant Z = X + Y, on a Z(Ω) N et n N, P(X + Y = n) = Si de plus X et Y sont indépendantes, on a en fait n N, P(X + Y = n) = n P([X = k] [Y = n k]). k=0 n P([X = k]) P([Y = n k]). k=0 Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) suivant une loi uniforme sur 1, n. On pose Z = X + Y. 1. On suppose que X Y. Déterminer la loi de Z. 2. Donner un exemple (avec X et Y non indépendantes!) pour lequel Z est une variable certaine. Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). En posant Z = max(x, Y) et T = min(x, Y), on a Z(Ω), T(Ω) X(Ω) Y(Ω) et x Z(Ω), P(max(X, Y) = x) = P([X = x] [Y < x]) + P([Y = x] [X x]) x T(Ω), P(min(X, Y) = x) = P([X = x] [Y > x]) + P([Y = x] [X x]) Il est en fait souvent plus judicieux de passer par la fonction de répartition : P([max(X, Y) x]) = P([X x] [Y x]). Lycée du Parc 851 5

6 Exercice Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) indépendantes, à valeurs dans Z. On pose T = min(x, Y) et Z = max(x, Y). Exprimer F T et F Z en fonction de F X et F Y, en déduire une expression simple des lois de T et de Z. Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) suivant une loi uniforme sur 1, n. On pose Z = min(x, Y). 1. On suppose que X Y. Déterminer la loi de Z. 2. Donner un exemple (avec X et Y non indépendantes!) pour lequel Z U( 1, n ). 3. En supposant que n est pair, donner un exemple pour lequel Z U ( 1, n 2 ). 1.3.b Théorème Transfert Théorèmes majeurs Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et g : X(Ω) Y(Ω) R. On a E(g(X, Y)) = g(x, y)p([x = x] [Y = y]) x X(Ω) y Y(Ω) Exercice On dispose d une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On tire sans remise deux jetons, et l on note X le plus grand des numéros obtenus. Déterminer E(X). Théorème Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P), p ]0, 1[ et m, n N. Si X B(n, p) et Y B(m, p) X et Y sont indépendantes alors X + Y B(n + m, p) s Attention aux hypothèses : il faut que les deux binomiales aient le même paramètre p et qu elles soient indépendantes. C est intuitivement assez naturel : si l on compte le nombre de succès dans une série de n expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre p (c est ce que fait X) et qu on y ajoute le nombre de succès dans une autre série de m expériences de paramètre p, indépendante de la première, cela revient au même que de faire une seule série de m + n expériences. Lycée du Parc 851 6

7 1.4 Covariance et corrélation 1.4.a Définition Covariance Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). On appelle covariance de X et Y, et l on note Cov(X, Y), le réel Cov(X, Y) = E ( [X E(X)][Y E(Y)] ) Proposition Soient X, Y, Z des variables aléatoires sur (Ω, P) et a, b, c, d R. Cov(X, X) = V(X) 0 Cov(X, Y) = Cov(Y, X) Cov(aX + by, Z) = a Cov(X, Z) + b Cov(Y, Z) Cov(X, ay + bz) = a Cov(X, Y) + b Cov(X, Z) Cov(aX + b, cy + d) = ac Cov(X, Y) Cov(X, a) = 0 Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) positivité symétrie linéarité à gauche linéarité à droite formule de Huygens s Les quatre premiers points caractérisent une forme bilinéaire symétrique positive. L avant-dernier point signifie que si Y est certaine, alors Cov(X, Y) = 0. Comme pour la variance, on utilisera très souvent la formule de Huygens pour les calculs effectifs de covariance. Exercice Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires dont la loi est donnée par Déterminer la covariance de X et Y. X \ Y /30 6/30 6/30 1/30 1 3/30 8/30 3/ /30 1/ Théorème Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). On a V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y) 1.4.b Théorème Cas des variables indépendantes Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) indépendantes. On a alors E(XY) = E(X)E(Y) Cov(X, Y) = 0 V(X + Y) = V(X) + V(Y) Lycée du Parc 851 7

8 s Attention, il ne s agit pas d une équivalence : il existe des couples (X, Y) de variables aléatoires dont la covariance est nulle mais qui ne sont pas indépendantes. On peut combiner ce théorème avec la propriété Ainsi, si X et Y sont indépendantes et f : R R, alors E( f (X) f (Y)) = E( f (X))E( f (Y)). Exemple Soient X U( n, n et Y = X 2. On a Cov(X, Y) = 0 et pourtant X et Y ne sont pas indépendantes (Y est même entièrement déterminé par X). Exercice On vous propose de jouer, au choix, à l un des trois jeux suivants. Dans tous les cas, on vous fait tirer dans un sac contenant des jetons numérotés de 1 à n. Les variantes sont les suivantes : A : vous tirez deux fois de suite, sans remise, et vous gagnez le produit des numéros tirés, en euros. B : vous tirez deux fois de suite, avec remise, et vous gagnez le produit des numéros tirés, en euros. C : vous tirez une seule fois et vous gagnez le carré du numéro tiré, en euros. Dans l optique de maximiser vos gains, quelle variante faut-il choisir? Et si on vous propose de choisir entre les mêmes variantes, mais dans lesquelles on a remplacé produit et carré par somme et double? 1.4.c Théorème Inégalité de Cauchy-Schwarz Coefficient de corrélation linéaire Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(x)σ(y) 0. On a Cov(X, Y) 2 V(X)V(Y) i.e. Cov(X, Y) σ(x)σ(y) De plus, on a égalité ssi il existe a, b R tels que Y = ax + b. σ(x)σ(y) 0 signifie que ni X ni Y n est certaine. Définition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(x)σ(y) 0. Le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y est le nombre réel, noté ρ(x, Y), défini par ρ(x, Y) = Cov(X, Y) σ(x)σ(y) Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(x)σ(y) 0. On a 1 ρ(x, Y) 1. ρ(x, Y) = 1 ssi Y = ax + b avec a > 0 et b R. ρ(x, Y) = 1 ssi Y = ax + b avec a < 0 et b R. Si X et Y sont indépendantes, alors ρ(x, Y) = 0. Si λ, µ R +, alors ρ(λx, µy) = ρ(x, Y). Lycée du Parc 851 8

9 s Un coefficient de corrélation linéaire est une grandeur sans dimension et sans unité (dite aussi grandeur scalaire). Le dernier point signifie qu il est indépendant des unités choisies pour X et Y (ce qui est heureux puisqu il est censé avoir un «sens physique»). Si ρ(x, Y) > 0, on dit que X et Y sont corrélées positivement, si ρ(x, Y) < 0 qu elles sont corrélées négativement, si ρ(x, Y) = 0 qu elles ne sont pas corrélées. Une corrélation positive signifie que Y a «tendance à augmenter» quand X augmente (et, ce qui revient au même, que Y a «tendance à augmenter» quand X augmente). Une corrélation négative signifie que Y a tendance à diminuer quand X augmente, une absence de corrélation qu une augmentation de X n a pas d influence sur la «valeur moyenne» de Y. Un coefficient de corrélation linéaire «proche de 1» en valeur absolue signifie que Y peut être «bien approchée» par une fonction affine de X, croissante si le coefficient est positif, décroissante sinon. C est une question centrale en statistiques (moins en probabilités). Deux variables sont non corrélées (linéairement) ssi leur covariance est nulle. Comme vu plus haut, cela ne signifie pas nécessairement qu elles sont indépendantes (sauf dans le cas très particulier de la propriété qui suit). Proposition Soient X et Y deux variables de Bernoulli su (Ω, P). On a Cov(X, Y) = 0 ρ(x, Y) = 0 X Y La première équivalence est évidente (et n a rien à voir avec le fait que X et Y soient des variables de Bernoulli) ; la deuxième, en revanche, n est vraie que si X et Y sont de Bernoulli. 2 Extension à n variables 2.1 Famille de variables mutuellement indépendantes Définition Soit (X 1,..., X n ) une famille de n variables aléatoires sur (Ω, P). Les variables X 1,..., X n sont dites deux à deux indépendantes si i, j 1, n, i j X i X j mutuellement indépendantes si (x 1,..., x n ) X 1 (Ω) X n (Ω), P([X 1 = x 1 ] [X n = x n ]) = P([X 1 = x 1 ]) P([X n = x n ]) s Les définitions coïncident dans le cas n = 2 : deux variables aléatoires sont indépendantes ssi elles sont mutuellement indépendantes. Si l on parle de n variables aléatoires indépendantes sans précision supplémentaire, il faut comprendre mutuellement indépendantes. Proposition Si (X 1,..., X n ) est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, alors c est également le cas pour toute sous-famille de (X 1,..., X n ). Lycée du Parc 851 9

10 En particulier, on en déduit que si X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes alors elles sont deux à deux indépendantes. Attention, la réciproque est fausse comme le montre l exercice suivant. Exercice On lance deux fois de suite une pièce équilibrée et l on définit les variables aléatoires X qui vaut 1 si le premier lancer donne «face», 0 sinon ; Y qui vaut 1 si le deuxième lancer donne «face», 0 sinon ; Z qui vaut 1 si les deux lancers donnent le même résultat, 0 sinon. Montrer que X, Y et Z sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes. Théorème Lemme des coalitions Soient (X 1,..., X n ) une famille de variables aléatoires sur (Ω, P) ; p 2, n 1 f : R p R et g : R n p R f 1,..., f n : R R. Si les variables X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes, alors : les variables aléatoires f (X 1,..., X p ) et g(x p+1,..., X n ) sont indépendantes ; les variables aléatoires f 1 (X 1 ),..., f n (X n ) sont mutuellement indépendantes. Exemple Si X, Y, Z et T sont mutuellement indépendantes, alors : X + Y + Z et T sont indépendantes ; XY et Z + T 2 sont indépendantes ; X, Y 2, T sin(t) et e Z sont (mutuellement) indépendantes. 2.2 Espérance et variance Proposition Soient X 1,..., X n des variables aléatoires sur (Ω, P). On a n V(X X n ) = V(X i ) + 2 Cov(X i, X j ) i=1 1 i< j n Proposition Soient X 1,..., X n des variables aléatoires mutuellement indépendantes sur (Ω, P). On a n V(X X n ) = V(X i ) i=1 n n E X i = E(X i ) i=1 i=1 Lycée du Parc

11 L espérance étant linéaire, on a bien sûr E(X X n ) = E(X 1 ) + + E(X n ) que les variables X 1,..., X n soient indépendantes ou non. Exercice Dans une urne contenant au départ N boules dont une proportion p est rouge, on tire successivement et sans remise n boules. Pour 1 i n, on note X i la variable aléatoire qui vaut 1 si la i-ème boule tirée est rouge, 0 sinon, et l on pose X = n X i. i=1 1. Justifier que chacune des X i (1 i n) suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres. En déduire E(X). 2. Calculer Cov(X i, X j ) pour 1 i < j n et en déduire V(X). 3. Quel résultat de cours a-t-on ainsi retrouvé? 2.3 Loi binomiale et loi de Bernoulli Théorème Soient X 1,..., X n des variables de Bernoulli mutuellement indépendantes de même paramètre p ]0, 1[. On a alors X X n B(n, p) Réciproquement, si X B(n, p), alors X peut s écrire X = X X n avec les (X i ) 1 i n mutuellement indépendantes et qui suivent toutes une loi de Bernoulli de paramètre p. Exercice Retrouver à l aide de ce théorème, sans calcul ou presque, les résultats du chapitre précédent sur l espérance et la variance d une variable suivant une loi binomiale. Lycée du Parc

12 Exercice Travaux dirigés Soit n N. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n. Pour tout k [[1, n]], l urne k contient k boules numérotées de 1 à k. On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne. On note X le numéro de la boule tirée. Déterminer la loi de X. Exercice On considère n personnes qui se répartissent aléatoirement dans p hôtels H 1,..., H p. Pour i 1, p, on note X i le nombre de personnes qui choisissent l hôtel H i. 1. Déterminer la loi de chacune des variables X i. Ces variables sont-elles a priori mutuellement indépendantes? Exercice On suppose dans cette question que p = 3. a. Déterminer la loi de X 1 + X 2 ainsi que sa variance. b. Quel signe peut-on s attendre à trouver pour ρ(x 1, X 2 )? Calculer ce coefficient de corrélation linéaire et confirmer ainsi l intuition. 3. On s intéresse maintenant au nombre Y d hôtels qui reçoivent au moins un client. Pour 1 i p, on pose Y i la variable aléatoire qui vaut 0 si l hôtel H i est vide, 1 sinon. a. Exprimer Y en fonction des (Y i ) 1 i p. b. Déterminer la loi de Y i pour 1 i p. c. En déduire E(Y) en fonction de p et de n. d. On étudie à présent ce qui se passe quand l un, l autre, ou les deux paramètres tendent vers +. i. Déterminer la limite de E(Y) quand p + (n fixé). Pouvait-on prévoir ce résultat? ii. Mêmes questions quand n +, p fixé. iii. On suppose à présent n = p, et l on fait tendre n vers +. Déterminer la limite de E(Y) puis de E(Y) n et interpréter ces résultats. Un chat se fait chaque jour les griffes, soit sur le canapé soit sur les rideaux. Il ne se fait jamais les griffes deux jours de suite sur le canapé ; s il se fait les griffes sur les rideaux un jour donné, alors il choisira le lendemain le canapé avec une probabilité 1/3. Le premier jour, il attaque les rideaux. On définit la variable aléatoire X n égale au nombre de jours où le chat a fait ses griffes sur les rideaux parmi les n premiers jours. Calculer E(X n ). On pourra décomposer X n en une somme de variables de Bernoulli bien choisies. Exercice Une urne, de grande contenance, contient 3 boules vertes et 7 boules bleues. On effectue des tirages avec remise : à chaque tirage on remet la boule et on en rajoute deux de la couleur tirée. Soient S n la variable aléatoire donnant le nombre de boules bleues tirées au cours des n premiers tirages et X n la variable de Bernoulli valant 1 si une boule bleue est tirée au n-ème tirage, et 0 sinon. 1. Déterminer la loi de X 1, son espérance et sa variance. 2. Trouver la loi conditionnelle de X 2 sachant [X 1 = 0], puis la loi conditionnelle de X 2 sachant [X 1 = 1]. En déduire la loi du couple (X 1, X 2 ), puis celle de X 2. Les variables X 1 et X 2 sont-elles indépendantes? 3. Calculer P(X n+1 = 1 S n = k) en fonction de k et n. En déduire P(X n+1 = 1) en fonction de n et E(S n ). Lycée du Parc

13 4. Montrer, par récurrence sur n N, que : P(X n = 1) = 7 10 et E(S n ) = 7 10 n. Exercice Une puce se déplace par sauts unitaires indépendants sur un axe gradué. Au temps t = 0 elle est en 0. Elle saute vers la droite avec la probabilité p ]0, 1[ et vers la gauche avec la probabilité 1 p. Soient X i la variable aléatoire valant 1 si elle saute à droite et 1 si elle saute à gauche au i-ème saut, et X la position de la puce après n sauts. 1. Donner la loi de X i, son espérance et sa variance. Exercice Exprimer X en fonction des X i pour 1 i n. En déduire E(X) et V(X). 3. Soit z R. Donner la loi de z X i, et son espérance. En déduire g(z) = E(z X ). 4. Comparer g (1) et E(X). On effectue une série de tirages dans une urne de la manière suivante : au départ, l urne contient une boule blanche et une boule noire ; après chaque tirage, on remet dans l urne la boule que l on vient de tirer ainsi qu une autre boule de la même couleur. On note X n le nombre de boules blanches obtenues lors des n premiers tirages (n N.). Montrer que X n U( 0, n ). Exercice On effectue p tirages avec remise dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On note X 1,..., X p les résultats des tirages successifs et Y = max(x 1,..., X p ). 1. Déterminer la fonction de répartition de Y puis sa loi. 2. En déduire que E(Y) = n n 1 ) p. Exercice k=1 ( k n 3. Que peut-on prévoir comme comportement pour E(Y) quand p tend vers + et n est fixé? Vérifier par le calcul. 4. On admet (on y reviendra au chapitre prochain) que En déduire la limite de E(Y) n 1 n 1 ( ) p k 1 x p dx. n n n + 0 k=0 quand n +, p fixé. On considère une suite (X n ) n 1 de variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de même paramètre p ]0, 1[. Pour n N, on pose Y n = max(x n, X n+1 ) et S n = n i=1 Y i. 1. Déterminer la loi, l espérance et la variance de Y n pour n N. 2. Déterminer l espérance et la variance de S n pour n N. 3. En déduire à l aide de l inégalité de Bienaymé-Tchebychev que ( S n ε > 0, P n (2p ) p2 ) ε 0 n + Lycée du Parc

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