INTRODUCTION A LA MECANIQUE ANALYTIQUE. Formalisme de Lagrange. Philippe Hautcoeur Philippe.Hautcoeur@ac-nantes.fr SOMMAIRE. page 2.

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1 SOMMAIRE Chpte - cpe es tvu pussces vtuelles ébule : fféetelles et évées vtuelles Dfféetelles vtuelles Dévée vtuelle Déplceet et vtesse vtuels : éftos Déplceet vtuel tesse vtuelle 3 Tvl et pussce vtuels cpe e Alebet 3 Défto 3 cpe e Alebet 33 éche los e l pplcto u pcpe e Alebet 34 Applcto Eecce pplcto Chpte - Eutos e Lgge INTRODUCTION A LA MECANIUE ANALYTIUE Folse e Lgge Rppels : pcpe e Alebet et pussce vtuelle tesses vtuelles coptbles vec les lsos telles u elles estet à l stt t Cofguto u sstèe à l stt t Lsos posées u sstèe les lsos holoôes les lsos o-holoôes 3 Eeple 3 tesses vtuelles coptbles vec les lsos telles u elles estet à l stt t 3 Eeples 3 ussce vtuelle éveloppée p les ctos écues 3Foe gééle e l pussce 4 ussce vtuelle éveloppée p les uttés ccéléto 5 Foe gééle es éutos e Lgge 5 Nouvelle éctue u pcpe e Alebet 5 Cho es vtesses vtuelles 53 Clcul e l pussce vtuelle s uelues cs ptcules couts 53 ussce vtuelle éveloppée p les ctos écues ppluées à u sole pft s ue tsfoto vtuelle 53 ussce vtuelle éveloppée p les ctos e lsos téeues s ue tsfoto vtuelle 533 ussce vtuelle éveloppée p les ctos oées évt u potetel s ue tsfoto vtuelle 534 Cs es sstèes à lsos pftes pou lesuels les foces oées évet toutes u potetel 54 Eutos e Lgge pou u chp e vtesses vtuelles coptble vec les lsos holoôes et les lsos o-holoôes : les ultplcteus e Lgge 55 te s l écoposto es foces géélsées 6 Utlsto es éutos e Lgge pou étee es coues e lso 6 le pcpe 6 eeple u peule sple 7 Itégles peèes 7 Itégle peèe lée p ppot u 7 Itégle peèe e levé 8 Sthèse Eecces pplcto pge hlppe Hutcoeu hlppehutcoeu@c-tesf pge

2 cpe es tvu pussces vtuelles ébule : fféetelles et évées vtuelles Dfféetelles vtuelles sot ue focto e vbles,,,t : f, t s fféetelle éelle est : f f f t où et sot les fféetelles es et t S t est le teps, les vtos es pètes s effectuet suvt es los t et f est fleet ue focto u teps p l teée es éfto, o ppelle fféetelle vtuelle e f à l stt t l epesso : f f p ppot à l epesso pécéete, le teps est «fgé», 0 eeple : f, ψ, t s ωt ϕ f 3 Dévée vtuelle s ωt ϕ f s ωt ϕ cos ωt ϕ ψ ω cos ωt ϕ ψ sot ue focto e vbles,,, t : f, t s évée éelle est : f f f t où les sot les évées es t éfto, o ppelle évée vtuelle e f à l stt t fgé l epesso : eeple : f f f, ψ, t s ωt ϕ f s ωt ϕ ω ϕ cos ωt ϕ f s ωt ϕ ϕ cos ωt ϕ Déplceet et vtesse vtuels : éftos Déplceet vtuel L posto u pot M est éfe p so vecteu posto OM, t S o ssle le éplceet éléete ftésl u pot M à s fféetelle éelle : OM OM OM t o peut ssoce u éplceet vtuel u pot M à s fféetelle vtuelle : OM OM le éplceet vtuel est gééleet oté : δ M tesse vtuelle δm u soeet logue u pécéet, l vtesse éelle u pot M s éct : OM M OM OM t O ppelle los vtesse vtuelle u pot M l évée vtuelle e OM, t : M OM 3 Tvl et pussce vtuels cpe e Alebet 3 Défto Rsoos su ue ptcule M Le tvl vtuel est le ésultt u pout scle ue foce ppluée à l ptcule p u éplceet ftésl coçu e ehos u teps ue ous vos ppelé pécéeet éplceet vtuel : pge 3 pge 4

3 cpe es tvu pussces vtuelles δ W F M δm δa δb AB δα où p loge, δα se ue otto vtuelle De l êe èe, ous pouvos éf l pussce vtuelle coe étt le pout scle ue foce ppluée à l ptcule p s vtesse vtuelle ue ous vos éà éfe : F M M 3 cpe e Alebet Le pcpe foetl pplué à ue ptcule s éct : F F S ous ultplos scleet p u vecteu U les eu ebes e l epesso pécéete, ous obteos : U F U F U F U t, U F et A B AB Ω où p loge, Fleet, le pcpe e Alebet pou u sole, s éc : Ω se u tu e otto vtuel le tvl vtuel l pussce vtuelle e l utté ccéléto u sole p ppot à u epèe gllée est s toute tsfoto vtuelle égle à l soe es tvu vtuels pussces vtuelles e toutes les ctos écues etéeues ppluées u sole 33 éche los e l pplcto u pcpe e Alebet Le cho u chp e éplceet vtuel es vtesses vtuelles se ft e focto es effots ue l o souhte pule O v oc chos u chp e éplceet e vtesses u fe «tvlle» ces effots eos l eeple splste ue tble epost su ces ute pes Cec étt v pou pote uel vecteu U et épeeet u teps ous pouvos éce p eeple : δ M F δm F δm Fδ M où δm epésete le tvl vtuel e l utté ccéléto et les F δm le tvl vtuel es foces ppluées O e éut ue peèe foe u pcpe e Alebet : δ ou pos δ ou héece ou ue ptcule, le tvl vtuel e l utté ccéléto glléee est s tout éplceet vtuel égl à l soe es tvu vtuels e toutes les foces ppluées Ms, ous pouvos uss éce : M F M F pge 5 M F epesso u tut ue secoe foe u pcpe e Alebet : M ou ue ptcule, l pussce vtuelle e l utté ccéléto glléee est s toute tsfoto vtuelle égle à l soe es pussces vtuelles e toutes les foces ppluées Ds le ce e l écue u sole éfoble, ous evos pee e copte es chps e éplceet vtuel ou e vtesse vtuelle gft, c est à e véft l elto e go : Celle c est oble et ucu effot tvlle, p coséuet u obsevteu etéeu ucue ée es effots u gsset su cette tble Néos, pou évlue le pos e l obet, l obsevteu esse e souleve l tble D ute pt pou évlue les effots tgetels e cotct us à l héece es pes su le sol, l obsevteu fe glsse l tble etc coséuet, s le pee cs, s o souhte éce ue éuto fst teve le pos p le pcpe es tvu pussces vtuels, o chos u éplceet ue vtesse suvt De l êe èe, e chossst u éplceet ue vtesse suvt, o éc ue éuto pet e copte les effots tgetels 34 Applcto O se popose e étee le couple Γ écesse à pplue à u ouleu clue u eote ue pete e oult ss glsse : pge 6

4 cpe es tvu pussces vtuelles Γ sot : Γ δ T δ J δ Γ T J Le o e l bse u ouleu et le oet ete u ouleu p ppot à, sot otés espectveet et J D ute pt, seuls,α,, J, et sot cous L pplcto u pcpe foetl u ouleu s so ouveet peet éce tos éutos : T g sα N g cosα 0 Γ T J uss l coo e ouleet ss glsseet e I peet éce ue elto ete et, ce u peet e oe l epesso u couple e focto es oées Appluos le pcpe es tvu vtuels : ous evos s u pee teps étee les uttés ccéléto s le ouveet éel u ouleu, c est à e le toseu ue u ouveet u ouleu p ppot à l pete : ouleu/ pete { D } ouleu/ pete δ ouleu / pete J -g tet, l fut fe «tvlle» le couple Γ e chossst ue otto vtuelle -δ Ms tteto, s ce ouveet vtuel, l coposte tgetelle T v uss tvlle et ppt s l éuto : W couple Γ W T W le pos, l coposte ole N e tvlle s ce ouveet vtuel Ce u oe : α N I T Ds cette éuto, u o éà écte e pplut le théoèe u oet u ouleu e poecto su, ppît T u est ue coue Doc l ée cosste à éce ue ute éuto ot T e focto es geus coues Fsos «tvlle» T e chossst u éplceet vtuel δ O éc los ue s ce éplceet vtuel : W T W pos W Ds le éplceet vtuel eteu, le couple Γ, l coposte ole N e tvlle O obtet los : Tδ g s αδ δ sot : T g s O etouve l éuto ssue e l pplcto u théoèe e l ésultte e poecto su ou f, l sufft éce l coo e ouleet ss glsseet e I, ce u peet e oe l epesso u couple e focto es oées Ds le cs e l pplcto u pcpe es pussces vtuelles, l éche est ecteet etue à l pécéete : o éc eu éutos e cosét s u pee teps ue vtesse e otto vtuelle - potée p pus s u seco teps ue vtesse vtuelle suvt Sot : Γ T J α T α g s E effet, o éct ue l pussce vtuelle es uttés ccéléto est égle à l pussce vtuelle es ctos etéeues Déteos l pussce vtuelle es uttés ccéléto : pou u sole S e ouveet p ppot à R o u :, S / R / R o, le chp es vtesses vtuelles étt gft pou u sole, o : sot : S Ω pge 7 pge 8

5 c est à e : cpe es tvu pussces vtuelles, S / R / R / R [ Ω ] S, S / R / R S / R Ω s le cs u ous téesse o ue pt : et ute pt : S δ, ouleu / pete J ouleu ouleu / pete T g sα TΓ D où les ésultts obteus pécéeet Nous veos e soe e èe tutve L éche peut ête plus sstétue Elle cosste à éce l vtesse éelle u pot u sole, e chos ue tsfoto vtuelle coptble vec les lsos, et e clcule les fféets tvu ou fféetes pussces : éteos le toseu cétue u ouveet u ouleu p ppot à l pete : { } ouleu / pete Ω O e éut les éléets vtuels coptbles : ouleu / pete ouleu / pete le toseu cétue vtuel :{ } ouleu / pete le toseu e éplceet vtuel : { δ } ouleu / pete Ω ouleu / pete ouleu / pete δ δ ouleu / pete ouleu / pete δ δ Mtet o clcule les fféets tvu vtuels : le tvl vtuel es ctos etéeues : { T } { δ / } T g sα δ Γ T δ ouleu pete ouleu ouleu le tvl vtuel es uttés ccéléto : ou es fféetes pussces vtuelles : { D } { δ } δ J δ ouleu / pete ouleu / pete le tvl vtuel es ctos etéeues : { T } { / } T g sα T ouleu pete Γ ouleu ouleu le tvl vtuel es uttés ccéléto : { D } { / } J ouleu pete / ouleu pete O e éut, copte teu u pcpe e Alebet : sot : δ J δ T g sα δ T Γ δ ou J T g sα TΓ Γ T J T g s α Esute, l fut ette e plce le toseu es ctos écues etéeues u ouleu : { T } ouleu ouleu et le toseu ue : R { D } T g cosα N g s M Γ T α ouleu ouleu ouleu / pete ouleu ouleu ouleu / pete δ ouleu / pete J pge 9 pge 0

6 cpe es tvu pussces vtuelles Eecce pplcto uée estée heues Ett e l épeuve e phsue e l gégto etee e écue e 99 Sot u ouble peule epéseté su l fgue c-essous O se popose pplue le pcpe es pussces vtuelles : O O 0 pou clcule l vleu es couples oteu C et C à stlle su chue e tculto pou obte es tectoes posées, pou étee l teso s le pee peule, Clculs pélbles K clcule l epesso vectoelle e l vtesse éelle, e poecto s R, u cete ete et l vtesse vtuelle coptble vec les lsos est éf p O b vec vecteu colée à OO et O O clcule l ccéléto ccéléto e e poecto s R 3 Clcule l epesso vectoelle es vtesses éelles et vtuelles e tel ue O b vec vecteu colée à O E oete s R 4 Clcule l ccéléto ccéléto e e poecto s R 5 Détee l pussce vtuelle sspée p les foces ete e et e Ds l sute u poblèe o suppose ue l foce ete e est églgeble p ppot à l foce ete e 6 Détee l pussce vtuelle sspées p les eus e otto K et K es ples e O et O 7 Détee l pussce vtuelle sspée p les oteus stllés su les es O, et O, élvt les couples C et C 0 E O K E Clcul es couples oteus C et C Clcule les couples C et C à stlle e O et O pou obte les tectoes posées e E et E, et vce les pesteu e et, les etes e uueet, les eus K et K 3 Clcul e l teso s le peule S 3 S epésete l be O O u ouble peule ou le clcul e l teso T, o cée ue vtesse vtuelle élogto ue eveet les vtesse vtuelles e et e? Ece le pcpe es pussces vtuelles Mote u o etouve C et C et u o peut clcule T pge pge

7 Eutos e Lgge Le folse e Lgge costtue l bse e l écue ltue C est u outl u peet éce les êes éutos ue los e l pplcto es théoèes gééu ; elles ppotet e e plus Cepet, suvt les cs, l éctue es éutos e Lgge se eu ptée E effet, ce folse pe e copte l globlté u sstèe étué à pt e so éege cétue coteet à l pplcto es théoèes gééu u ot te copte e cets soleets et u pose ue sttége éfléche L éthoe e se e éuto u poblèe p les éutos e Lgge bsée su l eplo es tsfotos vtuelles est sstétue Elle est be ptée pou l éteto es éutos e ouveet Le péset feullet tout les éutos e Lgge à pt u clcul es pussces vtuelles Rppels : pcpe e Alebet et pussce vtuelle Coséos u pot téel e sse pptet à u sstèe S Le pcpe e Alebet se tut p l éuto suvte : e vec : e u epésete l cto etéeue u sstèe uuel pptet, u epésete l cto téeue, c est à e l cto su es utes éléets e S u est l ccéléto glléee e l ppît évet ue l o peut ultple les eu ebes e cette éuto foetle p u vecteu bte et p l vtesse vtuelle e,, e ptcule : l pussce vtuelle e l utté ccéléto u sstèe p ppot à u epèe gllée est s toute tsfoto vtuelle égle à l soe es pussces vtuelles e toutes les ctos écues etéeues ppluées u sstèe et e toutes les ctos écues téeues Sot : e Ds tout ce u sut o ett ue le sstèe étué peut ête pété p pètes géélsés,,,,, épets ou o Les pètes géélsés sot éuts es pètes ptfs e pet e copte les lsos géoétues ou holoôes Auss, ces pètes peuvet ête lés p es lsos o-holoôes, otet e pésece e ouleet ss glsseet As, le vecteu posto e tout pot pptet u sstèe est éf p : O O,,, Lsos posées u sstèe Il covet c e clsse les lsos e eu ctégoes coe ous l vos vu pécéeet : les lsos holoôes ou géoétues et, les lsos o-holoôes ou cétues L stcto ete ces eu tpes e lso tet ue ge plce s l théoe e Lgge les lsos holoôes Ds ce cs, s o cosèe leu obe égl à h, les éutos e lsos holoôes sot e l foe : f,,,, t 0,, h les lsos o-holoôes Supposos leu obe égl à l, les éutos e lsos o-holoôes sot e l foe : 3 eeple b 0,, l ou eu copee ce ue sot ces lsos, peos l eeple clssue ue oue e o R, u oule ss glsse su u pl hootl, sstèe s leuel ous etouvos ue lso holoôe et ue lso o-holoôe tesses vtuelles coptbles vec les lsos telles u elles estet à l stt t Le tee «lso» eploé c ot ête ps u ses «éuto e lso» D ute pt, ous llos vo s ce pgphe ue clsse ptculèe e tsfotos vtuelles u espectet les lsos posées u sstèe Cofguto u sstèe à l stt t pge 3 pge 4

8 Eutos e Lgge Y 0 Y 0 Y f f f f 0 vec,, h t X O costte los u elles ot l êe foe ue les lsos o-holoôes : X 0 b 0,, l O O S S O X 0 O ppelle «vtesses vtuelles coptbles vec les lsos» les u véfet les éutos pécéetes scht ue les vtesses vtuelles sot épetes u teps O u los : et f f f 0 vec,, h 0,, l Le ouveet pl e l oue est pété p tos pètes ptfs,, et Le cotct ete S et S 0 pose ue : R u est l éuto ue lso holoôe Cette éuto peet e éue le obe e pètes ptfs à eu pètes géélsés : et O s le ouveet e S p ppot à S 0, ces eu pètes géélsés sot lés E effet, le ouleet ss glsseet u pot e cotct ete S et S 0 pose ue : R 0 u est l éuto ue lso o-holoôe Reue : cette eèe éuto s tège fcleet pou oe l éuto : R 0 coos tles ulles u est celle ue lso holoôe ; o los ue l lso est se-holoôe D ute pt, o ete ue l pésece u ouleet ss glsseet plue ue lso o-holoôe 3 Eeples eeple Repeos l eeple pécéet e l oue u oule ss glsse su u pl hootl Nous vos éct eu éutos e lso Chos es vtesses vtuelles coptbles vec les lsos cosste à éce ue les ovet véfe ces éutos Sot : R c est à e 0, u plue 0 et R 0, u plue R 0 eeple Coséos u pot téel pouvt se éplce su ue tge T ée u ouveet e tslto suvt O, 0 O : OO t 0 O cheche à étee l vtesse vtuelle coptble vec l lso telle u elle este à l stt t O pose O 0 0 Ic, et sot lés 3 tesses vtuelles coptbles vec les lsos telles u elles estet à l stt t Les lsos holoôes peuvet s éce e l èe suvte e les évt p ppot u teps : pge 5 pge 6

9 Eutos e Lgge pge 7 Ecvos l éuto e lso, c est à e l éuto ot e focto e O : t t cette éuto holoôe s éct uss : 0 t t,, t f E évt cette éuto p ppot u teps, o obtet ue elto ete les vtesses éelles : t 0 t coséuet, les vtesses vtuelles coptbles vec l lso holoôe ovet véfe cette éuto, sot : 0 t 3 ussce vtuelle éveloppée p les ctos écues 3 Foe gééle e l pussce Sot u sstèe e foces ppluées à u sstèe uelcoue F ésge l ue e ces foces ppluées e tel ue O Auss, le sstèe est pété p les pètes,,,, oc :,,,,,,,,, L pussce vtuelle éveloppée p l foce F est : O O X 0 Y 0 X Y pge 8 vec O D où l ouvelle epesso e l pussce vtuelle éveloppée p l foce F : Ce u ous èe à l epesso e l pussce vtuelle éveloppée p toutes les foces : E post : O obtet : Cette epesso est potte s l pplcto e l théoe e Lgge Nous veos coet s l ptue ous pouvos clcule les e evsget es cs ptcules Ces tees sot ppelés coeffcets éegétues, coeffcets e pussce ou ecoe foces géélsées ssocés u 4 ussce vtuelle éveloppée p les uttés ccéléto L pussce vtuelle éveloppée p les uttés ccéléto s éct :

10 Eutos e Lgge pge 9 S ute pt le sstèe est pété p les pètes,,,, oc :,,,,,,,,, Et O O c est à e : E post : A O : A L ée e Lgge été e popose u clcul sstétue es coeffcets A à pt e l éege cétue u sstèe Alos pousuvos le clcul O : A et Nous pouvos éce : ] [ Ms : ] [ ] [ ] [ pge 0 Et ute pt e évt t p ppot u o touve le ésultt suvt : Auss, t Sot t coséuet où l epesso es coeffcets A : S S S A s luelle ppît cleet l éege cétue u sstèe S T : T T A 5 Foe gééle es éutos e Lgge 5 Nouvelle éctue u pcpe e Alebet Le pcpe e Alebet s éct pou ue tsfoto vtuelle uelcoue : A A A sot 0 T T

11 Eutos e Lgge 5 Cho es vtesses vtuelles S les espectet toutes les lsos holôoes ss especte les lsos o-holoôes, elles sot léeet épetes les vtesses vtuelles sot coptbles vec les lsos holôoes et ous pouos éce u sstèe e éutos épetes, ppelées éutos e Lgge : T T T T T T S les sot e plus coptbles vec les lsos o-holoôes, c est à e espectet les l éutos e lso : 0,, l los les e sot plus léeet épets et ous veos ue l éteto es se ft fféeet coséuet, o ete ue l éctue es éutos e Lgge épe u cho es vtesses vtuelles D ute pt, les sot les copostes e foces géélsées u peuvet vo pluseus oges Nous écos p eeple : Le L D vec : Le, foce géélsée ssue es ctos e lsos etéeues, L, foce géélsée ssue es ctos e lsos téeues, D, foce géélsée ssue es ctos oées coues Eeple e l oue u oule ss glsse su u pl hootl Nous chosssos es vtesses vtuelles uueet coptbles vec les lsos holoôes et espectt l éfoblté e l oue: { oue / pl } l éege cétue vut : T J ute pt : X R Le ésultt u cooet { }{ } Tpl oue L 0 le sstèe est costtué ue u seul sole, 0 D pesteu où les éutos e Lgge : T T _ : T T _ : sot sot X J RX oue / pl 53 Clcul e l pussce vtuelle s uelues cs ptcules couts 53 ussce vtuelle éveloppée p les ctos écues ppluées à u sole pft s ue tsfoto vtuelle R Le toseu es ctos écues ppluées est : { T } S S M M M S S Le sole étt pft, c est à e éfoble, le chp es vtesses éelles véfet l elto e go : l est éupoectf oc c est u chp e oet O los : M Ω M ou ue tsfoto vtuelle coptble vec l éfoblté, le chp es vtesses vtuelles ot lu uss ête éupoectf : c est u chp gft O u oc : M Ω M coséuet, l pussce vtuelle se égle u cooet u toseu coespot u ctos écues etéeues et u toseu coespot u vtesses vtuelles : R M M M S S Ω pge pge

12 Eutos e Lgge 53 ussce vtuelle éveloppée p les ctos e lsos téeues s ue tsfoto vtuelle Acto élvée p u essot Soet S et S eu soles e lso utuelles S cette lso se ft p cotct ect ete S et S los, les ctos e S su S et e S su S ettet es toseus opposés e vetu u pcpe cto et e écto Ds ces coos, pou les chps e vtesses vtuels : { } et { } S / Rg S / Rg l pussce vtuelle s Rg es te-effots e lso vut : { T }{ } { T }{ } { T }{ } { T }{ } S S / Rg S S S / Rg S S S / Rg S S S / S S S S / S X 0 R S o especte l lso ete S et S telle u elle este à l stt t, l pussce vtuelle est ulle s eu cs : s l lso est o-ssptve bsece e fotteet s ue lso pfte s s l tsfoto vtuelle o ouleet ss glsseet ete S et S et ue les oets e ouleet et e pvoteet sot uls 533 ussce vtuelle éveloppée p les ctos oées évt u potetel s ue tsfoto vtuelle Les ctos oées évet u potetel ou ue focto e foces s,,,, t, est ppelée focto potetelle Eeples foetu e écue u sole : Acto e l pesteu O : pesteu g / Rg s los / Rg O e éut l focto potetelle : -g D pesteu g c est à e g g étt l cote u cete e gvté O : essot R k k 0 c est à e k 0 O e éut l focto potetelle : k 0 k étt l costte e eu u essot Ds ces coos 534 Cs es sstèes à lsos pftes pou lesuels les foces oées évet toutes u potetel Le L et sot uls et D coséuet, pou ue tsfoto vtuelle coptble vec les lsos holoôes les éutos e Lgge s écvet : osos L T T T T L L T O, et ute pt, O obtet los les éutos : L L,, pusue e épe ue es 0 où l focto L est ppelée focto e Lgge ou lgge pge 3 pge 4

13 Eutos e Lgge eeple u peule sple e tculto pfte vec u bât O pose O Les éutos e lso peuvet se ette sous l foe gééle : f,,,, t 0,, h X b 0,, l O X 0 Ces eltos peuvet se ette, e évt les eltos holoôes, sous l foe uue : b 0,, vec h l Nous vos vu ue les éutos e Lgge pouvet s éce : Le sstèe est o-ssptf et les ctos oées, c l cto e l pesteu, éve u potetel, p coséuet l éuto e Lgge se étee à pt u lgge : o : u oe : Z 0 Z g L T J g cos O e éut l éuto u ouveet : L L 0 L g s L J L J T T,, eos tet ue tsfoto vtuelle coptble vec les h lsos holoôes et les l lsos o-holoôes, c est à e véft les éutos : D ute pt, les A 0,, ovet véfe les éutos ssues u pcpe e Alebet : A A 0,, Ce u sgfe ue les eèes éutos sot cobso lée es peèes, sot : λ A A A O e éut les éutos e Lgge : J g s 0 54 Eutos e Lgge pou u chp e vtesses vtuelles coptble vec les lsos holoôes et les lsos o-holoôes : les ultplcteus e Lgge pge 5 pge 6

14 Eutos e Lgge T T T T T T uuelles l fut oute les éutos : λ λ λ b O spose u sstèe à éutos où les Les coeffcets Les tees λ sot ppelés ultplcteus e Lgge 0 et les λ sot les coues λ epésete l foce géélsée coespot u ctos es lsos o-holoôes coséuet le clcul es se ft e e pet ps e copte les pussces vtuelles éveloppées p les ctos es lsos o-holoôes Reveos à l eeple u cle u oule ss glsse su u pl hootl L éuto o-holoôe s éct : R 0, ce u plue R 0 D ute pt : 0 E post et, o e éut et R où les éutos e Lgge vec ultplcteu : T T _ : λ sot X Nous vos vu pécéeet ue les peuvet vo pluseus oges : sot les copostes e foces géélsées u Le L D vec : Le, foce géélsée ssue es ctos e lsos etéeues, L, foce géélsée ssue es ctos e lsos téeues, D, foce géélsée ssue es ctos oées coues Ue ute écoposto est possble Nous pouvos uss éce : D f h vec : D, foce géélsée ssue es ctos oées coues f, foce géélsée ssue es ctos ssptves pésece e fotteet, h, foce géélsée ssue es ctos e lsos o-holoôes, Ds le cs où l tsfoto vtuelle especte les lsos holoôes et o-holoôes, h l foce géélsée ssue es ctos e lsos o-holoôes est λ et p D coséuet f eos l eeple u ceceu u oule ss glsse su u pl g T T _ : Rλ sot J Itepétto écue u ultplcteu e Lgge : RX O ψ R ϕ Il ppît cleet s ces éutos ue λ coespo u pot e vue écue à l coposte e l cto e lso o-holoôe u tvlle s les éplceets vtuels δ et δ Ce ésultt peut ête géélsé 55 te s l écoposto es foces géélsées pge 7 Ce sstèe est o-ssptf et o-holoôe Il est pété p ute pètes : ϕ I,,ψ, pge 8

15 Eutos e Lgge Deu ppoches sot possbles : l tsfoto vtuelle est coptble vec les lsos holoôes uueet l tsfoto vtuelle est coptble vec les lsos holoôes et les lsos o-holoôes Les eu coos o-holoôes u tuset le ouleet ss glsseet e I s écvet : Rϕ cos ψ 0 et Rϕ s ψ 0 L éege cétue s éct : T R ϕ R ψ Clcul u pee ebe es éutos e Lgge : T 3 ϕ ψ T T R ϕ R ψ R ϕ T T Clcul u seco ebe : R ϕ 4 R R pee cs : les lsos o-holoôes e sot ps pses e copte le chp es vtesses vtuelles est coptble vec les seules lsos holoôes D f o : h D 0 c l seule cto oée est l cto e l pesteu u e éveloppe ps e pussce s l tsfoto vtuelle eteue f 0 c le sstèe est o ssptf h R / X Y XR cosψ YRsψ ϕ pl ceceu I ceceu pl ψ ψ D 3 ϕ ψ f X Y XR cosψ YRsψ 0 h X Y XR cosψ YRsψ 0 O e éut les ute éutos e Lgge : _ : X _ : Y _ϕ : R ϕ XR cosψ YRsψ _ψ : R ψ 0 Les éutos e ouveet u p éfto e fot ps teve coues e lso s obteet e eplçt X et Y p leu vleu s l tosèe éuto : ψ ψ 0 cte et ϕ cosψ sψ R euèe cs : les lsos holoôes et o-holoôes sot pses e copte le chp es vtesses vtuelles est coptble vec toutes les lsos Le pee ebe es éutos e Lgge est chgé s ue les h Reste los à clcule les λ Ic ve e à et e à 4 Les éutos o-holoôes s écvet : 3ϕ 4ψ b 3ϕ 4ψ b où : ϕ D f et les ψ 0 R cosϕ 0 0 R sϕ 0 λ λ λ λ cosϕ λ s R O e éut les ute éutos e Lgge vec ultplcteus : pge 9 pge 30

16 Eutos e Lgge _ : λ _ : λ _ϕ : R ϕ λr cosψ λr sψ _ψ : R ψ 0 O etouve les êes éutos ue s le cs pécéet Les λ coespoet u copostes e l cto e cotct copses s le pl 6 Utlsto es éutos e Lgge pou étee es coues e lso OO 0 0 Ntuelleet ous vos les éutos e lso : 0 et 0 O O L, X 0 6 le pcpe Z 0 Z Z Les éutos e Lgge oet les êes ésultts ue les théoèes gééu et offet otet l possblté e étee es coues e lso ou cel l sufft e chos ue tsfoto coptble vec l lso e uesto, ce u evet à «ope» l lso 6 eeple u peule sple L lso u peule vec so suppot est ue lso pvot pfte Le ouveet u peule est éf p s o tet copte e l lso L éuto u ouveet est los : O g s 0 L L X 0, Avec ce ouveu pétge, l éege cétue s éct : cos s L L L T Atteto, à ce veu u clcul e e ps fe 0 et 0 s l epesso e T!!! D ute pt Rbât peule X0 Z0 D où l epesso e l pussce vtuelle : X g Z O obtet los les tos éutos e Lgge : gl s _ : L cos L s X _ : L s L cos Z g _ : L L cos L s gls uuelles o ot les eu éutos e lso : Z 0 Z 0 0 Ms vec u tel pétge, l est possble e étee les ctos e lso Elles ot été élées e pet ue tsfoto vtuelle coptble vec l lso pvot cote s o chost ue tsfoto vtuelle u e sot plus coptble vec l lso, les coues ppîtot Nous llos oc toue eu pètes suppléetes, tels ue : Fleet, o : L cos L s X L s L cos Z g L gls pge 3 pge 3

17 Eutos e Lgge O ecoît l éuto u ouveet oée p l tosèe éuto u sstèe pécéet Celle-c étt ésolue, o étee X et Z O peut lleus vo fcleet X et Z e focto e et, ce u est souvet suffst s l ptue 7 Itégles peèes 7 Itégle peèe lée p ppot u Il est féuet ue pou u oé, l éege cétue e épee ue es et ps es et ue le seco ebe e l éuto e Lgge coespote sot ul : 0 Cette éuto s éct los : T 0 0 et oe ue tégle peèe lée p ppot u T Cte évete Epos H e focto e l éege cétue T et e l focto potetelle u sstèe O : L T Doc o T H T T vec vec 0 t où l epesso e l éege cétue écoposée e ue soe e tos tees : T t, T T T 0 t 7 Itégle peèe e levé L Coséos u sstèe ettt u lgge épet u teps, sot 0 t L Etuos l focto H L vec L L,,,, Clculos H L L L L L O D où H pge 33 L L L O losue le sstèe et u lgge le tee ete cochets e l epesso pécéete est ul vo 534 coséuet, l focto étuée H, est costte : H Cte Sot T T T T0 vec T k e egé k e O ue : T est l pte utue e T e T est l pte lée e T e T 0 est l pte e egé 0 e T e D ute pt : T T T o T 0 étt épet es, o : 0 0 pge 34 T T uss T T et T où T T T et H T T T T T Cte c est à e 0 T0

18 Eutos e Lgge T T Cte 0 Eecces pplcto uée estée : 6 heues u est l tégle peèe e levé S e plus les éutos e lso sot épetes u teps, c est à e ue 0, t o T T, et p coséuet T Cte O etouve los l epesso u cctése l cosevto e l éege écue 8 Sthèse Les éutos e Lgge ouuo? ou éce les éutos e ouveet u sstèe, sutout s l et u lgge Coet? Eecce : égulteu à boules e Wtt Sot le égulteu à boules epéseté su l fgue c-essous : Z 0 O O b l M, O, Cctése le sstèe Chos le chp es vtesses vtuelles Te copte es hpothèses splfctces Ece les éutos Eplote les éutos holoôe ou o-holoôe coptble vec les lsos holoôes pge 35 ou lsos pftes, toutes les foces oées évet u potetel L L 0 so { T T coptble vec les lsos holoôes et o-holoôes éthoe es ultplcteus T T λ b 0 étue e postos éulbe, étue e l stblté e ces éulbes, lésto es pettes osclltos utou es postos éulbe O suppose toutes les lsos pftes Le coulsseu pou sse M et coulsse le log e l tge vetcle etîée suvt ue lo posée ψ t utou e O, 0 So oet ete p ppot à O, 0 est églgé Les tges obles e sses églgebles, sot tculées espectveet e O et O O O l Ces tges à l etété esuelles sot otées es sses etues, sot e logueus b uestos Cctése ce sstèe holoôe ou ps, ssptf ou ps, ettt u lgge ou ps, obe e egés e lbeté Clcule l éege cétue et l éege potetelle e ce égulteu 3 Ece l éuto u ouveet p l éthoe e Lgge 4 Retouve cette éuto e utlst le théoèe e l éege cétue 5 Touve ue coo suffste estece ue tégle peèe e levé Ece l tégle peèe Eecce : peule Eule Le sstèe est foé es soles S et S O pose : O X 0 X 0, X lz Losue est e O, le essot est ss cotte O ote k l eu u essot De plus, o suppose toutes les lsos ss fotteet S e sse M, e cete e gvté, est e glssèe p ppot à S 0 S e sse, e cete e gvté, est e lso pvot p ppot à S pge 36

19 uestos Eutos e Lgge O Cctése ce sstèe holoôe ou ps, ssptf ou ps Détee so éege cétue 3 Détee les éutos e Lgge ot les éutos e ouveet 4 Retouve ces ésultts p les théoèes gééu Eecce 3 : Etue u éploeet es bs u stellte Af étue le éploeet es bs u stellte, bs estés u cotôle e l utootto, o eploe le oèle epéetl éf p l fgue c-essous Sot R O,,, u epèe gllée Z 0 S M Le cops u stellte S est e lso pvot pfte e O, 0 vec S 0 O ssoce à S le epèe R O,,, L posto e S p ppot à S 0 est epéée p le pète ψ 0, 0, O ote l sse u sole S R est epèe pcpl ete et o ote A, B, C les oets pcpu ete Le bs u stellte S est e lso pvot e O, vec S, OO O ssoce à S le epèe R,,, L posto e S p ppot à S est epéée p le pète, O ssoce à l lso pvot u fotteet vsueu oélsé p u couple ésstt : C ν l X Z X 0 S Ete S et S o plce u essot e toso e eu k et u oteu élvt u couple C C est le cete ete e S éf p O b O ote l sse u sole S R est epèe pcpl ete et o ote A, B, C les oets pcpu ete Le bs u stellte S 3 est e lso pvot e O3, vec S, OO3 3 O ssoce à S 3 le epèe R3 3, 3, 3, 3 L posto e S 3 p ppot à S est epéée p le pète, 3 3 O ssoce à l lso pvot u fotteet vsueu oélsé p u couple ésstt : C 3 ν Ete S et S 3 o plce u essot e toso e eu k 3 et u oteu élvt u couple C3 C3 3 est le cete ete e S 3 éf p O33 b3 3 O ote 3 l sse u sole S 3 R est epèe pcpl ete et o ote A 3, B 3, C 3 les oets pcpu ete Sot S S S3 uestos Cctése ce sstèe holoôe ou ps, ssptf ou ps Détee l éege cétue e 3 Détee les éutos e Lgge ot les éutos e ouveet 4 Mote ue l ue elle est ue tégle peèe 5 Retouve ces ésultts p les théoèes gééu 6 Clcule Z 0 l coposte su 0 e l effot e lso ete S 0 et S e utlst le pcpe foetl e l ue Coet ot-o pocée e utlst les éutos e Lgge? Coclue su le cho e l éthoe 3 3 pge 37 pge 38

20 Eutos e Lgge Z 0 Z Z Z 3 Z O h O 3 O X O pge 39