Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017 PROPORTIONS

Transcription

1 Niveau : 1STMG Proportions / Activités Correction Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017 PROPORTIONS Les objectifs de cette leçon : PP1 : Comment calculer une proportion? PP2 : Comment utiliser une proportion? PP3 : Comment calculer la proportion d une union ou d une intersection de 2 sous-population PP4 : Comment calculer des proportions échelonnées? PP5 : Savoir représenter une situation donnée par un tableau PP6 : Savoir représenter une situation donnée par un arbre PP1 : Comment calculer une proportion? Activité 1 : Jean, président de la région Bourgogne se félicite d avoir un nombre de naissance en 2013 atteignant Paul, président de la région voisine de Franche-Comté enregistre pour la même année naissances. Jean dit alors à Paul : «Les naissances dans ma région sont plus fréquente!» Critiquer l affirmation de Jean. Population de la Bourgogne en 2013 : habitants Population de la Franche-Comté : habitants Données manquantes! (obtenu après avoir critiquer l affirmation et pour pouvoir la corriger au besoin) Les naissances sont plus nombreuses en Bourgogne mais cela ne veut pas dire qu elles sont plus fréquentes! Il faut rapporter le nombre de naissance à la population des régions respectives pour effectuer une comparaison. Avec les données des populations on peut calculer les proportions suivantes (appelé aussi fréquence) : Pour la Bourgogne : ,010 soit 1,0 % de naissances (1 naissance pour 1 habitant) Pour la Franche-Comté : ,012 soit 1,2 % de naissances (1 naissance pour 1 habitant) On a 1,2% > 1,0 % et donc les naissances sont finalement plus fréquentes en Franche-Comté! Activité 2 : Dans un établissement scolaire les lycéens sont au nombre de 420 sur une population totale de élèves. Proportions / Activités - Correction 1

2 a) Quelle est la proportion des lycéens dans cette établissement? n E = élèves et n A = 420 lycéens On a p = n A n E = Donc p = 0,35 soit 35 % Conclusion : 35% des élèves de cet établissement sont des lycéens b) Parmi les lycéens, 44 étudient l italien. Quelle est la proportion des lycéens étudiant l italien? (Arrondis ton résultat au millième près). Attention ici on a ne = 420 élèves et na = 44 lycéens On a p = n A n E = Donc p = 0,105 soit 10,5 % Conclusion : 10,5% des élèves de cet établissement sont des lycéens PP2 : Comment utiliser une proportion? Activité 1 : Un sondage portant sur 240 élèves indique que 180 d entre eux prennent le bus pour se rendre au Lycée. De plus 12,5% viennent en deux-roues. Le reste vient à pied. a) Quelle est la proportion des élèves prenant le bus? on a ne = 240 élèves et na = 180 lycéens On a p = n A = 180 et donc p = 0,75 soit 75 % n E 240 Conclusion : 75% des élèves de cet établissement sont des lycéens b) Combien d élève viennent en deux-roues? on a ne = 240 élèves et p = 12,5%. On cherche na On a na = p ne = 12, et donc na = 0, = 30 Conclusion : 30 élèves de cet établissement sont des lycéens Proportions / Activités - Correction 2

3 c) Combien d élèves viennent à pieds? = élèves se rendent à pieds à leur établissement (soit 12,5% des élèves) Activité 2 : Une société de 80 employés compte des cadres et des ouvriers. 77,5% des employés sont des ouvriers. 7 femmes de cette société sont des cadres soit 28% d entre elles. a) Calculer l effectif des ouvriers. on a ne = 80 élèves et p = 77,5% d ouvriers. On cherche na On a na = p ne = 77,5 80 et donc na = 0, = Conclusion : 62 employés de cette société sont des ouvriers b) Calculer le nombre de femmes dans cette société. 7 femmes de cette société sont des cadres soit 28% d entre elles : on a na = 7 élèves et p = 28%= 0,28. On cherche ne. On a ne = n A = 7 et donc ne =25 p 0,28 Conclusion : Il y a 25 femmes dans cette société. c) Combien d hommes sont cadres? On a = 18 cadres en tout dans cette société dont 7 femmes. Donc 18 7 = 11 hommes de cette société sont des cadres. Proportions / Activités - Correction 3

4 d) Les femmes cadres sont-elles sous ou surreprésentées dans cette société? Elles sont 28% à être cadre. Il faudrait comparer cette proportion à celle des hommes cadres. Il y a = 55 hommes dans cette société dont 11 cadres soit une proportion p = 11 = 0,2 soit 20%. Conclusion : Seulement 20% des hommes sont des cadres contre 28% chez les femmes. Les femmes cadres sont donc surreprésentées. 55 PP3 : Comment calculer la proportion d une union ou d une intersection de 2 souspopulation? Activité 1 : Dans une classe de 35 élèves, 14 élèves étudient l anglais, 12 élèves étudient l espagnol et 5 élèves étudient les deux. a) Combien d élèves étudie au moins une des deux langues? = 21 élèves étudient au moins une des deux langues. (Les 5 élèves qui étudient les 2 langues font partis des 14 élèves étudiant l anglais et aussi des 12 étudiant l espagnol : ils sont donc comptés deux fois en faisant l addition ) b) Calculer la proportion des élèves étudiant l anglais. (à 0,001 près) p A = 14 = 0,4 soit 40%. 35 c) Calculer la proportion des élèves étudiant l espagnol. (à 0,001 près) p B = 12 0,343 soit 34,3%. 35 d) Calculer la proportion des élèves étudiant les 2 langues. (à 0,001 près) p A B = 5 = 0,143 soit 14,3%. 35 e) Calculer la proportion des élèves étudiant au moins une langue. (à 0,001 près) p A B = 21 = 0,6 soit 60%. 35 Vérifier la relation pa B = pa+ pb - pa B 0,4 + 0,343 0,143 = 0,6 et on a bien l égalité : pa B = pa+ pb - pa B Proportions / Activités - Correction 4

5 Activité 2 : Un glacier vend 24 % de ses glaces au parfum chocolat, 14 % au parfum vanille et 10 % des ventes sont aux deux parfums à la fois. a) Calculer la proportion de ventes de glaces au chocolat ou à la vanille. b) En déduire la proportion de glaces vendues à aucun des deux parfums, chocolat ou vanille. a) On cherche à déterminer pa B et on sait que : pa B = pa+ pb - pa B On a ici pa = 0,24 ; pb = 0,14 et pa B = 0,10 Donc pa B = 0,24 + 0,14 0,10 soit pa B = 0,28 conclusion : 28% des ventes de glace sont au chocolat ou à la vanille. b) = 72 Et 72% des ventes de glaces sont à aucun des deux parfums, chocolat ou vanille PP4 : Comment calculer des proportions échelonnées? Activité 1 : Dans un car, il y a 40 % de scolaires. Et parmi les scolaires, 60 % sont des filles. Quelle est la proportion de fille scolaire dans le car? On a les inclusions suivantes : F S CAR La proportion p de filles scolaire dans le car se calcule alors en multipliant les proportions : p 1 = 0,6 et p 2 = 0,4 p = 0,6 0,4 = 0,24 soit 24% de filles scolaires dans le car. Proportions / Activités - Correction 5

6 Activité 2 : Lors d une élection, 70% des électeurs inscrit ont voté. a) Le candidat X a obtenu 40% des voix des électeurs qui ont voté. Calculer alors la proportion des électeurs qui ont voté pour X parmi les électeurs inscrits. Rédaction : On a les inclusion : X V I En appelant p la proportion des électeurs qui ont voté X parmi les électeurs inscrits on a : p = p 1 p 2 = 0,40 0,70 p = 0,28 soit 28% Schéma : I : les inscrits. V : les votants X : le votants pour le candidat X X V I 28% des électeurs ont voté pour X parmi les électeurs inscrits. a) Le candidat Y a obtenu 30% des voix des électeurs inscrits. Calculer alors la proportion des électeurs qui ont voté pour Y parmi les électeurs qui ont voté. Rédaction : Ici on connaît p = 30% = 0,30 ; p2 = 70 % = 0,70 et on cherche p1 la proportion des électeurs qui ont voté Y parmi le électeurs qui ont voté. p = p 1 p 2 et donc 0,30 = p 1 0,70 On a alors p 1 = 0,30 0,70 0,429 Schéma : I : les inscrits. V : les votants Y : le votants pour le candidat X Y I V Donc 42,9% des électeurs qui ont voté ont choisi le candidat Y Proportions / Activités - Correction 6

7 PP5 : Savoir représenter une situation donnée par un tableau Activité 1 : Ordinateur et télévision Sur personnes interrogées, 420 ont déclaré posséder un ordinateur et 730 une télévision. Parmi elles 345 possèdent les deux. a) Compléter le tableau résumant la situation : Ont un ordinateur N ont pas d ordinateur TOTAL Ont une télévision N ont pas de télévision TOTAL b) Notations : On appelle A la population ayant un ordinateur et na son effectif. On appelle B la population ayant un téléviseur et nb son effectif. Calculer les proportions : pa, pb, pa B. En déduire pa B. pa = 420 = 0,420 (42%) 1000 pb = 730 = 0,730 (73%) 1000 pa B = 345 = 0,345 (34,5%) 1000 Et pa B = pa+ pb - pa B donc pa B = 0, ,730 0,345 = 0,805 ou 80,5%. Activité 2 : Train grande ligne Dans le réseau ferroviaire français, les trains grandes lignes sont de 2 types : Corail ou TGV. On propose également aux clients de voyager en seconde ou première classe. Une enquête est réalisée dans une gare de province durant la première semaine du mois de juillet. Sur les billets vendus, 82% sont des billets de seconde classe. Sur les 850 billets TGV vendus, 14% sont des billets de première classe. Proportions / Activités - Correction 7

8 a) Compléter le tableau d effectifs suivants : Billets Corail Billets TGV TOTAL Billets 2 nde classe ( ) 731 ( ) (2450 0,82) Billets 1 ère classe 322 ( ) 119 (850 0,14) 441 ( ) TOTAL ( ) b) Vérifier que la proportion des billets de première classe parmi les billets Corail vendus durant la première semaine de ce mois de juillet est de 20% (arrondi à l unité) p = 322 = 0,20 arrondi au centième et donc 20% arrondi à l unité c) Le directeur affirme : «Approximativement 34% des billets vendus dans cette gare durant la première semaine du mois de juillet sont des billets de première classe». Cette affirmation est-elle fondée? (Justifier) Les billets de première classe sont au nombre de 441 pour un total de billets vendus. ceci correspond à une proportion p = = 0,18 Donc on a seulement 18% des billets vendus qui sont de première classe. L affirmation est donc fausse. PP6 : Savoir représenter une situation donnée par un arbre Activité 1 : Une centrale d achat pour des magasins de vêtements se procure 40% de ses vêtements chez un fournisseur A. 60% des vêtements achetés au fournisseur A sont vendus à prix normal et le reste à prix réduit. 45% des vêtements achetés au fournisseur B sont vendus à prix réduit et le reste à prix normal. a) Compléter l arbre pondéré représenté ci-dessous. 60% Prix normal 40% A 40% Prix réduit 60% B 55% Prix normal 45% Prix réduit b) La centrale achète 6000 vêtements. Combien seront vendus à prix réduits? Les vêtements vendus à prix réduit correspondent à une proportion totale de 0,40 0,40 + 0,60 0,45 = 0,43. Donc le total des vêtements vendus à prix réduits est égal à 0, = vêtements. Proportions / Activités - Correction 8

9 Activité 2 : Au cours d une enquête auprès de personnes deux questions sont posées sur l achat éventuel d un nouveau mobile. Question 1 : Possédez-vous déjà un mobile de nouvelle génération? Question 2 : Seriez-vous prêt à acheter ce mobile au prix de 400? Les résultats de l enquête ont permis de dire que 38% des personnes sondés avaient déjà un mobile de nouvelle génération et que parmi ces personnes, 25% seraient prêts à acheter le mobile au prix de 400. De plus, parmi les personnes n ayant pas de mobile de nouvelle génération, 60% se disent aucunement intéressées par l offre proposées. a) Représenter la situation par un arbre pondéré. b) Sur les 1000 personnes sondées, combien de personnes seraient prêtes à acheter le mobile proposé au prix de 400? a) 25% Sont intéressés par l achat 1000 personnes 38% 62% Ont un mobile nouvelle génération N ont pas un mobile nouvelle génération 75% 40% 60% Ne sont pas intéressés par l achat Sont intéressés par l achat Ne sont pas intéressés par l achat b) On calcule tout d abord la proportion p des personnes intéressées par l achat du mobile : p = 0,38 0,25 + 0,62 0,40 = 0,343 (soit 34,3% des personnes qui sont intéressées). Ceci correspond à un effectif de 0, = 343 Sur les personnes interrogées, 343 sont intéressées par l achat de ce mobile à 400. Proportions / Activités - Correction 9