Corrigé du Devoir 4 MT23 - Printemps 2008

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1 Corrigé du Devoir 4 MT - Printemps 8 Eercice de TD n Soit E un espace euclidien et, E.. On a () + = +, + =, +, +,, () =, =, +, +, =,, +,. Donc, + = + = puisqu une norme est toujours positive ou nulle, =, avec () et (), =.. On suppose que et sont orthogonau. Alors, () implique que + =, +, +, =, +, = +. Eercice de TD n 4. Soit E un e.v. et F et G, deu s.e.v. de E. (a) Montrons que F G G F. " " Soit G. Ceci signifie que pour tout G,, =. En particulier, comme F G, ceci est vrai pour tout dans G : F,, =, ce qui revient à dire que F. " " On applique " " à F = G et G = F : on a donc G F = ( ) F ( ) G, cette dernière inclusion revenant à F G d après la question. (b) Montrons que (F + G) = F G. Comme d habitude, nous raisonnons par double inclusion. " " Il est clair que F F + G puisque tout f F s écrit comme f +, soit la somme d un élément de F et d un élément de G. Donc, en vertu de (a) on peut en déduire que () (F + G) F. De la même façon, G F + G et donc (4) (F + G) G. De (4) et (??), nous déduisons donc que (F + G) F G.

2 " " Soit F G. On doit montrer que (F + G), i.e. que, = pour tout F + G. Soit donc F + G. peut donc s écrire = f + g, où f F et g G. On a alors (5), =, f +, g. Or, on a, f = puisque F et, g = puisque G. Finalement, avec (5), on a bien que, =, et donc (F + G), ce qui conclut la preuve. Eercice de TD n 5. Le plan R est muni de la base orthonormée directe E = ( e, e ). On note ρ, la rotation d angle θ. Il est facile de voir sur un dessin qu alors, ρ( e ) = cosθ. e + sinθ. e, ρ(e ) = cosθ. e sinθ. e. La matrice de ρ dans la B.O.N E est donc donné par ( ) cosθ sinθ R =. sinθ cosθ Il est facile (en notant R et R les deu colonnes de R) qu alors R T R = sinθcosθ+ sinθcosθ =, et que R T R = R T R = cos θ + sin θ =. La matrice R est bien orthonormée. On sait qu alors detr = ±. Ici, detr = cos θ + sin θ =.. L espace R est muni de la B.O.N E = ( e, e, e ). (a) Par eemple, la rotation ρ d angle θ autour de e laisse e invariant (i.e. ρ ( e ) = e )), et agit sur les vecteurs du plan Vect e, e comme la rotation du plan d angle θ vue dans la question (noter que ( e, e ) est une B.O.N. directe de ce plan). On a alors de même, ρ ( e ) = cosθ. e + sinθ. e, ρ (e ) = cosθ. e sinθ. e, ce qui montre que ρ est représentée dans E par R = cosθ sinθ sinθ cosθ De même, en remarquant que ( e, e ) est B.O.N. indirecte de Vect e, e (attention au sens des vecteurs!), la rotation ρ d angle θ autour de e est représentée par R = cosθ sinθ sinθ cosθ De la même manière, la matrice ρ d angle θ autour de e est représentée par cosθ sinθ R = sinθ cosθ On peut vérifier pour R, R et R, les colonnes sont orthogonales à, et de norme : ces matrices sont orthogonales.

3 (b) N importe quelle rotation ρ conserve le produit scalaire (et donc l orthogonalité) et la norme. Donc l image par ρ de la base canonique, est une autre B.O.N. La matrice R représentant ρ dans la base canonique est donc orthogonale en tant qu elle est en particulier la matrice de passage d une B.O.N. à une autre. (c) On pouvait obtenir ce résultat directement en remarquant que toute rotation conserve la norme, ce qui est équivalent à dire que toute matrice représentant cette application est orthogonale (voir le cours). On a par ailleurs detr = detr =.. Soit la matrice Eercice de TD n 7 B = 5 5 Le polnôme caractéristique P B [X] s écrit P B [X] = X(X ). Donc, λ = est v.p. de multiplicité et λ = est v.p. de multiplicité. Pour construire une B.O.N de vecteurs propres de B (qui eiste puisque B est smétrique), on applique le procédé de Graham-Schmidt dans chaque espace propre : Soit E, l espace propre associé à. Tout X = 5 + = BX = = + + =. E vérifie { = = X =., R. On a bien sûr un s.e.v. de dimension et pour contruire un vecteur propre de norme associé à, il suffit de prendre par eemple Y = X.X, où X = On obtient donc Y =. = On s intéresse maintenant à E l espace propre associé à. Comme B est diagonalisable (elleest smétrique), on doit avoir un espace de dimension. Tout X = E vérifie 5 + = BX = X = { = + X =. +.,, R. + + =. On note X = et X = Graham-Shmidt à ces deu vecteurs.. On va appliquer le procédé de

4 - Tout d abord, on pose Y = X.X = En conclusion: - Ensuite, on pose Ỹ = X X, Y Y = + On termine en posant Y = Ỹ.Ỹ = = les vecteurs Y, Y et Y sont bien de norme, on a bien Y, Y = et Y, Y = car Y est un vecteur propre associé à et Y et Y sont deu vecteurs propres associés à (ce sont tous les deu des combinaisons linéaires de vecteurs propres associés à ), Y, Y = grâce au procédé de Graham Schmidt : on peut vérifier que Y, Y = Ỹ Y, X X, Y Y = Ỹ ( Y, X Y, X Y, Y ) = Ỹ ( Y, X Y, X ) =. On a bien construit avec (Y, Y, Y ) une B.O.N de M (R) constituée de vecteurs propres de B.. Soit maintenant la matrice A = (a) Il est clair que ranga = puisqu il n a que deu colonnes non nulles, qui sont par ailleurs égales. Donc, dimkera = d après le théorème du rang, ce qui implique que est valeur propre (KerA n est pas réduit à { }, ou on peut aussi dire que deta = ), de multiplicité supérieure ou égale à, c est à dire, de valeur ou 4. Si la multiplicité était égale à 4, serait la seule valeur propre, or tracea =, ce qui montre qu il eiste une autre valeur propre. La multiplicité de est donc, ce qui montre qu il n eiste qu une seule autre valeur propre, de multiplicité, qui est donc puisque la trace vaut. En conclusion : λ = est v.p. de multiplicité, λ = de multiplicité. (b) On procède comme précédemment.

5 Tout X = t AX = { = X =. E l espace propre associé à vérifie + + t On a bien un espace de dimension. Notons X = et X =,,, t R., X = et Pour orthonormaliser (X, X, X, X 4 ), il suffit de normaliser X en posant Y = X X = Tout le reste du travail est déjà fait, puisque les vecteurs Y, X et X sont clairement orthogonau à, et X et X sont de norme. Donc on pose Y = X, Y = X, et alors (Y, Y, Y ) est une B.O.N de E. Sur l espace propre E associé à, tout vecteur X = = AX = X = t =. En notant X 4 = X =. associé à en posant Y 4 = X 4 X 4 =, R. t vérifie, on obtient un vecteur propre de norme La B.O.N de M 4 (R) constituée de vecteurs propres de A est donc donnée par (Y, Y, Y, Y 4 ).