Séries de Fourier. III 1 - Séries trigonométriques a. Premier exercice d approche. b. Deuxième exercice d approche c. Convergences.

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1 Séries de Fourier III - Séries trigoométriques a. Premier exercice d approche. b. Deuxième exercice d approche c. Covergeces. III - Séries de Fourier a. Défiitio. b. Exemples. c. Covergece das d. Covergece das L. L. e. Opératios sur les séries de Fourier. Séries de Fourier

2 III - a Nous cosidéros la série de foctios trigoométriques défiie par u0 = si ( p ) π t u p = p π p Etablir la covergece uiforme sur R \ Z. Tracer (pour quelques valeurs de ) la foctio f t = u p= 0 3 Formuler ue hypothèse sur la somme de la série p= 0 p f t = u p Exercice Séries de Fourier

3 > u := (p,t) -> / Pi*si((*p-)*Pi*t) / (*p-) : > asympt(u(p,t), p, ); ( ) si p π t + O π p p MAPLE Coclusio u(p,t) = α(p,t) v(p) : { α p( t ) = si ( p + ) π t * la série } est majorée par si π t * la suite v est positive et décroissate vers 0 p = π p Doc il y a covergece uiforme (Critère d Abel), sur R \ Z. > f :=(,t) -> /+sum(u(p,t), p=..) : Séries de Fourier 3

4 > with(plots) : > a := plot(f(5,t), t=-.., y=-0..., color=blue): > b := plot(f(00,t),t=-..,y=-0...,color=red) : > display(a, b) ; MAPLE f(5,t) f(00,t) Séries de Fourier 4

5 Exercice Nous pouvos présumer que la foctio f(t) est ue foctio -périodique, défiie par f ( t ) = 0 si < t < 0 si 0 < t < Nous remarquos que f(t) est bie discotiue, ce qui résulte de la CU sur R \ Z. La valeur de f(t) pour t etier relatif est pas précisée. Nous cotrôleros ce résultat au III b Exemple. Séries de Fourier 5

6 > d := plot( f(75, t), t=0..0., y=0.9..., color=blue, umpoits=500) : > e :=plot( f(00, t), t=0..0., y=0.9..., color=red, umpoits=500) : > display( d, e) ; MAPLE Mêmes maxi relatifs Séries de Fourier 6

7 III - b Nous cosidéros la série de foctios trigoométriques défiie par u0 = 4 cos ( p ) π t up = p π p Etablir la covergece uiforme sur R. Tracer (pour quelques valeurs de ) la foctio f t = u p= 0 p Exercice 3 Formuler ue hypothèse sur la somme de la série Séries de Fourier 7

8 > u := (p,t) -> 4/Pi^*cos((*p-)*Pi*t)/(*p-)^ : > asympt(u(p,t), p, 3); ( ) cos p π t + O π p p 3 Coclusio : up π p Il y a covergece ormale (Critère de Riema), ce qui etraîe la covergece uiforme sur R. > f :=(,t) -> /+sum(u(p,t), p=..) : MAPLE Séries de Fourier 8

9 > with(plots) : > a := plot(f(,t), t=-.., y=0.., color=blue): > b := plot(f(5,t),t=-..,y=0..,color=red) : > display(a, b) ; MAPLE f(,t) f(5,t) Séries de Fourier 9

10 Exercice Nous pouvos présumer que la foctio f(t) est ue foctio -périodique, paire, défiie par f ( t ) = t + si t 0 t + si 0 t Nous remarquos que f(t) est bie cotiue, ce qui résulte de la CU. Nous cotrôleros ce résultat au III b Exemple. Séries de Fourier 0

11 III c - Critères de covergece Série trigoométriques Théorème : i ω t { u = v e } Ζ Il y a covergece uiforme sur R \ T Z avec T = π / ω si (v ) est positive et décroissate vers 0 pour. f ( t) = u est cotiue sur R \ T Z. Il y a covergece ormale doc uiforme sur R si { v } = est absolumet covergete. f ( t) = u est cotiue sur R. = Séries de Fourier

12 f III a - Série de Fourier ue foctio T-périodique, sa série de Fourier i ω t S f t c e où c f t e T = = = est u itervalle d amplitude T et ω = π / Τ. Il est possible d exprimer () sous la forme f 0 a = = = cos ω T S f i ω t S t = a + a cosω t + b si ω t b = T est dt Séries de Fourier = c, a f ( t) t dt 0 0 et f t si ω t dt pour pour. Seule coditio : existece des itégrales soit f L ( ).

13 III b - Exemple : Soit la foctio -périodique défiie par f ( t ) = si 0 < t < 0 si < t < 0 / si t =, 0, Détermier la série S de Fourier de f. f Examier la covergece de la série trigoométrique obteue. La série S de Fourier est : avec f i π t c = e dt 0 f i π t = S t = c e Exercice car f est ulle sur [-, 0]. Séries de Fourier 3

14 > T := : omega := *Pi / T : > assume(, iteger ) : > It( / *exp(-i**omega*t), t=0.. ) : value( " ) : > c[] := simplify( (evalc( " ) ) ; c = I + ~ π ~ MAPLE valable pour 0 Coclusio : c = 0 et c = p p π i ( p ). > It( /, t=0.. ) : c[0] = value( " ) ; c 0 = Séries de Fourier 4

15 La série de Fourier de f est doc S f ( t) p= i = + π ( p ) e ( ) i p π t Nous pouvos regrouper 0 et, puis - et,..., -p+ et p i i p + π t i i p e e π t π p + π p = ( ) π ( p ) S ( t) si p π t f = + p= ( p ) ( p ) si π π t Exercice Il y a covergece uiforme (Critère d Abel), sur R \ Z. Nous retrouvos l exercice III a. Séries de Fourier 5

16 III b - Exemple : Soit la foctio -périodique défiie par f ( t ) = Détermier la série S de Fourier de f. f Examier la covergece de la série trigoométrique obteue. la série S de Fourier est : f car f est paire, avec a 0 t + si t 0 t + si 0 t S t = a + a cos π t ( t) dt et = ( ) 0 = f 0 = a t cosπ t dt 0 Exercice Séries de Fourier 6

17 > T := : omega := *Pi / T : > assume(, iteger ) : > It( *(-t)*cos(*pi*t), t=0..) : > a[] := factor( value( " ) ) ; a = π ~ ~ MAPLE valable pour 0 Coclusio : a = 0 et a = π > It(-t, t=0..) : a[0] := value( " ) ; a 0 = ( p ) p p 4. Séries de Fourier 7

18 Exercice La série de Fourier de f est doc S f ( t) = + p= ( p ) ( p ) 4 cos π π t Il y a covergece ormale doc uiforme sur R. Nous retrouvos l exercice III b. Séries de Fourier 8

19 III c - Covergece das L ( ) f ue foctio T-périodique, de série de Fourier i ω t S f t c e où c f t e T = = = est u itervalle d amplitude T et ω = π / Τ. i ω t dt Théorème de Dirichlet : f C { i ω t c e } Si est de classe par morceaux alors coverge poctuellemet vers [ ]. f t + + f t = S f t Il y a covergece uiforme sur tout itervalle fermé où f est cotiue. Séries de Fourier 9

20 III c - Covergece das L ( ) Le produit scalaire das L ( ) u, v = u t v t dt est défii par Théorème : e T e i t = ω, Ζ est ue base orthoormée de L. ( Le cotrôler avec MAPLE ) L ( ) est appelé espace de Hilbert. Séries de Fourier 0

21 Remarque et propriété : La foctio L ( ) L ( ) f ( t) = 0 < t t L 0, L 0,. appartiet à (] ]) mais pas à (] ]) > It(/sqrt(t), t=0..) : " = value( " ) ; t dt = > It(/t, t=0..) : " = value( " ) ; t dt = 0 0 MAPLE MAPLE Séries de Fourier

22 Théorème de Parseval : La suite de foctios i p t f( t) = c p e π, Ν p= coverge das L ( ) vers f ( t ). Cela exprime que Lim f, f = f la formule de Parseval. ce qui est = f = T c Séries de Fourier

23 Soit la foctio π-périodique t f t = e 0 t π Dire pourquoi f admet u développemet e série de Fourier. Etudier la covergece das L ([ 0 ]) L ([ 0, π] ) 3 Détermier S ( t) f. 4 Calculer la somme des séries umériques ( ), π et. +, + et +. = = = ( ) Exercice Séries de Fourier 3

24 III e - Opératios sur les séries de Fourier ) Dérivatio terme à terme. f satisfaisat Dirichlet, alors f s obtiet e dérivat terme à terme ( ATTENTION : Das le cas gééral la covergece a lieu que das. L ( Il faudra examier la série dérivée pour étudier la covergece das ) = ' L c e i ω t i ω c e = = i ω t Le terme =0 disparaît das la série dérivée. Séries de Fourier 4

25 ) Itégratio terme à terme. f satisfaisat Dirichlet, alors s obtiet e itégrat terme à terme. ( ATTENTION : La présece de c 0 implique l ajout de la série de Fourier de la foctio correspodate) f ( t) dt c e i ω t dt = = = 0 0 i c ω e i ω t Le terme =0 est à examier tout particulièremet. Séries de Fourier 5