2 e versement Décembre 2014

Transcription

1 Novelle Calédonie session 1 Exercice 1 1 points Une entreprise fabrie des conserves alimentaires dont l étiette annonce ne masse de 5 grammes Les masses obtenes por n échantillon de 5 conserves prises a hasard sont données dans le tablea sivant : Masse (en g) [5 ; [ [ ; 5[ [5 ; 5[ [5 ; 55[ [55 ; 6[ Nombre de conserves Partie A : Probabilités conditionnelles 1 a À l aide de la calclatrice, calcler, en tilisant les miliex des classes, la masse moyenne ainsi e l écart type des conserves de cet échantillon On fornira les valers arrondies a dixième b Calcler le porcentage des conserves alimentaires ayant ne masse comprise entre et 55 grammes On prélève a hasard ne conserve de l échantillon On considère les dex évènements sivants : A : «la conserve a ne masse strictement infériere à 5 grammes» ; B : «la conserve a ne masse a moins égale à grammes» a Calcler P(A) et P(B) b Déterminer P B (A) Arrondir a millième c Les évènements A et B sont-ils indépendants? Partie B : Loi binomiale Parmi l échantillon de 5 conserves, on choisit sccessivement, a hasard et avec remise, conserves On note X la variable aléatoire i à n tel prélèvement associe le nombre de conserves de masse strictement infériere à 5 grammes 1 Jstifier e X sit ne loi binomiale dont on précisera les paramètres a Calcler l espérance mathématie E(X) de X b Interpréter ce résltat par ne phrase Calcler P(X = 15) et P(X = ) (arrondir a millième) Interpréter à l aide d ne phrase Partie C : Loi normale Dans cette partie, on admet e la variable aléatoire Y i à chae conserve associe sa masse sit la loi normale de paramètres m = 9 et σ = 5 On précisera la méthode tilisée (lectre de tables o tilisation de la calclatrice) 1 Calcler P( Y 55) et comparer avec le résltat obten à la estion 1 b de la partie A Déterminer le nombre réel a tel e P(9 a Y 9 + a) =,97 Interpréter à l aide d ne phrase Exercice 9 points Les trois parties pevent être traitées de manière indépendante Partie A : Valer actelle et valer acise On place ne somme d argent notée S a tax annel de 5,5 %, ce placement étant à intérêts composés Por tot entier natrel n, S n désigne le capital disponible a bot de n années 1 Jstifier e la site (S n ) est géométrie Préciser la raison de cette site Exprimer S n en fonction de S et de n En dédire S en fonction de S n et de n Partie B : Valer actelle d ne site d annités constantes Un artisan sohaite acheter n novea matériel en janvier 1 Le fornisser li fait ne offre d achat à crédit a tax annel de 5,5 % i consiste en le versement de atre annités d même montant égal à (comme l indie le tablea ci-dessos Achat d novea matériel livré en janvier 1 1 er versement Décembre 1 e versement Décembre 1 e versement Décembre 15 e versement Décembre 16 = 1 = = = Le prix comptant e l artisan porrait demander a fornisser d matériel est la somme des valers actelles a débt 1 des atre annités, 1, et On notera a, a 1, a et a les valers actelles correspondantes 1 Jstifier e a =, a 1 =, a = et a = En dédire e le prix comptant d matériel factré à l artisan est : C = Jstifier e : C = ( ) + + +

2 On rappelle e por différent de 1 et por tot entier natrel n, n = 1, 55 En dédire e C =,55 5 Donner l arrondi, a centime d ero, d prix comptant e l artisan acceptera de payer por son novea matériel Partie C : Étde d ne fonction On admet e le prix comptant a tax d actalisation de 5,5 % d ne site de n annités constantes égales à est C = 1,55 Dans la partie précédente, on a obten ce résltat avec n = On considère la fonction f définie sr [ ; 8 ] par f (x) =,55 ( 1 x ) On rappelle e x = e x ln () Sa corbe C f est donnée en annexe 1 On envisage soit n paiement comptant soit n paiement à crédit Qel est le prix comptant associé à n crédit de dex ans a tax de 5,5 % (annités constantes égales à )? Qelle est l économie réalisée si on choisit le paiement comptant? a Jstifier e f (x) =,55 ln () x où f est la fonction dérivée de f sr [ ; 8 ] b Déterminer le signe de f (x) sr [ ; 8] c Constrire le tablea de variations de la fonction f sr l intervalle [ ; 8 ] Déterminer graphiement le nombre d années de versements de crédit correspondant à n prix comptant inférier à 15 Les constrctions tiles seront reportées sr l annexe à rendre avec la copie n n Annexe

3 CORRECTION Le barème est sr 19, 1 point est réservé à la alité des explications et a respect des consignes Exercice 1 1 points Partie A : Probabilités conditionnelles 1 a À l aide de la calclatrice, la masse moyenne x = 8,5 et l écart type = 5,1 b = 16 conserves ont ne masse comprise entre et 55 grammes soit = 8, % a + 67 = 1 conserves ont ne masse strictement infériere à 5 donc P(A) = 1, 5 conserves ont ne masse strictement infériere à donc 5 ont ne masse a moins égale à grammes donc P(B) = 67,9 5 b P B (A) = P ( B A ) A B est l événement : la conserve a ne masse strictement infériere à 5 grammes et a moins P ( B ) égale à grammes donc ne masse appartenant à [ ; 5 [, il existe = 8 conserves de ce type donc P( A B ) = 8,568 5 P B (A) = P ( B A ) P ( B ) =,568,9, c P (A) P (B) = donc P (A) P (B) 8 donc P (A) P (B) P( A B ) Les évènements A et B ne sont pas indépendants On arait assi p dire e P B (A) P (A) donc les évènements A et B ne sont pas indépendants Partie B : Loi binomiale 1 On a ne sccession de expériences aléatoires identies et indépendantes, chacne d elles a dex isses : réssite : la masse de la conserve est strictement infériere à 5 grammes (p =,) échec : la masse de la conserve n est pas strictement infériere à 5 grammes ( = 1 p =,8) donc la variable aléatoire X i à n tel prélèvement associe le nombre de conserves de masse strictement infériere à 5 grammes sit ne loi binomiale de paramètres ( ;,) P(X = k) = k, k,8 k a E(X) = n p =, = 6 b La variable aléatoire X i à n tel prélèvement associe le nombre de conserves de masse strictement infériere à 5 grammes donc le nombre moyen de conserves de masse strictement infériere à 5 grammes est 6 lors on choisit dans les mêmes conditions n grand nombre d échantillons P(X = 15) = 5, 15,8 15 =,1 P(X = ) = 5, 15,8 15, Sr n échantillon de conserves, la probabilité d avoir conserves de masse strictement infériere à 5 grammes est nlle donc il est impossible d avoir, sr n échantillon de conserves, conserves de masse strictement infériere à 5 grammes

4 Partie C : Loi normale 1 T = Y , P( Y 55) = P T = P ( 1,8 T 1, ) P ( 1,8 T 1, ) = P (T 1, ) P ( T 1,8 ) P ( 1,8 T 1, ) = P (T 1, ) [ 1 P ( T 1,8 ) ] P ( 1,8 T 1, ) =,889 [ 1,961 ] =,89 donc P( Y 55) =,89 a a P(9 a Y 9 + a) =,97 P T =,97 P(T a) 1 =,97 P(T a) = 1, P(T a) =,985 a =,17 9,17 = 6,8 et 9 +,17 = 51,17 donc la probabilité n boite ait ne masse comprise entre 6,8 et 51,17 est,97, ce i est cohérent avec le fait e dans l échantillon précédent, 8, % des conserves avaient ne masse comprise entre 5 et 5 Exercice Partie A : Valer actelle et valer acise 1 S n + 1 = S n donc la site (S n ) est géométrie de raison S n = n S 1 S = S n Partie B : Valer actelle d ne site d annités constantes 1 Les annités sont égales donc = 1 = = Si a était placée pendant n an à 5,5 % on arait, a bot d n an, ne somme de a donc = a a =, Si a 1 était placée pendant dex ans à 5,5 % on arait, a bot de dex ans, ne somme de a 1 donc = a 1 a 1 =, Si a était placée pendant trois ans à 5,5 % on arait, a bot de trois ans, ne somme de a donc = a a = et Si a était placée pendant atre ans à 5,5 % on arait, a bot de atre ans, ne somme de a donc = a donc a = Le prix comptant d matériel factré à l artisan est la somme des valers actelles a débt 1 des atre annités, 1, et : C = or = donc C = En rédisant a même dénominater : C = (1 ) En mettant en facter : C = donc C = ( ), 55, 55 1, 55 Por différent de 1 et por tot entier natrel n, n = ( , 55 ) = = 1, 55 1 C = 1 donc C =,55 n donc and = et n = : 1,55 or,55 = 1, 55 donc C =,55 5 C = 1 515,5 a comptant

5 Partie C : Étde d ne fonction 1 Le prix comptant associé à n crédit de dex ans a tax de 5,5 % (annités constantes égales à ) est C = f () C =,55 ( 1 ) = 558,96 L économie réalisée si on choisit le paiement comptant est égale à 558,96 = 61, a f (x) =,55 ( 1 x ) =,55 ( 1 e x ln () ) La dérivée de e est e, avec (x) = x ln () donc (x) = ln donc la dérivée de e x ln () est ln e x ln () donc la dérivée de 1 e x ln () est [ ln e x ln () ] la dérivée de 1 e x ln () x ln () est ln e f (x) =,55 ln e x ln () donc f (x) =,55 ln () x b c,55 >, ln > et e x ln () > (la fonction exponentielle est positive sr ) donc f (x) > sr [ ; 8] x 8 f (x) + f (8) f avec f () =,55 ( 1 ) = f (8) =,55 ( 1 8 ) donc f (8) 19,7 Graphiement le nombre d années de versements de crédit correspondant à n prix comptant inférier à 15 est de