Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Suites numériques

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1 Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 9 avril 008 Document diffusé via le site wwwbacamathsnet de Gilles Costantini fredericdemoulin chez) voilafr gillescostantini chez) bacamathsnet

2 Tableau récapitulatif des exercices indique que cette notion a été abordée dans l exercice N Lieu Année ROC QCM Suites Suites Suites géo- Suites ad- Point Fonc- VF récurrentes arithmétiques métriques jacentes fixe tions Nouvelle-Calédonie Mars 008 Amérique du Sud Nov Nouvelle-Calédonie Nov Antilles-Guyane Sept La Réunion Sept France Juin La Réunion Juin Nouvelle-Calédonie Mars Nouvelle-Calédonie Nov Antilles-Guyane Juin 006 La Réunion Juin 006 Amérique du Nord Mai Antilles-Guyane Sept Amérique du Nord Juin France Juin La Réunion Juin Inde Avril Nouvelle-Calédonie Mars Amérique du Sud Nov Nouvelle-Calédonie Nov 004 Antilles-Guyane Juin 004 France Juin La Réunion Juin Liban Juin Inde Avril Centres étrangers Juin Inde Avril Centres étrangers Juin 00 9 Amérique du Sud Nov 00 Frédéric Demoulin Page

3 Exercice Nouvelle Calédonie, Mars points) On considère la fonction f définie sur ] ; 6[ par : On définit, pour tout entier naturel n, la suite u n ) par : f x)= 9 6 x { u0 = 3 u n+ = f u n ) La courbe représentative de la fonction f est donnée annexe et est accompagnée de celle de la droite d équation y = x Construire, sur ce document, les points M 0 u 0 ; 0), M u ; 0), M u ; 0), M 3 u 3 ; 0) et M 4 u 4 ; 0) Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite u n )? 9 a Démontrer que si x < 3, alors 6 x < 3 En déduire que u n < 3 pour tout entier naturel n b Étudier le sens de variation de la suite u n ) c Que peut-on déduire des questions a et b? 3 On considère la suite v n ) définie par v n = pour tout entier naturel n u n 3 a Démontrer que la suite v n ) est une suite arithmétique de raison 3 b Déterminer v n puis u n en fonction de n c Calculer la limite de la suite u n ) 7 7 Annexe Frédéric Demoulin Page

4 Exercice Amérique du Sud, Novembre points) On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par f x)=x +ln x + ) a Déterminer la limite de f en+ b Déterminer la dérivée de f c Dresser le tableau de variations de f Soit n un entier naturel non nul On considère la fonction f n définie sur [0 ; + [ par : a Déterminer la limite de f n en+ f n x)=x + ln x + ) b Démontrer que la fonction f n est strictement croissante sur [0 ; + [ c Démontrer que l équation f n x)=0 admet une unique solution α n sur [0 ; + [ d Justifier que, pour tout entier naturel n, 0<α n < 3 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, f n α n+ )>0 4 Étude de la suite α n ) a Montrer que la suite α n ) est croissante b En déduire qu elle est convergente c Utiliser l expression α n = ln α n + ) n n pour déterminer la limite de cette suite Exercice 3 Nouvelle Calédonie, Novembre points) Partie A : question de cours Soit f une fonction réelle définie sur [a ; + [ Compléter la phrase suivante : «On dit que f admet une limite finie l en+ si» Démontrer le théorème «des gendarmes» : soient f, g et h trois fonctions définies sur [a ; + [ et l un nombre réel Si g et h ont pour limite commune l quand x tend vers +, et si pour tout x assez grand g x) f x) hx), alors la limite de f quand x tend vers + est égale à l Partie B Soit f la fonction définie sur R par : f x)=e x x et soit C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan La droite D) d équation y = x est asymptote à C ) On a représenté en annexe la courbe C ) et la droite D) Soit a un nombre réel Écrire, en fonction de a, une équation de la tangente T ) à C ) au point M d abscisse a Cette tangente T ) coupe la droite D) au point N d abscisse b Vérifier que b a= 3 En déduire une construction, à effectuer sur la feuille annexe, de la tangente T ) à C ) au point M d abscisse,5 On fera apparaître le point N correspondant Frédéric Demoulin Page 3

5 Partie C Déterminer graphiquement le signe de f En déduire pour tout entier naturel non nul n les inégalités suivantes : ) e n + n ) e n+ n+ 3 En utilisant l inégalité ), démontrer que pour tout entier naturel non nul n + n ) n e 4 En utilisant l inégalité ), démontrer que pour tout entier naturel non nul n e + ) n+ n 5 Déduire des questions précédentes un encadrement de + n ) n, puis sa limite en+ Annexe C ) O D) -4-4 Frédéric Demoulin Page 4

6 Exercice 4 Antilles Guyane, Septembre points) Soit v = v n ) n 0 une suite On considère la suite u définie, pour tout entier naturel n, par u n = e v n + Partie A Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est exacte Pour chacune des questions, donner, sans justification, la bonne réponse sur votre copie Une bonne réponse donne 0,75 point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point et l absence de réponse est comptée 0 point Tout total négatif est ramené à zéro a est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien Si v 0 = ln a alors : a u 0 = a + b u 0 = + a c u 0 = a+ d u 0 = e a + Si v est strictement croissante, alors : a u est strictement décroissante et majorée par b u est strictement croissante et minorée par c u est strictement croissante et majorée par d u est strictement décroissante et minorée par 3 Si v diverge vers+, alors : a u converge vers b u diverge vers + c u converge vers d u converge vers un réel l tel que l> 4 Si v est majorée par, alors : a u est majorée par +e b u est minorée par +e c u est majorée par +e d u est minorée par +e Partie B point) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, on a : ln u n )+ v n > 0 Exercice 5 La Réunion, Septembre points) La suite u est définie par : u 0 = et u n+ = 3 u n+ 3 pour tout entier naturel n 7 a On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan en annexe, la droite d équation y = 3 x+ 3 7 et le point A de coordonnées ; 0) Construire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u b Démontrer que si la suite u est convergente, alors sa limite est l= 3 8 Frédéric Demoulin Page 5

7 c Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n 3 8 d Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite a Soit n un entier naturel supérieur ou égal à Démontrer que : n+ k= 0 k = 90 ) 0 n, c est-à-dire que : n+ = ) 90 0 n b La suite v est définie par v n =, avec n décimales consécutives égales à 7 Ainsi v 0 =,, v =,7 et v =,77 En utilisant le a, démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r c est-à-dire le quotient de deux entiers) 3 La suite u définie au et la suite v sont-elles adjacentes? Justifier y Annexe O A x Exercice 6 France, Juin points) On considère la fonction f définie sur l intervalle ] ; + [ par : f x)= x ln+ x) + x La courbe C représentative de f est donnée sur le document en annexe que l on complétera et que l on rendra avec la copie Partie A Étude de certaines propriétés de la courbe C On note f la fonction dérivée de f Calculer f x) pour tout x de l intervalle ] ; + [ Pour tout x de l intervalle ] ; + [, on pose N x)=+ x) +ln+ x) Vérifier que l on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ] ; + [ Calculer N 0) En déduire les variations de f Frédéric Demoulin Page 6

8 3 Soit D la droite d équation y = x Calculer les coordonnées du point d intersection de la courbe C et de la droite D Partie B Étude d une suite récurrente définie à partir de la fonction f Démontrer que si x [0 ; 4], alors f x) [0 ; 4] On considère la suite u n ) définie par : { u0 = 4 et u n+ = f u n ) pour tout n de N a Sur le graphique en annexe, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points de C d abscisses u 0,u, u et u 3 b Démontrer que pour tout n de N on a : u n [0 ; 4] c Étudier la monotonie de la suite u n ) d Démontrer que la suite u n ) est convergente On désigne par l sa limite e Utiliser la partie A pour donner la valeur de l Annexe À compléter et à rendre avec la copie y 5 D C O x Exercice 7 La Réunion, Juin points) Soit a un nombre réel tel que < a< 0 On considère la suite u définie par u 0 = a et, pour tout entier naturel n, par : Étudier la monotonie de la suite u u n+ = u n + u n Frédéric Demoulin Page 7

9 a Soit h la fonction définie sur R par hx)=x + x Étudier le sens de variations de la fonction h En déduire que, pour tout x appartenant à l intervalle ] ; 0[, le nombre hx) appartient aussi à l intervalle ] ; 0[ b Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : < u n < 0 3 Étudier la convergence de la suite u Déterminer, si elle existe, sa limite Exercice 8 Nouvelle Calédonie, Mars points) Soit u n ) la suite définie sur N par : u n = n k=n k = n + n+ + + n Partie A Montrer que, pour tout n de N : u n+ u n = 3n nn+ )n+ ) En déduire le sens de variation de la suite u n ) 3 Établir alors que u n ) est une suite convergente L objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite u n ) Partie B Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par : f x)= x + ln x x+ a Justifier, pour tout entier naturel n non nul, l encadrement : b Vérifier que : ) n+ n+ n x dx n n+ c En déduire que, pour tout entier naturel n non nul : On considère la suite S n ) définie sur N par : S n = n k=n n x dx = n f n) 0 f n) a Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : nn+ ) kk+ ) = nn+ ) + n+ )n+ ) + + nn+ ) 0 f n)+ f n+ )+ + f n) S n Frédéric Demoulin Page 8

10 b Déterminer les réels a et b tels que, pour tout réel x distinct de et de 0, on ait : xx+ ) = a x + b x+ c En déduire l égalité : S n = n+ nn+ ) d En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand n tend vers+ de : n k=n f k)= f n)+ f n+ )++ f n) e Vérifier que, pour tout entier n : f n)+ f n+ )++ f n)=u n ln + ) n f Déterminer la limite de la suite u n ) Exercice 9 Nouvelle Calédonie, Novembre points) Soit la suite u n ) définie pour tout entier naturel n par : u 0 = a Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par : et u n+ = f x)= u n + ) u n x+ ) x Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal O ; ı, j ) on prendra comme unité cm) b Utiliser le graphique précédent pour construire les points A 0, A, A et A 3 de l axe O ; ı ) d abscisses respectives u 0, u, u et u 3 a Montrer que pour tout entier naturel n non nul, u n b Montrer que pour tout x, f x) x c En déduire que la suite u n ) est décroissante à partir du rang d Prouver qu elle converge 3 Soit l la limite de la suite u n ) Montrer que l est solution de l équation : x = x+ ) x En déduire sa valeur Frédéric Demoulin Page 9

11 Annales Terminale S Exercice 0 Antilles Guyane, Juin points) Partie A On considère les suites de points A n et B n définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté O ; u ) donné ci-dessous, le point A 0 a pour abscisse 0 et le point B 0 a pour abscisse u A 0 A B B Le point A n+ est le barycentre des points A n ; ) et B n ; ), le point B n+ est le barycentre des points pondérés A n ; ) et B n ; 3) Sur le graphique, placer les points A,B On définit les suites a n ) et b n ) des abscisses respectives des points A n et B n Montrer que : On admet de même que b n+ = a n+ 3b n 4 a n+ = a n+ b n 3 Partie B On considère la suite u n ) définie, pour tout entier naturel n, par : u n = b n a n a Montrer que la suite u n ) est géométrique En préciser la raison b Donner l expression de u n en fonction de l entier naturel n c Déterminer la limite de u n ) Interpréter géométriquement ce résultat a Démontrer que la suite a n ) est croissante on pourra utiliser le signe de u n ) b Étudier les variations de la suite b n ) 3 Que peut-on déduire des résultats précédents quant à la convergence des suites a n ) et b n )? Partie C On considère la suite v n ) définie, pour tout entier naturel n, par : v n = 3a n + 4b n Montrer que la suite v n ) est constante Déterminer la limite des suites a n ) et b n ) Frédéric Demoulin Page 0

12 Exercice La Réunion, Juin points) Partie A Soit f la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par : f x)= x ln x a Déterminer les limites de la fonction f en et en+ b Étudier les variations de la fonction f Soit u n ) la suite définie par u 0 = 5 et u n+ = f u n ) pour tout entier naturel n a On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie Construire la droite d équation y = x et les points M et M de la courbe C d abscisses respectives u et u Proposer une conjecture sur le comportement de la suite u n ) 4 3 C O 4 b Démontrer que pour tout entier naturel n, on a u n e on pourra utiliser la question b) c Démontrer que la suite u n ) converge vers un réel l de l intervalle [e ;+ [ Partie B On rappelle que la fonction f est continue sur l intervalle ]; + [ En étudiant de deux manières la limite de la suite f u n ) ), démontrer que f l)=l En déduire la valeur de l Exercice Amérique du Nord, Mai points) Le plan est muni d un repère orthonormal O ; ı, j ) On s intéresse aux fonctions f dérivables sur [0;+ [ vérifiant les conditions : { ) pour tout réel x appartenant à [0 ; + [, f x)=4 [ f x) ] ) f 0)=0 On admet qu il existe une unique fonction f vérifiant simultanément ) et ) Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante L annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve Frédéric Demoulin Page

13 Partie A Étude d une suite Afin d obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f, on utilise la méthode itérative d Euler avec un pas égal à 0, On obtient ainsi une suite de points notés M n ), d abscisse x n et d ordonnée y n telles que : { x0 = 0 et pour tout entier naturel n, x n+ = x n + 0, y 0 = 0 et pour tout entier naturel n, y n+ = 0,y n + y n+ 0,8 a Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau ci-dessous Compléter ce tableau On donnera les résultats à 0 4 près n x n 0 0, 0,4 y n 0 0,800 0,47 0 b Placer, sur le graphique ci-dessous, les points M n pour n entier naturel inférieur ou égal à c D après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite y n ) et sur sa convergence? a Pour x réel, on pose px)= 0,x + x+ 0,8 Montrer que si x [0 ; ] alors px) [0 ; ] b Montrer que pour tout entier naturel n, 0 y n c Étudier le sens de variation de la suite y n ) d La suite y n ) est-elle convergente? Partie B Étude d une fonction Soit g la fonction définie sur [0 ; + [ par g x)= e4x e 4x + et C g sa courbe représentative Montrer que la fonction g vérifie les conditions ) et ) a Montrer que C g admet une asymptote dont on donnera une équation b Étudier les variations de g sur [0 ; + [ 3 Déterminer l abscisse α du point d intersection de et de la tangente à C g à l origine 4 Tracer, dans le repère précédent, la courbe C g et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B Frédéric Demoulin Page

14 Exercice 3 Antilles Guyane, Septembre points) La suite u n ) est définie par u 0 = et pour tout entier naturel n, par u n+ = u n+ n a Démontrer que pour tout n 3, u n 0 b En déduire que pour tout n 4, u n n c En déduire la limite de la suite u n ) On définit la suite v n ) par v n = 4u n 8n+ 4 a Démontrer que v n ) est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison et le premier terme ) n b Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n = 7 + n 6 c Vérifier que, pour tout entier naturel n, u n = x n +y n où x n ) est une suite géométrique et ) y n une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison n d En déduire l expression de S n = u k en fonction de n k=0 Exercice 4 Amérique du Nord, Juin points) Le graphique fourni en fin d énoncé sera complété et remis avec la copie Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; ] par f x)= x+ x+ Étudier les variations de f sur l intervalle [0; ] Montrer que si x [; ] alors f x) [; ] u n ) et v n ) sont deux suites définies sur N par : u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+ = f u n ) v 0 = et pour tout entier naturel n, v n+ = f v n ) a Le graphique donné ci-dessous représente la fonction f sur l intervalle [0; ] Construire sur l axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites u n ) et v n ) en laissant apparents tous les traits de construction À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites u n ) et v n )? b Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel n, v n Pour tout entier naturel n, v n+ v n On admettra que l on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n, u n Pour tout entier naturel n, u n u n+ c Montrer que pour tout entier naturel n, v n+ u n+ = v n u n v n + )u n + ) En déduire que pour tout entier naturel n, v n u n 0 et v n+ u n+ 4 v n u n ) ) n d Montrer que pour tout entier naturel n, v n u n 4 e Montrer que les suites u n ) et v n ) convergent vers un même réel α Déterminer la valeur exacte de α Frédéric Demoulin Page 3

15 ,5,0 0, ,5,0,5,0 Exercice 5 France, Juin points) Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances Partie A Question de cours On suppose connus les résultats suivants : ) deux suites u n ) et v n ) sont adjacentes lorsque : l une est croissante, l autre est décroissante et u n v n tend vers 0 quand n tend vers + ; ) si u n ) et v n ) sont deux suites adjacentes telles que u n ) est croissante et v n ) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a u n v n ; 3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente Démontrer alors la proposition suivante : «Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite» Partie B On considère une suite u n ), définie sur N dont aucun terme n est nul On définit alors la suite v n ) sur N par : v n = u n Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point Si u n ) est convergente, alors v n ) est convergente Frédéric Demoulin Page 4

16 Si u n ) est minorée par, alors v n ) est minorée par 3 Si u n ) est décroissante, alors v n ) est croissante 4 Si u n ) est divergente, alors v n ) converge vers zéro Exercice 6 La Réunion, Juin points) Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies Aucune justification n est demandée Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point Donner trois propositions ou plus à une question, ou bien n en donner aucune, ne rapporte aucun point Si, par application de ce barème, le total des points de l exercice est négatif, il est ramené à zéro Les suites suivantes sont convergentes : ) n a b c d n 005 n>0 n+ ) n ) n n sin n ) n ln n n+ ) n> n>0 n N On considère trois suites u n ), v n ) et w n ) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : u n v n w n, lim u n)= et lim w n)= n + n + Alors : a lim n + v n)=0 b La suite v n ) est minorée c Pour tout n de N, on a : v n d On ne sait pas dire si la suite v n ) a une limite ou non { u0 =,5 3 Une suite u n ) est définie sur N par u n+ = u n pour tout entier naturel n a La suite u n ) converge vers, abscisse du point d intersection des droites d équations y = x et y = x b La suite v n ), définie sur N par v n = u n, est géométrique c La suite v n ) est majorée d La suite w n ), définie sur N par w n = lnu n ), est arithmétique 4 Deux suites x n ) et y n ) sont définies pour n> 0 par les relations : x n = n + n+ + + n et y n = n+ + n+ + + n Alors : a Les suites x n ) et y n ) sont toutes les deux croissantes b x 3 = 9 0 et y 3= c Les suites x n ) et ) y n ne sont pas majorées d Les suites x n ) et y n ) sont adjacentes Frédéric Demoulin Page 5

17 Exercice 7 Inde, Avril 005 Pour tout entier naturel n, on pose u n = n0 n On définit ainsi une suite u n) n N Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l équivalence suivante : u n+ 0,95u n + n) 0,9 On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par : f x)= + 0 x) a Étudier le sens de variation et la limite en+ de la fonction f b Montrer qu il existe dans l intervalle [;+ [ un unique nombre réel α tel que f α)=,9 c Déterminer l entier naturel n 0 tel que n 0 α n 0 d Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 6, on a : + n) 0,9 3 a Déterminer le sens de variation de la suite u n ) à partir du rang 6 b Que peut-on en déduire pour la suite? 4 En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 6, l encadrement : En déduire la limite de la suite u n ) n N 0 u n 0,95 n 6 u 6 Exercice 8 Nouvelle-Calédonie, Mars 005 Partie A Étant donnés deux points distincts A 0 et B 0 d une droite, on définit les points : A milieu du segment [A 0 B 0 ] et B barycentre de {A 0 ; ), B 0 ; )} Placer les points A, B, A et B pour A 0 B 0 = cm Quelle conjecture peut-on faire sur les points A n et B n lorsque n devient très grand? On munit la droite A 0 B 0 ) du repère A 0 ; ı ) avec ı = A 0 B 0 Soit u n et v n les abscisses respectives des points A n et B n Justifier que pour tout entier naturel n strictement positif, on a : u n+ = u n+ v n et v n+ = u n+ v n 3 Partie B Frédéric Demoulin Page 6

18 On considère les suites u n ) et v n ) définies par u 0 = 0, v 0 =, u n+ = u n+ v n et v n+ = u n+ v n 3 Démontrer que la suite w n ) définie par w n = v n u n est une suite géométrique convergente et que tous ses termes sont positifs Montrer que la suite u n ) est croissante puis que la suite v n ) est décroissante 3 Déduire des deux questions précédentes que les suites u n ) et v n ) sont convergentes et ont la même limite 4 On considère la suite t n ) définie par t n = u n + 3v n Montrer qu elle est constante Partie C À partir des résultats obtenus dans les parties A et B, préciser la limite des points A n et B n lorsque n tend vers+ Exercice 9 Amérique du Sud, Novembre 004 Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par : f x)= xe x On note Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal O ; ı, j ) unité graphique : 0 cm) Partie A a Déterminer la limite de f en + b Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations c Construire Γ dans le repère O ; ı, j ) ] a Montrer que, pour tout réel m de 0 ; [, l équation f x) = m admet deux solutions e b Dans le cas où m=, on nomme α et β les solutions avec α<β) 4 Déterminer un encadrement d amplitude 0 de α c Résoudre l équation f x)=m dans le cas où m= 0 et m= e Partie B On considère la suite u n ) définie sur N par : où α est le réel défini à la question Ab { u0 = α u n+ = u n e u n, pour tout entier naturel n a Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n > 0 b Montrer que la suite u n ) est décroissante c La suite u n ) est-elle convergente? Si oui, déterminer sa limite On considère la suite w n ) définie sur N par w n = ln u n a Montrer que, pour tout n entier naturel, on a u n = w n w n+ Frédéric Demoulin Page 7

19 b On pose S n = u 0 + u + +u n Montrer que S n = w 0 w n+ c En déduire lim n + S n 3 On considère la suite v n ) définie sur N par son premier terme v 0 v 0 > 0) et, pour tout entier naturel n, v n+ = v n e v n Existe-t-il une valeur de v 0 différente de α telle que, pour tout n, on ait u n = v n? Si oui, préciser laquelle Exercice 0 Nouvelle-Calédonie, Novembre 004 On considère les deux suites u n ) et v n ) définies, pour tout entier naturel n, par : Calculer u, v, u et v u 0 = 3 u n+ = u n+ v n et v 0 = 4 v n+ = u n++ v n Soit la suite w n ) définie pour tout entier naturel n par : w n = v n u n a Montrer que la suite w n ) est une suite géométrique de raison 4 b Exprimer w n en fonction de n et préciser la limite de la suite w n ) 3 Après avoir étudié le sens de variation des suites u n ) et v n ), démontrer que ces deux suites sont adjacentes Que peut-on en déduire? 4 On considère à présent la suite t n ) définie, pour tout entier naturel n, par t n = u n+ v n 3 a Démontrer que la suite t n ) est constante b En déduire la limite des suites u n ) et v n ) Exercice Antilles-Guyane, Juin 004 a n+ = On définit les suites a n ) et b n ) par a 0 =, b 0 = 7 et 3 a n+ b n ) b n+ = 3 a n+ b n ) Soit D une droite munie d un repère O ; ı ) Pour tout n N, on considère les points A n et B n d abscisses respectives a n et b n Placer les points A 0, B 0, A, B, A et B Soit u n ) la suite définie par u n = b n a n pour tout n N Démontrer que u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme Exprimer u n en fonction de n 3 Comparer a n et b n Étudier le sens de variation des suites a n ) et b n ) Interpréter géométriquement ces résultats 4 Démontrer que les suites a n ) et b n ) sont adjacentes 5 Soit v n ) la suite définie par v n = a n + b n pour tout n N Démontrer que v n ) est une suite constante En déduire que les segments [A n B n ] ont tous le même milieu I Frédéric Demoulin Page 8

20 6 Justifier que les suites a n ) et b n ) sont convergentes et calculer leur limite Interpréter géométriquement ce résultat Exercice France, Juin 004 On considère la suite u n ) définie par : Étudier la monotonie de la suite u n ) { u0 = u n+ = u n + n+ 3 pour tout entier naturel n a Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n > n b Quelle est la limite de la suite u n )? 3 Conjecturer une expression de u n, en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée Exercice 3 La Réunion, Juin 004 On considère la fonction f définie sur l intervalle [0;+ [ par : Son tableau de variation est le suivant : f x)= x e x x 0 + f x) 0 Sa courbe représentative C et son asymptote, d équation y =, sont tracées ci-dessous y C 0 0 Partie A Lecture graphique x Frédéric Demoulin Page 9

21 k est un nombre réel donné En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l intervalle [0; + [ de l équation f x) = k n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l équation f x) = n admet deux solutions distinctes Partie B Définition et étude de deux suites Soit n un entier supérieur ou égal à Montrer que l équation f x) = n admet deux solutions u n et v n, respectivement comprises dans les intervalles [0; ] et [;+ [ Sur le graphique, construire sur l axe des abscisses les réels u n et v n, pour n appartenant à l ensemble { ; 3 ;4} 3 Déterminer le sens de variation des suites u n ) et v n ) 4 Montrer que la suite u n ) est convergente et déterminer sa limite Procéder de même pour la suite v n ) En déduire que les suites u n ) et v n ) sont adjacentes Exercice 4 Liban, Juin 004 Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x a Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k : k n k n! k k! b En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k : c Montrer que : x n n! x k ) n kk k! x n lim n + n! = 0 a Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à : n n on pourra écrire nn comme un produit de n facteurs supérieurs ou égaux à ) n! b En déduire que : n n lim n + n! =+ n! Exercice 5 Inde, Avril 004 u 0 = 0 Soit u la suite définie par u n+ = pour tout entier naturel n u n Frédéric Demoulin Page 0

22 a Calculer u, u et u 3 On exprimera chacun de ces termes sous forme d une fraction irréductible b Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie sur N par w n = n n+ c À l aide d un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, u n = w n ) n Soit v la suite de terme général v n défini par v n = ln où ln désigne la fonction logarithme népérien n+ a Montrer que v + v + v 3 = ln 4 b Soit S n la somme définie pour tout entier naturel non nul n par : Exprimer S n en fonction de n S n = v + v + + v n Déterminer la limite de S n lorsque n tend vers+ Exercice 6 Centres étrangers, Juin 003 On définit, pour tout entier naturel n> 0, la suite u n ) de nombres réels strictement positifs par u n = n n Pour tout entier naturel n> 0, on pose v n = u n+ u n a Montrer que lim n + v n = b Montrer que pour tout entier naturel n> 0, v n > c Trouver le plus petit entier N tel que si n N, v n < 3 4 d En déduire que si n N, alors u n+ < 3 4 u n On pose pour tout entier naturel n 5, S n = u 5 + u 6 + +u n On se propose de montrer que la suite S n ) n 5 est convergente a Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n 5 : ) n 5 3 u n u 5 4 b Montrer que pour tout entier naturel n 5 : [ S n + 3 ) n 5 ] ) u 5 4 c En déduire que pour tout entier naturel n 5, S n 4u 5 3 Montrer que la suite S n ) n 5 est croissante et en déduire qu elle converge Frédéric Demoulin Page

23 Exercice 7 Inde, Avril 003 On considère la suite numérique u n ) définie sur N par : où a est un réel donné tel que 0< a< On suppose dans cette question que a= 8 a Calculer u et u u 0 = a et, pour tout entier naturel n, u n+ = u n u n ) b Dans un repère orthonormal unité graphique 8 cm), tracer, sur l intervalle [0; ], la droite D d équation y = x et la courbe P représentative de la fonction f : x x x) c Utiliser D et P pour construire sur l axe des abscisses les points A, A, A 3 d abscisses respectives u, u et u 3 On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l intervalle ]0; [ a Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0<u n < b Montrer que la suite u n ) est croissante c Que peut-on en déduire? 3 On suppose à nouveau dans cette question que a = 8 On considère la suite numérique v n) définie sur N par : v n = u n a Exprimer, pour tout entier n, v n+ en fonction de v n b En déduire l expression de v n en fonction de n c Déterminer la limite de la suite v n ), puis celle de la suite u n ) Exercice 8 Centres étrangers, Juin 00 On définit deux suites u et v par u 0 =, v 0 = et pour tout entier naturel n : u n+ = 3 u n+ v n ) v n+ = 4 u n+ 3v n ) On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par w n = v n u n a Montrer que w est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la raison b Déterminer la limite de la suite w a Montrer que la suite u est croissante b Montrer que la suite v est décroissante c En déduire que, pour tout entier naturel n, u 0 u n v n v 0 3 Montrer que les suites u et v convergent et ont la même limite que l on appellera l 4 On appelle t la suite définie pour tout entier naturel n par t n = 3u n + 8v n a Montrer que t est une suite constante Déterminer cette constante b Déterminer alors la valeur de l Frédéric Demoulin Page

24 Exercice 9 Amérique du Sud, Novembre 00 Soit u n ) la suite numérique définie sur N par : a Montrer que u n ) est majorée par 4 b Montrer que u n ) est strictement croissante { u0 = 0 u n+ = 3u n + 4 c En déduire que u n ) converge et déterminer sa limite a Montrer que pour tout entier naturel n, on a : 4 u n+ 4 u n ) b Retrouver le résultat du c c Étudier la convergence de la suite v n ) définie sur N par : v n = n 4 u n ) Frédéric Demoulin Page 3