6 Ecoulements à nombre de Reynolds faible.

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1 6 Ecoulements à nombre de Reynolds faible. L analyse d un écoulement caractérisé par un nombre de Reynolds faible Re 1) peut être réalisée de façon approximative lorsque certains termes dans les équations de Navier-Stokes deviennent négligeables. Un exemple provient du cas d un écoulement à vitesse très faible: les termes non linéaires d inertie) peuvent devenir plus petits que les termes visqueux puisque et le rapport entre les deux termes devient v )v =OU 2 /L),terme d inertie) ν 2 v =OνU/L 2 ),terme visqueux) 269) v )v ν 2 v = O U 2 ) /L νu/l 2 = ORe). 27) Par conséquent, pour un écoulement qui est suffisamment lent U 1) et en supposant que l écoulement est stationnaire ou presque), 235) se simplifie en les équations stationnaires de Stokes: = p+η 2 v, 271) v =. 272) Une autre manière d obtenir le même résultat est d introduire les nouvelles variables adimensionnelles x =x/l, t = t/l/u), v =v/u, p = p/ηu/l). Cette fois on obtiendra Re Dv Dt = p + 2 v. 273) Si on suppose que les termes dans la dérivée matérielle restent bornée lorsque Re on obtient la même équation de Stokes en laissant tendre vers zéro le nombre de Reynolds. 6.1 Unicité des écoulements lents Soit V un volume occupé par un fluide visqueux et borné par une frontière fermée S. On suppose que la vitessev est prescrite commev=v B sur S. Il y a alors tout au plus une solution v des équations de Stokes en V qui satisfait cette condition limite. Démonstration. Supposons qu il existe une autre vitessev qui satisfait aussi les équations de Stokes avec une pression correspondante p, disons) et la condition limite v =v B sur S. On définitu=v v et P= p p. En soustrayant les équations de Stokes pourv, p) etv, p ) on obtient = P+η 2 u, u=, 274) 58

2 avecu= sur S. Sous la forme des composantes les équations 274) s écrivent = P x i + η 2 u i 2, u i x i =. 275) On multiplie la première de ces équations par u i pour arriver à l équation = x i Pu i )+ηu i 2 u i 2, 276) puisque u i / x i =. On intégre sur V et on emploi le théorème de la divergence pour voir que 2 u i = Pu i n i ds+η u i dv. 277) S V x 2 j Le premier membre de droite disparait et donc [ ) u i η u i V x i u i η u i n j ds η S V ui V ) ] 2 dv =, ) 2 dv =, ) 2 dv =. 278) ui ui On conclut que u est une constante partout. Puisque u = sur S cette constante est égale à zéro et donc v =v. Une conséquence de l unicité de la solution v des équations de Stokes avec des conditions limites de type Dirichlet v =v B est que lorsqu on remplace v B avec v B, la solution du problème ainsi inversé" est v. La nouvelle pression devient cte p. 59

3 6.2 Mouvement lent d une sphère On cherche une solution aux équations de Stokes pour l écoulement uniforme autour d une sphère, et donc un champ de vitesse axisymétrique sous la forme v =v r,v θ,v ϕ )=v r r,θ),v θ r,θ),), 279) où on utilise des coordonnées sphériquesr, θ, φ). Pour satisfaire la condition d incompressibilité exactement on peut introduire une fonction de courant ψ sous la forme Alors, v r = 1 ψ r 2 sinθ θ, v θ = 1 ψ r sinθ r. 28) v =,, 1 ) r sinθ E2 ψ, 281) où E 2 désigne l operateur différentiel E 2 = 2 r 2 + sinθ ) 1 r ) θ sinθ θ En écrivant l équation 271) sous la forme on obtient p= η v), 283) p r = η r 2 sinθ θ E2 ψ, 1 p r θ = η r sinθ r E2 ψ, 284) et en éliminant la pression par différentiation) on trouve que E 2 E 2 ψ)=, c.à.d., Les conditions limites sont [ 2 r 2 + sinθ )] 2 1 r 2 ψ =. 285) θ sinθ θ ψ r = ψ = en r=a, 286) θ avec la condition que l écoulement devient uniforme lorsque r : v r U cosθ et v θ U sinθ lorsque r. 287) La condition ci-dessus peut être reécrite ψ 1 2 Ur2 sin 2 θ lorsque r, 288) 6

4 et on essayera de trouver une solution de la forme On voit que E 2 2 ψ = r 2 + sinθ )) 1 r 2 θ sinθ θ et donc que ψ = fr)sin 2 θ. 289) f sin 2 2 θ = r 2 2 ) r 2 f sin 2 θ, 29) E 4 2 ψ = r 2 2 ) 2 r 2 f sin 2 θ. 291) Par conséquent, une solution de type 289) est possible pourvu que d 2 ) 2 f =. 292) dr 2 2 r 2 Cette équation a des solutions de la forme f = r α à condition que αα 1)α 2)α 3) 2α 2)α 3) 2αα 1)+4)r α 4 =, [α 2)α 3) 2][αα 1) 2]=, α = 1,1,2 ou 4, 293) et donc fr)= A r + Br+Cr2 + Dr ) Les conditions vers l infini impliquent que f 1 2 Ur2, lorsque r ce qui nécessite que C = U/2 et que D =. D après les conditions limites 286) nous avons fa)= f a)= A= Ua 3 /4 et B= 3Ua/4. La solution ψ est maintenant écrite ψ = U ) 2r 2 + a3 4 r 3ar sin 2 θ, 295) d où on obtient les composantes de vitesse: v r = U ) 2+ a3 2 r 3 3a cosθ, v θ = U ) 4 a3 r 4 r 3 3a sinθ. 296) r Pour calculer la traînée D de la sphère on commence en calculant d E 2 2 ψ = dr 2 2 ) ) ) U 2r 2 r 2 + a3 4 r 3ar sin 2 θ = 3aU 2r sin2 θ, 297) 61

5 et après on intègre les equations 284) pour obtenir La formule pour D est p= p 3Uaη 2r 2 cosθ. 298) 2π π D= σ n ea 2 sinθ dθdϕ, 299) ϕ= θ= où n = e r et e = e r cosθ e θ sinθ désigne un vecteur unitaire dans la direction de l écoulement suivant l axe θ = ). Donc D=2πa 2 π θ= = 2πa 2 π θ= σ θr e θ + σ rr e r ) e r cosθ e θ sinθ)sinθ dθ, σ rr cosθ σ θr sinθ)sinθ dθ, = 6πηUa, 3) où nous avons utilisé les résultats voir A.44) d Acheson) σ rr = p+2η v r r, σ rθ = ηr vθ r r ) + η r v r θ, 31) avec v r et v θ données par 296) et la pression p donnée par 298). La vitesse terminale U d un ballon qui tombe lentement) dans une étendue infinie d un fluide très visqueux peut être calculée maintenant du fait qu en ce moment-là la traînée est en équilibre avec le poids net du ballon: 6πηUa= 4 3 πa3 ρ sphère ρ fluide )g. 32) 6.3 Ecoulement dans une couche mince Il s agit d un écoulement dans l espace formé par deux parois rigides z = et z = hx, y). Soit U une vitesse horizontale typique et L une longueur caractéristique de l écoulement. Supposons, en plus, que h L. Pour que la condition de non-glissement sur les parois en z = et z = h soit satisfaite les composantes de vitesse dans les directions x et y changeront de l ordre de U sur une distance de z de l ordre de h. C est à dire, u/ z ou v/ z sont de OU/h), et 2 u/ z 2 ou 2 v/ z 2 sont de OU/h 2 ). Cependant, les dérivées de u ou v par rapport à x ou y sont beaucoup plus faibles: u/ x est de OU/L), 2 u/ x 2 est de OU/L 2 ) avec des résultats pareils pour v. L ordre de grandeur de la troisième composante de vitesse w est obtenu de l équation d incompressibilité: u x + v y + w =, 33) z 62

6 d où on voit que w/ z est de OU/L) et donc que w est de OUh/L). On obtient alors U ν 2 v ν L 2 + U L 2 + U ) h 2 deux premières composantes), Uh ν 2 v ν L 3 + Uh L 3 + Uh ) Lh 2 z-ième composante w), v )v U 2 1,1, h ). 34) L L On conclut de 34) que le terme visqueux des équations de Navier-Stokes peut être approximé par ν 2 v ν 2 v z 2, 35) et que le terme d inertie peut être négligé par rapport au terme visqueux si v )v ν 2 v O UL ν h L ) 2 ) 1. 36) On note qu on n a pas besoin que le nombre de Reynolds UL/ν soit petit pour que les forces visqueuses dominent. Les équations de Navier-Stokes sont réduites maintenant à p x = η 2 u p z 2, y = η 2 v p z 2, z = η 2 w z 2, u x + v y + w =. 37) z Puisque w est plus petite par un facteur de h/l que les deux autres composantes de vitesse il s en suit que p/ z est beaucoup plus petite que p/ x ou p/ y et que la pression p peut être considerée en fonction uniquement de x et de y. En intégrant les deux premières équations ci-dessus par rapport à z on obtient u= 1 p 2η x z2 + Az+B, 38) v= 1 p 2η y z2 +Cz+D, 39) où p/ x, p/ y, A, B, C et D sont tous des fonctions de x et y seulement. En ce qui concerne le tenseur des contraintes vi σ i j = pδ i j + η + v ) j, 31) x i on voit que puisque p OηUL/h 2 ) voir 37)) et que la composante la plus grande du seconde membre de droite de 31) est OηU/h), σ i j pδ i j. 311) 63

7 6.3.1 Exemple 1: Palier portant bidimensionnel Il s agit de l écoulement dans un espace étroit formé par deux parois non parallèles. Une de ces parois est fixe et l autre se meut à la vitesse U. La distance hx) entre les deux parois est donc une fonction de x. Pour un palier portant le rapport h max /L 1, où L est la longueur du saumon. L équation de la continuité est exprimée en fonction du débit volumique, qui doit être le même à travers chaque section x= constante Les conditions limites sont hx) Q= u dz=constante. 312) z=:u= U, z=hx) : u=, x=: p= p B, x=l: p= p B. 313) La solution de d p dx = η 2 u z2, 314) est donnée par 38); en appliquant 313) pour obtenir les constantes A et B, on obtient u= U 1 z ) z 1 z ) ) h 2 d p. 315) h h h 2η dx Le gradient de pression est déterminé en faisant appel à 312). L intégration par rapport à z de 315) donne ainsi Q= Uh ) 2 h3 d p. 316) 12η dx Puisque Q est une constante, on obtient donc la variation de la pression en intégrant 316) par rapport à x: x px)= p B + 6ηU dx h 2 x ) 12ηQ x dx h 3 x ), 317) où la condition p)= p B a été respectée. En utilisant également pl)= p B, on obtient Q= U 2 L dx h 2 x ) / L dx h 3 x ) 318) Il s en suit que le débit volumique et la distribution de pression sont fixés dès que la fonction hx) est connue. Dans le cas spécial d un palier portant plan avec hx) qui se varie linéairement entre h 1 en x= et h 2 en x=l: ) h2 h 1 hx)= x+h 1, 319) L Q= Uh 1h 2 h 1 + h 2 ), 32) 64

8 et donc px) p B 6ηUL = h 1 hx)))h 2 hx)) h 2 2 h2 1 )hx)2. 321) Puisque hx) se situe entre h 1 et h 2 il est clair que si h 2 < h 1 alors p sera superieure à p B partout dans la couche et donc qu il y aura une force nette vers le haut pour porter une charge. Ce problème bidimensionnel a été traité par Reynolds en Exemple 2: Ecoulement dans une cellule de Hele-Shaw 1898) Supposons que les frontières en haut et en bas sont tous les deux plates et parallèles tel que h est constante. On suppose que l écoulement entre les deux plaques est engendré par des gradients horizontales de pression et est autour des cylindres ayant l axe dans la direction z. En utilisant les conditions de non-glissement en z= et z=h on trouve de 38) et 39) que u= 1 p 2η x zh z), v= 1 p zh z). 322) 2η y Le fait que p n est en fonction que de x et y veut dire que bien que la vitesse soit en fonction de z, le rapport v/u ne l est pas. Donc, la direction de l écoulement est indépendante de z et par conséquent les lignes de courant le sont aussi. En plus, l élimination de la pression p de 322) donne v x u =. 323) y Donc, dans n importe quel plan z=constante, l écoulement autour d un cylindre correspondra à l écoulement bidimensionnel et irrotationnel autour de ce cylindre. Notez, cependant, que la circulation Γ autour d une courbe C fermée quelconque se situant dans un plan horizontal, qu elle entoure le cylindre ou non, doit être zéro. Ceci découle de Γ= u dx+v dy= 1 C 2η C zh z) p x dx+ p y dy= 1 2η zh z)[p] C =, 324) où[p] C désigne le saut de pression en passant une fois autour de C. 65