Phénomènes de propagation

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1 Phénomènes de popagation 1. généalités, définitions 1.1 une onde est un phénomène aatéisé pa la vaiation d'une gandeu physique dans un milieu initialement au epos (qui peut ête le vide ) et qui se popage. L'onde est poduite pa une soue et se popage ave une etaine éléité dans le milieu. Il y a popagation d'énegie mais pas de matièe. Le méanisme de popagation s'effetue de pohe en pohe. Une disontinuité du milieu onduit à la éflexion patielle et à la éfation de l'onde. 1. On distingue les ondes salaies (onde de pession dans un fluide, ébanlement se popageant su une ode ) et les ondes vetoielles (hamp életomagnétique ) Une onde peut ête tansvesale (ode, hamp E.M.) ou longitudinale (supession dans un tuyau sonoe, ompession d'un essot)..équation de popagation à une dimension.1expession généale d'une gandeu qui se popage. Si une gandeu s(x,t) se popage suivant l'axe Ox sans atténuation, on etouve en x à l'instant t, e qui se touvait en x o à l'instant t o, ave x - x o = ( t - t o ) ; don t o = t - (x- x o )/, et s(x,t) = s(x o, t o ) = s(x o,t - (x- x o )/) = f( t - x/ ) de même pou une onde se popageant ves x < 0 s(x,t) = g( t + x/ ) exemple d'un ébanlement se popageant le long d'une ode, ves les x >0 (simulation ave Maple) la éléité est fontion des aatéistiques du milieu dans lequel l'onde se popage expéiene: mesue de la éléité d'une onde de tension dans un able oaxial on aua don en généal : s(x,t) = f( t - x/ ) + g( t + x/ ). équation de popagation alulons les déivées seondes de s(x,t) pa appot à x, puis à t pou une onde se f 1 f popageant ves x>0, en posant u = t-x/ = = et = s f f = = et s f = a) dans un milieu à tois dimensions: s don = s 1 s s 1 f s 1 ² s t = 0 ² ² ou s = 0 (opéateu D'Alembetien) de même pou une onde vetoielle (hamp életomagnétique pxemple ) E 1 ² E t = 0 ² ² ou E = 0

2 exemple : supposons que la défomation d'une ode soit de la fome : ave a=1m, x 0 =1 m =1m.s -1 epésentons la défomation à difféents instants : t = 0s le maximum est en x=0 x(m) x t 0,37 1 0,37 0,018 0,00 0 0, y(x, t) = x t x(m) t = 1s le maximum est en x=1 x(m) x t 0,018 0,37 1 0,37 0,018 0,00 0, x(m) t = s le maximum est en x= x(m) x t 0,00 0,018 0,37 1 0,37 0,018 0, x(m) t = 3s le maximum est en x=3 x(m) x t 0 0,00 0,018 0,37 1 0,37 0, il y a bien popagation de la défomation ves les x positifs à la éléité x(m)

3 .3 as des ondes sphéiques : Dans un milieu isotope (dont les popiétés ne dépendent pas de la dietion ) l'amplitude de l'onde ne dépend alos que du temps et de la distane à la soue S, située au ente d'une sphèe : s s(,t) véifie s = 1 ² s = 1 ² o s ² ² ² ( ) l'équation de popagation devient : ² ² ( ) ² s s = 1 et on a monté que la solution de ette équation avait pou fome ² ² s = f ( t ) don s t (, ) 1 f ( t = ) pou une onde s'éloignant de la soue ; de même pou une onde se appohant du ente : s (, t ) 1 g( t = + ) (implosion) 1 la solution généale s'éia don : s t f t 1 g t (, ) = ( ) + ( + ) toute soue de petite dimension devant les distanes su lesquelles on étudie les phénomènes poua ête onsidéée omme pontuelle; exemples : petit haut-paleu en aoustique, tou soue plaé devant une lampe en optique, ou à une aute éhelle, épiente d'un séisme. S Loin de la soue l'onde est quasi-plane ex: onde sonoe se popageant à pati d'un point emaque : l'amplitude de l'onde est en 1/, don l'énegie sufaique, qui est popotionnelle à la valeu moyenne du aé de l'amplitude vaien 1/². Elle se onsevea au ous de la popagation, puisque les sufaes d'onde sont des sphèes d'aie égale à 4π² (popagation sans dissipation d'énegie).

4 3. ondes planes, ondes sinusoïdales, veteu d'onde 3.1 onde plane une onde est dite plane, si la gandeu qui se popage a même valeu en tout point d'un plan d'onde, pependiulaie à la dietion de popagation. u O x H u O M plans d'onde exemple : popagation ves x>0 dietion quelonque: s(x,t) = f(t - x/) u.om = u. = OH si M plan u. on peut don éie s(, t) = f (t ) pou une popagation dans une dietion quelonque u 3. onde plane sinusoïdale: une onde plane sinusoïdale de éléité sea déite pa ω s(,t) = a os ω(t ) + ϕ = os ωt + ϕ = a os ωt k + ϕ t = a os π( ) + ϕ ave : T λ a ( ) π ω = T ω π k = = λ π λ = = T = ω f ω( t ) + ϕ est la phase ϕ: phase à l'oigine a: amplitude ω: pulsation =πf = π/t : éléité (ou vitesse de phase v ϕ) T: péiode (s) λ: longueu d'onde (m) on a don une double péiodiité dans le temps (péiode T) et dans l'espae (longueu d'onde λ ): s( 0,t) s(,t 0 ) péiode T longueu d'onde λ t On hoisit souvent l'oigine des temps telle que ϕ = 0 e qui pemet d'éie enfin s(, t) = a os( ωt k) et le veteu ω π k = u = u est appelé veteu d'onde oienté dans la dietion de popagation λ 3.3 epésentation omplexe : à E = E0 os( ωt k. + ϕ) on assoie : E E j( t k.) 0 e ω = ave E j( ϕ) 0 E0e = signifiation d'un veteu d'onde omplexe : si k = ( α jβ) u, le hamp életique d'une onde életomagnétique j( ωt α u. ) β u. j( t x) x s'éit : E = E0e e ; pxemple dans le as d'une popagation suivant Ox : E ω α β = E 0e e ; β x penons la patie éelle : E(x, t) = R(E) = E0 e os( ωt α x + ϕ) ela oespond à une atténuation de l'amplitude losque x oît (onde se popageant dans un milieu absobant).

5 4.ondes stationnaies sinusoïdales 4.1expéiene de Melde noeud vente ode tendue ente O et M (points fixes) exitée pa un vibeu, obsevée au stobosope O on obseve fuseaux, ventes, noeuds (vibeu) opposition de phase ente deux ventes le nombe de fuseaux dépend de la tension T λ/ (pou une ode = T µ ave µ= dm/dl ) T on n'obseve plus de popagation : e sont des ondes stationnaies 4. intepétation une onde stationnaie est obtenue pa la supeposition de ondes pogessives de même amplitude se popageant en sens invese : = a/ os(ωt - kx + ϕ) + a/ os(ωt + kx + ψ) = a os(ωt + (ϕ+ψ)/) os( kx + (ψ-ϕ)/) soit : = a os(ωt + χ) os( kx + ξ) les temes ωt et kx sont déouplés il faut teni ompte en éalité des éflexions multiples se poduisant aux extémités, qui font que l'amplitude est bien supéieue à elle ommuniquée pa le vibeu à une extémité de la ode. en oute, d'autes phénomènes sont suseptibles d'inteveni : patiipation ative du suppot (ésonane dans un instument de musique) milieu amplifiateu dans une avité optique LASER ouplage ave le milieu extéieu pou la tansmission d'énegie. 4.3 position des noeuds et des ventes : si y = 0 t, alos kx + ξ =(n + 1)π/ soit x = (n+1)λ/4 - λξ/π a k = π/λ deux noeuds onséutifs sont don distants de λ/ si y est maximum, alos kx + ξ =nπ soit x = nλ/ - λξ/π deux ventes onséutifs sont don distants de λ/ et un noeud et un vente onséutifs sont distants de λ/4 4.4 onditions aux limites et modes popes es onditions sont imposées pa le système onsidéé : exemple : extémités fixes pou une ode, hamp életique tangentiel nul su un onduteu, et... en x=0 et en x=l, on a un noeud de vibation os( ξ) = 0 ξ = ± π/ d'où = a sin(kx)os(ωt + χ) et omme y(l,t)=0 on doit avoi sin(kl) = sin(πl/λ) = 0 il vient kl = nπ ave n entie ou πl/λ n = nπ don l = nλ n / = n/f n soit f n = n/l es elations définissent les modes popes de vibations et la solution généale est une supeposition de modes popes ompatibles ave les onditions aux limites. On peut alos utilise les séies de Fouie pou déompose une vibation omplexe en une somme de modes sinusoïdaux de féquenes f 0, f 0, 3f 0,4f 0 et.. M

6 4.5 exemples: ode fixée aux deux extémités : d = nλ/ n = 1 d = λ 1 / don λ 1 =d f 1 = /d n = d = λ / don λ =d f = /d n = 3 d = 3λ 3 / don λ 3 =d/3 f 3 = 3/d et... ode suspendue libe à une extémité : ette fois d = (n+1)λ/4 d = 3λ/4 on n'obsevea que les modes impais tuyau sonoe ouvet : on noe f n = n/d et d = nλ n / noeuds et ventes de supession à l intéieu du tuyau tuyau sonoe femé : ette fois f n = (n+1) /4d et d = (n+1)λ/4 avité optique (Lase) miois dans e as, si d = 0 m, et λ = µm n = d/λ = les odes gandeu sont tout à fait difféents!