DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE II :

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1 I.P.S.A. 5 / 9 rue Maurice Grandcoing Ivry Sur Seine Tél. : Date de l'epreuve : 9 mai 2016 Classe : AERO-1 S,T,U,V,W,X,Y Corrigé Devoir Surveillé Physique II Ph12 Professeurs:Bouguechal / LEKIC Durée : 1h30 1 h 00 3 h 00 Sans (1) Notes de Cours Avec(1) sans(1) Calculatrice (1) Rayer la mention inutile NOM : Prénom : N de Table : EXERCICE 1 EXERCICE 2 EXERCICE 3 /3 /14 /3 /20 DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE II : Si au cours de l épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l examen en proposant une solution. Le barème est donné à titre indicatif. Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses. Lorsque l étudiant ne répond pas à une question ou si la réponse est fausse, il n a pas de point de pénalité. Rédigez directement sur la copie. Inscrivez vos nom, prénom et classe. Justifiez vos affirmations si nécessaire. Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. NOM : PRENOM : : T.S.V.P. DS de physique II n 2 du 9mai /9

2 Exercice 2 : Un oscillateur harmonique(3 points ) Le pendule simple consiste en une masse m ponctuelle suspendue à l extrémité d une tige de masse négligeable de longueur l pouvant pivoter librement autour de son extrémité supérieure O. On néglige les frottements. A. La masse m a un mouvement : 1. circulaire uniforme 2. circulaire non uniforme3. non circulaire 4. apériodique 5. rectiligne uniforme. 6. aucune réponse. B. Le vecteurvitesse de la masse m est : 1. un vecteur constant 2. de norme constante 3. variable 4. dirigé vers le centre. 5. dirigé vers l extérieur. 6. aucune réponse. C. Le vecteur-position : 1. est un vecteur constant 2. est de norme constante 3. a deux composantes 4. tangent à la trajectoire. 5. dirigé vers l intérieur. 6. aucune réponse. D. Le vecteur-accélération : 1. balaye des aires égales 2. balaye des aires égales pour des durées égales 3. a une norme constante 4. est dirigé vers le centre 5. est un vecteur constant 6. aucune réponse. E. Le vecteur moment des forces appliquées à la masse m 1. est un vecteur constant 2. a une norme constante 3. est nul 4. est dû à la tension du fil 5. est dû au poids de la masse m 6. aucune réponse. F. Le vecteur moment cinétique de la masse m est : 1. un vecteur constant 2. de norme constante 3. est nul 4. tangent à la trajectoire 5. perpendiculaire au plan 6. aucune réponse. Cochez la ou le(s) bonne(s) cases. EXERCICE A X B X C X D X E X F X DS de physique II n 2 du 9mai /9

3 Exercice 2 : Un oscillateurlibre et ensuite amorti (14points) On considère un système mécanique comprenant une masse m posée sur un support, reliée à un ressort de constante de raideur k et un amortisseur à air produisant une force de frottement visqueux proportionnelle à la vitesse et égale à f frottement = λ dx où λ est un coefficient de frottement positif qui peut se mettre sous la forme : dt λ = 2αm ω 0 représente la pulsation propre du système. Sens du mouvement F rappel = force de rappel F fr = force de frottement fluide R = réaction du support P = poids I. Première partie : Oscillateur libre a) Donnez la dimension de α b) Donnez l unité de α c) Faire le bilan des forces suivant l axe des y d) Faire le bilan des forces suivant l axe des x e) Ecrire la relation scalaire qui représente la projection du bilan des forces sur cet axe du mouvement. f) En déduire l équation différentielle canonique qui régit le mouvement de la masse m. g) Déterminer la dimension de la pulsation propre ω0. h) Quelle est l unité de la pulsation propre? II. Seconde partie : Oscillateur amorti i) On se place dans le régime pseudo-périodique. Quelle est la solution x(t) de l équation différentielle canonique homogène du mouvement? j) Calculez la vitesse v(t), dérivée de l allongement x(t), en fonction du temps. k) Calculez l amplitude et la phase à l origine de cet oscillateur amorti, si à l état initial x(0) = x0 et v(0) = 0 où v représente la vitesse. l) En déduire l expression de la pseudo pulsation de l oscillateur amorti en fonction de α et ω0. Comment varie-t-elle en fonction de α? m) Donnez la définition mathématique du décrément logarithmique. On ne demande pas ici de le calculer. DS de physique II n 2 du 9mai /9

4 Réponses : I. Première partie : oscillateur libre a) On calcule d abord la dimension de λ : [λ] = [Force] [vitesse] = LMT 2 LT 1 Puis on en déduit la dimension de α : [α] = [λ] [m] = MT 1 M = T 1 = MT 1 2* b) L unité de α est le Hertz ou la s 1 c) Le mouvement n est pas suivant cet axe Oy, il n y a que deux forces, le poids et la réaction du support, qui agissent et elles se compensent : P + R = d) Le mouvement est suivant l axe Ox, une force agit sur le système qui est ici la masse m, la force de rappel uniquement car nous sommes dans le cas d un oscillateur libre. F rappel = ma 1.00 e) Nous sommes dans le cas d un oscillateur libre, il n y a pas de force de frottement fluide dans cette partie. La projection suivant l axe des x donne : kx = mx 1.00 f) On passe tous les termes dans le même membre, on divise par m : mx + kx = 0 x + k x = 0 m DS de physique II n 2 du 9mai /9

5 En posant 2α = 0et ω 2 0 = k, on obtient : m x + ω 0 2 x = 0 2* Il s agit de l équation différentielle de l oscillateur libre. g) La dimension de pulsation propre au carré s obtient en analysant la dimension de k, constante de raideur du ressort, puis en divisant par la masse. [k] = [force] [longueur] = LMT 2 = MT 2 L [ω 0 2 ] = k m = MT 2 M = T 2 [ω 0 ] = T 1 2* h) L unité de ω 0 est le rad/s II. Seconde partie : Oscillateur amorti i) A l équation précédente, obtenue en I.f), on rajoute le terme de frottement fluide et l on obtient l équation différentielle suivante : kx λx = mx mx + λx + kx = 0 x + 2αm m x + k x = 0 m En posant λ = 2α et ω m 0 2 = k m x + 2αx + ω 0 2 x = 0 Il s agit de l équation différentielle de l oscillateur amorti. La solution de cette équation en régime pseudo-périodique est écrite ci-dessous. On pose u et v respectivement la partie réelle et la valeur absolue de la partie imaginaire des racines complexes conjuguées de l équation caractéristique : x(t) = Ae ut cos(vt + φ) DS de physique II n 2 du 9mai /9

6 Un mouvement oscillatoire amorti donne un discriminant de l équation caractéristique négatif : r 2 + 2αr + ω 0 2 = 0 = (2α) 2 4ω 0 2 = 4(α 2 ω 0 2 ) < 0 La solution de l équation caractéristique est : r 1 = α + i ω 0 2 α 2 = u + iv r 2 = α i ω 0 2 α 2 = u iv 2* La solution de l équation différentielle est donnée par : x(t) = Ae αt cos( ω 0 2 α 2 t + φ) 1 j) On calcule la vitesse : x (t) = αae αt cos ( ω 0 2 α 2 t + φ) Ae αt ω 0 2 α 2 sin( ω 0 2 α 2 t + φ) 1 k) x(0) = Acos(φ) = x 0 x (0) = αacos(φ) A ω 0 2 α 2 sin(φ) = 0 2*0.25 tan(φ) = sin(φ) cos(φ) = α ω 0 2 α 2 DS de physique II n 2 du 9mai /9

7 Soient la phase à l origine et l amplitude du mouvement : φ = Arctan ( A = x 0 cos(φ) α ) 2 ω 0 α 2 2* l) La pseudo-pulsation est la pulsation de l oscillateur amorti : ω = ω 0 2 α 2 = ω 0 1 α2 ω 0 2 Lorsque les frottements fluides sont faibles, la pulsation proche se rapproche de la valeur de la pulsation propre, pulsation d un oscillateur libre. m) Le décrément logarithmique s écrit : δ = l n ( x(t) 2π ) = αt = α x(t + T) 2πα = ω 2 0 α 2 ω 2 0 α 2 DS de physique II n 2 du 9mai /9

8 Exercice3 : Equation différentielle (3points) Résoudre l équation différentielle suivante : x + 4x = 0 On prendra x(0) = 1 et x (0) = 0 Réponses : L équation caractéristique est la suivante : r = 0 Le discriminant est : Δ = 16 = 16i 2 Les racines sont complexes conjuguées : r 1 = 2i et r 1 = 2i La solution est du type : x(t) = Acos(2t + φ) Et la dérivée est : x = 2Asin(2t + φ) On utilise alors les conditions initiales : x(0) = Acos(φ) = 1 x (0) = 2Asin(φ) = 0 sin(φ) = 0 φ = 0 A = 1 2* Donc la solution de l équation différentielle est : x(t) = cos(2t) DS de physique II n 2 du 9mai /9

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