Dynamique newtonienne

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1 Dynamique newtonienne Contrairement à la cinématique, qui se limite à la description du mouvement, la dynamique a pour but l interprétation des causes du mouvement. Aspect historique Entre les années 1600 et 1609, Galilée ( ) effectue les premières expériences sur la chute des corps. En 1638, il publie le «Discours sur deux sciences nouvelles» où il énonce les premières lois concernant le mouvement. En 1687, Newton ( ) réalise la synthèse des lois de la mécanique classique (les 3 lois de Newton) et de la loi de la gravitation universelle pour interpréter le mouvement des planètes autour du Soleil. Nécessité de définir un système Il est indispensable de définir le système mécanique considéré, c est-à-dire de préciser le point matériel, l ensemble des points matériels ou le corps dont on étudie le mouvement. On distingue alors le système du milieu extérieur. 1. Actions mécaniques et forces Le système étudié est éventuellement soumis à des actions mécaniques exercées depuis l extérieur par d autres corps ou objets. On distingue les actions mécaniques de contact, qui nécessitent un contact entre les deux systèmes en interaction et les actions mécaniques à distance, qui peuvent s exercer en l absence de contact entre ces deux systèmes. Le diagramme objet-interactions permet de faire l inventaire des actions mécaniques exercées depuis l extérieur sur un système. Exemple : Livre glissant le long d un plan incliné On étudie le système {livre} Le diagramme objet-interaction correspondant est représenté ci-contre Chaque action mécanique exercée sur le système est modélisée par une force caractérisée par : - sa direction - son sens - son intensité (exprimée en Newtons (N)) Faire le bilan des forces extérieures exercées sur le système étudié consiste à faire la liste des forces exercées depuis l extérieur sur le système. Chaque force est alors représentée sur un schéma à l aide d un segment fléché appelé vecteur-force. Ce vecteur indique la direction et le sens de la force. Si la représentation de ces vecteurs respecte une échelle, la longueur du vecteur est proportionnelle à l intensité de la force. Exemple : Livre glissant le long d un plan incliné Le bilan des forces extérieures exercées sur le système est : - Le poids P (associé à l interaction à distance entre le livre et le Terre) - La réaction du support R (associée à l interaction de contact entre le livre et le plan incliné) - La force de frottement fluide f (associée à l interaction entre le livre et l air) Voir le polycopié «Référentiels et forces usuelles» pour les caractéristiques des principales forces.

2 2. Première loi de Newton (ou principe d inertie) Aspect historique Pendant longtemps, une mauvaise compréhension du rôle des forces de frottement a fait croire qu il existait un lien de cause à effet entre l intensité de la force exercée sur un objet et sa vitesse. Cette erreur a été levée par Galilée, puis par Newton qui énonça le principe d inertie. Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s exercent sur lui se compensent. Lire le texte d Albert Einstein «Naissance de la conception mécanique» à ce sujet (DM n 5) Énoncé «moderne» du principe d inertie Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse v M d un point matériel M est constant si et seulement si la somme vectorielle des forces exercées sur ce point matériel est nulle. v M constant F ext = 0 Remarque 1 Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d inertie s applique. Le référentiel héliocentrique est considéré comme galiléen. En Terminale S, on admettra que le référentiel géocentrique et le référentiel terrestre sont également galiléens. Remarque 2 v M constant signifie que le point M est soit au repos (immobile), soit en mouvement rectiligne uniforme. Remarque 3 Dans le cas d un système quelconque (solide, ensemble de points matériels), le principe d inertie précise le mouvement d un point particulier G, appelé centre d inertie du système. Le principe d inertie s écrit alors : Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse v G du centre d inertie d un système est constant si et seulement si la somme vectorielle des forces exercées sur ce système est nulle. v G constant F ext = 0 Remarque 4 Un système pour lequel F ext = 0 constitue un système isolé Remarque 5 Il faut bien mesurer le sens physique de ce principe : - Il peut exister un mouvement sans forces, en l occurrence le mouvement rectiligne uniforme. - Un système soumis à des forces qui se compensent conserve indéfiniment son mouvement : on parle d inertie de la matière. - Au contraire, un système soumis à des forces qui ne se compensent pas ( F ext 0 ) voit son mouvement modifié (modification de la valeur de la vitesse, de la direction ou du sens du mouvement). Cette modification du mouvement est précisée par la seconde loi de Newton.

3 3. Deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique) 3.1. Quantité de mouvement L expérience montre qu il est plus facile de modifier le mouvement d un système léger que d un système plus lourd. Ainsi, une même force exercée sur 2 systèmes de masses différentes modifiera davantage le mouvement du système possédant la masse la plus faible. Le lien entre force et modification de la vitesse fait donc intervenir un paramètre fondamental : la masse du système. C est pourquoi il est nécessaire d introduire une nouvelle grandeur : la quantité de mouvement p La quantité de mouvement d un point matériel M de masse m et de vecteur vitesse v est définie par : p = m. v M Pour un système quelconque de masse m, la quantité de mouvement est définie à partir du vecteur vitesse v G du centre d inertie G du système : p = m. v G Pour un système qui peut être séparé en plusieurs parties, les quantités de mouvement s ajoutent : p = p i La norme du vecteur quantité de mouvement s exprime en kg. m. s 1 i 3.2. Énoncé général du Principe fondamental de la dynamique Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle (ou résultante) des forces extérieures exercées sur un système est égale à la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement de ce système. F ext = dp 3.3. Cas particulier d un point matériel de masse constante Pour un point matériel M de masse constante, on obtient : F ext = d(m. v M) = dm. v M La masse étant constante, dm = 0 donc : F ext = m. dv M F ext = m. a M + m. dv M La somme vectorielle des forces extérieures exercées sur un point matériel de masse constante est égale au produit de la masse par le vecteur accélération du point matériel.

4 3.4. Cas particulier d un système quelconque mais de masse constante Pour un système quelconque de masse constante, on obtient le même résultat en considérant le centre d inertie G du système. F ext = d(m. v G) F ext = m. a G = m. dv G La somme vectorielle des forces extérieures exercées sur un système de masse constante est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération de son centre d inertie G Cas particulier d un système isolé Si le système est isolé, alors F ext = 0. On en déduit que : dp = 0 La quantité de mouvement d un système isolé se conserve. Remarque Si de plus le système est de masse constante, on obtient : Pour un point matériel M : d(m. v M ) = m. dv M = 0 dv M = 0 v M constant Pour un système quelconque : d(m. v G ) On retrouve le principe d inertie. = m. dv G = 0 dv G = 0 v G constant 4. Troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques) Si un système A exerce une force F A/B sur un système B alors B exerce une force F B/A sur A. Les deux forces sont portées par la même droite et sont opposées (même direction, même intensité mais sens contraires). On a : F B/A = F A/B Cette loi s applique quel que soit le mouvement des deux corps. Exemple : interaction gravitationnelle entre la Terre et un satellite géostationnaire La force F S/T exercée par le satellite sur la Terre est l opposée de la force F T/S exercée par la Terre sur le satellite. Les deux forces sont portées par la droite reliant le centre de la Terre et le satellite (considérée comme ponctuel)

5 5. Méthode de résolution des exercices 5.1. EXERCICE TYPE 1 : APPLICATION DU PRINCIPE D INERTIE Énoncé Au Moyen Age, on montait les matériaux de construction à l abbaye du Mont-Saint-Michel, à l aide d un grand plan incliné rectiligne. L angle de ce plan incliné avec le plan horizontal a pour mesure = 38. Rempli de matériaux, un chariot est tiré par une corde, parallèle au plan incliné, et monte à vitesse constante le long du plan incliné. La masse du chariot et de son chargement est M = 480 kg. Pour simplifier l étude, on néglige tout frottement. Le champ de pesanteur est supposé uniforme, tel que g = 9,81 N.kg -1 Déterminer l intensité de toutes les forces exercées sur le chariot. Résolution type Définir le système et le référentiel d étude On étudie le système {chariot} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Faire le bilan des forces extérieures et les représenter sur un schéma, ainsi que le repère d espace Le bilan des forces extérieures s écrit : - Le poids P (vertical, orienté vers le centre de la Terre) - La tension du câble T (direction : celle du câble, orientée du chariot vers le câble) - La réaction normale du support R N (perpendiculaire au plan incliné car on néglige les frottements, orientée du support vers le chariot) Choisir un repère d espace dont un des axes est parallèle au plan incliné et coïncide donc ainsi avec la trajectoire du centre d inertie du chariot. Respecter les points d application des forces (centre d inertie pour le poids, point d attache du câble sur le chariot pour la tension du câble) La longueur des vecteurs force est sans importance pour une telle résolution analytique du problème. Appliquer le principe d inertie Dans le référentiel d étude, le mouvement du centre d inertie G du chariot est rectiligne uniforme. Donc, d après le principe d inertie, la somme vectorielle des forces extérieures est nulle. P + T + R N = 0 Exprimer les coordonnées des vecteurs force dans le repère d espace, écrire les relations entre ces coordonnées et en déduire l expression littérale des intensités des forces. Sans introduire aucun signe, on peut écrire la même relation en utilisant les coordonnées des vecteurs { P x + T x + R Nx = 0 P y + T y + R Ny = 0 Or : - La force T est dans la direction et le sens de l axe (Ox) donc : T y = 0 et T x = T = T > 0 - La force R N est dans la direction et le sens de l axe (Oy) donc : R Nx = 0 et R Ny = R N = R N > 0 - D autre part dans le triangle rectangle d angle au sommet α : P x = P. sin(α) et P y = P. cos(α)

6 On obtient donc, sachant que P = M.g M. g. sin(α) + T + 0 = 0 { M. g. cos(α) R N = 0 Finalement P = M. g T = M. g. sin(α) R N = M. g. cos(α) Faire les applications numériques. P = 480.9,81 = 4, N T = 480.9,81. sin(38 ) = 2, N R N = 480.9,81. cos(38 ) = 3, N Énoncé 5.2. EXERCICE TYPE 2 : CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT D UN SYSTÈME ISOLÉ Sur une piste horizontale totalement verglacée, deux objets A et B, de masses m A = 20,0 kg et m B = 15,0 kg, se déplacent l un vers l autre avec des vitesses respectives v A = 3,5 m. s 1 et v B = 8,0 m. s 1. Juste après le choc, l objet A se déplace dans le sens inverse de son mouvement initial avec la vitesse v A = 2,0 m. s 1. Déterminer, juste après le choc, le sens du mouvement de l objet B ainsi que la valeur de sa vitesse. En déduire la variation d énergie cinétique lors du choc. Résolution type Définir le système et le référentiel d étude On étudie le système {objet A + objet B} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Faire le bilan des forces extérieures et les représenter sur un schéma, ainsi que le repère d espace Le bilan des forces extérieures s écrit : - Le poids P A de l objet A et le poids P B de l objet B - Les réactions normales du support R NA et R NB (perpendiculaires à la piste car les frottements sont négligeables sur une piste verglacée) Remarque : Les forces qui s exercent entre les deux objets lors du choc ne sont pas des forces extérieures! Appliquer la conservation de la quantité de mouvement Le mouvement étant horizontal, les forces se compensent 2 à 2. Ainsi : F ext = P A + R NA + P B + R NB = 0 Le système est donc isolé et la quantité de mouvement du système se conserve lors du choc.

7 Avant le choc : Après le choc p avant = p A + p B = m A. v A + m B. v B p après = p A + p B = ma. v A + mb. v B Or : p avant = p après Donc, en notant v B le vecteur vitesse de B après le choc : m A. v A + m B. v B = m A. v A + mb. v B En utilisant les coordonnées des vecteurs : m A. v Ax + m B. v Bx = m A. v Ax + m B. v Bx En considérant le sens des vecteurs vitesse par rapport au sens de l axe : m A. v A m B. v B = m A. v A + m B. v Bx v Bx = v Bx = m A. v A m B. v B + m A. v A m B 20,0.3,5 15,0.8,0 + 20,0.2,0 15,0 = 6, m. s 1 v Bx < 0 donc le mouvement de B après le choc a lieu dans le sens inverse de l axe. Calculer la variation E c de l énergie cinétique du système E c = E c,après E c,avant E c = 1 2. (m A. v A 2 + m B. v B 2 m A. v A 2 m B. v B 2 ) E c = 1 2. [m A. (v A 2 v A 2 ) + m B. (v B 2 v B 2 )] E c = 1 2. [20,0. (2,02 3,5 2 ) + 15,0. (6, ,0 2 )] = 5, J L énergie cinétique n est pas toujours conservée lors d un choc. Énoncé 5.3. EXERCICE TYPE 3 : APPLIQUER LA SECONDE LOI DE NEWTON A UN SYSTÈME DE MASSE CONSTANTE Un solide de masse m = 15 kg glisse sans frottements le long d un plan incliné d un angle α = 20 par rapport à l horizontale. Lâché sans vitesse initiale, il atteint le bas du plan incliné, situé à la distance L = 35 cm de son point de départ, à la date t 1 après avoir suivi une trajectoire rectiligne. Déterminer l accélération du solide au cours de son mouvement et sa vitesse lorsqu il atteint le bas du plan incliné. On donne la valeur de l intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.kg -1.

8 Résolution type Définir le système et le référentiel d étude On étudie le système {solide} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Faire le bilan des forces extérieures et les représenter sur un schéma, ainsi que le repère d espace Le bilan des forces extérieures s écrit : - Le poids P (vertical, orienté vers le centre de la Terre) - La réaction normale du support R N (perpendiculaire au plan incliné car on néglige les frottements, orientée du support vers le chariot) On choisit le repère d espace tel que l axe (Ox) coïncide avec la trajectoire du solide. Appliquer la seconde loi de Newton pour obtenir l expression de l accélération D après la seconde loi de Newton, pour un système de masse constante : m. a G = F ext = P + R N Le mouvement s effectue le long de l axe (Ox), donc : a G = a x. i Par projection selon l axe (Ox) : m. a x = P x + R Nx m. a x = m. g. sin(α) + 0 a x = g. sin(α) a x = 9,8. sin(20 ) = 3,4 m. s 2 Effectuer une première intégration pour obtenir l expression de la coordonnée de v G Le mouvement a lieu selon l axe (Ox) donc : v G = v x. i Par définition : a x = dv x donc par intégration : v x (t) = g. sin(α). t + C où C est une constante Or le solide est lâché sans vitesse initiale, donc v x (0) = g. sin(α). 0 + C = 0 d où C = 0 v x (t) = g. sin(α). t

9 Effectuer une seconde intégration pour obtenir l expression de la coordonnée de x(t) Par définition : v x = dx donc par intégration : x(t) = 1 2. g. sin(α). t2 + C où C est une constante On suppose que le solide est lâché depuis l origine du repère. Ainsi : x(0) = 1 2. g. sin(α) C = 0 d où C = 0 On obtient donc : x(t) = 1. g. sin(α). t2 2 Déterminer l expression de la vitesse V 1 en bas du plan incliné Quand le solide arrive en bas du plan incliné, il a parcouru la distance L. On a donc : x(t 1 ) = L L = 1 2. g. sin(α). t 1 2 La vitesse du solide en bas du plan incliné est donc : 2. L t 1 = g. sin(α) 2. L V 1 = v x (t 1 ) = g. sin(α). t 1 = g. sin(α). g. sin(α) V 1 = 2. L. g. sin(α) V 1 = 2.9,8.0,35. sin(20 ) = 1,5 m. s 1

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