lois de probabilité à densité

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1 lois de proilité à densité I) Approche de l loi de proilité à densité : ) notion de vriles létoires discrètes et continues: Rppel : définition : E (univers) est l'ensemle de toutes les issues d'une epérience létoire. Une vrile létoire X définie sur E est une fonction qui, à chque issue de E ssocie un nomre réel. une vrile létoire est souvent notée X,Y,Z... «X prend l vleur» s'écrit (X = ) Eemple : Soit l'epérience consistnt à lncer une pièce truquée et à oserver l fce pprente. Elle est létoire et son univers est E. E = {pile, fce}. L loi de proilité de l'epérience est définie pr le tleu : issues pile fce proilité,7,3 n peut définir une vrile létoire X qui, à chque lncer, ssocie un nomre correspondnt à un gin lgérique. Si l fce visile est Pile, on ggne (gin lgérique : + ) Si l fce visile est Fce, on perd (gin lgérique : ) Dns notre eemple, l vrile létoire X ssocie "Pile" à et "Fce" à. L loi de proilité de l vrile létoire X est définie pr le tleu : i P(X= i ),7,3 Dns ce cs, l vrile létoire prend un nomre fini () de vleurs ("" ou " "). L vrile létoire est dite "discrète". n peut définir l loi de proilité ssociée à l vrile létoire pr un tleu. Dns ce cs, l vrile létoire prend un nomre infini de vleurs (le nomre de réels compris entre et est infini). L vrile létoire est dite "continue". n ne peut ps définir l loi de proilité ssociée à l vrile létoire pr un tleu. Eemple : n tire à l'rc sur une cile de ron m. n suppose que toutes les flèches touchent l cile. n définit l vrile létoire ssocint à chque point d' impct s distnce (en m) u centre de l cile. L vrile létoire peut prendre une infinité de vleurs dns l'intervlle [ ; ].

2 ) notion de densité de proilité : Reprenons l'eemple. Un tireur à l'rc effectué tirs. Nous llons supposer qu'il tire prtiquement de l même mnière pour chque série de tirs. Comme nous venons de le voir, une loi de proilité ne peut ps être définie pr un tleu. Remrquons que l densité (rpport entre le nomre de points d'impct et le nomre totl de points) des points d'impct est plus grnde dns certines zones. Pour une distnce u centre de l cile comprise entre 3 et 4 cm, on trouve impcts. Pour une distnce comprise entre et cm, on en trouve 4. m Nous llons donc, dns le cs d'une vrile létoire continue, nous intéresser à l proilité que les vleurs prises pr l vrile létoire pprtiennent à tel ou tel intervlle correspondnt à l distnce pr rpport u centre de l cile. Un tireur à l'rc effectué tirs. Rppelons qu'il tire prtiquement de l même mnière pour chque série de tirs. n pourrit définir une loi de proilité pr ce tleu : I [;,[ [,;,[ [,;,3[ [,3;,4[ [,4;,5[ [,5;,6[ [,6;,7[ [,7;,8[ [,8;,9[ [,9;[ P(XI) n pourr écrire, pr eemple, que P(, X <,3) =,5 Cette loi de proilité, insi définie, n'est ps stisfisnte. Dns notre tleu, nous vons friqué intervlles d'une mplitude fiée. Il fudrit en définir une vlle pour n'importe quel intervlle, ussi petit soit-il! Imginons que nous multiplions le nomre d'intervlles. Cel nous permet de représenter lors l loi de proilité sous forme d'intégrles grâce à une fonction (ppelée densité de proilité). ire = ire =,,3,5,7,9,,4,6,8 en utilisnt des clsses de vleurs suffismment étroites, une densité de proilité peut être vue comme l «limite» d'un histogrmme!

3 II) Densité de proilité : définition : Une fonction définie sur est ppelée densité de proilité sur si : est continue et positive sur l'ire sous l coure est égle à une unité d'ire L proilité P(X) =! une densité de proilité peut être définie ire = sur un intervlle I de (orné ou non orné). Dns cet eemple, I = [;] u. définition : Soit, une densité de proilité sur un intervlle I. Soit E l'univers d'une epérience létoire. Soit X une vrile létoire définie sur E. X suit l loi de proilité de densité qund : Pour tout intervlle J de I, P(XJ) = J J est l'ire de l prtie du pln située sous l coure sur l'intervlle J u. J E : Soit X une vrile létoire suivnt l loi de proilité de densité définie sur () = si <, pr () = + si < J () = + si Soit l'intervlle J = 4,5 8. Clculons l proilité P(XJ): ou P (,5 X,65)! 3

4 Soient les points A 4,, B 5 8,3 4, M 4,, N 5 8,, L, L proilité cherchée est égle à l'ire J de l prtie du pln colorée ici en violet. Pour clculer l'ire J, on soustrit l somme des ires des deu tringles (leus) ALM et BNI à l'ire du trpèze JSIL. J = Aire (JSIL) ire(alm) ire (BNI) = 5,375 = 6 64,79 Il en résulte que P 4 X 5 8 = P (,5 X,65),79 A 4, J J B 5 8,3 4 L M N I S propriété : Soit E l'univers d'une epérience létoire. Soit X une vrile létoire continue définie sur E dont l densité de proilité est. n suppose que est continue sur l'intervlle [,] ( et sont des réels tels que < ). P( X ) = () d E : Reprenons l'eemple précédent détermintion de P(XJ) à l'ide d'intégrles : est une fonction positive et continue sur l'intervlle, donc on : J = 5/8 () d = / 5/8 ( + )d + 4 d + ( +) d 4 = [ + ] /4 + [ ] / + + 5/8 = 3 / = 5 64,79 propriété : Soit k un nomre réel. Soit E l'univers d'une epérience létoire. Soit X une vrile létoire continue définie sur E dont l densité de proilité est. n : P(X = k) = démonstrtion P(X = k) = P(X [k,k]). Il s'git, pr définition, de l'ire sous l coure sur l'intervlle [k, k]. Il en résulte que P(X = k) = Pour désigner un intervlle, on peut donc utiliser des inéglités u sens lrge ou u sens strict! P(X<) = P(<X) = P(X) = P(<X<) 4

5 III) Loi uniforme : définition : Une vrile létoire X suit une loi uniforme sur un intervlle I = [;] (vec et deu nomres réels tels que <) qund s densité de proilité est l fonction définie pr () = ire = ire J c d J = P(c X d) Pour tout intervlle J = [c,d] vec <c<d<, on donc : P(c X d) = c d = d d = d c c d longueur de J P(c X d) est le quotient des longueurs des deu intervlles J et I! P(c X d) = longueur de I L notion d'uniformité vient du fit que l proilité qu'une vrile létoire suivnt une loi uniforme soit dns un certin intervlle ne dépend ps de l position de l'intervlle, mis uniquement de s longueur! E : n choisit u hsrd un nomre entre 3 et 8. Quelle est l proilité que ce nomre soit compris entre 4 et 6? L vrile létoire X indiqunt le nomre choisi suit l loi uniforme sur [3;8]. n donc P(4 X 6) = = 5 =,4, I = P(3 X 8) = 5, = on peut mettre des inéglités u sens strict ou u sens lrge, comme nous l'vons vu précédemment cel ne modifie ps le résultt! J = P(4 X 6) =, =,4 définition : L'espérnce d'une vrile létoire X de densité de proilité définie sur un intervlle fermé [;] (vec < ) est définie pr : E(X) = () d En ssimilnt l'intégrle à une somme, () d correspond à l somme des produits de l vleur de l vrile létoire pr s proilité. C'est un prolongement de l définition étlie en clsse de Première! 5

6 propriété : Soit une vrile létoire X suivnt une loi uniforme sur un intervlle fermé [;] E(X) = + démonstrtion E(X) = () d = d = d = = = + E : Reprenons l'eemple précédent. n choisit u hsrd un nomre entre 3 et 8. L vrile létoire X indiqunt le nomre choisi suit l loi uniforme sur [3;8]. L'espérnce de l vrile létoire X est E(X) = = 5,5 IV) Loi eponentielle : ) notion de durée de vie sns vieillissement : je suis sns mémoire! Certins composnts électroniques ont des durées de vie théoriquement très élevées. Une LED une durée de vie pouvnt dépsser les 5 heures. Si vous l'utilisiez une heure pr jour, son espérnce de vie serit de près de 36 ns! Si le composnt n'est ps tomé en pnne les 5 premiers jours, on peut donc considérer que l proilité qu'il tome en pnne le 6ème jour est l même que celle de l veille! n dit que l durée de vie de ce composnt électronique est sns vieillissement (ou sns mémoire). Soient t et h deu réels positifs. L proilité que l LED fonctionne encore h jours supplémentires schnt qu'elle déjà fonctionné t jours ne dépend ps de t! Appelons X l vrile létoire donnnt l durée de vie en jours de ce composnt. Pour tout réel positif h, «X > h» correspond à l'événement «l durée de vie dépsse h jours». n peut lors eprimer ce qui précède à l'ide d'une proilité conditionnelle : P X t (X t + h) ne dépend ps de t ou P X t (X t + h) = P(X h) 6

7 cette lettre grecque se lit «lmd»! () = e =! ) loi eponentielle de prmètre : définition : Soit un nomre réel positif. Une vrile létoire X suit une loi eponentielle de prmètre qund s densité de proilité est l fonction définie sur [ ; + [ pr () = e ire = propriétés : X est une vrile létoire qui suit une loi eponentielle de prmètre Pour tous nomres réels positifs et tels que, on : P(X ) = e P(X> ) = e 3 P( X ) = e e démonstrtions P(X ) = e d = [ ] e = e ( e )= e «X >» est l'événement contrire à «X». n donc P(X> ) = P(X ) = ( e ) = e 3 P( X ) = e d = [ ] e = e ( e ) = e e propriété : Si X est une vrile létoire qui suit une loi eponentielle de prmètre, lors l loi de proilité de X est une loi de durée de vie sns vieillissement et vérifie : P X t (X t + h) = P(X h) (t et h étnt deu réels positifs) démonstrtion D'près l définition d'une proilité conditionnelle, on (X t + h) (X t) P X t (X t + h) = P( ) P(X t) L' événement (X t + h) (X t) signifie (X t + h) donc P(X t + h) P X t (X t + h) = r, P(X t + h) = e (t+h) et P(X t) = e t P(X t) D'où P X t (X t + h) = e (t+h) = e t h+t = e h = P(X h). e t Il en résulte que P X t (X t + h) = P(X h) P((X t + h) (X t)) peut s'écrire ussi P((X t + h) et (X t)) n dmet l propriété réciproque. n conclut donc qu' une loi de proilité de durée de vie sns vieillissement est oligtoirement une loi eponentielle. 7

8 c) espérnce : définition : Soit une vrile létoire X suivnt une loi eponentielle. Soit s densité de proilité définie sur [ ; + [ L'espérnce de X est définie pr : E(X) = lim + t (t)dt propriété : Soit un nomre réel positif. Soit une vrile létoire X suivnt une loi eponentielle de prmètre. L' espérnce de X est donnée pr : E(X) = démonstrtion - eigile - Soit h l fonction définie sur pr h(t) = t(t). est une densité de proilité donc elle est continue sur [ ; + [. Pr suite, h est continue et dmet donc des primitives sur [ ; + [. r, pour tout réel positif t, on ( t e t ) ' = e t e t = e t te t n peut donc écrire : h(t)dt = t e t dt = donc, h(t)dt = [ te t ] + or, e t ( ) t e t ' dt + lim + e = et lim + e = donc E(X) = e t dt = (e ) + e lim + t (t)dt = lim + h(t)dt = + = e e 8