MAT 1200: Introduction à l algèbre linéaire

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1 MAT 1200: Introduction à l algèbre linéaire Saïd EL MORCHID Département de Mathématiques et de Statistique Chapitre 4: Les espaces vectoriels

2 Références Espaces vectoriels s Exemples Théorème Sous-espaces vectoriels s Exemples Combinaison linéaire Exemples Ensemble générateur Exemples Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Exemples Indépendance linéaire Exemples Base Exemples

3 Références: Notes de cours chapitre 4 page 71. Livre: pages , ,26-37,61-67,

4 Espaces vectoriels Un ensemble non vide V est un espace vectoriel sur IR si on peut définir sur V une opération d addition et une opération de multiplication par un scalaire de façon à ce que les 10 propriétés suivantes soient satisfaites: (A1) u, v V, u + v V, (A2) u, v V, u + v = v + u, (A3) u, v, w V, u + ( v + w) = ( u + v) + w, (A4) 0 V, u V, u + 0 = 0 + u = u, (A5) u V, u V, u + ( u) = ( u) + u = 0, (MS1) k IR, u V, k u V, (MS2) k IR, u, v V, k( u + v) = k u + k v, (MS3) k, l IR, u V, (k + l) u = k u + l u, (MS4) k, l IR, u V, k(l u) = (kl) u = (lk) u, (MS5) u V, 1 u = u.

5 Exemples (1) L espace IR n = {(a 1, a 2,, a n) a i IR, i } est un espace vectoriel sur IR. (2) L espace M m,n des matrices à coefficients réels, m n est un espace vectoriel sur IR. (3) L espace Π n des polynômes à coefficients réels de degré au plus n est un espace vectoriel sur IR. Π n = { a 0 + a 1x + a 2x 2 + a nx n a i IR, i } (4) L espace C des fonctions continues sur IR à valeurs dans IR est un espace vectoriel sur IR.

6 Théorème Soit V un espace vectoriel sur IR, u V et k IR. Alors (1) 0 u = 0, (2) k 0 = 0, (3) ( 1) u = u, (4) si k u = 0 alors k = 0 ou u = 0.

7 Sous-espaces vectoriels (Livre section 4.1) Un sous-ensemble W d un espace vectoriel V est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites (1) 0 W, (2) Si u, v W alors u + v W, (3) Si k IR et u W alors k u W. Exemples (1) L ensemble des vecteurs du plan défini par n est pas un sous-espace vectoriel. S = {(x, y) IR 2 y = 3x + 1} (2) Soient a, b, c IR. On considère l ensemble W = {(x, y, z) IR 3 ax + by + cz = 0} W est un sous-espace vectoriel de IR 3.

8 Exemples (suite) (3) L ensemble S n des matrices symétriques de taille n est un sous-espace vectoriel de l espace des matrices M n,n (4) L ensemble des polynômes de degré 2 est un sous-espace vectoriel de l espace des polynômes de degré 3. (5) L ensemble des polynômes de degré n qui sont nuls en x = 0 est un sous-espace vectoriel de l espace des polynômes Π n. (6) L ensemble des polynômes de degré n qui satisfont p(0) = 1 n est pas un sous-espace vectoriel de l espace des polynômes Π n.

9 Combinaison linéaire (Livre section 1.7) Un vecteur w est appelé combinaison linéaire des r vecteurs v 1, v 2,, v r s il existe des scalaires k 1, k 2,, k r pour lesquels Exemples w = k 1 v 1 + k 2 v k r v r. (1) Dans IR 2, tout vecteur est combinaison linéaire des vecteurs i = (1, 0) et j = (0, 1). (2) Dans IR 2, tout vecteur est combinaison linéaire des vecteurs e 1 = ( 1, 1) et e 2 = (2, 3). (3) Dans IR 3, le vecteur u = (9, 10, 11) est-il une combinaison linéaire des vecteurs v = (1, 2, 3) et w = (4, 5, 6)? (4) le polynôme x est-il une combinaison linéaire des polynômes P 1 = x + 1 et P 2 = 2x 7?

10 Ensemble générateur (livre page 208) Si tout vecteur de E est combinaison linéaire des vecteurs v 1, v 2,, v r, on dit alors que v 1, v 2,, v r engendrent E, ou qu ils forment un ensemble générateur de E. Exemple Est ce que e 1 = (2, 3, 4), e 2 = (4, 5, 6), e 3 = (6, 7, 8) engendrent IR 3?

11 Sous-espace engendré par une famille de vecteurs (Livre page 208) Soient v 1, v 2,, v r des vecteurs d un espace vectoriel V. Le sous-espace engendré par v 1, v 2,, v r est l ensemble des combinaisons linéaires de v 1, v 2,, v r Notation On le note par lin{ v 1, v 2,, v r }. Proposition On a lin{ v 1, v 2,, v r } = {k 1 v 1 + k 2 v k r v r k 1, k 2, k r IR}.

12 Exemples (1) Dans IR 4, on considère le sous-emsemble H = {(a 3b, b a, a, b) a, b IR} Donner deux vecteurs qui engendrent H. En déduire que H est un sous-espace vectoriel de IR 4. (2) Dans Π 2, caractériser le sous-espace engendré par p 1 = 1 et p 2 = (x 1) 2. (3) Dans l espace des matrices carrées M 2,2, on considère le sous-ensemble {[ ] } a b H = a, b, d IR 0 d Trouver trois vecteurs v 1, v 2, v 3 tels que H = lin{ v 1, v 2, v 3}.

13 Indépendance linéaire (Livre pages 61-66, ) Un ensemble de vecteurs v 1, v 2,, v r d un espace vectoriel V est dit linéairement indépendant si l équation vectorielle n admet que la solution triviale k 1 v 1 + k 2 v k r v r = 0 k 1 = 0, k 2 = 0,, k r = 0. Si un ensemble n est pas linéairement indépendant, il est linéairement dépendant. Exemples (1) Dans l espace vectoriel Π 1 des polynômes de degré 1, les polynômes p 1(x) = 1, p 2(x) = x et p 3(x) = 4 x sont-ils dépendants ou indépendants? (2) Dans IR 3, les vecteurs v 1 = (0, 2, 1), v 2 = (2, 2, 0), v 3 = (6, 16, 5) sont-ils dépendants ou indépendants?

14 Remarque Dans IR n, pour savoir si un ensemble de vecteurs v 1, v 2,, v m est dépendant ou non, on forme la matrice V dont les colonnes sont les composantes des vecteurs v i. Alors l ensemble est linéairement indépendant, si et seulement si la seule solution du système homogène V k = 0 est le vecteur k = 0. Exemple Utiliser la remarque ci-dessus, pour montrer si les vecteurs suivants sont dépendants ou indépendants Théorème v 1 = (1, 0, 2), v 2 = (3, 2, 4), v 3 = ( 3, 5, 1) Dans IR n tout ensemble qui contient plus de n vecteurs est linéairement dépendant.

15 Exemple Les 4 vecteurs suivants sont-ils dépendants ou indépendants v 1 = (1, 4, 3), v 2 = (0, 3, 1), v 3 = (3, 5, 4), v 4 = (0, 2, 2)

16 Base pages (Livre , ) Soit V un espace vectoriel sur IR et S = { v 1, v 2,, v r } un ensemble de r vecteurs de V. On dit que S est une base de V si les deux conditions suivantes sont satisfaites (i) S est un ensemble linéairement indépendant, (ii) S engendre V. Exemple Montrer que est une base de IR 3. v1 = (3, 0, 6), v 2 = ( 4, 1, 7), v 3 = ( 2, 1, 5)

17 Exemple L espace vectoriel Π n a comme base S = {1, x, x 2,, x n } appelée la base canonique de Π n. Exemple Dans IR 4, on considère le sous-espace Trouver une base de W. Exemple W = {(x, y, z, w) x + y + z + w = 0 et x 2y + z w = 0 } Trouver une base de l espace des matrices carrées 3 3 symétriques. Théorème Soit S = { v 1, v 2,, v n} une base d un espace vectoriel V sur IR. Alors tout ensemble de plus de n vecteurs est linéairement dépendant.

18 Dimension d un espace (livre pages , ) Un espace vectoriel non nul V est dit de dimension finie s il existe une base finie de V. Théorème Si V est un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les bases ont le même nombre de vecteurs. La dimension d un espace vectoriel V sur IR, dénotée dimv, est le nombre de vecteurs dans une base de V. Par convention, la dimension de l espace nul { 0} est égale à 0. Théorème La dimension de IR n est égale à n.

19 Théorème Soit V un espace vectoriel sur IR de dimension n. (i) Si S = { v 1,, v n} est un ensemble linéairement indépendant de n vecteurs de V, alors S est une base de V. (ii) Si S = { v 1,, v n} est un ensemble de n vecteurs de V qui engendrent V, alors S est une base de V. (iii) Si S = { v 1,, v r } est un ensemble linéairement indépendant de r vecteurs de V, avec r < n, alors il existe v r+1,, v n tels que { v 1,, v r, v r+1,, v n} est une base de V.

20 Exemple Les vecteurs suivants forment-ils une base de IR 3? (1) v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 0, 1) (2) v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 2, 3), v 3 = (2, 1, 1) Exemple Compléter l ensemble { u 1 = (1, 1, 1, 1), u 2 = (2, 2, 3, 4)} pour former une base de IR 4.